Luyện thi FE Điện và Máy tính: gói ôn nước rút

Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 40 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.

Bài mới Quay lại môn học

Trong cửa sổ in, hãy chọn “Lưu dưới dạng PDF” để giữ một bản trên thiết bị của bạn.

1Công thức và phương pháp

Điện trở nối tiếp và song song

Điện trở nối tiếp: R_eq = R₁ + R₂ + …
Điện trở song song: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Hai điện trở song song: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Định luật Ohm: V = I·R
Công suất: P = V·I = I²R = V²/R

Phương pháp

Bắt đầu từ đầu của mạng xa các cực nhất.
Gộp các điện trở nối tiếp bằng cách cộng chúng, và các điện trở song song bằng 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Vẽ lại mạch sau mỗi bước.
Lặp lại cho đến khi chỉ còn một điện trở giữa hai cực.

Phương pháp điện thế nút

Định luật Kirchhoff về dòng điện: ΣI_in = ΣI_out
Dòng điện nhánh: I = (V_a − V_b)/R
Nút tham chiếu: V_ground = 0

Phương pháp

Chọn một nút tham chiếu (đất) và đặt tên cho các điện thế nút còn lại.
Viết định luật Kirchhoff về dòng tại mỗi nút chưa biết: dòng đi ra qua mỗi nhánh bằng dòng đi vào.
Biểu diễn mọi dòng nhánh dưới dạng (V_a − V_b)/R.
Giải hệ phương trình, rồi tìm bất kỳ dòng điện nào bạn cần.

Phương pháp dòng điện mạch vòng

Định luật Kirchhoff về điện áp: ΣV = 0 quanh mỗi vòng
Điện trở chung: dòng điện = I₁ − I₂
Nguồn dòng trong mạch vòng: xác định dòng điện của mạch vòng đó

Phương pháp

Vẽ một dòng điện theo chiều kim đồng hồ trong mỗi mạch vòng (ô) của mạch.
Áp dụng định luật Kirchhoff về điện áp quanh mỗi mạch vòng: tổng các sụt áp bằng không.
Trong điện trở chung của hai mạch vòng, dòng điện là hiệu của hai dòng mạch vòng.
Giải các phương trình; kết quả âm nghĩa là dòng điện chạy ngược lại.

Nguyên lý xếp chồng

Nguyên lý xếp chồng: x = x₁ + x₂ + … (one source at a time)
Nguồn điện áp đã tắt: ngắn mạch (0 V)
Nguồn dòng đã tắt: hở mạch (0 A)
Cầu chia áp: V₂ = V·R₂/(R₁ + R₂)
Cầu chia dòng: I₁ = I·R₂/(R₁ + R₂)

Phương pháp

Đếm các nguồn độc lập. Bạn sẽ giải một mạch đơn giản hơn cho mỗi nguồn.
Giữ một nguồn và tắt các nguồn còn lại: nguồn điện áp trở thành ngắn mạch (một sợi dây), nguồn dòng trở thành hở mạch (một khoảng hở).
Giải mạch đơn giản hơn để tìm điện áp hoặc dòng điện bạn cần, theo dõi chiều của nó.
Lặp lại cho mọi nguồn, rồi cộng các thành phần với dấu của chúng.

Thévenin và Norton

Điện áp Thévenin: V_th = V_{open circuit}
Điện trở Thévenin: R_th: tắt mọi nguồn, nhìn từ a–b
Dòng Norton: I_N = V_th/R_th
Dòng điện qua tải: I_L = V_th/(R_th + R_L)
Truyền công suất cực đại: R_L = R_th, P_max = V_th²/(4R_th)

Phương pháp

Bỏ tải ra và đánh dấu hai cực a và b.
Tìm điện áp hở mạch giữa a và b: đây là V_th.
Tắt mọi nguồn độc lập và tìm điện trở nhìn từ a–b: đây là R_th.
Đặt lại tải vào mạch tương đương: V_th nối tiếp với R_th.
Với mạch tương đương Norton, hãy chuyển đổi: I_N = V_th/R_th, với R_N = R_th mắc song song.

Quá độ RC và RL

Hằng số thời gian: τ = RC | τ = L/R
Đáp ứng: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Tụ điện ở chế độ một chiều: hở mạch; v_C không thể nhảy vọt
Cuộn cảm ở chế độ một chiều: ngắn mạch; i_L không thể nhảy vọt
Đã ổn định: t ≈ 5τ

Phương pháp

Tìm giá trị ban đầu ngay sau khi đóng cắt: điện áp tụ điện và dòng điện cuộn cảm không thể nhảy vọt.
Tìm giá trị cuối rất lâu sau khi đóng cắt: tụ điện hoạt động như hở mạch, cuộn cảm như ngắn mạch.
Tìm hằng số thời gian: τ = RC hoặc τ = L/R, dùng điện trở mà tụ điện hoặc cuộn cảm nhìn thấy.
Dùng x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Tổng trở xoay chiều và phasor

Tổng trở: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Tần số góc: ω = 2πf
Độ lớn và góc: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Định luật Ohm dạng phasor: V = I·Z

Phương pháp

Đổi tần số: ω = 2πf.
Tìm từng điện kháng: X_L = ωL và X_C = 1/(ωC).
Cộng các tổng trở như điện trở, với Z = R + jX.
Tìm độ lớn |Z| = √(R² + X²) và góc φ = atan(X/R), rồi dùng định luật Ohm với phasor.

Công suất xoay chiều và hệ số công suất

Công suất tác dụng: P = V·I·cos φ
Công suất phản kháng: Q = V·I·sin φ
Công suất biểu kiến: S = V·I = √(P² + Q²)
Hệ số công suất: pf = cos φ = P/S
Tụ điện bù: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(ωV²)

Công suất ba pha

Nối sao (Y): V_L = √3·V_ph, I_L = I_ph
Nối tam giác (Δ): V_L = V_ph, I_L = √3·I_ph
Tổng công suất tác dụng: P = √3·V_L·I_L·cos φ = 3·I_ph²·R
Công suất biểu kiến và phản kháng: S = √3·V_L·I_L, Q = P·tan φ
Tụ điện bù: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(3ωV²)
Điện áp trên mỗi tụ điện: Δ: V_L Y: V_L/√3
Công suất vào của động cơ: P_in = P_out/η

Máy biến áp

Tỉ số vòng dây: a = N₁/N₂ = V₁/V₂
Tỉ số dòng điện: I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a
Dòng điện định mức: I = S/V
Tổng trở quy đổi: Z₁′ = a²·Z_L
Tổn hao đồng khi non tải: P_cu = x²·P_cu,fl
Hiệu suất: η = x·S·pf/(x·S·pf + P_core + x²·P_cu,fl)
Hiệu suất cực đại: x = √(P_core/P_cu,fl)

Mạch khuếch đại thuật toán

Bộ khuếch đại đảo: V_out = −(R_f/R_in)·V_in
Bộ khuếch đại không đảo: V_out = (1 + R_f/R₁)·V_in
Bộ khuếch đại cộng: V_out = −R_f(V₁/R₁ + V₂/R₂)
Op-amp lý tưởng: V₊ = V₋, I_in = 0

Diode và transistor

Diode (sụt áp không đổi): V_D = 0,7 V when conducting
Vùng tích cực: V_BE = 0,7 V, I_C = β·I_B, I_E = (β + 1)·I_B
Phân cực cố định: I_B = (V_CC − 0,7)/R_B
Phân cực bằng cầu chia áp: I_B = (V_TH − 0,7)/(R_TH + (β + 1)R_E)
Thévenin của cầu chia áp: V_TH = V_CC·R₂/(R₁ + R₂), R_TH = R₁∥R₂
Vòng cực thu: V_CE = V_CC − I_CR_C − I_ER_E
Bão hòa: I_C(sat) = (V_CC − V_CE(sat))/R_C, I_B ≥ I_C(sat)/β

Hệ đếm

Giá trị vị trí: nhị phân 2^k, bát phân 8^k, thập lục phân 16^k
Sang thập phân: Σ d_k·b^k
Từ thập phân: chia cho cơ số, đọc các số dư từ dưới lên
Thập lục phân ↔ nhị phân: một chữ số thập lục phân = 4 bit
Số bù hai: đảo các bit và cộng 1

Logic số: cổng, bìa K và flip-flop

Các cổng cơ bản: A·B, A + B, A′, (A·B)′, (A + B)′, A ⊕ B
Các quy tắc Boole: X + X′ = 1, X·X′ = 0, X + XY = X, XY + XY′ = X
De Morgan: (X·Y)′ = X′ + Y′, (X + Y)′ = X′·Y′
Thứ tự của bìa Karnaugh: 00, 01, 11, 10 (Gray code)
Nhóm 2ᵏ ô: mất k biến
Bộ ghép kênh 4-sang-1: F = A′B′I₀ + A′BI₁ + AB′I₂ + ABI₃
Flip-flop: D: Q⁺ = D, T: Q⁺ = T ⊕ Q, JK: Q⁺ = JQ′ + K′Q
Bộ đếm: n bit: 2ⁿ trạng thái; mod-N: n nhỏ nhất thỏa 2ⁿ ≥ N; f_out = f_clk/N
Bộ đếm gợn sóng: f_max = 1/(n·t_pd)
Bộ đếm vòng và Johnson: n và 2n trạng thái

Phương pháp

Với một mạch, hãy làm từ các đầu vào đến đầu ra từng cổng một và ghi giá trị trên mọi dây, hoặc viết biểu thức của nó rồi điền bảng chân trị.
Để rút gọn, hãy đặt các số 1 (và các điều kiện tùy định là X) vào một bìa Karnaugh với hàng và cột theo mã Gray: 00, 01, 11, 10.
Hãy phủ các số 1 bằng càng ít nhóm và càng lớn càng tốt gồm 1, 2, 4, 8 hoặc 16 ô, cuộn qua mép; mỗi nhóm là một số hạng tích gồm các biến không đổi. Hãy nhóm các số 0 cho dạng POS.
Với flip-flop và bộ đếm, hãy đọc các đầu vào tại mỗi sườn xung nhịp tích cực, ghi trạng thái sau mỗi sườn, và nhớ rằng bộ đếm n bit quay vòng sau 2ⁿ trạng thái.

