Luyện thi FE Điện và Máy tính: gói ôn nước rút

Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 40 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.

Bài mới Quay lại môn học

Trong cửa sổ in, hãy chọn “Lưu dưới dạng PDF” để giữ một bản trên thiết bị của bạn.

1Công thức và phương pháp

Điện trở nối tiếp và song song

Điện trở nối tiếp: R_eq = R₁ + R₂ + …
Điện trở song song: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Hai điện trở song song: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Định luật Ohm: V = I·R
Công suất: P = V·I = I²R = V²/R

Phương pháp

Bắt đầu từ đầu của mạng xa các cực nhất.
Gộp các điện trở nối tiếp bằng cách cộng chúng, và các điện trở song song bằng 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Vẽ lại mạch sau mỗi bước.
Lặp lại cho đến khi chỉ còn một điện trở giữa hai cực.

Phương pháp điện thế nút

Định luật Kirchhoff về dòng điện: ΣI_in = ΣI_out
Dòng điện nhánh: I = (V_a − V_b)/R
Nút tham chiếu: V_ground = 0

Phương pháp

Chọn một nút tham chiếu (đất) và đặt tên cho các điện thế nút còn lại.
Viết định luật Kirchhoff về dòng tại mỗi nút chưa biết: dòng đi ra qua mỗi nhánh bằng dòng đi vào.
Biểu diễn mọi dòng nhánh dưới dạng (V_a − V_b)/R.
Giải hệ phương trình, rồi tìm bất kỳ dòng điện nào bạn cần.

Phương pháp dòng điện mạch vòng

Định luật Kirchhoff về điện áp: ΣV = 0 quanh mỗi vòng
Điện trở chung: dòng điện = I₁ − I₂
Nguồn dòng trong mạch vòng: xác định dòng điện của mạch vòng đó

Phương pháp

Vẽ một dòng điện theo chiều kim đồng hồ trong mỗi mạch vòng (ô) của mạch.
Áp dụng định luật Kirchhoff về điện áp quanh mỗi mạch vòng: tổng các sụt áp bằng không.
Trong điện trở chung của hai mạch vòng, dòng điện là hiệu của hai dòng mạch vòng.
Giải các phương trình; kết quả âm nghĩa là dòng điện chạy ngược lại.

Nguyên lý xếp chồng

Nguyên lý xếp chồng: x = x₁ + x₂ + … (one source at a time)
Nguồn điện áp đã tắt: ngắn mạch (0 V)
Nguồn dòng đã tắt: hở mạch (0 A)
Cầu chia áp: V₂ = V·R₂/(R₁ + R₂)
Cầu chia dòng: I₁ = I·R₂/(R₁ + R₂)

Phương pháp

Đếm các nguồn độc lập. Bạn sẽ giải một mạch đơn giản hơn cho mỗi nguồn.
Giữ một nguồn và tắt các nguồn còn lại: nguồn điện áp trở thành ngắn mạch (một sợi dây), nguồn dòng trở thành hở mạch (một khoảng hở).
Giải mạch đơn giản hơn để tìm điện áp hoặc dòng điện bạn cần, theo dõi chiều của nó.
Lặp lại cho mọi nguồn, rồi cộng các thành phần với dấu của chúng.

Thévenin và Norton

Điện áp Thévenin: V_th = V_{open circuit}
Điện trở Thévenin: R_th: tắt mọi nguồn, nhìn từ a–b
Dòng Norton: I_N = V_th/R_th
Dòng điện qua tải: I_L = V_th/(R_th + R_L)
Truyền công suất cực đại: R_L = R_th, P_max = V_th²/(4R_th)

Phương pháp

Bỏ tải ra và đánh dấu hai cực a và b.
Tìm điện áp hở mạch giữa a và b: đây là V_th.
Tắt mọi nguồn độc lập và tìm điện trở nhìn từ a–b: đây là R_th.
Đặt lại tải vào mạch tương đương: V_th nối tiếp với R_th.
Với mạch tương đương Norton, hãy chuyển đổi: I_N = V_th/R_th, với R_N = R_th mắc song song.

Quá độ RC và RL

Hằng số thời gian: τ = RC | τ = L/R
Đáp ứng: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Tụ điện ở chế độ một chiều: hở mạch; v_C không thể nhảy vọt
Cuộn cảm ở chế độ một chiều: ngắn mạch; i_L không thể nhảy vọt
Đã ổn định: t ≈ 5τ

Phương pháp

Tìm giá trị ban đầu ngay sau khi đóng cắt: điện áp tụ điện và dòng điện cuộn cảm không thể nhảy vọt.
Tìm giá trị cuối rất lâu sau khi đóng cắt: tụ điện hoạt động như hở mạch, cuộn cảm như ngắn mạch.
Tìm hằng số thời gian: τ = RC hoặc τ = L/R, dùng điện trở mà tụ điện hoặc cuộn cảm nhìn thấy.
Dùng x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Tổng trở xoay chiều và phasor

Tổng trở: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Tần số góc: ω = 2πf
Độ lớn và góc: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Định luật Ohm dạng phasor: V = I·Z

Phương pháp

Đổi tần số: ω = 2πf.
Tìm từng điện kháng: X_L = ωL và X_C = 1/(ωC).
Cộng các tổng trở như điện trở, với Z = R + jX.
Tìm độ lớn |Z| = √(R² + X²) và góc φ = atan(X/R), rồi dùng định luật Ohm với phasor.

