Luyện thi FE Điện và Máy tính: gói ôn nước rút

Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 40 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.

Bài mới Quay lại môn học

Trong cửa sổ in, hãy chọn “Lưu dưới dạng PDF” để giữ một bản trên thiết bị của bạn.

1Công thức và phương pháp

Điện trở nối tiếp và song song

Điện trở nối tiếp: R_eq = R₁ + R₂ + …
Điện trở song song: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Hai điện trở song song: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Định luật Ohm: V = I·R
Công suất: P = V·I = I²R = V²/R

Phương pháp

Bắt đầu từ đầu của mạng xa các cực nhất.
Gộp các điện trở nối tiếp bằng cách cộng chúng, và các điện trở song song bằng 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Vẽ lại mạch sau mỗi bước.
Lặp lại cho đến khi chỉ còn một điện trở giữa hai cực.

Phương pháp điện thế nút

Định luật Kirchhoff về dòng điện: ΣI_in = ΣI_out
Dòng điện nhánh: I = (V_a − V_b)/R
Nút tham chiếu: V_ground = 0

Phương pháp

Chọn một nút tham chiếu (đất) và đặt tên cho các điện thế nút còn lại.
Viết định luật Kirchhoff về dòng tại mỗi nút chưa biết: dòng đi ra qua mỗi nhánh bằng dòng đi vào.
Biểu diễn mọi dòng nhánh dưới dạng (V_a − V_b)/R.
Giải hệ phương trình, rồi tìm bất kỳ dòng điện nào bạn cần.

Phương pháp dòng điện mạch vòng

Định luật Kirchhoff về điện áp: ΣV = 0 quanh mỗi vòng
Điện trở chung: dòng điện = I₁ − I₂
Nguồn dòng trong mạch vòng: xác định dòng điện của mạch vòng đó

Phương pháp

Vẽ một dòng điện theo chiều kim đồng hồ trong mỗi mạch vòng (ô) của mạch.
Áp dụng định luật Kirchhoff về điện áp quanh mỗi mạch vòng: tổng các sụt áp bằng không.
Trong điện trở chung của hai mạch vòng, dòng điện là hiệu của hai dòng mạch vòng.
Giải các phương trình; kết quả âm nghĩa là dòng điện chạy ngược lại.

Nguyên lý xếp chồng

Nguyên lý xếp chồng: x = x₁ + x₂ + … (one source at a time)
Nguồn điện áp đã tắt: ngắn mạch (0 V)
Nguồn dòng đã tắt: hở mạch (0 A)
Cầu chia áp: V₂ = V·R₂/(R₁ + R₂)
Cầu chia dòng: I₁ = I·R₂/(R₁ + R₂)

Phương pháp

Đếm các nguồn độc lập. Bạn sẽ giải một mạch đơn giản hơn cho mỗi nguồn.
Giữ một nguồn và tắt các nguồn còn lại: nguồn điện áp trở thành ngắn mạch (một sợi dây), nguồn dòng trở thành hở mạch (một khoảng hở).
Giải mạch đơn giản hơn để tìm điện áp hoặc dòng điện bạn cần, theo dõi chiều của nó.
Lặp lại cho mọi nguồn, rồi cộng các thành phần với dấu của chúng.

Thévenin và Norton

Điện áp Thévenin: V_th = V_{open circuit}
Điện trở Thévenin: R_th: tắt mọi nguồn, nhìn từ a–b
Dòng Norton: I_N = V_th/R_th
Dòng điện qua tải: I_L = V_th/(R_th + R_L)
Truyền công suất cực đại: R_L = R_th, P_max = V_th²/(4R_th)

Phương pháp

Bỏ tải ra và đánh dấu hai cực a và b.
Tìm điện áp hở mạch giữa a và b: đây là V_th.
Tắt mọi nguồn độc lập và tìm điện trở nhìn từ a–b: đây là R_th.
Đặt lại tải vào mạch tương đương: V_th nối tiếp với R_th.
Với mạch tương đương Norton, hãy chuyển đổi: I_N = V_th/R_th, với R_N = R_th mắc song song.

Quá độ RC và RL

Hằng số thời gian: τ = RC | τ = L/R
Đáp ứng: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Tụ điện ở chế độ một chiều: hở mạch; v_C không thể nhảy vọt
Cuộn cảm ở chế độ một chiều: ngắn mạch; i_L không thể nhảy vọt
Đã ổn định: t ≈ 5τ

Phương pháp

Tìm giá trị ban đầu ngay sau khi đóng cắt: điện áp tụ điện và dòng điện cuộn cảm không thể nhảy vọt.
Tìm giá trị cuối rất lâu sau khi đóng cắt: tụ điện hoạt động như hở mạch, cuộn cảm như ngắn mạch.
Tìm hằng số thời gian: τ = RC hoặc τ = L/R, dùng điện trở mà tụ điện hoặc cuộn cảm nhìn thấy.
Dùng x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Tổng trở xoay chiều và phasor

Tổng trở: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Tần số góc: ω = 2πf
Độ lớn và góc: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Định luật Ohm dạng phasor: V = I·Z

Phương pháp

Đổi tần số: ω = 2πf.
Tìm từng điện kháng: X_L = ωL và X_C = 1/(ωC).
Cộng các tổng trở như điện trở, với Z = R + jX.
Tìm độ lớn |Z| = √(R² + X²) và góc φ = atan(X/R), rồi dùng định luật Ohm với phasor.

Công suất xoay chiều và hệ số công suất

Công suất tác dụng: P = V·I·cos φ
Công suất phản kháng: Q = V·I·sin φ
Công suất biểu kiến: S = V·I = √(P² + Q²)
Hệ số công suất: pf = cos φ = P/S
Tụ điện bù: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(ωV²)

Công suất ba pha

Nối sao (Y): V_L = √3·V_ph, I_L = I_ph
Nối tam giác (Δ): V_L = V_ph, I_L = √3·I_ph
Tổng công suất tác dụng: P = √3·V_L·I_L·cos φ = 3·I_ph²·R
Công suất biểu kiến và phản kháng: S = √3·V_L·I_L, Q = P·tan φ
Tụ điện bù: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(3ωV²)
Điện áp trên mỗi tụ điện: Δ: V_L Y: V_L/√3
Công suất vào của động cơ: P_in = P_out/η

Máy biến áp

Tỉ số vòng dây: a = N₁/N₂ = V₁/V₂
Tỉ số dòng điện: I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a
Dòng điện định mức: I = S/V
Tổng trở quy đổi: Z₁′ = a²·Z_L
Tổn hao đồng khi non tải: P_cu = x²·P_cu,fl
Hiệu suất: η = x·S·pf/(x·S·pf + P_core + x²·P_cu,fl)
Hiệu suất cực đại: x = √(P_core/P_cu,fl)

Mạch khuếch đại thuật toán

Bộ khuếch đại đảo: V_out = −(R_f/R_in)·V_in
Bộ khuếch đại không đảo: V_out = (1 + R_f/R₁)·V_in
Bộ khuếch đại cộng: V_out = −R_f(V₁/R₁ + V₂/R₂)
Op-amp lý tưởng: V₊ = V₋, I_in = 0

Diode và transistor

Diode (sụt áp không đổi): V_D = 0,7 V when conducting
Vùng tích cực: V_BE = 0,7 V, I_C = β·I_B, I_E = (β + 1)·I_B
Phân cực cố định: I_B = (V_CC − 0,7)/R_B
Phân cực bằng cầu chia áp: I_B = (V_TH − 0,7)/(R_TH + (β + 1)R_E)
Thévenin của cầu chia áp: V_TH = V_CC·R₂/(R₁ + R₂), R_TH = R₁∥R₂
Vòng cực thu: V_CE = V_CC − I_CR_C − I_ER_E
Bão hòa: I_C(sat) = (V_CC − V_CE(sat))/R_C, I_B ≥ I_C(sat)/β

Hệ đếm

Giá trị vị trí: nhị phân 2^k, bát phân 8^k, thập lục phân 16^k
Sang thập phân: Σ d_k·b^k
Từ thập phân: chia cho cơ số, đọc các số dư từ dưới lên
Thập lục phân ↔ nhị phân: một chữ số thập lục phân = 4 bit
Số bù hai: đảo các bit và cộng 1

Logic số: cổng, bìa K và flip-flop

Các cổng cơ bản: A·B, A + B, A′, (A·B)′, (A + B)′, A ⊕ B
Các quy tắc Boole: X + X′ = 1, X·X′ = 0, X + XY = X, XY + XY′ = X
De Morgan: (X·Y)′ = X′ + Y′, (X + Y)′ = X′·Y′
Thứ tự của bìa Karnaugh: 00, 01, 11, 10 (Gray code)
Nhóm 2ᵏ ô: mất k biến
Bộ ghép kênh 4-sang-1: F = A′B′I₀ + A′BI₁ + AB′I₂ + ABI₃
Flip-flop: D: Q⁺ = D, T: Q⁺ = T ⊕ Q, JK: Q⁺ = JQ′ + K′Q
Bộ đếm: n bit: 2ⁿ trạng thái; mod-N: n nhỏ nhất thỏa 2ⁿ ≥ N; f_out = f_clk/N
Bộ đếm gợn sóng: f_max = 1/(n·t_pd)
Bộ đếm vòng và Johnson: n và 2n trạng thái

Phương pháp

Với một mạch, hãy làm từ các đầu vào đến đầu ra từng cổng một và ghi giá trị trên mọi dây, hoặc viết biểu thức của nó rồi điền bảng chân trị.
Để rút gọn, hãy đặt các số 1 (và các điều kiện tùy định là X) vào một bìa Karnaugh với hàng và cột theo mã Gray: 00, 01, 11, 10.
Hãy phủ các số 1 bằng càng ít nhóm và càng lớn càng tốt gồm 1, 2, 4, 8 hoặc 16 ô, cuộn qua mép; mỗi nhóm là một số hạng tích gồm các biến không đổi. Hãy nhóm các số 0 cho dạng POS.
Với flip-flop và bộ đếm, hãy đọc các đầu vào tại mỗi sườn xung nhịp tích cực, ghi trạng thái sau mỗi sườn, và nhớ rằng bộ đếm n bit quay vòng sau 2ⁿ trạng thái.