Ổn định: Routh–Hurwitz và quỹ đạo nghiệm

Ổn định: mọi nghiệm của đa thức đặc trưng ở nửa mặt phẳng trái
bảng Routh, phần tử s¹ của đa thức bậc ba: b₁ = (a₂a₁ − a₃a₀)/a₂
Nghiệm ở nửa mặt phẳng phải: số lần đổi dấu trong cột đầu tiên
Đa thức bậc ba s³ + a₂s² + a₁s + a₀: ổn định khi mọi a > 0 và a₂·a₁ > a₀
K/(s(s + a)(s + b)): K_max = ab(a + b), ω = √(ab)
Phương trình đặc trưng: 1 + K·G(s) = 0
Đường tiệm cận: σ_a = (Σp − Σz)/(n − m), θ = (2q + 1)·180°/(n − m)
Điểm tách và điểm nhập: dK/ds = 0
Điều kiện biên độ: K = 1/|G(s)|
Góc xuất phát: θ_d = 180° − Σ∠(from other poles) + Σ∠(from zeros)

Phương pháp

Viết đa thức đặc trưng vòng kín: mẫu số của 1 + K·G(s) = 0, sau khi nhân ra.
Đặt các hệ số xen kẽ vào hai hàng đầu tiên của bảng Routh và lập các hàng còn lại.
Đếm số lần đổi dấu trong cột đầu tiên: mỗi lần là một cực ở nửa mặt phẳng phải. Khi K có trong bảng, hãy yêu cầu mọi phần tử của cột đầu tiên giữ dương.
Với quỹ đạo nghiệm, đánh dấu các cực và điểm không, các đoạn trên trục thực, các đường tiệm cận từ trọng tâm và các điểm tách/nhập nơi dK/ds = 0. Dùng K = 1/|G(s)| cho độ lợi tại một điểm.

Sai số xác lập và điều khiển PID

Loại của hệ: số cực của G(s) tại s = 0
Hằng số sai số: K_p = lim G(s), K_v = lim s·G(s), K_a = lim s²·G(s) (s → 0)
Bước nhảy A: e_ss = A/(1 + K_p)
Tín hiệu dốc A·t: e_ss = A/K_v
Parabol A·t²/2: e_ss = A/K_a
Bộ điều khiển PID: C(s) = K_p + K_i/s + K_d·s
Mục tiêu bậc hai: s² + 2ζω_ns + ω_n²
Độ vượt quá và thời gian: %OS = 100·e^{−ζπ/√(1−ζ²)}, t_p = π/ω_d, t_s ≈ 4/(ζω_n)

Phương pháp

Đếm các cực của vòng hở C(s)·G(s) tại s = 0: đó là loại của hệ.
Tính hằng số sai số khớp với đầu vào: K_p cho bước nhảy, K_v cho tín hiệu dốc, K_a cho parabol.
Áp dụng e_ss = A/(1 + K_p), A/K_v hay A/K_a, hoặc giải nó theo độ lợi bạn cần.
Với yêu cầu về độ cản hoặc tốc độ, viết đa thức đặc trưng vòng kín và so sánh nó với s² + 2ζω_n·s + ω_n².

2Bài tập

1.Điện trở nối tiếp và song songTrung bình

Tìm dòng điện I_R1 do nguồn cung cấp, chạy qua R₁.

V₁ = 24 VR₁ = 4 ΩR₂ = 5 ΩR₃ = 3 ΩR₄ = 10 Ω

I_R1 = A

2.Điện trở nối tiếp và song songKhó

Tìm dòng điện I_R1 do nguồn cung cấp, chạy qua R₁.

V₁ = 6 VR₁ = 20 ΩR₂ = 8 ΩR₃ = 4 ΩR₄ = 15 ΩR₅ = 25 ΩR₆ = 2 Ω

I_R1 = A

3.Phương pháp điện thế nútTrung bình

Dùng phương pháp điện thế nút để tìm điện thế nút V_A (đo so với đất).

V₁ = 12 VI_s = 1,5 AR₁ = 15 ΩR₂ = 6 ΩR₃ = 2 ΩR₄ = 2 Ω

V_A = V

4.Phương pháp điện thế nútKhó

Nguồn dòng được điều chỉnh cho đến khi điện áp nút tại A là V_A = 15 V. Dùng phương pháp điện thế nút để tìm dòng nguồn I_s (chiều như hình).

V₁ = 18 VR₁ = 30 ΩR₂ = 25 ΩR₃ = 5 ΩR₄ = 25 ΩV_A = 15 V

I_s = A

5.Phương pháp dòng điện mạch vòngTrung bình

Dùng phương pháp dòng điện mạch vòng để tìm dòng điện I_R2 chạy qua R₂ theo chiều mũi tên.

V₁ = 15 VV₂ = 18 VR₁ = 15 ΩR₂ = 5 ΩR₃ = 6 Ω

I_R2 = A

6.Phương pháp dòng điện mạch vòngKhó

Dùng phương pháp dòng điện mạch vòng để tìm điện áp V_R3 trên R₃ với cực tính như hình.

V₁ = 24 VV₂ = 18 VR₁ = 2 ΩR₂ = 30 ΩR₃ = 20 ΩR₄ = 4 ΩR₅ = 25 Ω

V_R3 = V

7.Nguyên lý xếp chồngTrung bình

Dùng nguyên lý xếp chồng để tìm điện áp V_R2 trên R₂ với cực tính như hình.

V₁ = 15 VI_s = 3 AR₁ = 10 ΩR₂ = 12 ΩR₃ = 6 ΩR₄ = 8 Ω

V_R2 = V

8.Nguyên lý xếp chồngKhó

Tìm giá trị của nguồn áp V₂ (cực tính như hình) để dòng điện I_R3 qua R₃ bằng không.

V₁ = 5 VI_s = 5 AR₁ = 15 ΩR₂ = 30 ΩR₃ = 8 ΩR₄ = 5 Ω

V₂ = V

9.Thévenin và NortonTrung bình

Tìm điện áp Thévenin V_th nhìn từ cặp cực a–b.

V₁ = 24 VR₁ = 3 ΩR₂ = 4 ΩR₃ = 12 Ω

V_th = V

10.Thévenin và NortonKhó

Tìm điện áp Thévenin V_th nhìn từ cặp cực a–b.

V₁ = 30 VI_s = 1,5 AR₁ = 3 ΩR₂ = 6 ΩR₃ = 4 Ω

V_th = V

11.Quá độ RC và RLTrung bình

Cuộn cảm không có dòng điện trước khi khóa đóng tại t = 0. Tìm điện áp v_L trên cuộn cảm tại t = 1 ms.

V_s = 10 VR = 100 ΩL = 33 mHt = 1 ms

v_L = V

12.Quá độ RC và RLKhó

Công tắc đã đóng trong một thời gian dài, nên mạch ở trạng thái xác lập. Tại t = 0 công tắc mở. Tìm dòng điện i₂ qua R₂ tại t = 150 ms.

V_s = 15 VR₁ = 10 kΩR₂ = 4,7 kΩC = 22 µFt = 150 ms

i₂ = mA

13.Tổng trở xoay chiều và phasorTrung bình

Một điện trở và một cuộn cảm được mắc song song qua nguồn 24 V (hiệu dụng), 50 Hz. Tìm góc pha φ của tổng trở, theo độ (dương khi dòng điện trễ pha so với điện áp).

V = 24 V (rms)f = 50 HzR = 25 ΩL = 100 mH

φ = °

14.Tổng trở xoay chiều và phasorKhó

Một mạch RLC nối tiếp được nối với nguồn 24 V (hiệu dụng), 60 Hz. Tìm điện áp hiệu dụng V_C trên tụ điện.