Công suất xoay chiều và hệ số công suất

Công suất tác dụng: P = V·I·cos φ
Công suất phản kháng: Q = V·I·sin φ
Công suất biểu kiến: S = V·I = √(P² + Q²)
Hệ số công suất: pf = cos φ = P/S
Tụ điện bù: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(ωV²)

Công suất ba pha

Nối sao (Y): V_L = √3·V_ph, I_L = I_ph
Nối tam giác (Δ): V_L = V_ph, I_L = √3·I_ph
Tổng công suất tác dụng: P = √3·V_L·I_L·cos φ = 3·I_ph²·R
Công suất biểu kiến và phản kháng: S = √3·V_L·I_L, Q = P·tan φ
Tụ điện bù: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(3ωV²)
Điện áp trên mỗi tụ điện: Δ: V_L Y: V_L/√3
Công suất vào của động cơ: P_in = P_out/η

Máy biến áp

Tỉ số vòng dây: a = N₁/N₂ = V₁/V₂
Tỉ số dòng điện: I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a
Dòng điện định mức: I = S/V
Tổng trở quy đổi: Z₁′ = a²·Z_L
Tổn hao đồng khi non tải: P_cu = x²·P_cu,fl
Hiệu suất: η = x·S·pf/(x·S·pf + P_core + x²·P_cu,fl)
Hiệu suất cực đại: x = √(P_core/P_cu,fl)

Mạch khuếch đại thuật toán

Bộ khuếch đại đảo: V_out = −(R_f/R_in)·V_in
Bộ khuếch đại không đảo: V_out = (1 + R_f/R₁)·V_in
Bộ khuếch đại cộng: V_out = −R_f(V₁/R₁ + V₂/R₂)
Op-amp lý tưởng: V₊ = V₋, I_in = 0

Diode và transistor

Diode (sụt áp không đổi): V_D = 0,7 V when conducting
Vùng tích cực: V_BE = 0,7 V, I_C = β·I_B, I_E = (β + 1)·I_B
Phân cực cố định: I_B = (V_CC − 0,7)/R_B
Phân cực bằng cầu chia áp: I_B = (V_TH − 0,7)/(R_TH + (β + 1)R_E)
Thévenin của cầu chia áp: V_TH = V_CC·R₂/(R₁ + R₂), R_TH = R₁∥R₂
Vòng cực thu: V_CE = V_CC − I_CR_C − I_ER_E
Bão hòa: I_C(sat) = (V_CC − V_CE(sat))/R_C, I_B ≥ I_C(sat)/β

Hệ đếm

Giá trị vị trí: nhị phân 2^k, bát phân 8^k, thập lục phân 16^k
Sang thập phân: Σ d_k·b^k
Từ thập phân: chia cho cơ số, đọc các số dư từ dưới lên
Thập lục phân ↔ nhị phân: một chữ số thập lục phân = 4 bit
Số bù hai: đảo các bit và cộng 1

Logic số: cổng, bìa K và flip-flop

Các cổng cơ bản: A·B, A + B, A′, (A·B)′, (A + B)′, A ⊕ B
Các quy tắc Boole: X + X′ = 1, X·X′ = 0, X + XY = X, XY + XY′ = X
De Morgan: (X·Y)′ = X′ + Y′, (X + Y)′ = X′·Y′
Thứ tự của bìa Karnaugh: 00, 01, 11, 10 (Gray code)
Nhóm 2ᵏ ô: mất k biến
Bộ ghép kênh 4-sang-1: F = A′B′I₀ + A′BI₁ + AB′I₂ + ABI₃
Flip-flop: D: Q⁺ = D, T: Q⁺ = T ⊕ Q, JK: Q⁺ = JQ′ + K′Q
Bộ đếm: n bit: 2ⁿ trạng thái; mod-N: n nhỏ nhất thỏa 2ⁿ ≥ N; f_out = f_clk/N
Bộ đếm gợn sóng: f_max = 1/(n·t_pd)
Bộ đếm vòng và Johnson: n và 2n trạng thái

Phương pháp

Với một mạch, hãy làm từ các đầu vào đến đầu ra từng cổng một và ghi giá trị trên mọi dây, hoặc viết biểu thức của nó rồi điền bảng chân trị.
Để rút gọn, hãy đặt các số 1 (và các điều kiện tùy định là X) vào một bìa Karnaugh với hàng và cột theo mã Gray: 00, 01, 11, 10.
Hãy phủ các số 1 bằng càng ít nhóm và càng lớn càng tốt gồm 1, 2, 4, 8 hoặc 16 ô, cuộn qua mép; mỗi nhóm là một số hạng tích gồm các biến không đổi. Hãy nhóm các số 0 cho dạng POS.
Với flip-flop và bộ đếm, hãy đọc các đầu vào tại mỗi sườn xung nhịp tích cực, ghi trạng thái sau mỗi sườn, và nhớ rằng bộ đếm n bit quay vòng sau 2ⁿ trạng thái.

Ổn định: Routh–Hurwitz và quỹ đạo nghiệm

Ổn định: mọi nghiệm của đa thức đặc trưng ở nửa mặt phẳng trái
bảng Routh, phần tử s¹ của đa thức bậc ba: b₁ = (a₂a₁ − a₃a₀)/a₂
Nghiệm ở nửa mặt phẳng phải: số lần đổi dấu trong cột đầu tiên
Đa thức bậc ba s³ + a₂s² + a₁s + a₀: ổn định khi mọi a > 0 và a₂·a₁ > a₀
K/(s(s + a)(s + b)): K_max = ab(a + b), ω = √(ab)
Phương trình đặc trưng: 1 + K·G(s) = 0
Đường tiệm cận: σ_a = (Σp − Σz)/(n − m), θ = (2q + 1)·180°/(n − m)
Điểm tách và điểm nhập: dK/ds = 0
Điều kiện biên độ: K = 1/|G(s)|
Góc xuất phát: θ_d = 180° − Σ∠(from other poles) + Σ∠(from zeros)

Phương pháp

Viết đa thức đặc trưng vòng kín: mẫu số của 1 + K·G(s) = 0, sau khi nhân ra.
Đặt các hệ số xen kẽ vào hai hàng đầu tiên của bảng Routh và lập các hàng còn lại.
Đếm số lần đổi dấu trong cột đầu tiên: mỗi lần là một cực ở nửa mặt phẳng phải. Khi K có trong bảng, hãy yêu cầu mọi phần tử của cột đầu tiên giữ dương.
Với quỹ đạo nghiệm, đánh dấu các cực và điểm không, các đoạn trên trục thực, các đường tiệm cận từ trọng tâm và các điểm tách/nhập nơi dK/ds = 0. Dùng K = 1/|G(s)| cho độ lợi tại một điểm.