Ổn định: Routh–Hurwitz và quỹ đạo nghiệm

Ổn định: mọi nghiệm của đa thức đặc trưng ở nửa mặt phẳng trái
bảng Routh, phần tử s¹ của đa thức bậc ba: b₁ = (a₂a₁ − a₃a₀)/a₂
Nghiệm ở nửa mặt phẳng phải: số lần đổi dấu trong cột đầu tiên
Đa thức bậc ba s³ + a₂s² + a₁s + a₀: ổn định khi mọi a > 0 và a₂·a₁ > a₀
K/(s(s + a)(s + b)): K_max = ab(a + b), ω = √(ab)
Phương trình đặc trưng: 1 + K·G(s) = 0
Đường tiệm cận: σ_a = (Σp − Σz)/(n − m), θ = (2q + 1)·180°/(n − m)
Điểm tách và điểm nhập: dK/ds = 0
Điều kiện biên độ: K = 1/|G(s)|
Góc xuất phát: θ_d = 180° − Σ∠(from other poles) + Σ∠(from zeros)

Phương pháp

Viết đa thức đặc trưng vòng kín: mẫu số của 1 + K·G(s) = 0, sau khi nhân ra.
Đặt các hệ số xen kẽ vào hai hàng đầu tiên của bảng Routh và lập các hàng còn lại.
Đếm số lần đổi dấu trong cột đầu tiên: mỗi lần là một cực ở nửa mặt phẳng phải. Khi K có trong bảng, hãy yêu cầu mọi phần tử của cột đầu tiên giữ dương.
Với quỹ đạo nghiệm, đánh dấu các cực và điểm không, các đoạn trên trục thực, các đường tiệm cận từ trọng tâm và các điểm tách/nhập nơi dK/ds = 0. Dùng K = 1/|G(s)| cho độ lợi tại một điểm.

Sai số xác lập và điều khiển PID

Loại của hệ: số cực của G(s) tại s = 0
Hằng số sai số: K_p = lim G(s), K_v = lim s·G(s), K_a = lim s²·G(s) (s → 0)
Bước nhảy A: e_ss = A/(1 + K_p)
Tín hiệu dốc A·t: e_ss = A/K_v
Parabol A·t²/2: e_ss = A/K_a
Bộ điều khiển PID: C(s) = K_p + K_i/s + K_d·s
Mục tiêu bậc hai: s² + 2ζω_ns + ω_n²
Độ vượt quá và thời gian: %OS = 100·e^{−ζπ/√(1−ζ²)}, t_p = π/ω_d, t_s ≈ 4/(ζω_n)

Phương pháp

Đếm các cực của vòng hở C(s)·G(s) tại s = 0: đó là loại của hệ.
Tính hằng số sai số khớp với đầu vào: K_p cho bước nhảy, K_v cho tín hiệu dốc, K_a cho parabol.
Áp dụng e_ss = A/(1 + K_p), A/K_v hay A/K_a, hoặc giải nó theo độ lợi bạn cần.
Với yêu cầu về độ cản hoặc tốc độ, viết đa thức đặc trưng vòng kín và so sánh nó với s² + 2ζω_n·s + ω_n².

2Bài tập

1.Điện trở nối tiếp và song songTrung bình

Tìm dòng điện I_R2 qua R₂.

V₁ = 18 VR₁ = 12 ΩR₂ = 3 ΩR₃ = 6 ΩR₄ = 6 Ω

I_R2 = A

2.Điện trở nối tiếp và song songKhó

Tìm dòng điện I_R2 qua R₂.

V₁ = 5 VR₁ = 30 ΩR₂ = 3 ΩR₃ = 2 ΩR₄ = 25 ΩR₅ = 4 ΩR₆ = 4 Ω

I_R2 = A

3.Phương pháp điện thế nútTrung bình

Ba nhánh được nối giữa nút A và đất, như hình. Dùng phương pháp điện thế nút để tìm dòng điện I₁ trong nhánh 1, chảy lên vào nút A theo chiều mũi tên.

V₁ = 12 VR₁ = 12 ΩV₂ = 15 VR₂ = 8 ΩV₃ = 12 VR₃ = 12 Ω

I₁ = A

4.Phương pháp điện thế nútKhó

Dùng phương pháp điện thế nút để tìm điện thế nút V_B (đo so với đất).

V₁ = 5 VI_s = 6 AV₂ = 24 VR₁ = 15 ΩR₂ = 12 ΩR₃ = 12 ΩR₄ = 8 ΩR₅ = 3 Ω

V_B = V

5.Phương pháp dòng điện mạch vòngTrung bình

Dùng phương pháp dòng điện mạch vòng để tìm điện áp V_R1 trên R₁ với cực tính như hình.

V₁ = 12 VV₂ = 9 VR₁ = 6 ΩR₂ = 10 ΩR₃ = 3 Ω

V_R1 = V

6.Phương pháp dòng điện mạch vòngKhó

Dùng phương pháp dòng điện mạch vòng để tìm dòng điện mạch vòng I₁ (theo chiều kim đồng hồ).

V₁ = 15 VV₂ = 18 VR₁ = 5 ΩR₂ = 20 ΩR₃ = 25 ΩR₄ = 2 ΩR₅ = 10 Ω

I₁ = A

7.Nguyên lý xếp chồngTrung bình

Dùng nguyên lý xếp chồng để tìm dòng điện I_R3 chạy qua R₃ theo chiều mũi tên.

V₁ = 18 VI_s = 1 AR₁ = 12 ΩR₂ = 6 ΩR₃ = 5 ΩR₄ = 4 Ω

I_R3 = A

8.Nguyên lý xếp chồngKhó

Dùng nguyên lý xếp chồng để tìm dòng điện I_R4 chạy qua R₄ theo chiều mũi tên.

V₁ = 18 VI_s = 1 AV₂ = 5 VR₁ = 30 ΩR₂ = 25 ΩR₃ = 25 ΩR₄ = 4 Ω

I_R4 = A

9.Thévenin và NortonTrung bình

Tìm điện trở Thévenin R_th nhìn từ cặp cực a–b.

V₁ = 18 VR₁ = 15 ΩR₂ = 5 ΩR₃ = 15 Ω

R_th = Ω

10.Thévenin và NortonKhó

Một tải R_L = 2 Ω được nối giữa a–b. Dùng mạch tương đương Thévenin để tìm công suất P_L tải nhận được.

V₁ = 24 VI_s = 1,5 AR₁ = 6 ΩR₂ = 10 ΩR₃ = 2 ΩR_L = 2 Ω

P_L = W

11.Quá độ RC và RLTrung bình

Cuộn cảm không có dòng điện trước khi khóa đóng tại t = 0. Tìm năng lượng W tích trữ trong cuộn cảm tại t = 15 ms, theo mJ.

V_s = 6 VR = 5 ΩL = 33 mHt = 15 ms

W = mJ

12.Quá độ RC và RLKhó

Ngay trước khi khóa đóng tại t = 0, tụ điện giữ 18 V với cực tính như hình. Mất bao lâu để v_C đạt 16,2 V? Tìm t.

V_s = 12 VR = 6,8 kΩC = 100 µFv_C(0) = 18 V

t = ms

13.Tổng trở xoay chiều và phasorTrung bình

Một mạch RLC nối tiếp được nối với nguồn 24 V (hiệu dụng), 50 Hz. Tìm dòng điện hiệu dụng I.

V = 24 V (rms)f = 50 HzR = 60 ΩL = 50 mHC = 47 µF

I = A

14.Tổng trở xoay chiều và phasorKhó

Một mạch RLC nối tiếp được nối với nguồn 50 V (hiệu dụng), 200 Hz. Tìm tần số cộng hưởng f₀ của mạch.

V = 50 V (rms)f = 200 HzR = 10 ΩL = 100 mHC = 22 µF

f₀ = Hz

15.Công suất xoay chiều và hệ số công suấtTrung bình

Một động cơ một pha tiêu thụ 1 kW với hệ số công suất 0,65 trễ từ nguồn 240 V. Tìm công suất phản kháng Q mà nó tiêu thụ.