V = 24 V (rms)f = 60 HzR = 25 ΩL = 50 mHC = 47 µF

V_C = V

15.Công suất xoay chiều và hệ số công suấtTrung bình

Một động cơ một pha tiêu thụ 36 kW với hệ số công suất 0,6 trễ từ nguồn 230 V. Tìm dòng điện đường dây I.

P = 36 kWpf = 0,6V = 230 V

I = A

16.Công suất xoay chiều và hệ số công suấtKhó

Một tải một pha tiêu thụ 45 kW với hệ số công suất 0,8 trễ từ nguồn 400 V, 50 Hz. Một tụ điện mắc song song nâng hệ số công suất lên 0,95. Tìm điện dung C cần thiết.

P = 45 kWpf₁ = 0,8pf₂ = 0,95V = 400 Vf = 50 Hz

C = µF

17.Công suất ba phaTrung bình

Một động cơ cảm ứng ba pha cho công suất cơ đầu ra 55 kW khi đầy tải. Ở tải này hiệu suất của nó là 88% và hệ số công suất là 0,86 trễ. Nguồn có điện áp dây 400 V. Tìm dòng điện dây I_L.

P_out = 55 kWη = 88%cos φ = 0,86V_L = 400 V

I_L = A

18.Công suất ba phaKhó

Một tải ba pha cân bằng lấy 150 kW với hệ số công suất 0,65 trễ từ nguồn 480 V (điện áp dây), 60 Hz. Một bộ tụ điện ba pha mắc song song với tải phải nâng hệ số công suất tổng lên 0,95 trễ. Công suất tác dụng giữ nguyên. Tìm tổng công suất phản kháng Q_C mà bộ tụ điện phải cung cấp, theo kvar.

P = 150 kWpf₁ = 0,65pf₂ = 0,95V_L = 480 Vf = 60 Hz

Q_C = kvar

19.Máy biến ápTrung bình

Một máy biến áp lý tưởng có tỉ số vòng dây N₁:N₂ = 20:1 được đặt 4600 V vào cuộn sơ cấp. Một điện trở 48 Ω được nối qua cuộn thứ cấp. Tìm dòng điện sơ cấp I₁.

N₁:N₂ = 20:1V₁ = 4600 VR_L = 48 Ω

I₁ = A

20.Máy biến ápKhó

Một máy biến áp một pha 75 kVA có tổn thất lõi 600 W và tổn thất đồng 1200 W ở tải định mức. Nó cấp 75% kVA định mức với hệ số công suất 0,95 trễ. Tìm tổng tổn thất P_loss theo watt ở tải này.

S = 75 kVAP_core = 600 WP_cu,fl = 1200 Wx = 0,75pf = 0,95

P_loss = W

21.Mạch khuếch đại thuật toánTrung bình

Chọn điện trở hồi tiếp R_f để bộ khuếch đại không đảo này có độ lợi điện áp bằng 21.

R₁ = 10 kΩA_v = 21

R_f = kΩ

22.Mạch khuếch đại thuật toánKhó

Bộ khuếch đại cộng dùng op-amp lý tưởng với nguồn cấp ±15 V. Tìm điện áp ngõ ra V_out.

V₁ = 0,5 VV₂ = 1,6 VR₁ = 100 kΩR₂ = 2 kΩR_f = 2 kΩ

V_out = V

23.Diode và transistorTrung bình

Một bộ ổn áp Zener 12 V được cấp từ 24 V qua 470 Ω và cấp điện cho tải 1500 Ω. Tìm dòng điện Zener I_Z.

V_in = 24 VV_Z = 12 VR = 470 ΩR_L = 1500 Ω

I_Z = mA

24.Diode và transistorKhó

Một bộ ổn áp Zener 6,2 V phải cấp tới 50 mA cho tải. Đầu vào có thể giảm xuống 9 V, và Zener cần ít nhất 2 mA để ổn áp. Tìm điện trở nối tiếp lớn nhất R_max để nó còn ổn áp.

V_in,min = 9 VV_Z = 6,2 VI_L,max = 50 mAI_Z,min = 2 mA

R_max = Ω

25.Hệ đếmTrung bình

Đặt các bit để lưu −5 theo bù hai 8 bit. Đọc như một số không dấu, giá trị U của mẫu là bao nhiêu?

N = −58 bit

U =

26.Hệ đếmKhó

Đặt các bit thành kết quả 8 bit của 1110 1010 XOR 0001 1011. Giá trị R của kết quả theo hệ thập phân là bao nhiêu?

1110 1010XOR0001 1011

R =

27.Logic số: cổng, bìa K và flip-flopTrung bình

Một bộ ghép kênh 4-sang-1 có các đầu vào chọn S₁ = A và S₀ = B, và các đầu vào dữ liệu nối với I₀ = C, I₁ = 1, I₂ = 0, I₃ = 1. Với bao nhiêu trong 8 tổ hợp của A, B và C thì đầu ra F = 1? Hãy tìm N.

I₀ = CI₁ = 1I₂ = 0I₃ = 1

N =

28.Logic số: cổng, bìa K và flip-flopKhó

Một thanh ghi dịch 4 bit Q₃Q₂Q₁Q₀ đang giữ 0101. Ở mỗi sườn xung nhịp các bit dịch sang phải một vị trí (Q₃ → Q₂ → Q₁ → Q₀, Q₀ bị mất) và đầu vào nối tiếp đi vào Q₃. Đầu vào nối tiếp là 0, 1, 1, 1, 0, 0 ở các sườn 6. Hãy cho trạng thái cuối Q = Q₃Q₂Q₁Q₀ dưới dạng số thập phân.

Q₃Q₂Q₁Q₀ = 01010, 1, 1, 1, 0, 0

Q =

29.Biến đổi LaplaceTrung bình

Tìm f(t) cho F(s) = (2s + 28)/(s² + 4s + 4) và tính f(1).

F(s) = (2s + 28)/(s² + 4s + 4)t = 1 s

f(1) =

30.Biến đổi LaplaceKhó

Giải y″ + 7y′ + 10y = 0 với y(0) = −6 và y′(0) = 11 bằng biến đổi Laplace, và tìm y(0,5).

y″ + 7y′ + 10y = 0y(0) = −6y′(0) = 11t = 0,5 s

y(0.5) =

31.Sơ đồ khốiTrung bình

Đối tượng G(s) = K/((s + 4)(s + 9)) nằm trong vòng hồi tiếp âm đơn vị. Tìm độ lợi K để vòng kín tắt dần tới hạn (hai cực thực bằng nhau).

G(s) = K/((s + 4)(s + 9))hồi tiếp âm đơn vị

K =

32.Sơ đồ khốiKhó

Đối tượng G(s) = 18/(s(s + 5)) nằm trong vòng hồi tiếp âm với độ lợi cảm biến H = 2. Các cực vòng kín là số phức. Tìm phần ảo ω_d của chúng (giá trị dương), theo rad/s.

G(s) = 18/(s(s + 5))H = 2

ω_d = rad/s

33.Đáp ứng bướcTrung bình

Một hệ có hàm truyền G(s) = 150/(s² + 2s + 50) và nhận tín hiệu vào là bước nhảy đơn vị. Tìm thời gian đỉnh t_p của đáp ứng bước.

G(s) = 150/(s² + 2s + 50)

t_p = s

34.Đáp ứng bướcKhó

Đáp ứng bước của một hệ bậc hai không có điểm không có độ vọt lố 12 %, và đỉnh đầu tiên xuất hiện tại t = 0,25 s. Tìm tần số riêng ω_n.

%OS = 12 %t_p = 0,25 s

ω_n = rad/s

35.Biểu đồ Bode và độ dự trữTrung bình

bộ lọc thông thấp RC trong hình có R = 10 kΩ, C = 2,2 nF. Một tín hiệu vào hình sin 72 kHz được đặt vào. Tìm độ khuếch đại |H| = |v_out/v_in| theo dB.

R = 10 kΩC = 2,2 nFf = 72 kHz

|H| = dB

36.Biểu đồ Bode và độ dự trữKhó

Một vòng hồi tiếp đơn vị có hàm truyền vòng hở L(s) = 108/(s(s + 4)). Tìm tần số cắt biên ω_c, tại đó |L(jω)| = 1.

L(s) = 108/(s(s + 4))

ω_c = rad/s

37.Ổn định: Routh–Hurwitz và quỹ đạo nghiệmTrung bình

Đối tượng G(s) = (s + 1)/((s − 1)(s + 1)) có một cực không ổn định tại s = 1. Một độ lợi tỉ lệ K đóng vòng phản hồi đơn vị quanh nó. Tìm độ lợi nhỏ nhất K_min làm vòng kín ổn định.

G(s) = (s + 1)/((s − 1)(s + 1))

K_min =

38.Ổn định: Routh–Hurwitz và quỹ đạo nghiệmKhó

Quỹ đạo nghiệm của L(s) = K/(s(s + 10)) được cho. Tìm độ lợi K để các cực vòng kín có tỷ số cản ζ = 0,707.