Sai số xác lập và điều khiển PID

Loại của hệ: số cực của G(s) tại s = 0
Hằng số sai số: K_p = lim G(s), K_v = lim s·G(s), K_a = lim s²·G(s) (s → 0)
Bước nhảy A: e_ss = A/(1 + K_p)
Tín hiệu dốc A·t: e_ss = A/K_v
Parabol A·t²/2: e_ss = A/K_a
Bộ điều khiển PID: C(s) = K_p + K_i/s + K_d·s
Mục tiêu bậc hai: s² + 2ζω_ns + ω_n²
Độ vượt quá và thời gian: %OS = 100·e^{−ζπ/√(1−ζ²)}, t_p = π/ω_d, t_s ≈ 4/(ζω_n)

Phương pháp

Đếm các cực của vòng hở C(s)·G(s) tại s = 0: đó là loại của hệ.
Tính hằng số sai số khớp với đầu vào: K_p cho bước nhảy, K_v cho tín hiệu dốc, K_a cho parabol.
Áp dụng e_ss = A/(1 + K_p), A/K_v hay A/K_a, hoặc giải nó theo độ lợi bạn cần.
Với yêu cầu về độ cản hoặc tốc độ, viết đa thức đặc trưng vòng kín và so sánh nó với s² + 2ζω_n·s + ω_n².

2Bài tập

1.Điện trở nối tiếp và song songTrung bình

Tìm dòng điện I_R1 do nguồn cung cấp, chạy qua R₁.

V₁ = 12 VR₁ = 5 ΩR₂ = 20 ΩR₃ = 8 ΩR₄ = 4 Ω

I_R1 = A

2.Điện trở nối tiếp và song songKhó

Tìm điện trở tương đương R_eq mà nguồn V₁ nhìn thấy.

V₁ = 12 VR₁ = 6 ΩR₂ = 10 ΩR₃ = 4 ΩR₄ = 20 ΩR₅ = 10 ΩR₆ = 10 Ω

R_eq = Ω

3.Phương pháp điện thế nútTrung bình

Dùng phương pháp điện thế nút để tìm điện thế nút V_B (đo so với đất).

V₁ = 10 VI_s = 2,5 AR₁ = 6 ΩR₂ = 2 ΩR₃ = 4 ΩR₄ = 3 Ω

V_B = V

4.Phương pháp điện thế nútKhó

Nguồn áp Vₛ giữa A và B có cực + ở B, nên nó cho V_B − V_A = Vₛ. Dùng phương pháp điện thế nút với siêu nút để tìm dòng điện I_R1 chạy qua R₁ theo chiều mũi tên.

V₁ = 18 VI_s = 5 AV_s = 3 VR₁ = 25 ΩR₂ = 20 ΩR₃ = 30 Ω

I_R1 = A

5.Phương pháp dòng điện mạch vòngTrung bình

Dùng phương pháp dòng điện mạch vòng để tìm dòng điện mạch vòng I₁ (theo chiều kim đồng hồ).

V₁ = 30 VV₂ = 30 VR₁ = 5 ΩR₂ = 6 ΩR₃ = 5 Ω

I₁ = A

6.Phương pháp dòng điện mạch vòngKhó

Dùng phương pháp dòng điện mạch vòng để tìm dòng điện mạch vòng I₃ (theo chiều kim đồng hồ).

V₁ = 6 VV₂ = 15 VR₁ = 3 ΩR₂ = 20 ΩR₃ = 8 ΩR₄ = 12 ΩR₅ = 3 Ω

I₃ = A

7.Nguyên lý xếp chồngTrung bình

Tìm giá trị của nguồn dòng I_s (chiều như hình) để dòng điện I_R3 qua R₃ bằng không.

V₁ = 12 VR₁ = 2 ΩR₂ = 10 ΩR₃ = 5 ΩR₄ = 10 Ω

I_s = A

8.Nguyên lý xếp chồngKhó

Một mạch điện trở tuyến tính có ba nguồn độc lập: V₁, V₂ và I_s. Dòng điện I qua tải được đo ba lần. Khi mọi nguồn ở giá trị bình thường, I = 6 mA. Khi V₁ tăng gấp đôi và hai nguồn kia giữ nguyên, I = −3 mA. Khi chiều của I_s bị đảo và hai nguồn kia giữ nguyên, I = −11 mA. Tìm dòng tải I khi V₂ bị tắt còn V₁ và I_s có giá trị bình thường.

bình thường: I = 6 mA2·V₁: I = −3 mA−I_s: I = −11 mA

I = mA

9.Thévenin và NortonTrung bình

Tìm điện trở Thévenin R_th nhìn từ cặp cực a–b.

V₁ = 6 VR₁ = 4 ΩR₂ = 12 ΩR₃ = 5 Ω

R_th = Ω

10.Thévenin và NortonKhó

Một tải R_L = 8 Ω được nối giữa a–b. Dùng mạch tương đương Thévenin để tìm công suất P_L tải nhận được.

V₁ = 24 VI_s = 6 AR₁ = 2 ΩR₂ = 6 ΩR₃ = 3 ΩR_L = 8 Ω

P_L = W

11.Quá độ RC và RLTrung bình

Nguồn Vₛ nạp tụ điện qua R₁, và R₂ được mắc song song với C. Tụ điện chưa tích điện khi khóa đóng tại t = 0. Tìm hằng số thời gian τ của mạch sau khi công tắc đóng.

V_s = 30 VR₁ = 4,7 kΩR₂ = 1 kΩC = 68 µF

τ = ms

12.Quá độ RC và RLKhó

Công tắc đã đóng trong một thời gian dài, nên mạch ở trạng thái xác lập. Tại t = 0 công tắc mở. Tìm điện áp tụ điện v_C tại t = 1000 ms.