P = 1 kWpf = 0,65V = 240 V

Q = kvar

16.Công suất xoay chiều và hệ số công suấtKhó

Một nguồn 12 V (hiệu dụng), 60 Hz có trở kháng trong Z_s = 50 + j3 Ω. Trở kháng tải Z_L có thể được chọn tự do. Tìm công suất thực lớn nhất P_max có thể cấp cho tải.

V_s = 12 V (rms)f = 60 HzZ_s = 50 + j3 Ω

P_max = W

17.Công suất ba phaTrung bình

Một tải nối sao (Y) cân bằng có tổng trở 15 + j20 Ω mỗi pha được nối với nguồn ba pha cân bằng có điện áp dây 415 V. Tìm tổng công suất tác dụng P mà tải hấp thụ, theo kW.

V_L = 415 VZ = 15 + j20 Ω mỗi pha

P = kW

18.Công suất ba phaKhó

Một tải ba pha cân bằng lấy 100 kW với hệ số công suất 0,8 trễ từ nguồn 690 V (điện áp dây), 50 Hz. Một bộ tụ điện ba pha mắc song song với tải phải nâng hệ số công suất tổng lên 0,95 trễ. Công suất tác dụng giữ nguyên. Các tụ điện được nối sao (Y). Tìm điện dung C_ph của mỗi tụ theo µF.

P = 100 kWpf₁ = 0,8pf₂ = 0,95V_L = 690 Vf = 50 Hz

C_ph = µF

19.Máy biến ápTrung bình

Một máy biến áp một pha 250 kVA, 4160/480 V làm việc ở tải định mức. Coi nó là lý tưởng. Tìm dòng điện I_LV trong cuộn hạ áp.

S = 250 kVAV₁ = 4160 VV₂ = 480 V

I_LV = A

20.Máy biến ápKhó

Một máy biến áp một pha 200 kVA có tổn thất lõi 600 W. Ở tải định mức và hệ số công suất 0,85 trễ, hiệu suất của nó là 96,5%. Tìm tổn thất đồng ở đầy tải P_cu,fl theo watt.

S = 200 kVAP_core = 600 Wpf = 0,85η = 96,5%

P_cu,fl = W

21.Mạch khuếch đại thuật toánTrung bình

Op-amp là lý tưởng và chạy với nguồn cấp ±15 V. Tìm điện áp ngõ ra V_out.

V_in = 2,5 VR_a = 10 kΩR_b = 10 kΩR₁ = 1 kΩR_f = 2 kΩ

V_out = V

22.Mạch khuếch đại thuật toánKhó

Bộ khuếch đại cộng dùng op-amp lý tưởng với nguồn cấp ±15 V. Tìm dòng điện I_f qua điện trở hồi tiếp, chạy về phía ngõ ra.

V₁ = −2 VV₂ = 1,1 VR₁ = 1 kΩR₂ = 10 kΩR_f = 4,7 kΩ

I_f = mA

23.Diode và transistorTrung bình

Một bộ ổn áp Zener 3,3 V được cấp từ 9 V qua 100 Ω và cấp điện cho tải 2200 Ω. Tìm dòng điện Zener I_Z.

V_in = 9 VV_Z = 3,3 VR = 100 ΩR_L = 2200 Ω

I_Z = mA

24.Diode và transistorKhó

Một bộ ổn áp Zener 6,2 V có điện trở nối tiếp 100 Ω. Đầu vào có thể tăng đến 22 V, và tải có thể bị ngắt. Tìm công suất lớn nhất P_Z,max mà Zener phải tiêu tán.

V_in,max = 22 VV_Z = 6,2 VR = 100 Ω

P_Z,max = mW

25.Hệ đếmTrung bình

Dãy 8 bit 1110 1001 lưu một số nguyên có dấu dưới dạng số bù hai. Giá trị N của nó trong hệ thập phân là bao nhiêu?

1110 10018 bit

N =

26.Hệ đếmKhó

Đặt các bit thành kết quả 8 bit của 0010 0110 << 3. Giá trị R của kết quả theo hệ thập phân là bao nhiêu?

0010 0110<< 3

R =

27.Logic số: cổng, bìa K và flip-flopTrung bình

Hãy dùng bìa Karnaugh để tìm dạng tích các tổng (POS) tối thiểu của F(A, B, C, D) = Σm(0, 1, 2, 3, 6, 8, 15). Nó có bao nhiêu số hạng tổng (thừa số) N?

F(A, B, C, D) = Σm(0, 1, 2, 3, 6, 8, 15)

N =

28.Logic số: cổng, bìa K và flip-flopKhó

Với F(A, B, C, D) = Σm(0, 3, 5, 6, 9, 14, 15) + d(7, 13), trong đó d đánh dấu các điều kiện tùy định, hãy tìm số N các implicant nguyên tố cốt yếu.

F(A, B, C, D) = Σm(0, 3, 5, 6, 9, 14, 15) + d(7, 13)

N =

29.Biến đổi LaplaceTrung bình

Tìm f(t) cho F(s) = (5s + 3)/(s² + 2s + 1) và tính f(1,5).

F(s) = (5s + 3)/(s² + 2s + 1)t = 1,5 s

f(1.5) =

30.Biến đổi LaplaceKhó

Một hệ thống tuân theo y″ + 8y′ + 15y = 45·u(t), với y(0) = 3 và y′(0) = 0. Tại t = 0 một đầu vào bước u(t) = 2 được đặt vào. Dùng biến đổi Laplace để tìm y(0,2).

y″ + 8y′ + 15y = 45·u(t)y(0) = 3y′(0) = 0u(t) = 2t = 0,2 s

y(0.2) =

31.Sơ đồ khốiTrung bình

Đối tượng G(s) = K/(s(s + 13)) nằm trong vòng hồi tiếp âm đơn vị. Tìm độ lợi K để vòng kín tắt dần tới hạn (hai cực thực bằng nhau).

G(s) = K/(s(s + 13))hồi tiếp âm đơn vị

K =

32.Sơ đồ khốiKhó

Đối tượng G(s) = 72/(s(s + 2)) nằm trong vòng hồi tiếp âm với độ lợi cảm biến H = 2. Các cực vòng kín là số phức. Tìm phần ảo ω_d của chúng (giá trị dương), theo rad/s.

G(s) = 72/(s(s + 2))H = 2

ω_d = rad/s

33.Đáp ứng bướcTrung bình

Một hệ có hàm truyền G(s) = 234/(s² + 3s + 78) và nhận tín hiệu vào là bước nhảy đơn vị. Các cực là s = σ ± jω_d. Tìm phần thực σ.

G(s) = 234/(s² + 3s + 78)

σ =

34.Đáp ứng bướcKhó

Một vật khối lượng m = 10 kg treo trên lò xo k = 800 N/m có bộ giảm chấn nhớt c = 36 N·s/m (m·x″ + c·x′ + k·x = F). Ở trạng thái cân bằng đứng yên, một lực không đổi F = 50 N đột ngột được đặt vào. Tìm độ dịch chuyển lớn nhất x_max theo mm.

m = 10 kgk = 800 N/mc = 36 N·s/mF = 50 N

x_max = mm

35.Biểu đồ Bode và độ dự trữTrung bình

bộ lọc thông thấp RC trong hình có R = 10 kΩ, C = 100 nF. Một tín hiệu vào hình sin 1,6 kHz được đặt vào. Tìm độ lệch pha φ của v_out so với v_in, theo độ.

R = 10 kΩC = 100 nFf = 1,6 kHz

φ = °

36.Biểu đồ Bode và độ dự trữKhó

Một vòng hồi tiếp đơn vị có hàm truyền vòng hở L(s) = K/(s(s + 2)(s + 5)). Tìm độ khuếch đại K cho độ dự trữ biên 2 dB.

L(s) = K/(s(s + 2)(s + 5))GM = 2 dB

K =

37.Ổn định: Routh–Hurwitz và quỹ đạo nghiệmTrung bình

Vòng trong sơ đồ có phản hồi âm và L(s) = 18/(s(s + 1)(s + 2)). Có bao nhiêu cực vòng kín N nằm ở nửa mặt phẳng phải?

L(s) = 18/(s(s + 1)(s + 2))

N =

38.Ổn định: Routh–Hurwitz và quỹ đạo nghiệmKhó

Một vòng phản hồi đơn vị có L(s) = K(s + 10)/(s(s + 5)(s + 6)(s + 3)). Tìm điểm σ_a nơi các đường tiệm cận của quỹ đạo nghiệm cắt trục thực.

L(s) = K(s + 10)/(s(s + 5)(s + 6)(s + 3))

σ_a =

39.Sai số xác lập và điều khiển PIDTrung bình

Một quá trình G(s) = 2/(2s + 1) được điều khiển bởi độ lợi tỉ lệ K = 5 trong một vòng phản hồi đơn vị. Tìm sai số xác lập e_ss cho một bước nhảy, theo phần trăm độ lớn bước nhảy.

G(s) = 2/(2s + 1)K = 5

e_ss = %

40.Sai số xác lập và điều khiển PIDKhó

Một bộ điều khiển PI C(s) = 5 + 2/s điều khiển đối tượng G(s) = 5/((s + 1)(s + 5)) trong một vòng phản hồi đơn vị. Tìm sai số xác lập e_ss cho đầu vào tín hiệu dốc r(t) = 1t.