L(s) = K/(s(s + 10))ζ = 0,707

K =

39.Sai số xác lập và điều khiển PIDTrung bình

Một quá trình G(s) = 4/(2s + 1) được điều khiển bởi độ lợi tỉ lệ K = 10 trong một vòng phản hồi đơn vị. Tìm sai số xác lập e_ss cho một bước nhảy, theo phần trăm độ lớn bước nhảy.

G(s) = 4/(2s + 1)K = 10

e_ss = %

40.Sai số xác lập và điều khiển PIDKhó

Một bộ điều khiển tỉ lệ K điều khiển đối tượng G(s) = 4/(s(s + 10)) trong một vòng phản hồi đơn vị. Tìm độ lợi K cho vòng kín có tỷ số cản ζ = 0,707.

G(s) = 4/(s(s + 10))ζ = 0,707

K =

3Dung dịch

1.Điện trở nối tiếp và song song

Đáp số: I_R1 = 3,153 A

Điện trở nối tiếp và song song: khi nối tiếp, cùng một dòng điện chạy qua mỗi điện trở và R = R₁ + R₂ + …. Khi song song, mỗi điện trở có cùng điện áp và 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Mạch hình thang được rút gọn từng cặp một cho đến khi còn một điện trở tương đương duy nhất.

Gộp các điện trở từ đầu xa

Bắt đầu từ đầu xa nguồn nhất và làm ngược về phía nguồn. Các điện trở có cùng dòng điện thì mắc nối tiếp; các điện trở nối giữa cùng hai nút thì mắc song song.

R₃ + R₄ = 3 + 10 = 13 Ω

R₂ ∥ 13 = 5·13/(5+13) = 3,611 Ω

R_eq = R₁ + 3,611 = 4 + 3,611 = 7,611 Ω

Dòng điện từ nguồn

Nguồn chỉ thấy R_eq, nên định luật Ohm cho ra dòng điện nó cung cấp. Dòng điện đó chạy qua R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 24/7,611 = 3,153 A

Đáp số

I_R1 = 3,153 A

2.Điện trở nối tiếp và song song

Đáp số: I_R1 = 0,2396 A

Gộp các điện trở từ đầu xa

R₅ + R₆ = 25 + 2 = 27 Ω

R₄ ∥ 27 = 9,643 Ω

R₃ + 9,643 = 13,64 Ω

R₂ ∥ 13,64 = 5,043 Ω

R_eq = R₁ + 5,043 = 20 + 5,043 = 25,04 Ω

Dòng điện từ nguồn

Nguồn chỉ thấy R_eq, nên định luật Ohm cho ra dòng điện nó cung cấp. Dòng điện đó chạy qua R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 6/25,04 = 0,2396 A

Đáp số

I_R1 = 0,2396 A

3.Phương pháp điện thế nút

Đáp số: V_A = 3,207 V

Phương pháp điện thế nút: chọn một nút tham chiếu, đặt tên các điện thế nút chưa biết, viết định luật dòng Kirchhoff tại mỗi nút chưa biết bằng định luật Ohm (I = ΔV/R), rồi giải hệ phương trình thu được.

Thiết lập các nút

Đất là dây dưới cùng. Các điện thế nút đã biết lấy thẳng từ các nguồn (V₁ = 12 V). Ẩn số: V_A, V_B.

KCL tại nút A

Dòng điện đi ra khỏi A qua các điện trở bằng dòng điện các nguồn đẩy vào A.

V_A/R₂ + (V_A − V₁)/R₁ + (V_A − V_B)/R₃ = 0

V_A/6 + (V_A − 12)/15 + (V_A − V_B)/2 = 0

0,7333·V_A − 0,5·V_B = 0,8

KCL tại nút B

Dòng điện đi ra khỏi B qua các điện trở bằng dòng điện các nguồn đẩy vào B.

V_B/R₄ + (V_B − V_A)/R₃ = I_s

V_B/2 + (V_B − V_A)/2 = 1,5

−0,5·V_A + V_B = 1,5

Giải

Δ = (0,7333)(1) − (−0,5)(−0,5) = 0,4833

V_A = Δ₁/Δ = 1,55/0,4833 = 3,207 V

V_B = Δ₂/Δ = 1,5/0,4833 = 3,103 V

Đáp số

V_A = 3,207 V

4.Phương pháp điện thế nút

Đáp số: I_s = 1,2 A

KCL tại nút A

V_A đã biết, nên phương trình này cho V_B.

(V_A − V₁)/R₁ + V_A/R₂ + (V_A − V_B)/R₃ = 0

(15 − 18)/30 + 15/25 = (V_B − 15)/5

0,5 = (V_B − 15)/5 → V_B = 17,5 V

KCL tại nút B

Các dòng điện rời khỏi B qua các điện trở bằng dòng điện do các nguồn đẩy vào B.

I_s = (V_B − V_A)/R₃ + V_B/R₄ = (17,5 − 15)/5 + 17,5/25 = 1,2 A

Đáp số

I_s = 1,2 A

5.Phương pháp dòng điện mạch vòng

Đáp số: I_R2 = −1,477 A

Phương pháp dòng điện mạch vòng: gán cho mỗi ô của mạch phẳng một dòng điện vòng riêng, viết định luật điện áp Kirchhoff quanh mỗi vòng (tổng sụt áp = tổng điện áp tăng), rồi giải. Dòng nhánh là dòng mạch vòng, hoặc hiệu của hai dòng mạch vòng trên nhánh chung.

Gán các dòng điện mạch vòng

Vẽ một dòng điện theo chiều kim đồng hồ trong mỗi ô: I₁, I₂. Điện trở chung của hai mạch vòng có dòng bằng hiệu của hai dòng mạch vòng.

KVL quanh mạch vòng 1

Đi theo chiều kim đồng hồ, tổng sụt áp trên các điện trở bằng tổng điện áp nguồn tăng (từ − sang + theo chiều đi).

R₁·I₁ + R₃(I₁ − I₂) = V₁

15·I₁ + 6(I₁ − I₂) = 15

21·I₁ − 6·I₂ = 15

KVL quanh mạch vòng 2

Đi theo chiều kim đồng hồ, tổng sụt áp trên các điện trở bằng tổng điện áp nguồn tăng (từ − sang + theo chiều đi).

R₂·I₂ + R₃(I₂ − I₁) = −V₂

5·I₂ + 6(I₂ − I₁) = (−18)

−6·I₁ + 11·I₂ = −18

Giải

Δ = (21)(11) − (−6)(−6) = 195

I₁ = Δ₁/Δ = 57/195 = 0,2923 A

I₂ = Δ₂/Δ = −288/195 = −1,477 A

Đáp số

I_R2 = I₂ = −1,477 A

Dòng điện mạch vòng âm chạy ngược chiều kim đồng hồ.

6.Phương pháp dòng điện mạch vòng

Đáp số: V_R3 = −6,429 V

Gán các dòng điện mạch vòng

Vẽ một dòng điện theo chiều kim đồng hồ trong mỗi ô: I₁, I₂, I₃. Điện trở chung của hai mạch vòng có dòng bằng hiệu của hai dòng mạch vòng.

KVL quanh mạch vòng 1

Đi theo chiều kim đồng hồ, tổng sụt áp trên các điện trở bằng tổng điện áp nguồn tăng (từ − sang + theo chiều đi).

R₁·I₁ + R₄(I₁ − I₂) = V₁

2·I₁ + 4(I₁ − I₂) = 24

6·I₁ − 4·I₂ = 24

KVL quanh mạch vòng 2

Đi theo chiều kim đồng hồ, tổng sụt áp trên các điện trở bằng tổng điện áp nguồn tăng (từ − sang + theo chiều đi).

R₂·I₂ + R₄(I₂ − I₁) + R₅(I₂ − I₃) = 0

30·I₂ + 4(I₂ − I₁) + 25(I₂ − I₃) = 0

−4·I₁ + 59·I₂ − 25·I₃ = 0

KVL quanh mạch vòng 3

Đi theo chiều kim đồng hồ, tổng sụt áp trên các điện trở bằng tổng điện áp nguồn tăng (từ − sang + theo chiều đi).

R₃·I₃ + R₅(I₃ − I₂) = −V₂

20·I₃ + 25(I₃ − I₂) = (−18)

−25·I₂ + 45·I₃ = −18

Giải

Δ = định thức của ma trận hệ số = 11460

I₁ = Δ₁/Δ = 46920/11460 = 4,094 A

I₂ = Δ₂/Δ = 1620/11460 = 0,1414 A

I₃ = Δ₃/Δ = −3684/11460 = −0,3215 A

Đáp số

I_R3 = I₃ = −0,3215 A

V_R3 = I_R3·R₃ = −0,3215·20 = −6,429 V

Dòng điện mạch vòng âm chạy ngược chiều kim đồng hồ.

7.Nguyên lý xếp chồng

Đáp số: V_R2 = −12,62 V

Nguyên lý xếp chồng: trong mạch tuyến tính, mọi điện áp hoặc dòng điện đều bằng tổng các đáp ứng do từng nguồn độc lập tác dụng riêng. Để tắt một nguồn, thay nguồn điện áp lý tưởng bằng ngắn mạch và nguồn dòng lý tưởng bằng hở mạch. Các điện trở giữ nguyên vị trí.