V_s = 15 VR₁ = 10 kΩR₂ = 4,7 kΩC = 220 µFt = 1000 ms

v_C = V

13.Tổng trở xoay chiều và phasorTrung bình

Một mạch RLC nối tiếp được nối với nguồn 10 V (hiệu dụng), 60 Hz. Tìm góc pha φ của tổng trở, theo độ (dương khi dòng điện trễ pha so với điện áp).

V = 10 V (rms)f = 60 HzR = 15 ΩL = 50 mHC = 47 µF

φ = °

14.Tổng trở xoay chiều và phasorKhó

Một mạch RLC nối tiếp được nối với nguồn 50 V (hiệu dụng), 500 Hz. Tìm tần số cộng hưởng f₀ của mạch.

V = 50 V (rms)f = 500 HzR = 30 ΩL = 20 mHC = 10 µF

f₀ = Hz

15.Công suất xoay chiều và hệ số công suấtTrung bình

Hai tải được mắc song song vào nguồn một pha 240 V: một tải 27 kW có hệ số công suất 0,65 trễ pha và một tải 11 kW có hệ số công suất 0,8 trễ pha. Tìm hệ số công suất tổng cos φ mà nguồn nhìn thấy.

V = 240 VP₁ = 27 kW, pf₁ = 0,65 trễ phaP₂ = 11 kW, pf₂ = 0,8 trễ pha

cos φ =

16.Công suất xoay chiều và hệ số công suấtKhó

Một tải một pha tiêu thụ 15 kW với hệ số công suất 0,65 trễ từ nguồn 230 V, 60 Hz. Một tụ điện mắc song song nâng hệ số công suất lên 0,95. Tìm điện dung C cần thiết.

P = 15 kWpf₁ = 0,65pf₂ = 0,95V = 230 Vf = 60 Hz

C = µF

17.Công suất ba phaTrung bình

Một tải nối tam giác (Δ) cân bằng có tổng trở 24 + j18 Ω mỗi pha được nối với nguồn ba pha cân bằng có điện áp dây 415 V. Tìm tổng công suất tác dụng P mà tải hấp thụ, theo kW.

V_L = 415 VZ = 24 + j18 Ω mỗi pha

P = kW

18.Công suất ba phaKhó

Một tải ba pha cân bằng lấy 100 kW với hệ số công suất 0,8 trễ từ nguồn 415 V (điện áp dây), 60 Hz. Một bộ tụ điện ba pha mắc song song với tải phải nâng hệ số công suất tổng lên 0,98 trễ. Công suất tác dụng giữ nguyên. Tìm tổng công suất phản kháng Q_C mà bộ tụ điện phải cung cấp, theo kvar.

P = 100 kWpf₁ = 0,8pf₂ = 0,98V_L = 415 Vf = 60 Hz

Q_C = kvar

19.Máy biến ápTrung bình

Một điện trở 50 Ω được nối qua cuộn thứ cấp của một máy biến áp lý tưởng có tỉ số vòng dây N₁:N₂ = 10:1. Tìm điện trở R_1′ nhìn vào cuộn sơ cấp.

N₁:N₂ = 10:1R_L = 50 Ω

R_1′ = Ω

20.Máy biến ápKhó

Một máy biến áp một pha 500 kVA có tổn thất lõi 4000 W và tổn thất đồng 16000 W ở tải định mức. Ở tải nào S_η,max, theo kVA, hiệu suất của nó cao nhất?

S = 500 kVAP_core = 4000 WP_cu,fl = 16000 W

S_η,max = kVA

21.Mạch khuếch đại thuật toánTrung bình

Op-amp là lý tưởng và chạy với nguồn cấp ±15 V. Tìm điện áp ngõ ra V_out.

V_in = 4,5 VR_a = 1 kΩR_b = 1 kΩR₁ = 47 kΩR_f = 47 kΩ

V_out = V

22.Mạch khuếch đại thuật toánKhó

Hai tầng op-amp lý tưởng được mắc nối tiếp: một mạch khuếch đại đảo (R₁, R_f1) theo sau là một mạch khuếch đại không đảo (R₂ nối đất, R_f2 trong hồi tiếp). Cả hai chạy từ nguồn ±15 V. Đầu vào là V_in = −0,5 V. Tìm điện áp đầu ra V_out.

R₁ = 10 kΩR_f1 = 47 kΩR₂ = 4,7 kΩR_f2 = 4,7 kΩV_in = −0,5 V

V_out = V

23.Diode và transistorTrung bình

Một bộ ổn áp Zener 5,1 V được cấp từ 12 V qua 330 Ω và cấp điện cho tải 1000 Ω. Tìm dòng điện Zener I_Z.

V_in = 12 VV_Z = 5,1 VR = 330 ΩR_L = 1000 Ω

I_Z = mA

24.Diode và transistorKhó

Một bộ ổn áp Zener 3,3 V phải cấp tới 25 mA cho tải. Đầu vào có thể giảm xuống 9 V, và Zener cần ít nhất 1 mA để ổn áp. Tìm điện trở nối tiếp lớn nhất R_max để nó còn ổn áp.

V_in,min = 9 VV_Z = 3,3 VI_L,max = 25 mAI_Z,min = 1 mA

R_max = Ω

25.Hệ đếmTrung bình

Đặt các bit để lưu −110 theo bù hai 8 bit. Đọc như một số không dấu, giá trị U của mẫu là bao nhiêu?

N = −1108 bit

U =

26.Hệ đếmKhó

Số nguyên âm nhất N có thể lưu trong số bù hai 24 bit là bao nhiêu?

24 bit

N =

27.Logic số: cổng, bìa K và flip-flopTrung bình

Trong bìa Karnaugh này, đúng một số 1 không có số 1 kề, nên nó vẫn là một nhóm một ô (một minterm đầy đủ bốn literal) trong dạng SOP tối thiểu. Các ô kề qua mép bìa cũng được tính. Hãy nhấp vào ô đó.