C(s) = 5 + 2/sG(s) = 5/((s + 1)(s + 5))r(t) = 1t

e_ss =

3Dung dịch

1.Điện trở nối tiếp và song song

Đáp số: I_R2 = 1 A

Điện trở nối tiếp và song song: khi nối tiếp, cùng một dòng điện chạy qua mỗi điện trở và R = R₁ + R₂ + …. Khi song song, mỗi điện trở có cùng điện áp và 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Mạch hình thang được rút gọn từng cặp một cho đến khi còn một điện trở tương đương duy nhất.

Gộp các điện trở từ đầu xa

Bắt đầu từ đầu xa nguồn nhất và làm ngược về phía nguồn. Các điện trở có cùng dòng điện thì mắc nối tiếp; các điện trở nối giữa cùng hai nút thì mắc song song.

R₃ + R₄ = 6 + 6 = 12 Ω

R₂ ∥ 12 = 3·12/(3+12) = 2,4 Ω

R_eq = R₁ + 2,4 = 12 + 2,4 = 14,4 Ω

Dòng điện từ nguồn

Nguồn chỉ thấy R_eq, nên định luật Ohm cho ra dòng điện nó cung cấp. Dòng điện đó chạy qua R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 18/14,4 = 1,25 A

Dòng điện qua R₂

Trừ độ sụt áp trên R₁ để có điện áp tại nút A, cũng là điện áp trên R₂.

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 18 − 1,25·12 = 3 V

I_R2 = V_A/R₂ = 3/3 = 1 A

Đáp số

I_R2 = 1 A

2.Điện trở nối tiếp và song song

Đáp số: I_R2 = 0,1132 A

Gộp các điện trở từ đầu xa

R₅ + R₆ = 4 + 4 = 8 Ω

R₄ ∥ 8 = 6,061 Ω

R₃ + 6,061 = 8,061 Ω

R₂ ∥ 8,061 = 2,186 Ω

R_eq = R₁ + 2,186 = 30 + 2,186 = 32,19 Ω

Dòng điện từ nguồn

Nguồn chỉ thấy R_eq, nên định luật Ohm cho ra dòng điện nó cung cấp. Dòng điện đó chạy qua R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 5/32,19 = 0,1553 A

Dòng điện qua R₂

Trừ độ sụt áp trên R₁ để có điện áp tại nút A, cũng là điện áp trên R₂.

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 5 − 0,1553·30 = 0,3396 V

I_R2 = V_A/R₂ = 0,3396/3 = 0,1132 A

Đáp số

I_R2 = 0,1132 A

3.Phương pháp điện thế nút

Đáp số: I₁ = −1,536 A

Phương pháp điện thế nút: chọn một nút tham chiếu, đặt tên các điện thế nút chưa biết, viết định luật dòng Kirchhoff tại mỗi nút chưa biết bằng định luật Ohm (I = ΔV/R), rồi giải hệ phương trình thu được.

KCL tại nút A

Lấy dây phía dưới làm đất. Mỗi nhánh mang dòng (V_A − V_k)/R_k ra khỏi A, trong đó V_k là điện áp của nguồn trong nhánh (bằng không với điện trở thuần). Tổng các dòng điện rời khỏi A bằng không.

(V_A − (−12))/12 + (V_A − 15)/8 + (V_A − 12)/12 = 0

Giải tìm V_A

V_A = ((−12)/12 + 15/8 + 12/12) / (1/12 + 1/8 + 1/12) = 1,875/0,2917 = 6,429 V

Dòng điện nhánh

Mũi tên hướng lên qua nhánh, vào nút A.

I₁ = ((−12) − V_A)/R₁ = ((−12) − 6,429)/12 = −1,536 A

Đáp số

I₁ = −1,536 A

Kết quả âm nghĩa là dòng điện thực chảy ngược chiều mũi tên.

4.Phương pháp điện thế nút

Đáp số: V_B = −5,628 V

Thiết lập các nút

Đất là dây dưới cùng. Các điện thế nút đã biết lấy thẳng từ các nguồn (V₁ = 5 V, V₂ = 24 V). Ẩn số: V_A, V_B.

KCL tại nút A

Dòng điện đi ra khỏi A qua các điện trở bằng dòng điện các nguồn đẩy vào A.

V_A/R₃ + (V_A − V₁)/R₁ + (V_A − V_B)/R₂ = 0

V_A/12 + (V_A − 5)/15 + (V_A − V_B)/12 = 0

0,2333·V_A − 0,08333·V_B = 0,3333

KCL tại nút B

Dòng điện đi ra khỏi B qua các điện trở bằng dòng điện các nguồn đẩy vào B.

V_B/R₅ + (V_B − V_A)/R₂ + (V_B − V₂)/R₄ = I_s

V_B/3 + (V_B − V_A)/12 + (V_B − 24)/8 = (−6)

−0,08333·V_A + 0,5417·V_B = −3

Giải

Δ = (0,2333)(0,5417) − (−0,08333)(−0,08333) = 0,1194

V_A = Δ₁/Δ = −0,06944/0,1194 = −0,5814 V

V_B = Δ₂/Δ = −0,6722/0,1194 = −5,628 V

Đáp số

V_B = −5,628 V

5.Phương pháp dòng điện mạch vòng

Đáp số: V_R1 = 7,167 V

Phương pháp dòng điện mạch vòng: gán cho mỗi ô của mạch phẳng một dòng điện vòng riêng, viết định luật điện áp Kirchhoff quanh mỗi vòng (tổng sụt áp = tổng điện áp tăng), rồi giải. Dòng nhánh là dòng mạch vòng, hoặc hiệu của hai dòng mạch vòng trên nhánh chung.

Gán các dòng điện mạch vòng

Vẽ một dòng điện theo chiều kim đồng hồ trong mỗi ô: I₁, I₂. Điện trở chung của hai mạch vòng có dòng bằng hiệu của hai dòng mạch vòng.

KVL quanh mạch vòng 1

Đi theo chiều kim đồng hồ, tổng sụt áp trên các điện trở bằng tổng điện áp nguồn tăng (từ − sang + theo chiều đi).

R₁·I₁ + R₃(I₁ − I₂) = V₁

6·I₁ + 3(I₁ − I₂) = 12

9·I₁ − 3·I₂ = 12

KVL quanh mạch vòng 2

Đi theo chiều kim đồng hồ, tổng sụt áp trên các điện trở bằng tổng điện áp nguồn tăng (từ − sang + theo chiều đi).

R₂·I₂ + R₃(I₂ − I₁) = −V₂

10·I₂ + 3(I₂ − I₁) = (−9)

−3·I₁ + 13·I₂ = −9

Giải

Δ = (9)(13) − (−3)(−3) = 108

I₁ = Δ₁/Δ = 129/108 = 1,194 A

I₂ = Δ₂/Δ = −45/108 = −0,4167 A

Đáp số

I_R1 = I₁ = 1,194 A

V_R1 = I_R1·R₁ = 1,194·6 = 7,167 V

Dòng điện mạch vòng âm chạy ngược chiều kim đồng hồ.

6.Phương pháp dòng điện mạch vòng

Đáp số: I₁ = 2,134 A

Gán các dòng điện mạch vòng

Vẽ một dòng điện theo chiều kim đồng hồ trong mỗi ô: I₁, I₂, I₃. Điện trở chung của hai mạch vòng có dòng bằng hiệu của hai dòng mạch vòng.

KVL quanh mạch vòng 1

Đi theo chiều kim đồng hồ, tổng sụt áp trên các điện trở bằng tổng điện áp nguồn tăng (từ − sang + theo chiều đi).

R₁·I₁ + R₄(I₁ − I₂) = V₁

5·I₁ + 2(I₁ − I₂) = 15

7·I₁ − 2·I₂ = 15

KVL quanh mạch vòng 2

Đi theo chiều kim đồng hồ, tổng sụt áp trên các điện trở bằng tổng điện áp nguồn tăng (từ − sang + theo chiều đi).

R₂·I₂ + R₄(I₂ − I₁) + R₅(I₂ − I₃) = 0

20·I₂ + 2(I₂ − I₁) + 10(I₂ − I₃) = 0

−2·I₁ + 32·I₂ − 10·I₃ = 0

KVL quanh mạch vòng 3

Đi theo chiều kim đồng hồ, tổng sụt áp trên các điện trở bằng tổng điện áp nguồn tăng (từ − sang + theo chiều đi).

R₃·I₃ + R₅(I₃ − I₂) = −V₂

25·I₃ + 10(I₃ − I₂) = (−18)

−10·I₂ + 35·I₃ = −18

Giải

Δ = định thức của ma trận hệ số = 7000

I₁ = Δ₁/Δ = 14940/7000 = 2,134 A

I₂ = Δ₂/Δ = −210/7000 = −0,03 A

I₃ = Δ₃/Δ = −3660/7000 = −0,5229 A

Đáp số

I₁ = 2,134 A

Dòng điện mạch vòng âm chạy ngược chiều kim đồng hồ.