Trường hợp 1 · chỉ V₁ tác dụng

Iₛ trở thành hở mạch, nên R₃ và R₄ tạo thành một nhánh nối tiếp từ A xuống đất, song song với R₂.

R₃+R₄ = 6+8 = 14 Ω

R₂ ∥ (R₃+R₄) = 12·14/(12+14) = 6,462 Ω

V_A = 15·6,462/(10+6,462) = 5,888 V

V_B = V_A·R₄/(R₃+R₄) = 5,888·8/14 = 3,364 V

V_R2′ = 0 − V_A = 0 − 5,888 = −5,888 V

Trường hợp 2 · chỉ I_s tác dụng

V₁ trở thành ngắn mạch, nên R₁ song song với R₂. Iₛ chia tại B giữa R₄ và đường đi qua R₃.

R₁ ∥ R₂ = 10·12/(10+12) = 5,455 Ω

R_eq = R₄ ∥ (R₃+R₁∥R₂) = 8 ∥ 11,45 = 4,71 Ω

V_B = I_s·R_eq = 3·4,71 = 14,13 V

V_A = V_B·(R₁∥R₂)/(R₃+R₁∥R₂) = 14,13·5,455/11,45 = 6,729 V

V_R2″ = 0 − V_A = 0 − 6,729 = −6,729 V

Cộng các thành phần

V_R2 = V_R2′ + V_R2″

V_R2 = (−5,888) + (−6,729) = −12,62 V

Kết quả âm có nghĩa là thực tế cực tính ngược với cực tính đã đánh dấu.

8.Nguyên lý xếp chồng

Đáp số: V₂ = 13,33 V

Trường hợp 1 · V₁ tác dụng riêng

V₂ trở thành ngắn mạch và Iₛ trở thành hở mạch. Nhìn từ A, R₃ song song với cặp nối tiếp R₂+R₄.

R₃ ∥ (R₂+R₄) = 8 ∥ 35 = 6,512 Ω

V_A = 5·6,512/(15+6,512) = 1,514 V

V_B = V_A·R₄/(R₂+R₄) = 1,514·5/35 = 0,2162 V

Trường hợp 2 · I_s tác dụng riêng

Cả hai nguồn điện áp trở thành ngắn mạch. Iₛ chia tại B giữa R₄ (giờ nối xuống đất) và R₂ nối tiếp với R₁ ∥ R₃. Mũi tên của Iₛ hướng xuống, ra xa khỏi nút của nó, nên Iₛ lấy dòng điện ra khỏi nút đó: số hạng của nó có dấu trừ.

R₁ ∥ R₃ = 5,217 Ω, nên nhánh bên trái là R₂+5,217 = 35,22 Ω

R_eq = R₄ ∥ 35,22 = 4,378 Ω

V_B = −I_s·R_eq = −5·4,378 = −21,89 V

V_A = V_B·5,217/35,22 = −3,243 V

Trường hợp 3 · V₂ tác dụng riêng, trên mỗi vôn

V₁ trở thành ngắn mạch và Iₛ trở thành hở mạch. R₁ ∥ R₃ treo từ A, nối tiếp với R₂ về B.

R₁ ∥ R₃ = 5,217 Ω

V_A‴ = V₂·5,217/(5 + 30 + 5,217) = 0,1297·V₂

Cho V_A bằng không

Với V_A = 0, không có điện áp trên R₃, nên dòng điện qua nó bằng không.

V_A′ + V_A″ + V_A‴ = 1,514 + (−3,243) + 0,1297·V₂ = 0

V₂ = 1,73/0,1297 = 13,33 V

Đáp số

V₂ = 13,33 V

9.Thévenin và Norton

Đáp số: V_th = 13,71 V

Định lý Thévenin: mọi mạng tuyến tính hai cực đều hoạt động như một nguồn điện áp V_th duy nhất nối tiếp với điện trở R_th. Định lý Norton cho cùng mạng đó dưới dạng nguồn dòng I_N = V_th/R_th song song với R_th.

Tìm R_th khi tắt mọi nguồn

Thay nguồn điện áp bằng ngắn mạch và nguồn dòng bằng hở mạch, rồi nhìn vào mạch từ a–b.

R₁ ∥ R₂ = 3·4/(3+4) = 1,714 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 1,714 + 12 = 13,71 Ω

Tìm V_th, điện áp hở mạch

Khi a–b hở, không có dòng điện qua R₃, nên không có sụt áp trên nó và V_b = V_A. R₁ và R₂ tạo thành một cầu chia áp.

V_th = V₁·R₂/(R₁+R₂) = 24·4/(3+4) = 13,71 V

10.Thévenin và Norton

Đáp số: V_th = 29 V

Tìm R_th khi tắt mọi nguồn

Thay nguồn điện áp bằng ngắn mạch và nguồn dòng bằng hở mạch, rồi nhìn vào mạch từ a–b.

R₁ ∥ R₂ = 3·6/(3+6) = 2 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 2 + 4 = 6 Ω

Tìm V_th, điện áp hở mạch

Khi a–b hở, đường duy nhất cho Iₛ là qua R₃ vào nút A. Tìm V_A bằng xếp chồng V₁ và Iₛ, rồi cộng thêm độ sụt áp trên R₃.

V_A = V₁·R₂/(R₁+R₂) + I_s·(R₁∥R₂) = 20 + 1,5·2 = 23 V

V_th = V_B = V_A + I_s·R₃ = 23 + 1,5·4 = 29 V

11.Quá độ RC và RL

Đáp số: v_L = 0,483 V

Quá độ bậc nhất: trong mạch có một tụ điện hoặc một cuộn cảm, mọi điện áp và dòng điện biến thiên theo hàm mũ từ giá trị ban đầu đến giá trị cuối: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, với τ = RC hoặc τ = L/R. Sau khoảng 5τ mạch đã ổn định.

Hằng số thời gian và dòng điện cuối

Rất lâu sau khi khóa đóng, cuộn cảm hoạt động như ngắn mạch, nên dòng điện cuối chỉ do R quyết định.

τ = L/R = 33 mH / 100 Ω = 0,33 ms

i(∞) = V_s/R = 10/100 = 0,1 A

Điện áp cuộn cảm

Tại t = 0, toàn bộ điện áp nguồn xuất hiện trên cuộn cảm; sau đó nó giảm dần về không.

v_L(t) = V_s·e^−t/τ = 10·e^−1/0,33 = 0,483 V

Đáp số

v_L = 0,483 V

12.Quá độ RC và RL

Đáp số: i₂ = 0,2392 mA

Điện áp ban đầu của tụ điện

Ở trạng thái xác lập, tụ điện là mạch hở, nên R₁ và R₂ tạo thành bộ chia áp. Điện áp tụ điện không thể nhảy khi công tắc mở.

v_C(0) = 15·4,7/(10 + 4,7) = 4,796 V

Hằng số thời gian sau khi công tắc mở

τ = R₂·C = 4,7·22 = 103,4 ms

Sự phóng điện

v_C(t) = 4,796·e^−150/103,4 = 1,124 V

i₂ = v_C/R₂ = 1,124/4,7 = 0,2392 mA

Đáp số

i₂ = 0,2392 mA

13.Tổng trở xoay chiều và phasor

Đáp số: φ = 38,51 °

Mạch xoay chiều với phasor: điện trở, cuộn cảm và tụ điện có tổng trở lần lượt là R, jωL và 1/(jωC), với ω = 2πf. Khi nối tiếp, các tổng trở cộng như điện trở, nhưng là số phức. Dòng điện và điện áp hiệu dụng tuân theo định luật Ohm với |Z|.

Điện kháng

X_L = ωL = 2π·50·0,1 = 31,42 Ω

Các dòng điện nhánh

Cả hai nhánh được nối thẳng qua nguồn, nên mỗi nhánh chịu toàn bộ điện áp V.

I_R = V/R = 24/25 = 0,96 A

I_X = V/X_L = 24/31,42 = 0,7639 A

Tổng dòng điện

Dòng điện qua điện trở cùng pha với V và dòng điện kháng lệch pha 90°, nên chúng cộng lại như các cạnh của một tam giác vuông.

I = √(I_R² + I_X²) = √(0,96² + 0,7639²) = 1,227 A

Góc pha

Dòng điện cuộn cảm trễ pha so với V, nên tổng dòng điện trễ pha và góc là số dương.

φ = arctan(I_X/I_R) = arctan(0,7639/0,96) = 38,51°

Đáp số

φ = 38,51°

14.Tổng trở xoay chiều và phasor

Đáp số: V_C = 30 V

Điện kháng

ω = 2πf = 2π·60 = 377 rad/s

X_L = ωL = 377·0,05 = 18,85 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(377·47·10⁻⁶) = 56,44 Ω

Tổng trở

Khi nối tiếp, các tổng trở cộng như số phức: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(25² + (−37,59)²) = 45,14 Ω

Dòng điện

Cùng một dòng điện chạy qua mọi phần tử của mạch nối tiếp.