F = Σm(0, 7, 8, 9, 10, 13)

1AB = 00, CD = 00
2AB = 00, CD = 01
3AB = 00, CD = 11
4AB = 00, CD = 10
5AB = 01, CD = 00
6AB = 01, CD = 01
7AB = 01, CD = 11
8AB = 01, CD = 10
9AB = 11, CD = 00
10AB = 11, CD = 01
11AB = 11, CD = 11
12AB = 11, CD = 10
13AB = 10, CD = 00
14AB = 10, CD = 01
15AB = 10, CD = 11
16AB = 10, CD = 10

28.Logic số: cổng, bìa K và flip-flopKhó

Với F(A, B, C, D) = Σm(0, 2, 4, 7, 8, 13) + d(1, 9), trong đó d đánh dấu các điều kiện tùy định, hãy tìm số N các implicant nguyên tố cốt yếu.

F(A, B, C, D) = Σm(0, 2, 4, 7, 8, 13) + d(1, 9)

N =

29.Biến đổi LaplaceTrung bình

Tìm f(t) cho F(s) = 45/(s(s + 3)(s + 4)) bằng phân thức riêng, và tính f(0,3).

F(s) = 45/(s(s + 3)(s + 4))t = 0,3 s

f(0.3) =

30.Biến đổi LaplaceKhó

Một hệ thống được mô tả bởi phương trình vi phân y″ + 5y′ + 6y = 4u′ + 11u, với đầu vào u(t) và đầu ra y(t). Tìm hàm truyền G(s) = Y(s)/U(s) của nó (điều kiện ban đầu bằng không) và tính đáp ứng xung g(t) tại t = 0,5 s. Tìm g(0,5).

y″ + 5y′ + 6y = 4u′ + 11ut = 0,5 s

g(0.5) =

31.Sơ đồ khốiTrung bình

Một vòng hồi tiếp âm đơn vị có G(s) = 5(s + 5)/((s + 3)(s + 4)). Một bậc thang có độ lớn 2 được đặt vào tín hiệu chuẩn. Tìm sai số xác lập e_ss.

G(s) = 5(s + 5)/((s + 3)(s + 4))R = 2

e_ss =

32.Sơ đồ khốiKhó

Đối tượng G(s) = K/((s + 3)(s + 5)(s + 6)) nằm trong vòng hồi tiếp âm đơn vị. Dùng tiêu chuẩn Routh–Hurwitz để tìm độ lợi lớn nhất K_max mà vòng kín còn ổn định.

G(s) = K/((s + 3)(s + 5)(s + 6))hồi tiếp âm đơn vị

K_max =

33.Đáp ứng bướcTrung bình

Một hệ có hàm truyền G(s) = 45/(s² + 3s + 45) và nhận tín hiệu vào là bước nhảy đơn vị. Tìm độ vọt lố phần trăm %OS của đáp ứng bước.

G(s) = 45/(s² + 3s + 45)

%OS = %

34.Đáp ứng bướcKhó

Một vòng hồi tiếp âm đơn vị có G(s) = 40/(s(s + 4)). Tìm thời gian xác lập 2 % t_s của đáp ứng bước vòng kín, dùng t_s ≈ 4/(ζωₙ).

G(s) = 40/(s(s + 4))

t_s = s

35.Biểu đồ Bode và độ dự trữTrung bình

Trong bộ lọc thông dải RLC nối tiếp trong hình, đầu ra lấy trên R = 100 Ω, với L = 100 mH và C = 0,22 µF. Tìm tần số trung tâm (cộng hưởng) f₀ theo Hz.

R = 100 ΩL = 100 mHC = 0,22 µF

f₀ = Hz

36.Biểu đồ Bode và độ dự trữKhó

Một vòng hồi tiếp đơn vị có hàm truyền vòng hở L(s) = 45/(s(s + 5)). Tìm độ dự trữ pha PM theo độ.

L(s) = 45/(s(s + 5))

PM = °

37.Ổn định: Routh–Hurwitz và quỹ đạo nghiệmTrung bình

Một vòng phản hồi đơn vị có L(s) = K/((s + 2)(s + 4)(s + 5)), với K > 0. Tìm độ lợi lớn nhất K_max mà vòng kín còn ổn định.

L(s) = K/((s + 2)(s + 4)(s + 5))

K_max =

38.Ổn định: Routh–Hurwitz và quỹ đạo nghiệmKhó

Quỹ đạo nghiệm của L(s) = K(s + 9)/(s(s + 2)) rời trục thực giữa s = 0 và s = −2, uốn vòng và nhập lại trục thực ở bên trái điểm không. Tìm điểm tách s_b.

L(s) = K(s + 9)/(s(s + 2))

s_b =

39.Sai số xác lập và điều khiển PIDTrung bình

Một vòng phản hồi đơn vị với G(s) = K/(s(s + 5)) phải bám theo tín hiệu dốc r(t) = 10t với sai số xác lập 0,05. Tìm độ lợi K.

G(s) = K/(s(s + 5))r(t) = 10te_ss = 0,05

K =

40.Sai số xác lập và điều khiển PIDKhó

Một bộ điều khiển PD C(s) = 4 + K_d·s điều khiển đối tượng G(s) = 4/(s(s + 4)) trong một vòng phản hồi đơn vị. Tìm độ lợi vi phân K_d cho vòng kín có tỷ số cản ζ = 0,6.

G(s) = 4/(s(s + 4))K_p = 4ζ = 0,6

K_d = s

3Dung dịch

1.Điện trở nối tiếp và song song

Đáp số: I_R1 = 0,96 A

Điện trở nối tiếp và song song: khi nối tiếp, cùng một dòng điện chạy qua mỗi điện trở và R = R₁ + R₂ + …. Khi song song, mỗi điện trở có cùng điện áp và 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Mạch hình thang được rút gọn từng cặp một cho đến khi còn một điện trở tương đương duy nhất.

Gộp các điện trở từ đầu xa

Bắt đầu từ đầu xa nguồn nhất và làm ngược về phía nguồn. Các điện trở có cùng dòng điện thì mắc nối tiếp; các điện trở nối giữa cùng hai nút thì mắc song song.