7.Nguyên lý xếp chồng

Đáp số: I_R3 = 0,1538 A

Nguyên lý xếp chồng: trong mạch tuyến tính, mọi điện áp hoặc dòng điện đều bằng tổng các đáp ứng do từng nguồn độc lập tác dụng riêng. Để tắt một nguồn, thay nguồn điện áp lý tưởng bằng ngắn mạch và nguồn dòng lý tưởng bằng hở mạch. Các điện trở giữ nguyên vị trí.

Trường hợp 1 · chỉ V₁ tác dụng

Iₛ trở thành hở mạch, nên R₃ và R₄ tạo thành một nhánh nối tiếp từ A xuống đất, song song với R₂.

R₃+R₄ = 5+4 = 9 Ω

R₂ ∥ (R₃+R₄) = 6·9/(6+9) = 3,6 Ω

V_A = 18·3,6/(12+3,6) = 4,154 V

V_B = V_A·R₄/(R₃+R₄) = 4,154·4/9 = 1,846 V

I_R3′ = (V_A − V_B)/R₃ = (4,154 − 1,846)/5 = 0,4615 A

Trường hợp 2 · chỉ I_s tác dụng

V₁ trở thành ngắn mạch, nên R₁ song song với R₂. Iₛ chia tại B giữa R₄ và đường đi qua R₃.

R₁ ∥ R₂ = 12·6/(12+6) = 4 Ω

R_eq = R₄ ∥ (R₃+R₁∥R₂) = 4 ∥ 9 = 2,769 Ω

V_B = I_s·R_eq = 1·2,769 = 2,769 V

V_A = V_B·(R₁∥R₂)/(R₃+R₁∥R₂) = 2,769·4/9 = 1,231 V

I_R3″ = (V_A − V_B)/R₃ = (1,231 − 2,769)/5 = −0,3077 A

Cộng các thành phần

I_R3 = I_R3′ + I_R3″

I_R3 = 0,4615 + (−0,3077) = 0,1538 A

Kết quả âm có nghĩa là thực tế dòng điện chạy ngược chiều mũi tên.

8.Nguyên lý xếp chồng

Đáp số: I_R4 = 0,9808 A

Trường hợp 1 · chỉ V₁ tác dụng

V₂ trở thành ngắn mạch và Iₛ trở thành hở mạch. Nhìn từ A, R₃ song song với cặp nối tiếp R₂+R₄.

R₃ ∥ (R₂+R₄) = 25 ∥ 29 = 13,43 Ω

V_A = 18·13,43/(30+13,43) = 5,565 V

V_B = V_A·R₄/(R₂+R₄) = 5,565·4/29 = 0,7676 V

I_R4′ = (V_B − V₂)/R₄ = (0,7676 − 0)/4 = 0,1919 A

Trường hợp 2 · chỉ I_s tác dụng

Cả hai nguồn điện áp trở thành ngắn mạch. Iₛ chia tại B giữa R₄ (giờ nối xuống đất) và R₂ nối tiếp với R₁ ∥ R₃.

R₁ ∥ R₃ = 13,64 Ω, nên nhánh bên trái là R₂+13,64 = 38,64 Ω

R_eq = R₄ ∥ 38,64 = 3,625 Ω

V_B = I_s·R_eq = 1·3,625 = 3,625 V

V_A = V_B·13,64/38,64 = 1,279 V

I_R4″ = (V_B − V₂)/R₄ = (3,625 − 0)/4 = 0,9062 A

Trường hợp 3 · chỉ V₂ tác dụng

V₁ trở thành ngắn mạch và Iₛ trở thành hở mạch. R₁ ∥ R₃ treo từ A, nối tiếp với R₂ về B.

R₁ ∥ R₃ = 30·25/(30+25) = 13,64 Ω

V_B = V₂·(R₂+R₁∥R₃)/(R₄+R₂+R₁∥R₃) = 5·38,64/42,64 = 4,531 V

V_A = V_B·(R₁∥R₃)/(R₂+R₁∥R₃) = 4,531·13,64/38,64 = 1,599 V

I_R4‴ = (V_B − V₂)/R₄ = (4,531 − 5)/4 = −0,1173 A

Cộng các thành phần

I_R4 = I_R4′ + I_R4″ + I_R4‴

I_R4 = 0,1919 + 0,9062 + (−0,1173) = 0,9808 A

Kết quả âm có nghĩa là thực tế dòng điện chạy ngược chiều mũi tên.

9.Thévenin và Norton

Đáp số: R_th = 18,75 Ω

Định lý Thévenin: mọi mạng tuyến tính hai cực đều hoạt động như một nguồn điện áp V_th duy nhất nối tiếp với điện trở R_th. Định lý Norton cho cùng mạng đó dưới dạng nguồn dòng I_N = V_th/R_th song song với R_th.

Tìm R_th khi tắt mọi nguồn

Thay nguồn điện áp bằng ngắn mạch và nguồn dòng bằng hở mạch, rồi nhìn vào mạch từ a–b.

R₁ ∥ R₂ = 15·5/(15+5) = 3,75 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 3,75 + 15 = 18,75 Ω

10.Thévenin và Norton

Đáp số: P_L = 1,353 W

Tìm R_th khi tắt mọi nguồn

Thay nguồn điện áp bằng ngắn mạch và nguồn dòng bằng hở mạch, rồi nhìn vào mạch từ a–b.

R₁ ∥ R₂ = 6·10/(6+10) = 3,75 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 3,75 + 2 = 5,75 Ω

Tìm V_th, điện áp hở mạch

Khi a–b hở, đường duy nhất cho Iₛ là qua R₃ vào nút A. Tìm V_A bằng xếp chồng V₁ và Iₛ, rồi cộng thêm độ sụt áp trên R₃.

V_A = V₁·R₂/(R₁+R₂) + I_s·(R₁∥R₂) = 15 + (−1,5)·3,75 = 9,375 V

V_th = V_B = V_A + I_s·R₃ = 9,375 + (−1,5)·2 = 6,375 V

Nối tải vào mạch tương đương Thévenin

Nguồn Thévenin nối tiếp với R_th hoạt động giống hệt mạch gốc tại a–b, nên tải thấy một mạch vòng nối tiếp đơn giản.

I_L = V_th/(R_th + R_L) = 6,375/(5,75 + 2) = 0,8226 A

P_L = I_L²·R_L = 0,8226²·2 = 1,353 W

11.Quá độ RC và RL

Đáp số: W = 19,12 mJ

Quá độ bậc nhất: trong mạch có một tụ điện hoặc một cuộn cảm, mọi điện áp và dòng điện biến thiên theo hàm mũ từ giá trị ban đầu đến giá trị cuối: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, với τ = RC hoặc τ = L/R. Sau khoảng 5τ mạch đã ổn định.

Hằng số thời gian và dòng điện cuối

Rất lâu sau khi khóa đóng, cuộn cảm hoạt động như ngắn mạch, nên dòng điện cuối chỉ do R quyết định.

τ = L/R = 33 mH / 5 Ω = 6,6 ms

i(∞) = V_s/R = 6/5 = 1,2 A

Dòng điện tại thời điểm đã cho

i(t) = 1,2·(1 − e^−15/6,6) = 1,076 A

Năng lượng tích trữ

W = ½·L·i² = ½·33·1,076² = 19,12 mJ

Đáp số

W = 19,12 mJ

12.Quá độ RC và RL

Đáp số: t = 242,5 ms

Giá trị đầu, giá trị cuối, hằng số thời gian

Điện áp tụ điện không thể nhảy vọt, nên nó bắt đầu từ giá trị đã tích và hướng tới điện áp nguồn.

v_C(0) = 18 V, v_C(∞) = V_s = 12 V

τ = R·C = 6,8 kΩ · 100 µF = 680 ms

v_C(t) = 12 + (18 − 12)·e^−t/τ

Giải tìm thời gian

16,2 = 12 + (6)·e^−t/τ → e^−t/τ = (16,2 − 12)/(18 − 12) = 0,7

t = τ·ln((18 − 12)/(16,2 − 12)) = 680·ln(1,429) = 242,5 ms

Đáp số

t = 242,5 ms

13.Tổng trở xoay chiều và phasor

Đáp số: I = 0,3022 A

Mạch xoay chiều với phasor: điện trở, cuộn cảm và tụ điện có tổng trở lần lượt là R, jωL và 1/(jωC), với ω = 2πf. Khi nối tiếp, các tổng trở cộng như điện trở, nhưng là số phức. Dòng điện và điện áp hiệu dụng tuân theo định luật Ohm với |Z|.

Điện kháng

ω = 2πf = 2π·50 = 314,2 rad/s

X_L = ωL = 314,2·0,05 = 15,71 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(314,2·47·10⁻⁶) = 67,73 Ω

Tổng trở

Khi nối tiếp, các tổng trở cộng như số phức: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(60² + (−52,02)²) = 79,41 Ω

Dòng điện

Cùng một dòng điện chạy qua mọi phần tử của mạch nối tiếp.