I = V/|Z| = 24/45,14 = 0,5316 A

Điện áp trên tụ điện

V_C = I·X_C = 0,5316·56,44 = 30 V

Đáp số

V_C = 30 V

15.Công suất xoay chiều và hệ số công suất

Đáp số: I = 260,9 A

Công suất xoay chiều: công suất biểu kiến S = V·I (VA) tách thành công suất tác dụng P = S·cos φ (W), thực hiện công có ích, và công suất phản kháng Q = S·sin φ (var), dao động qua lại giữa nguồn và tải. Hệ số công suất là cos φ. Một tụ điện mắc song song cung cấp công suất phản kháng tại chỗ, nên dòng điện trên đường dây giảm với cùng công suất tác dụng.

Dòng điện đường dây

Chỉ phần công suất tác dụng sinh công, nên hãy chia cho hệ số công suất.

I = P/(V·cos φ) = 36000/(230·0,6) = 260,9 A

Đáp số

I = 260,9 A

16.Công suất xoay chiều và hệ số công suất

Đáp số: C = 377,2 µF

Công suất phản kháng trước và sau

Công suất tác dụng P không đổi; chỉ công suất phản kháng lấy từ nguồn thay đổi.

Q₁ = P·tan φ₁ = 45·tan(36,87°) = 33,75 kvar

Q₂ = P·tan φ₂ = 45·tan(18,19°) = 14,79 kvar

Q_C = Q₁ − Q₂ = 18,96 kvar

Điện dung

Một tụ điện mắc qua nguồn cung cấp Q = V²·ωC.

C = Q_C/(2πf·V²) = 18959/(2π·50·400²) = 377,2 µF

Đáp số

C = 377,2 µF

17.Công suất ba pha

Đáp số: I_L = 104,9 A

Công suất điện đầu vào

P_in = P_out/η = 55/0,88 = 62,5 kW

Dòng điện đường dây

I_L = P_in/(√3·V_L·cos φ) = 62500/(√3·400·0,86) = 104,9 A

Đáp số

I_L = 104,9 A

18.Công suất ba pha

Đáp số: Q_C = 126,1 kvar

Hệ ba pha cân bằng: trong nối sao (Y), điện áp dây bằng √3 lần điện áp pha, V_L = √3·V_ph, và dòng điện dây bằng dòng điện pha. Trong nối tam giác (Δ), điện áp dây bằng điện áp pha và dòng điện dây bằng √3 lần dòng điện pha, I_L = √3·I_ph. Tổng công suất bằng ba lần công suất của một pha: P = 3·V_ph·I_ph·cos φ = √3·V_L·I_L·cos φ. Bù hệ số công suất: tụ điện cung cấp công suất phản kháng tại chỗ, Q_C = P·(tan φ₁ − tan φ₂). Mỗi tụ trong ba tụ cung cấp Q_C/3 = V²·ω·C, trong đó V là điện áp trên tụ đó: V_L trong bộ nối tam giác (Δ), V_L/√3 trong bộ nối sao (Y).

Công suất phản kháng trước và sau

Công suất tác dụng không đổi, nên mỗi hệ số công suất xác định công suất phản kháng: Q = P·tan φ.

Q₁ = 150·tan(acos 0,65) = 150·1,169 = 175,4 kvar

Q₂ = 150·tan(acos 0,95) = 150·0,3287 = 49,3 kvar

Công suất phản kháng từ các tụ điện

Q_C = Q₁ − Q₂ = 126,1 kvar

Đáp số

Q_C = 126,1 kvar

19.Máy biến áp

Đáp số: I₁ = 0,2396 A

Máy biến áp lý tưởng: điện áp tỉ lệ với số vòng dây và dòng điện theo tỉ lệ nghịch: V₁/V₂ = N₁/N₂ = a và I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a, nên công suất vào bằng công suất ra, V₁·I₁ = V₂·I₂. Một tổng trở tải Z ở thứ cấp trông như a²·Z khi nhìn từ sơ cấp.

Điện áp và dòng điện thứ cấp

V₂ = 4600/20 = 230 V

I₂ = 230/48 = 4,792 A

Dòng điện sơ cấp

Máy biến áp lý tưởng không có tổn thất: V₁·I₁ = V₂·I₂.

I₁ = I₂/20 = 0,2396 A

Đáp số

I₁ = 0,2396 A

Kiểm tra: tải nhìn từ sơ cấp là a²·R_L = 19200 Ω, và 4600/19200 cho cùng dòng điện.

20.Máy biến áp

Đáp số: P_loss = 1275 W

Tổn thất của máy biến áp: tổn thất lõi (từ trễ và dòng điện xoáy) phụ thuộc vào điện áp và như nhau ở mọi tải. Tổn thất đồng ở các cuộn dây tỉ lệ với bình phương dòng điện, nên ở một phần x của tải định mức nó là x²·P_cu,fl. Hiệu suất η = P_out/(P_out + P_core + P_cu), với P_out = x·S·pf. Hiệu suất cao nhất ở tải mà tổn thất đồng bằng tổn thất lõi.

Tổn thất đồng ở tải này

P_cu = x²·P_cu,fl = 0,5625·1200 = 675 W

Tổng tổn thất

Tổn thất lõi như nhau ở mọi tải.

P_loss = 600 + 675 = 1275 W

Đáp số

P_loss = 1275 W

Hiệu suất ở tải này là η = 97,67%.

21.Mạch khuếch đại thuật toán

Đáp số: R_f = 200 kΩ

Quy tắc của op-amp lý tưởng: với hồi tiếp âm, op-amp điều khiển ngõ ra sao cho hai ngõ vào ở cùng điện áp (V₋ = V₊), và không có dòng điện chạy vào cả hai ngõ vào. Viết KCL tại ngõ vào đảo với hai sự kiện này sẽ cho ra ngõ ra.

Độ lợi của bộ khuếch đại không đảo

V₋ = V₊ = V_in, và dòng điện qua R₁ cũng chạy qua R_f, nên V_out = V_in·(1 + R_f/R₁).

A_v = 1 + R_f/R₁

R_f = (21 − 1)·10 = 200 kΩ

Đáp số

R_f = 200 kΩ

22.Mạch khuếch đại thuật toán

Đáp số: V_out = −1,61 V

Dòng điện ngõ vào

V₋ = 0, nên mỗi điện trở ngõ vào chịu toàn bộ điện áp ngõ vào của nó.

I₁ = V₁/R₁ = 0,5/100 = 0,005 mA

I₂ = V₂/R₂ = 1,6/2 = 0,8 mA

I_f = I₁ + I₂ = 0,805 mA

Điện áp ngõ ra

V_out = −R_f·I_f = −2·0,805 = −1,61 V

Đáp số

V_out = −1,61 V

23.Diode và transistor

Đáp số: I_Z = 17,53 mA

Bộ ổn áp Zener: một diode Zener phân cực ngược giữ điện áp V_Z của nó trong khi dòng điện còn trên mức tối thiểu I_Z,min. Điện trở nối tiếp R nhận phần chênh lệch giữa đầu vào và đầu ra: I_R = (V_in − V_Z)/R. Dòng điện đó chia giữa tải, I_L = V_Z/R_L, và Zener: I_Z = I_R − I_L. Thiết kế cho các trường hợp xấu nhất: đầu vào thấp nhất với tải lớn nhất vẫn phải còn lại I_Z,min, và đầu vào cao nhất khi không tải cho công suất Zener lớn nhất P_Z = V_Z·I_Z.

Dòng điện qua điện trở

I_R = 12/470 = 25,53 mA

Dòng điện qua tải

I_L = 12/1500 = 8 mA

Dòng điện Zener

I_Z = 25,53 − 8 = 17,53 mA

Đáp số

I_Z = 17,53 mA

24.Diode và transistor

Đáp số: R_max = 53,85 Ω

Dòng điện trường hợp xấu nhất

I_R = 50 + 2 = 52 mA

Điện trở lớn nhất

R_max = 2,8/0,052 = 53,85 Ω

Đáp số

R_max = 53,85 Ω

25.Hệ đếm

Đáp số: U = 251

Đặt các bit: mỗi bit có giá trị bằng một lũy thừa của hai (128, 64, …, 1). Một chữ số hex đúng bằng bốn bit, và trong bù hai 8 bit, bit ngoài cùng bên trái có giá trị −128. Các phép toán theo bit làm việc trên từng vị trí bit riêng biệt.

Đảo bit và cộng một

5 = 0000 0101

đã đảo: 1111 1010

+1 → 1111 1011

Đọc như số không dấu

1111 1011₂ = 256 − 5 = 251

Đáp số

U = 251

26.Hệ đếm

Đáp số: R = 241

Từng bit một

XOR cho 1 ở nơi hai bit khác nhau.