R₃ + R₄ = 8 + 4 = 12 Ω

R₂ ∥ 12 = 20·12/(20+12) = 7,5 Ω

R_eq = R₁ + 7,5 = 5 + 7,5 = 12,5 Ω

Dòng điện từ nguồn

Nguồn chỉ thấy R_eq, nên định luật Ohm cho ra dòng điện nó cung cấp. Dòng điện đó chạy qua R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 12/12,5 = 0,96 A

Đáp số

I_R1 = 0,96 A

2.Điện trở nối tiếp và song song

Đáp số: R_eq = 11,83 Ω

Gộp các điện trở từ đầu xa

R₅ + R₆ = 10 + 10 = 20 Ω

R₄ ∥ 20 = 10 Ω

R₃ + 10 = 14 Ω

R₂ ∥ 14 = 5,833 Ω

R_eq = R₁ + 5,833 = 6 + 5,833 = 11,83 Ω

Đáp số

R_eq = 11,83 Ω

3.Phương pháp điện thế nút

Đáp số: V_B = −3,971 V

Phương pháp điện thế nút: chọn một nút tham chiếu, đặt tên các điện thế nút chưa biết, viết định luật dòng Kirchhoff tại mỗi nút chưa biết bằng định luật Ohm (I = ΔV/R), rồi giải hệ phương trình thu được.

Thiết lập các nút

Đất là dây dưới cùng. Các điện thế nút đã biết lấy thẳng từ các nguồn (V₁ = 10 V). Ẩn số: V_A, V_B.

KCL tại nút A

Dòng điện đi ra khỏi A qua các điện trở bằng dòng điện các nguồn đẩy vào A.

V_A/R₂ + (V_A − V₁)/R₁ + (V_A − V_B)/R₃ = 0

V_A/2 + (V_A − 10)/6 + (V_A − V_B)/4 = 0

0,9167·V_A − 0,25·V_B = 1,667

KCL tại nút B

Dòng điện đi ra khỏi B qua các điện trở bằng dòng điện các nguồn đẩy vào B.

V_B/R₄ + (V_B − V_A)/R₃ = I_s

V_B/3 + (V_B − V_A)/4 = (−2,5)

−0,25·V_A + 0,5833·V_B = −2,5

Giải

Δ = (0,9167)(0,5833) − (−0,25)(−0,25) = 0,4722

V_A = Δ₁/Δ = 0,3472/0,4722 = 0,7353 V

V_B = Δ₂/Δ = −1,875/0,4722 = −3,971 V

Đáp số

V_B = −3,971 V

4.Phương pháp điện thế nút

Đáp số: I_R1 = −1,103 A

Lập siêu nút

Nguồn áp giữa A và B mang một dòng điện chưa biết, nên không thể viết KCL riêng tại A hoặc B. Hãy bao A, B và nguồn thành một siêu nút: dòng điện đi vào nó bằng dòng điện đi ra.

V_B = V_A + 3

(V_A − V₁)/R₁ + V_A/R₂ + V_B/R₃ = I_s

Giải

(V_A − 18)/25 + V_A/20 + (V_A + 3)/30 = 5

V_A·(1/25 + 1/20 + 1/30) = 5 + 18/25 − 3/30 = 5,62

V_A = 5,62/0,1233 = 45,57 V

V_B = 48,57 V

Dòng điện qua R₁

I_R1 = (V₁ − V_A)/R₁ = (18 − 45,57)/25 = −1,103 A

Đáp số

I_R1 = −1,103 A

Kết quả âm nghĩa là dòng điện thực chảy ngược chiều mũi tên.

5.Phương pháp dòng điện mạch vòng

Đáp số: I₁ = 2,118 A

Phương pháp dòng điện mạch vòng: gán cho mỗi ô của mạch phẳng một dòng điện vòng riêng, viết định luật điện áp Kirchhoff quanh mỗi vòng (tổng sụt áp = tổng điện áp tăng), rồi giải. Dòng nhánh là dòng mạch vòng, hoặc hiệu của hai dòng mạch vòng trên nhánh chung.

Gán các dòng điện mạch vòng

Vẽ một dòng điện theo chiều kim đồng hồ trong mỗi ô: I₁, I₂. Điện trở chung của hai mạch vòng có dòng bằng hiệu của hai dòng mạch vòng.

KVL quanh mạch vòng 1

Đi theo chiều kim đồng hồ, tổng sụt áp trên các điện trở bằng tổng điện áp nguồn tăng (từ − sang + theo chiều đi).

R₁·I₁ + R₃(I₁ − I₂) = V₁

5·I₁ + 5(I₁ − I₂) = 30

10·I₁ − 5·I₂ = 30

KVL quanh mạch vòng 2

Đi theo chiều kim đồng hồ, tổng sụt áp trên các điện trở bằng tổng điện áp nguồn tăng (từ − sang + theo chiều đi).

R₂·I₂ + R₃(I₂ − I₁) = −V₂

6·I₂ + 5(I₂ − I₁) = (−30)

−5·I₁ + 11·I₂ = −30

Giải

Δ = (10)(11) − (−5)(−5) = 85

I₁ = Δ₁/Δ = 180/85 = 2,118 A

I₂ = Δ₂/Δ = −150/85 = −1,765 A

Đáp số

I₁ = 2,118 A

Dòng điện mạch vòng âm chạy ngược chiều kim đồng hồ.

6.Phương pháp dòng điện mạch vòng

Đáp số: I₃ = −1,356 A

Gán các dòng điện mạch vòng

Vẽ một dòng điện theo chiều kim đồng hồ trong mỗi ô: I₁, I₂, I₃. Điện trở chung của hai mạch vòng có dòng bằng hiệu của hai dòng mạch vòng.

KVL quanh mạch vòng 1

Đi theo chiều kim đồng hồ, tổng sụt áp trên các điện trở bằng tổng điện áp nguồn tăng (từ − sang + theo chiều đi).