I = V/|Z| = 24/79,41 = 0,3022 A

Đáp số

I = 0,3022 A

14.Tổng trở xoay chiều và phasor

Đáp số: f₀ = 107,3 Hz

Cộng hưởng

Khi cộng hưởng, cảm kháng và dung kháng triệt tiêu nhau: ωL = 1/(ωC). Tần số nguồn không ảnh hưởng.

f₀ = 1/(2π√(LC)) = 1/(2π·√(0,1·22·10⁻⁶)) = 107,3 Hz

Đáp số

f₀ = 107,3 Hz

15.Công suất xoay chiều và hệ số công suất

Đáp số: Q = 1,169 kvar

Công suất xoay chiều: công suất biểu kiến S = V·I (VA) tách thành công suất tác dụng P = S·cos φ (W), thực hiện công có ích, và công suất phản kháng Q = S·sin φ (var), dao động qua lại giữa nguồn và tải. Hệ số công suất là cos φ. Một tụ điện mắc song song cung cấp công suất phản kháng tại chỗ, nên dòng điện trên đường dây giảm với cùng công suất tác dụng.

Góc

φ = arccos(0,65) = 49,46°, tan φ = 1,169

Công suất phản kháng

Q = P·tan φ = 1·1,169 = 1,169 kvar

Đáp số

Q = 1,169 kvar

16.Công suất xoay chiều và hệ số công suất

Đáp số: P_max = 0,72 W

Phối hợp liên hợp

Điện kháng của tải triệt tiêu điện kháng của nguồn, và điện trở tải bằng điện trở nguồn.

Z_L = Z_s* = 50 − j3 Ω

Công suất cực đại

I = V_s/(2R_s) = 12/100 = 0,12 A

P_max = I²·R_L = V_s²/(4R_s) = 12²/(4·50) = 0,72 W

Đáp số

P_max = 0,72 W

17.Công suất ba pha

Đáp số: P = 4,133 kW

Điện áp pha

V_ph = 415/√3 = 239,6 V

Dòng điện pha

|Z| = √(15² + 20²) = 25 Ω

I_ph = 239,6/25 = 9,584 A

Tổng công suất tác dụng

Chỉ phần điện trở của mỗi tổng trở hấp thụ công suất tác dụng.

P = 3·I_ph²·R = 3·9,584²·15 = 4,133 kW

Đáp số

P = 4,133 kW

Kiểm tra: cos φ = R/|Z| = 0,6, và √3·V_L·I_L·cos φ cho cùng công suất.

18.Công suất ba pha

Đáp số: C_ph = 281,7 µF

Hệ ba pha cân bằng: trong nối sao (Y), điện áp dây bằng √3 lần điện áp pha, V_L = √3·V_ph, và dòng điện dây bằng dòng điện pha. Trong nối tam giác (Δ), điện áp dây bằng điện áp pha và dòng điện dây bằng √3 lần dòng điện pha, I_L = √3·I_ph. Tổng công suất bằng ba lần công suất của một pha: P = 3·V_ph·I_ph·cos φ = √3·V_L·I_L·cos φ. Bù hệ số công suất: tụ điện cung cấp công suất phản kháng tại chỗ, Q_C = P·(tan φ₁ − tan φ₂). Mỗi tụ trong ba tụ cung cấp Q_C/3 = V²·ω·C, trong đó V là điện áp trên tụ đó: V_L trong bộ nối tam giác (Δ), V_L/√3 trong bộ nối sao (Y).

Công suất phản kháng trước và sau

Công suất tác dụng không đổi, nên mỗi hệ số công suất xác định công suất phản kháng: Q = P·tan φ.

Q₁ = 100·tan(acos 0,8) = 100·0,75 = 75 kvar

Q₂ = 100·tan(acos 0,95) = 100·0,3287 = 32,87 kvar

Công suất phản kháng từ các tụ điện

Q_C = Q₁ − Q₂ = 42,13 kvar

Điện dung mỗi pha

Trong bộ nối sao (Y), mỗi tụ được nối giữa một dây pha và điểm sao.

V = 690/√3 = 398,4 V, ω = 2π·50 = 314,2 rad/s

C_ph = (Q_C/3)/(ω·V²) = 14044/(314,2·398,4²) = 281,7 µF

Đáp số

C_ph = 281,7 µF

19.Máy biến áp

Đáp số: I_LV = 520,8 A

Máy biến áp lý tưởng: điện áp tỉ lệ với số vòng dây và dòng điện theo tỉ lệ nghịch: V₁/V₂ = N₁/N₂ = a và I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a, nên công suất vào bằng công suất ra, V₁·I₁ = V₂·I₂. Một tổng trở tải Z ở thứ cấp trông như a²·Z khi nhìn từ sơ cấp.

Dòng điện định mức

Cả hai cuộn dây mang cùng công suất biểu kiến.

I_LV = S/V = 250000/480 = 520,8 A

Đáp số

I_LV = 520,8 A

20.Máy biến áp

Đáp số: P_cu,fl = 5566 W

Tổn thất của máy biến áp: tổn thất lõi (từ trễ và dòng điện xoáy) phụ thuộc vào điện áp và như nhau ở mọi tải. Tổn thất đồng ở các cuộn dây tỉ lệ với bình phương dòng điện, nên ở một phần x của tải định mức nó là x²·P_cu,fl. Hiệu suất η = P_out/(P_out + P_core + P_cu), với P_out = x·S·pf. Hiệu suất cao nhất ở tải mà tổn thất đồng bằng tổn thất lõi.

Công suất ra và công suất vào

P_out = 200·0,85 = 170 kW

P_in = 170000/0,965 = 176166 W

Tổng tổn thất và tổn thất đồng

P_loss = 176166 − 170000 = 6166 W

P_cu,fl = 6166 − 600 = 5566 W

Đáp số

P_cu,fl = 5566 W

21.Mạch khuếch đại thuật toán

Đáp số: V_out = 3,75 V

Quy tắc của op-amp lý tưởng: với hồi tiếp âm, op-amp điều khiển ngõ ra sao cho hai ngõ vào ở cùng điện áp (V₋ = V₊), và không có dòng điện chạy vào cả hai ngõ vào. Viết KCL tại ngõ vào đảo với hai sự kiện này sẽ cho ra ngõ ra.

Điện áp tại đầu vào +

V₊ = V_in·R_b/(R_a + R_b) = 2,5·10/(10 + 10) = 1,25 V

Độ khuếch đại không đảo

V₋ = V₊, và dòng điện qua R₁ cũng chạy qua R_f.

V_out = V₊·(1 + R_f/R₁) = 1,25·(1 + 2/1) = 3,75 V

Đáp số

V_out = 3,75 V

22.Mạch khuếch đại thuật toán

Đáp số: I_f = −1,89 mA

Dòng điện ngõ vào

V₋ = 0, nên mỗi điện trở ngõ vào chịu toàn bộ điện áp ngõ vào của nó.

I₁ = V₁/R₁ = −2/1 = −2 mA

I₂ = V₂/R₂ = 1,1/10 = 0,11 mA

I_f = I₁ + I₂ = −1,89 mA

Đáp số

I_f = −1,89 mA

23.Diode và transistor

Đáp số: I_Z = 55,5 mA

Bộ ổn áp Zener: một diode Zener phân cực ngược giữ điện áp V_Z của nó trong khi dòng điện còn trên mức tối thiểu I_Z,min. Điện trở nối tiếp R nhận phần chênh lệch giữa đầu vào và đầu ra: I_R = (V_in − V_Z)/R. Dòng điện đó chia giữa tải, I_L = V_Z/R_L, và Zener: I_Z = I_R − I_L. Thiết kế cho các trường hợp xấu nhất: đầu vào thấp nhất với tải lớn nhất vẫn phải còn lại I_Z,min, và đầu vào cao nhất khi không tải cho công suất Zener lớn nhất P_Z = V_Z·I_Z.

Dòng điện qua điện trở

I_R = 5,7/100 = 57 mA

Dòng điện qua tải

I_L = 3,3/2200 = 1,5 mA

Dòng điện Zener

I_Z = 57 − 1,5 = 55,5 mA

Đáp số

I_Z = 55,5 mA

24.Diode và transistor

Đáp số: P_Z,max = 979,6 mW

Dòng điện Zener trường hợp xấu nhất

I_Z = 15,8/100 = 158 mA

Công suất Zener

P_Z = 6,2·158 = 979,6 mW

Đáp số

P_Z,max = 979,6 mW

25.Hệ đếm

Đáp số: N = −23

Hệ đếm theo vị trí: mỗi chữ số có giá trị bằng giá trị của nó nhân với một lũy thừa của cơ số. Trong hệ nhị phân, các vị trí có giá trị 1, 2, 4, 8, 16, …; trong hệ thập lục phân 1, 16, 256, …, với A–F biểu diễn 10–15. Trong số bù hai 8 bit, bit ngoài cùng bên trái có giá trị −128 thay vì +128, đó là cách lưu số âm.

Cộng các giá trị vị trí

Các bit còn lại giữ giá trị dương thông thường.

−128 + 64 + 32 + 8 + 1 = −23

Đáp số

N = −23

26.Hệ đếm

Đáp số: R = 48

Đặt các bit: mỗi bit có giá trị bằng một lũy thừa của hai (128, 64, …, 1). Một chữ số hex đúng bằng bốn bit, và trong bù hai 8 bit, bit ngoài cùng bên trái có giá trị −128. Các phép toán theo bit làm việc trên từng vị trí bit riêng biệt.