1110 1010

XOR 0001 1011

= 1111 0001

Giá trị của kết quả

1111 0001₂ = 241

Đáp số

R = 241

27.Logic số: cổng, bìa K và flip-flop

Đáp số: N = 5

Bộ ghép kênh: một bộ ghép kênh 2ⁿ-sang-1 chuyển một trong các đầu vào dữ liệu của nó ra đầu ra; các đường chọn, đọc như một số nhị phân, quyết định đầu vào nào. Với MUX 4-sang-1 có các đường chọn S₁S₀ = AB, F = A′B′·I₀ + A′B·I₁ + AB′·I₂ + AB·I₃. Nối các đầu vào dữ liệu với 0, 1, C hoặc C′ làm MUX tạo ra bất kỳ hàm nào của A, B và C, đó là cách phổ biến để xây dựng logic bằng một chip.

Biểu thức đầu ra

F = A′B′C + A′B + AB

Các hàng có F = 1

ABC = 001, 010, 011, 110, 111

N = 5

Đáp số

N = 5

28.Logic số: cổng, bìa K và flip-flop

Đáp số: Q = 3

Flip-flop và bộ đếm: một flip-flop chỉ thay đổi ở sườn tích cực của xung nhịp. D sao chép đầu vào của nó (Q⁺ = D); T đảo khi T = 1; JK giữ nguyên với 00, đặt về 0 với 01, đặt lên 1 với 10 và đảo với 11. Một bộ đếm nhị phân n bit có 2ⁿ trạng thái và đếm theo modulo 2ⁿ; một bộ đếm mod-N đếm 0, 1, …, N − 1 rồi về lại 0, và cần số flip-flop n nhỏ nhất thỏa 2ⁿ ≥ N. Mỗi tầng của bộ đếm gợn sóng chia đôi tần số, nên đầu ra cuối của bộ đếm mod-N chạy ở f_clk/N. Một bộ đếm Johnson gồm n flip-flop có 2n trạng thái, bộ đếm vòng có n.

Trạng thái sau mỗi sườn

0101 → 0010 → 1001 → 1100 → 1110 → 0111 → 0011

Giá trị thập phân

0011₂ = 3

Đáp số

Q = 3

29.Biến đổi Laplace

Đáp số: f(1) = 3,519

Biến đổi Laplace: F(s) = ∫₀^∞ f(t)·e^−st dt biến đạo hàm thành phép nhân với s: ℒ{f′} = sF(s) − f(0), ℒ{f″} = s²F(s) − s·f(0) − f′(0). Các cặp chuẩn: 1 ↔ 1/s, e^−at ↔ 1/(s + a), t·e^−at ↔ 1/(s + a)², sin ωt ↔ ω/(s² + ω²), cos ωt ↔ s/(s² + ω²), và phép dịch s → s + σ nhân hàm theo thời gian với e^−σt. Để biến đổi ngược một F(s) hữu tỉ, hãy tách thành các phân thức riêng: thặng dư của cực đơn p là A = [(s − p)·F(s)] tại s = p. Định lý giá trị cuối: f(∞) = lim_s→0 s·F(s), chỉ đúng khi mọi cực của s·F(s) nằm trong nửa mặt phẳng trái. Định lý giá trị đầu: f(0⁺) = lim_s→∞ s·F(s).

Phân tích mẫu số thành nhân tử

s² + 4s + 4 = (s + 2)²

Phân thức riêng

2s + 28 = 2(s + 2) + 24

F(s) = 2/(s + 2) + 24/(s + 2)²

Biến đổi ngược

f(t) = 2·e^−2t + 24·t·e^−2t

f(1) = (2 + 24·1)·e^−2·1 = 3,519

Đáp số

f(1) = 3,519

30.Biến đổi Laplace

Đáp số: y(0.5) = −2,303

Biến đổi phương trình

s²Y − (−6)s − 11 + 7(sY − (−6)) + 10Y = 0

Y(s) = (−6s − 31)/((s + 2)(s + 5))

Phân thức riêng

A = −19/3 = −6,333

B = −1/(−3) = 0,3333

Kết quả

y(t) = −6,333·e^−2t + 0,3333·e^−5t

y(0,5) = −2,303

Đáp số

y(0,5) = −2,303

Kiểm tra: y(0) = A + B = −6.

31.Sơ đồ khối

Đáp số: K = 6,25

Đại số sơ đồ khối: các khối nối tiếp thì nhân (G₁·G₂), các khối song song thì cộng (G₁ + G₂), và một vòng có đường thuận G và đường hồi tiếp H rút gọn thành T = G/(1 + G·H) với hồi tiếp âm và G/(1 − G·H) với hồi tiếp dương. Rút gọn các vòng bên trong trước, rồi làm dần ra ngoài. Các cực vòng kín là nghiệm của phương trình đặc trưng 1 + G(s)H(s) = 0. Với vòng ổn định, đầu vào bậc thang có độ lớn A cho đầu ra xác lập A·T(0); với hồi tiếp đơn vị, sai số xác lập đối với bậc thang là A/(1 + K_p) với K_p = G(0).

Phương trình đặc trưng

1 + K/((s + 4)(s + 9)) = 0 → s² + 13s + 36 + K = 0

Nghiệm kép

Tam thức s² + βs + γ có nghiệm kép khi β² = 4γ.

13² = 4(36 + K) → K = 169/4 − 36 = 6,25

Đáp số

K = 6,25

Khi đó cả hai cực vòng kín đều tại s = −6,5.

32.Sơ đồ khối

Đáp số: ω_d = 5,454 rad/s

Phương trình đặc trưng

s(s + 5) + 18·2 = 0 → s² + 5s + 36 = 0

Các nghiệm

s = −2,5 ± j·√(36 − 6,25) = −2,5 ± j5,454

ω_d = 5,454 rad/s

Đáp số

ω_d = 5,454 rad/s

33.Đáp ứng bước

Đáp số: t_p = 0,4488 s

Đáp ứng bước: một hệ bậc nhất G(s) = K/(τs + 1) đáp ứng với một bước nhảy có biên độ U là y(t) = K·U·(1 − e^−t/τ): nó đạt 63,2 % giá trị cuối K·U sau một hằng số thời gian τ và 98 % sau 4τ. Một hệ bậc hai G(s) = K·ωₙ²/(s² + 2ζωₙs + ωₙ²) có các cực s = −ζωₙ ± jω_d với ω_d = ωₙ√(1 − ζ²). Với 0 < ζ < 1, đáp ứng bước có độ vọt lố: độ vọt lố phần trăm %OS = 100·e^{−ζπ/√(1−ζ²)}, thời gian đỉnh t_p = π/ω_d, và thời gian xác lập 2 % t_s ≈ 4/(ζωₙ). So sánh mẫu số với s² + 2ζωₙs + ωₙ² để suy ra ωₙ và ζ. Với hệ khối lượng–lò xo–giảm chấn ωₙ = √(k/m) và ζ = c/(2√(km)); với mạch RLC nối tiếp ωₙ = 1/√(LC) và ζ = (R/2)·√(C/L).

So sánh với dạng chuẩn

Mẫu số phải khớp với s² + 2ζωₙs + ωₙ².

ωₙ² = 50 → ωₙ = 7,071 rad/s

2ζωₙ = 2 → ζ = 2/(2·7,071) = 0,1414

Kết quả

ω_d = 7,071·√(1 − 0,1414²) = 7 rad/s → t_p = π/ω_d = 0,4488 s

Đáp số

t_p = 0,4488 s

34.Đáp ứng bước

Đáp số: ω_n = 15,16 rad/s

Hệ số cản

ζ = −ln(0,12)/√(π² + ln²(0,12)) = 2,12/√(9,87 + 4,496) = 0,5594

Tần số riêng

ω_d = π/t_p = π/0,25 = 12,57 rad/s

ωₙ = ω_d/√(1 − ζ²) = 12,57/0,8289 = 15,16 rad/s

Đáp số

ω_n = 15,16 rad/s

35.Biểu đồ Bode và độ dự trữ

Đáp số: |H| = −20 dB

Đáp ứng tần số: thay s = jω vào hàm truyền. Độ lớn theo decibel là 20·log₁₀|H(jω)| và pha là tổng các góc của các nhân tử ở tử trừ đi các góc của các nhân tử ở mẫu. Một bộ lọc RC hoặc RL bậc nhất có tần số góc (−3 dB) tại ω_c = 1/(RC) hoặc R/L, và f_c = ω_c/(2π); bộ lọc thông thấp cho |H| = 1/√(1 + (ω/ω_c)²) và φ = −atan(ω/ω_c). Trong biểu đồ Bode tiệm cận (đường thẳng), mỗi cực bẻ độ lớn xuống 20 dB/decade tại tần số góc của nó, mỗi điểm không bẻ nó lên 20 dB/decade, và một bộ tích phân 1/s cho −20 dB/decade ở mọi tần số. Tần số cắt biên ω_c: |L(jω)| = 1 (0 dB); độ dự trữ pha PM = 180° + ∠L(jω_c). Tần số cắt pha ω₁₈₀: ∠L(jω) = −180°; độ dự trữ biên GM = −20·log₁₀|L(jω₁₈₀)| dB. Vòng kín ổn định khi cả hai độ dự trữ đều dương.