R₁·I₁ + R₄(I₁ − I₂) = V₁

3·I₁ + 12(I₁ − I₂) = 6

15·I₁ − 12·I₂ = 6

KVL quanh mạch vòng 2

Đi theo chiều kim đồng hồ, tổng sụt áp trên các điện trở bằng tổng điện áp nguồn tăng (từ − sang + theo chiều đi).

R₂·I₂ + R₄(I₂ − I₁) + R₅(I₂ − I₃) = 0

20·I₂ + 12(I₂ − I₁) + 3(I₂ − I₃) = 0

−12·I₁ + 35·I₂ − 3·I₃ = 0

KVL quanh mạch vòng 3

Đi theo chiều kim đồng hồ, tổng sụt áp trên các điện trở bằng tổng điện áp nguồn tăng (từ − sang + theo chiều đi).

R₃·I₃ + R₅(I₃ − I₂) = −V₂

8·I₃ + 3(I₃ − I₂) = (−15)

−3·I₂ + 11·I₃ = −15

Giải

Δ = định thức của ma trận hệ số = 4056

I₁ = Δ₁/Δ = 1716/4056 = 0,4231 A

I₂ = Δ₂/Δ = 117/4056 = 0,02885 A

I₃ = Δ₃/Δ = −5499/4056 = −1,356 A

Đáp số

I₃ = −1,356 A

Dòng điện mạch vòng âm chạy ngược chiều kim đồng hồ.

7.Nguyên lý xếp chồng

Đáp số: I_s = 1 A

Nguyên lý xếp chồng: trong mạch tuyến tính, mọi điện áp hoặc dòng điện đều bằng tổng các đáp ứng do từng nguồn độc lập tác dụng riêng. Để tắt một nguồn, thay nguồn điện áp lý tưởng bằng ngắn mạch và nguồn dòng lý tưởng bằng hở mạch. Các điện trở giữ nguyên vị trí.

Trường hợp 1 · V₁ tác dụng riêng

Iₛ trở thành hở mạch, nên R₃ và R₄ tạo thành một nhánh nối tiếp từ A xuống đất, song song với R₂.

R₃+R₄ = 5+10 = 15 Ω

R₂ ∥ (R₃+R₄) = 10·15/(10+15) = 6 Ω

V_A = 12·6/(2+6) = 9 V

V_B = V_A·R₄/(R₃+R₄) = 9·10/15 = 6 V

I_R3′ = (V_A − V_B)/R₃ = (9 − 6)/5 = 0,6 A

Trường hợp 2 · I_s tác dụng riêng

V₁ trở thành ngắn mạch, nên R₁ ∥ R₂ nối từ A xuống đất. Iₛ chia tại B giữa R₄ và nhánh R₃ + R₁∥R₂; phần qua R₃ chảy từ B đến A, ngược chiều mũi tên.

R₁ ∥ R₂ = 1,667 Ω

I_R3″ = −I_s·R₄/(R₄ + R₃ + R₁∥R₂) = −I_s·10/16,67 = −0,6·I_s

Cho tổng bằng không

I_R3′ + I_R3″ = 0,6 − 0,6·I_s = 0

I_s = 0,6/0,6 = 1 A

Đáp số

I_s = 1 A

8.Nguyên lý xếp chồng

Đáp số: I = −0,5 mA

Viết các phép đo theo các phần đóng góp

Mỗi phần đóng góp tỉ lệ với nguồn của nó.

I₁ + I₂ + I₃ = 6

2·I₁ + I₂ + I₃ = −3

I₁ + I₂ − I₃ = −11

Giải tìm các phần đóng góp

I₁ = −3 − 6 = −9 mA

I₃ = (6 − (−11))/2 = 8,5 mA

I₂ = 6 − (−9) − 8,5 = 6,5 mA

Tắt V₂

I = I₁ + I₃ = (−9) + 8,5 = −0,5 mA

Đáp số

I = −0,5 mA

9.Thévenin và Norton

Đáp số: R_th = 8 Ω

Định lý Thévenin: mọi mạng tuyến tính hai cực đều hoạt động như một nguồn điện áp V_th duy nhất nối tiếp với điện trở R_th. Định lý Norton cho cùng mạng đó dưới dạng nguồn dòng I_N = V_th/R_th song song với R_th.

Tìm R_th khi tắt mọi nguồn

Thay nguồn điện áp bằng ngắn mạch và nguồn dòng bằng hở mạch, rồi nhìn vào mạch từ a–b.

R₁ ∥ R₂ = 4·12/(4+12) = 3 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 3 + 5 = 8 Ω

10.Thévenin và Norton

Đáp số: P_L = 103,7 W

Tìm R_th khi tắt mọi nguồn

Thay nguồn điện áp bằng ngắn mạch và nguồn dòng bằng hở mạch, rồi nhìn vào mạch từ a–b.

R₁ ∥ R₂ = 2·6/(2+6) = 1,5 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 1,5 + 3 = 4,5 Ω

Tìm V_th, điện áp hở mạch

Khi a–b hở, đường duy nhất cho Iₛ là qua R₃ vào nút A. Tìm V_A bằng xếp chồng V₁ và Iₛ, rồi cộng thêm độ sụt áp trên R₃.

V_A = V₁·R₂/(R₁+R₂) + I_s·(R₁∥R₂) = 18 + 6·1,5 = 27 V

V_th = V_B = V_A + I_s·R₃ = 27 + 6·3 = 45 V

Nối tải vào mạch tương đương Thévenin

Nguồn Thévenin nối tiếp với R_th hoạt động giống hệt mạch gốc tại a–b, nên tải thấy một mạch vòng nối tiếp đơn giản.

I_L = V_th/(R_th + R_L) = 45/(4,5 + 8) = 3,6 A

P_L = I_L²·R_L = 3,6²·8 = 103,7 W

11.Quá độ RC và RL

Đáp số: τ = 56,07 ms

Quá độ bậc nhất: trong mạch có một tụ điện hoặc một cuộn cảm, mọi điện áp và dòng điện biến thiên theo hàm mũ từ giá trị ban đầu đến giá trị cuối: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, với τ = RC hoặc τ = L/R. Sau khoảng 5τ mạch đã ổn định.