Từng bit một

Dịch trái 3 vị trí di chuyển mọi bit 3 vị trí sang trái; các bit rơi ra khỏi đầu bên trái bị mất và các số không đi vào ở bên phải.

0010 0110 << 3

= 0011 0000

Giá trị của kết quả

0011 0000₂ = 48

Đáp số

R = 48

27.Logic số: cổng, bìa K và flip-flop

Đáp số: N = 4

Bìa Karnaugh: các ô được sắp xếp theo mã Gray (00, 01, 11, 10), nên các ô kề nhau, kể cả những ô qua mép, khác nhau đúng một biến. Hãy nhóm các số 1 thành hình chữ nhật gồm 1, 2, 4, 8 hoặc 16 ô, lớn nhất có thể và ít nhóm nhất có thể, cho đến khi mọi số 1 đều được phủ. Mỗi nhóm là một số hạng tích: các biến không đổi bên trong nó. Một nhóm 2ᵏ ô mất k biến. Các điều kiện tùy định (X) có thể dùng để làm nhóm lớn hơn nhưng không bắt buộc phải được phủ. Nhóm các số 0 thay vào đó sẽ cho dạng POS tối thiểu.

Nhóm các số 0

Mỗi nhóm là một hình chữ nhật gồm 2ᵏ ô; các ô ở mép kề với các ô ở mép đối diện.

(B′ + C)

(A′ + C′ + D)

(A + B′ + D′)

(A′ + B + D′)

Dạng POS tối thiểu

F = (B′ + C)(A′ + C′ + D)(A + B′ + D′)(A′ + B + D′)

N = 4

Đáp số

N = 4

28.Logic số: cổng, bìa K và flip-flop

Đáp số: N = 5

Các implicant nguyên tố

Các nhóm lớn nhất có thể tạo từ các số 1 và các X.

BD, BC, A′CD, AC′D, A′B′C′D′

Các implicant nguyên tố cốt yếu

BD, BC, A′CD, AC′D, A′B′C′D′

N = 5

Đáp số

N = 5

29.Biến đổi Laplace

Đáp số: f(1.5) = 0,4463

Biến đổi Laplace: F(s) = ∫₀^∞ f(t)·e^−st dt biến đạo hàm thành phép nhân với s: ℒ{f′} = sF(s) − f(0), ℒ{f″} = s²F(s) − s·f(0) − f′(0). Các cặp chuẩn: 1 ↔ 1/s, e^−at ↔ 1/(s + a), t·e^−at ↔ 1/(s + a)², sin ωt ↔ ω/(s² + ω²), cos ωt ↔ s/(s² + ω²), và phép dịch s → s + σ nhân hàm theo thời gian với e^−σt. Để biến đổi ngược một F(s) hữu tỉ, hãy tách thành các phân thức riêng: thặng dư của cực đơn p là A = [(s − p)·F(s)] tại s = p. Định lý giá trị cuối: f(∞) = lim_s→0 s·F(s), chỉ đúng khi mọi cực của s·F(s) nằm trong nửa mặt phẳng trái. Định lý giá trị đầu: f(0⁺) = lim_s→∞ s·F(s).

Phân tích mẫu số thành nhân tử

s² + 2s + 1 = (s + 1)²

Phân thức riêng

5s + 3 = 5(s + 1) + −2

F(s) = 5/(s + 1) − 2/(s + 1)²

Biến đổi ngược

f(t) = 5·e^−t − 2·t·e^−t

f(1,5) = (5 − 2·1,5)·e^−1,5 = 0,4463

Đáp số

f(1,5) = 0,4463

30.Biến đổi Laplace

Đáp số: y(0.2) = 3,539

Biến đổi phương trình

(s² + 8s + 15)·Y(s) = 3s + 24 + 90/s

Y(s) = (3s² + 24s + 90)/(s(s + 3)(s + 5))

Phân thức riêng

A = 90/(3·5) = 6

B = 45/((−3)·2) = −7,5

C = 45/((−5)·(−2)) = 4,5

Kết quả

y(t) = 6 − 7,5·e^−3t + 4,5·e^−5t

y(0,2) = 3,539

Đáp số

y(0,2) = 3,539

Kiểm tra: y(0) = A + B + C = 3.

31.Sơ đồ khối

Đáp số: K = 42,25

Đại số sơ đồ khối: các khối nối tiếp thì nhân (G₁·G₂), các khối song song thì cộng (G₁ + G₂), và một vòng có đường thuận G và đường hồi tiếp H rút gọn thành T = G/(1 + G·H) với hồi tiếp âm và G/(1 − G·H) với hồi tiếp dương. Rút gọn các vòng bên trong trước, rồi làm dần ra ngoài. Các cực vòng kín là nghiệm của phương trình đặc trưng 1 + G(s)H(s) = 0. Với vòng ổn định, đầu vào bậc thang có độ lớn A cho đầu ra xác lập A·T(0); với hồi tiếp đơn vị, sai số xác lập đối với bậc thang là A/(1 + K_p) với K_p = G(0).

Phương trình đặc trưng

1 + K/(s(s + 13)) = 0 → s² + 13s + K = 0

Nghiệm kép

Tam thức s² + βs + γ có nghiệm kép khi β² = 4γ.

13² = 4K → K = 169/4 = 42,25

Đáp số

K = 42,25

Khi đó cả hai cực vòng kín đều tại s = −6,5.

32.Sơ đồ khối

Đáp số: ω_d = 11,96 rad/s

Phương trình đặc trưng

s(s + 2) + 72·2 = 0 → s² + 2s + 144 = 0

Các nghiệm

s = −1 ± j·√(144 − 1) = −1 ± j11,96

ω_d = 11,96 rad/s

Đáp số

ω_d = 11,96 rad/s

33.Đáp ứng bước

Đáp số: σ = −1,5

Đáp ứng bước: một hệ bậc nhất G(s) = K/(τs + 1) đáp ứng với một bước nhảy có biên độ U là y(t) = K·U·(1 − e^−t/τ): nó đạt 63,2 % giá trị cuối K·U sau một hằng số thời gian τ và 98 % sau 4τ. Một hệ bậc hai G(s) = K·ωₙ²/(s² + 2ζωₙs + ωₙ²) có các cực s = −ζωₙ ± jω_d với ω_d = ωₙ√(1 − ζ²). Với 0 < ζ < 1, đáp ứng bước có độ vọt lố: độ vọt lố phần trăm %OS = 100·e^{−ζπ/√(1−ζ²)}, thời gian đỉnh t_p = π/ω_d, và thời gian xác lập 2 % t_s ≈ 4/(ζωₙ). So sánh mẫu số với s² + 2ζωₙs + ωₙ² để suy ra ωₙ và ζ. Với hệ khối lượng–lò xo–giảm chấn ωₙ = √(k/m) và ζ = c/(2√(km)); với mạch RLC nối tiếp ωₙ = 1/√(LC) và ζ = (R/2)·√(C/L).

So sánh với dạng chuẩn

Mẫu số phải khớp với s² + 2ζωₙs + ωₙ².

ωₙ² = 78 → ωₙ = 8,832 rad/s

2ζωₙ = 3 → ζ = 3/(2·8,832) = 0,1698

Kết quả

σ = −ζωₙ = −3/2 = −1,5

Đáp số

σ = −1,5

34.Đáp ứng bước

Đáp số: x_max = 95,28 mm

Tần số riêng và hệ số tắt dần

ωₙ = √(k/m) = √(800/10) = 8,944 rad/s

ζ = c/(2√(km)) = 36/(2·√(800·10)) = 0,2012

Kết quả

x_st = F/k = 50/800 m = 62,5 mm

%OS = 52,44 %

x_max = 62,5·(1 + 0,5244) = 95,28 mm

Đáp số

x_max = 95,28 mm

35.Biểu đồ Bode và độ dự trữ

Đáp số: φ = −84,32 °

Đáp ứng tần số: thay s = jω vào hàm truyền. Độ lớn theo decibel là 20·log₁₀|H(jω)| và pha là tổng các góc của các nhân tử ở tử trừ đi các góc của các nhân tử ở mẫu. Một bộ lọc RC hoặc RL bậc nhất có tần số góc (−3 dB) tại ω_c = 1/(RC) hoặc R/L, và f_c = ω_c/(2π); bộ lọc thông thấp cho |H| = 1/√(1 + (ω/ω_c)²) và φ = −atan(ω/ω_c). Trong biểu đồ Bode tiệm cận (đường thẳng), mỗi cực bẻ độ lớn xuống 20 dB/decade tại tần số góc của nó, mỗi điểm không bẻ nó lên 20 dB/decade, và một bộ tích phân 1/s cho −20 dB/decade ở mọi tần số. Tần số cắt biên ω_c: |L(jω)| = 1 (0 dB); độ dự trữ pha PM = 180° + ∠L(jω_c). Tần số cắt pha ω₁₈₀: ∠L(jω) = −180°; độ dự trữ biên GM = −20·log₁₀|L(jω₁₈₀)| dB. Vòng kín ổn định khi cả hai độ dự trữ đều dương.