Tần số góc

ω_c = 1/(RC) = 1/(10000·2,2 × 10⁻⁹) = 45455 rad/s

f_c = 7234 Hz → f/f_c = 72000/7234 = 9,953

Độ khuếch đại

|H| = 1/√(1 + 9,953²) = 0,09997

20·log₁₀(0,09997) = −20 dB

Đáp số

|H| = −20 dB

36.Biểu đồ Bode và độ dự trữ

Đáp số: ω_c = 10,01 rad/s

Tần số cắt biên

ω⁴ + 16ω² − 11664 = 0

ω² = (−16 + √(256 + 4·11664))/2 = 100,3

ω_c = 10,01 rad/s

Đáp số

ω_c = 10,01 rad/s

37.Ổn định: Routh–Hurwitz và quỹ đạo nghiệm

Đáp số: K_min = 1

Tiêu chuẩn Routh–Hurwitz: một hệ tuyến tính ổn định khi mọi nghiệm của đa thức đặc trưng của nó nằm ở nửa trái của mặt phẳng s. Viết các hệ số xen kẽ vào hai hàng đầu tiên của bảng Routh. Mỗi phần tử của một hàng mới đến từ hai hàng phía trên nó; với đa thức bậc ba a₃s³ + a₂s² + a₁s + a₀ phần tử s¹ là b₁ = (a₂·a₁ − a₃·a₀)/a₂. Số lần đổi dấu trong cột đầu tiên bằng số nghiệm ở nửa mặt phẳng phải. Với độ lợi K trong các hệ số, mọi phần tử của cột đầu phải dương: độ lợi làm phần tử s¹ bằng không là giới hạn ổn định, và hàng s² khi đó cho tần số của dao động duy trì.

Đa thức đặc trưng

(s − 1)(s + 1) + K(s + 1) = s² + (0 + K)s + (1K − 1)

Các điều kiện

Với s² + c₁s + c₀ mọi nghiệm nằm ở nửa mặt phẳng trái khi và chỉ khi c₁ > 0 và c₀ > 0.

0 + K > 0 → K > 0

1K − 1 > 0 → K > 1

K_min = 1

Đáp số

K_min = 1

38.Ổn định: Routh–Hurwitz và quỹ đạo nghiệm

Đáp số: K = 50,02

Quỹ đạo nghiệm số: khi độ lợi K đi từ 0 đến ∞, các cực vòng kín, tức các nghiệm của 1 + K·G(s) = 0, di chuyển từ các cực vòng hở đến các điểm không vòng hở hoặc đến vô cực. Một điểm trên trục thực thuộc quỹ đạo khi số cực và điểm không thực ở bên phải nó là số lẻ. n − m nhánh đi đến vô cực theo các đường tiệm cận ở các góc (2q + 1)·180°/(n − m), xuất phát từ trọng tâm σₐ = (Σ cực − Σ điểm không)/(n − m). Các nhánh rời hoặc nhập vào trục thực tại nơi dK/ds = 0. Điều kiện góc ∠G(s) = 180° quyết định hình dạng, và điều kiện biên độ K = 1/|G(s)| cho độ lợi tại bất kỳ điểm nào của quỹ đạo.

So sánh với dạng chuẩn

s² + 10s + K = s² + 2ζωₙs + ωₙ²

2·0,707·ωₙ = 10 → ωₙ = 7,072 rad/s

Độ khuếch đại

K = ωₙ² = 7,072² = 50,02

Đáp số

K = 50,02

Các cực vòng kín nằm ở nơi đường ζ cắt nhánh thẳng đứng tại s = −5.

39.Sai số xác lập và điều khiển PID

Đáp số: e_ss = 2,439 %

Sai số xác lập: trong một vòng phản hồi đơn vị với hàm truyền vòng hở G(s), sai số là E(s) = R(s)/(1 + G(s)), và theo định lý giá trị cuối e_ss = lim_s→0 s·E(s). Loại của hệ là số cực của G(s) tại s = 0. Các hằng số sai số là K_p = lim G(s), K_v = lim s·G(s) và K_a = lim s²·G(s), đều với s → 0. Một bước nhảy có độ lớn A cho e_ss = A/(1 + K_p), một tín hiệu dốc A·t cho A/K_v và một parabol A·t²/2 cho A/K_a. Một vòng loại 0 bám theo bước nhảy với sai số hữu hạn, một vòng loại 1 bám theo nó chính xác và bám theo tín hiệu dốc với sai số hữu hạn.

Hằng số vị trí

K_p = 10·4 = 40

Sai số bước nhảy

e_ss = 100/(1 + 40) = 2,439 %

Đáp số

e_ss = 2,439 %

40.Sai số xác lập và điều khiển PID

Đáp số: K = 12,5

Điều khiển P, PI và PID: bộ điều khiển C(s) = K_p + K_i/s + K_d·s tác động lên sai số. Một độ lợi tỉ lệ làm vòng nhanh hơn và giảm sai số của đối tượng loại 0, nhưng không bao giờ loại bỏ nó. Thành phần tích phân thêm một cực tại s = 0: loại của hệ tăng thêm một, và một bước nhảy được bám theo không có sai số. Thành phần vi phân thêm sự cản. Để chọn các độ lợi, viết đa thức đặc trưng vòng kín và so sánh nó với s² + 2ζω_ns + ω_n². Khi đó %OS = 100·e^{−ζπ/√(1−ζ²)}, t_p = π/ω_d với ω_d = ω_n√(1 − ζ²), và t_s ≈ 4/(ζω_n).

Đa thức đặc trưng

s(s + 10) + 4K = s² + 10s + 4K

Tần số riêng

2·0,707·ωₙ = 10 → ωₙ = 7,072 rad/s

Độ khuếch đại

4K = ωₙ² = 50,02 → K = 12,5

Đáp số

K = 12,5

Đây là tài liệu luyện tập độc lập. ExamProblems không liên kết với hay được xác nhận bởi tổ chức tổ chức kỳ thi này, và tên kỳ thi chỉ được dùng để mô tả nội dung. Kỳ thi FE exam do NCEES tổ chức; tổ chức này không liên kết với ExamProblems và không bảo trợ nó.

ExamProblems · examproblems.com/courses/fe-exam-electrical

Luyện thi FE Điện và Máy tính: gói ôn nước rút

1Công thức và phương pháp

Điện trở nối tiếp và song song

Phương pháp

Phương pháp điện thế nút

Phương pháp

Phương pháp dòng điện mạch vòng

Phương pháp

Nguyên lý xếp chồng

Phương pháp

Thévenin và Norton

Phương pháp

Quá độ RC và RL

Phương pháp

Tổng trở xoay chiều và phasor

Phương pháp

Công suất xoay chiều và hệ số công suất

Công suất ba pha

Máy biến áp

Mạch khuếch đại thuật toán

Diode và transistor

Hệ đếm

Logic số: cổng, bìa K và flip-flop

Phương pháp

Ổn định: Routh–Hurwitz và quỹ đạo nghiệm

Phương pháp

Sai số xác lập và điều khiển PID

Phương pháp

2Bài tập

3Dung dịch

Gộp các điện trở từ đầu xa

Dòng điện từ nguồn

Đáp số

Gộp các điện trở từ đầu xa

Dòng điện từ nguồn

Đáp số

Thiết lập các nút

KCL tại nút A

KCL tại nút B

Giải

Đáp số

KCL tại nút A

KCL tại nút B

Đáp số

Gán các dòng điện mạch vòng

KVL quanh mạch vòng 1

KVL quanh mạch vòng 2

Giải

Đáp số

Gán các dòng điện mạch vòng

KVL quanh mạch vòng 1

KVL quanh mạch vòng 2

KVL quanh mạch vòng 3

Giải

Đáp số

Trường hợp 1 · chỉ V1 tác dụng

Trường hợp 2 · chỉ Is tác dụng

Cộng các thành phần

Trường hợp 1 · V1 tác dụng riêng

Trường hợp 2 · Is tác dụng riêng

Trường hợp 3 · V2 tác dụng riêng, trên mỗi vôn

Cho VA bằng không

Đáp số

Tìm Rth khi tắt mọi nguồn

Tìm Vth, điện áp hở mạch

Tìm Rth khi tắt mọi nguồn

Tìm Vth, điện áp hở mạch

Hằng số thời gian và dòng điện cuối

Điện áp cuộn cảm

Đáp số

Điện áp ban đầu của tụ điện

Hằng số thời gian sau khi công tắc mở

Sự phóng điện

Đáp số

Điện kháng

Các dòng điện nhánh

Tổng dòng điện

Góc pha

Đáp số

Điện kháng

Trường hợp 1 · chỉ V₁ tác dụng

Trường hợp 2 · chỉ I_s tác dụng

Trường hợp 1 · V₁ tác dụng riêng

Trường hợp 2 · I_s tác dụng riêng

Trường hợp 3 · V₂ tác dụng riêng, trên mỗi vôn

Cho V_A bằng không

Tìm R_th khi tắt mọi nguồn

Tìm V_th, điện áp hở mạch

Tìm R_th khi tắt mọi nguồn

Tìm V_th, điện áp hở mạch