Tần số góc

ω_c = 1/(RC) = 1/(10000·1 × 10⁻⁷) = 1000 rad/s

f_c = 159,2 Hz → f/f_c = 1600/159,2 = 10,05

Pha

φ = − atan(10,05) = −84,32°

Đáp số

φ = −84,32°

36.Biểu đồ Bode và độ dự trữ

Đáp số: K = 55,6

Tần số cắt pha

(ω/2)·(ω/5) = 1 → ω₁₈₀ = √(2·5) = 3,162 rad/s

Độ lớn tại tần số cắt pha

|L(jω₁₈₀)| = K/(ω·√(ω² + 4)·√(ω² + 25)) = K/(2·5·(2 + 5)) = K/70

Độ khuếch đại yêu cầu

70/K = 10^2/20 = 1,259

K = 70/1,259 = 55,6

Đáp số

K = 55,6

37.Ổn định: Routh–Hurwitz và quỹ đạo nghiệm

Đáp số: N = 2

Tiêu chuẩn Routh–Hurwitz: một hệ tuyến tính ổn định khi mọi nghiệm của đa thức đặc trưng của nó nằm ở nửa trái của mặt phẳng s. Viết các hệ số xen kẽ vào hai hàng đầu tiên của bảng Routh. Mỗi phần tử của một hàng mới đến từ hai hàng phía trên nó; với đa thức bậc ba a₃s³ + a₂s² + a₁s + a₀ phần tử s¹ là b₁ = (a₂·a₁ − a₃·a₀)/a₂. Số lần đổi dấu trong cột đầu tiên bằng số nghiệm ở nửa mặt phẳng phải. Với độ lợi K trong các hệ số, mọi phần tử của cột đầu phải dương: độ lợi làm phần tử s¹ bằng không là giới hạn ổn định, và hàng s² khi đó cho tần số của dao động duy trì.

Đa thức đặc trưng

s³ + 3s² + 2s + 18 = 0

Bảng Routh

s³: 1, 2

s²: 3, 18

s¹: −4

s⁰: 18

Số lần đổi dấu trong cột đầu tiên

1 → 3 → −4 → 18

N = 2

Đáp số

N = 2

Độ lợi vượt quá giới hạn K = 6, nên một cặp phức đã vượt sang nửa mặt phẳng phải.

38.Ổn định: Routh–Hurwitz và quỹ đạo nghiệm

Đáp số: σ_a = −1,333

Quỹ đạo nghiệm số: khi độ lợi K đi từ 0 đến ∞, các cực vòng kín, tức các nghiệm của 1 + K·G(s) = 0, di chuyển từ các cực vòng hở đến các điểm không vòng hở hoặc đến vô cực. Một điểm trên trục thực thuộc quỹ đạo khi số cực và điểm không thực ở bên phải nó là số lẻ. n − m nhánh đi đến vô cực theo các đường tiệm cận ở các góc (2q + 1)·180°/(n − m), xuất phát từ trọng tâm σₐ = (Σ cực − Σ điểm không)/(n − m). Các nhánh rời hoặc nhập vào trục thực tại nơi dK/ds = 0. Điều kiện góc ∠G(s) = 180° quyết định hình dạng, và điều kiện biên độ K = 1/|G(s)| cho độ lợi tại bất kỳ điểm nào của quỹ đạo.

Cực và điểm không

cực: 0, −5, −6, −3

bit không: −10

n − m = 4 − 1 = 3

Trọng tâm

σ_a = (−14 − (−10))/3 = −1,333

Đáp số

σ_a = −1,333

3 đường tiệm cận rời trọng tâm ở các góc 60°, 180°, 300°.

39.Sai số xác lập và điều khiển PID

Đáp số: e_ss = 9,091 %

Sai số xác lập: trong một vòng phản hồi đơn vị với hàm truyền vòng hở G(s), sai số là E(s) = R(s)/(1 + G(s)), và theo định lý giá trị cuối e_ss = lim_s→0 s·E(s). Loại của hệ là số cực của G(s) tại s = 0. Các hằng số sai số là K_p = lim G(s), K_v = lim s·G(s) và K_a = lim s²·G(s), đều với s → 0. Một bước nhảy có độ lớn A cho e_ss = A/(1 + K_p), một tín hiệu dốc A·t cho A/K_v và một parabol A·t²/2 cho A/K_a. Một vòng loại 0 bám theo bước nhảy với sai số hữu hạn, một vòng loại 1 bám theo nó chính xác và bám theo tín hiệu dốc với sai số hữu hạn.

Hằng số vị trí

K_p = 5·2 = 10

Sai số bước nhảy

e_ss = 100/(1 + 10) = 9,091 %

Đáp số

e_ss = 9,091 %

40.Sai số xác lập và điều khiển PID

Đáp số: e_ss = 0,5

Điều khiển P, PI và PID: bộ điều khiển C(s) = K_p + K_i/s + K_d·s tác động lên sai số. Một độ lợi tỉ lệ làm vòng nhanh hơn và giảm sai số của đối tượng loại 0, nhưng không bao giờ loại bỏ nó. Thành phần tích phân thêm một cực tại s = 0: loại của hệ tăng thêm một, và một bước nhảy được bám theo không có sai số. Thành phần vi phân thêm sự cản. Để chọn các độ lợi, viết đa thức đặc trưng vòng kín và so sánh nó với s² + 2ζω_ns + ω_n². Khi đó %OS = 100·e^{−ζπ/√(1−ζ²)}, t_p = π/ω_d với ω_d = ω_n√(1 − ζ²), và t_s ≈ 4/(ζω_n).

Hằng số vận tốc

s·C(s) = 5s + 2 → 2 khi s → 0.

K_v = 2·5/5 = 2

Sai số tín hiệu dốc

e_ss = 1/2 = 0,5

Đáp số

e_ss = 0,5

Bộ điều khiển PI loại bỏ hoàn toàn sai số bước nhảy; một tín hiệu dốc được bám theo với độ trễ không đổi.

Đây là tài liệu luyện tập độc lập. ExamProblems không liên kết với hay được xác nhận bởi tổ chức tổ chức kỳ thi này, và tên kỳ thi chỉ được dùng để mô tả nội dung. Kỳ thi FE exam do NCEES tổ chức; tổ chức này không liên kết với ExamProblems và không bảo trợ nó.

ExamProblems · examproblems.com/courses/fe-exam-electrical

Luyện thi FE Điện và Máy tính: gói ôn nước rút

1Công thức và phương pháp

Điện trở nối tiếp và song song

Phương pháp

Phương pháp điện thế nút

Phương pháp

Phương pháp dòng điện mạch vòng

Phương pháp

Nguyên lý xếp chồng

Phương pháp

Thévenin và Norton

Phương pháp

Quá độ RC và RL

Phương pháp

Tổng trở xoay chiều và phasor

Phương pháp

Công suất xoay chiều và hệ số công suất

Công suất ba pha

Máy biến áp

Mạch khuếch đại thuật toán

Diode và transistor

Hệ đếm

Logic số: cổng, bìa K và flip-flop

Phương pháp

Ổn định: Routh–Hurwitz và quỹ đạo nghiệm

Phương pháp

Sai số xác lập và điều khiển PID

Phương pháp

2Bài tập

3Dung dịch

Gộp các điện trở từ đầu xa

Dòng điện từ nguồn

Dòng điện qua R₂

Đáp số

Gộp các điện trở từ đầu xa

Dòng điện từ nguồn

Dòng điện qua R₂

Đáp số

KCL tại nút A

Giải tìm VA

Dòng điện nhánh

Đáp số

Thiết lập các nút

KCL tại nút A

KCL tại nút B

Giải

Đáp số

Gán các dòng điện mạch vòng

KVL quanh mạch vòng 1

KVL quanh mạch vòng 2

Giải

Đáp số

Gán các dòng điện mạch vòng

KVL quanh mạch vòng 1

KVL quanh mạch vòng 2

KVL quanh mạch vòng 3

Giải

Đáp số

Trường hợp 1 · chỉ V1 tác dụng

Trường hợp 2 · chỉ Is tác dụng

Cộng các thành phần

Trường hợp 1 · chỉ V1 tác dụng

Trường hợp 2 · chỉ Is tác dụng

Trường hợp 3 · chỉ V2 tác dụng

Cộng các thành phần

Tìm Rth khi tắt mọi nguồn

Tìm Rth khi tắt mọi nguồn

Tìm Vth, điện áp hở mạch

Nối tải vào mạch tương đương Thévenin

Hằng số thời gian và dòng điện cuối

Dòng điện tại thời điểm đã cho

Năng lượng tích trữ

Đáp số

Giá trị đầu, giá trị cuối, hằng số thời gian

Giải tìm thời gian

Đáp số

Điện kháng

Tổng trở

Dòng điện

Đáp số

Giải tìm V_A

Trường hợp 1 · chỉ V₁ tác dụng

Trường hợp 2 · chỉ I_s tác dụng

Trường hợp 1 · chỉ V₁ tác dụng

Trường hợp 2 · chỉ I_s tác dụng

Trường hợp 3 · chỉ V₂ tác dụng

Tìm R_th khi tắt mọi nguồn

Tìm R_th khi tắt mọi nguồn

Tìm V_th, điện áp hở mạch