Mạch tương đương Thévenin nhìn từ tụ điện

Ngắn mạch nguồn để tìm R_th; hở mạch tụ điện để tìm điện áp mà nó sẽ ổn định ở đó.

R_th = R₁ ∥ R₂ = 4,7·1/(4,7 + 1) = 0,8246 kΩ

v_C(∞) = 30·1/(4,7 + 1) = 5,263 V

Hằng số thời gian

τ = R_th·C = 0,8246·68 = 56,07 ms

Đáp số

τ = 56,07 ms

12.Quá độ RC và RL

Đáp số: v_C = 1,823 V

Điện áp ban đầu của tụ điện

Ở trạng thái xác lập, tụ điện là mạch hở, nên R₁ và R₂ tạo thành bộ chia áp. Điện áp tụ điện không thể nhảy khi công tắc mở.

v_C(0) = 15·4,7/(10 + 4,7) = 4,796 V

Hằng số thời gian sau khi công tắc mở

τ = R₂·C = 4,7·220 = 1034 ms

Sự phóng điện

v_C(t) = 4,796·e^−1000/1034 = 1,823 V

Đáp số

v_C = 1,823 V

13.Tổng trở xoay chiều và phasor

Đáp số: φ = −68,25 °

Mạch xoay chiều với phasor: điện trở, cuộn cảm và tụ điện có tổng trở lần lượt là R, jωL và 1/(jωC), với ω = 2πf. Khi nối tiếp, các tổng trở cộng như điện trở, nhưng là số phức. Dòng điện và điện áp hiệu dụng tuân theo định luật Ohm với |Z|.

Điện kháng

ω = 2πf = 2π·60 = 377 rad/s

X_L = ωL = 377·0,05 = 18,85 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(377·47·10⁻⁶) = 56,44 Ω

Tổng trở

Khi nối tiếp, các tổng trở cộng như số phức: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(15² + (−37,59)²) = 40,47 Ω

Góc pha

φ = arctan((X_L − X_C)/R) = arctan(−37,59/15) = −68,25°

Đáp số

φ = −68,25°

14.Tổng trở xoay chiều và phasor

Đáp số: f₀ = 355,9 Hz

Cộng hưởng

Khi cộng hưởng, cảm kháng và dung kháng triệt tiêu nhau: ωL = 1/(ωC). Tần số nguồn không ảnh hưởng.

f₀ = 1/(2π√(LC)) = 1/(2π·√(0,02·10·10⁻⁶)) = 355,9 Hz

Đáp số

f₀ = 355,9 Hz

15.Công suất xoay chiều và hệ số công suất

Đáp số: cos φ = 0,6904

Công suất xoay chiều: công suất biểu kiến S = V·I (VA) tách thành công suất tác dụng P = S·cos φ (W), thực hiện công có ích, và công suất phản kháng Q = S·sin φ (var), dao động qua lại giữa nguồn và tải. Hệ số công suất là cos φ. Một tụ điện mắc song song cung cấp công suất phản kháng tại chỗ, nên dòng điện trên đường dây giảm với cùng công suất tác dụng.

Công suất phản kháng của mỗi tải

Tải trễ pha lấy công suất phản kháng (Q > 0); tải sớm pha cung cấp nó (Q < 0).

Q₁ = 27·tan(arccos 0,65) = 31,57 kvar

Q₂ = 11·tan(arccos 0,8) = 8,25 kvar

Các tổng

P = 27 + 11 = 38 kW

Q = 31,57 + 8,25 = 39,82 kvar

S = √(38² + 39,82²) = 55,04 kVA

Hệ số công suất tổng

cos φ = P/S = 38/55,04 = 0,6904 trễ pha

Đáp số

cos φ = 0,6904

16.Công suất xoay chiều và hệ số công suất

Đáp số: C = 632,1 µF

Công suất phản kháng trước và sau

Công suất tác dụng P không đổi; chỉ công suất phản kháng lấy từ nguồn thay đổi.

Q₁ = P·tan φ₁ = 15·tan(49,46°) = 17,54 kvar

Q₂ = P·tan φ₂ = 15·tan(18,19°) = 4,93 kvar

Q_C = Q₁ − Q₂ = 12,61 kvar

Điện dung

Một tụ điện mắc qua nguồn cung cấp Q = V²·ωC.

C = Q_C/(2πf·V²) = 12607/(2π·60·230²) = 632,1 µF

Đáp số

C = 632,1 µF

17.Công suất ba pha

Đáp số: P = 13,78 kW

Điện áp pha

V_ph = V_L = 415 V

Dòng điện pha

|Z| = √(24² + 18²) = 30 Ω

I_ph = 415/30 = 13,83 A

Tổng công suất tác dụng

Chỉ phần điện trở của mỗi tổng trở hấp thụ công suất tác dụng.

P = 3·I_ph²·R = 3·13,83²·24 = 13,78 kW

Đáp số

P = 13,78 kW

Kiểm tra: cos φ = R/|Z| = 0,8, và √3·V_L·I_L·cos φ cho cùng công suất.

18.Công suất ba pha

Đáp số: Q_C = 54,69 kvar

Hệ ba pha cân bằng: trong nối sao (Y), điện áp dây bằng √3 lần điện áp pha, V_L = √3·V_ph, và dòng điện dây bằng dòng điện pha. Trong nối tam giác (Δ), điện áp dây bằng điện áp pha và dòng điện dây bằng √3 lần dòng điện pha, I_L = √3·I_ph. Tổng công suất bằng ba lần công suất của một pha: P = 3·V_ph·I_ph·cos φ = √3·V_L·I_L·cos φ. Bù hệ số công suất: tụ điện cung cấp công suất phản kháng tại chỗ, Q_C = P·(tan φ₁ − tan φ₂). Mỗi tụ trong ba tụ cung cấp Q_C/3 = V²·ω·C, trong đó V là điện áp trên tụ đó: V_L trong bộ nối tam giác (Δ), V_L/√3 trong bộ nối sao (Y).

Công suất phản kháng trước và sau

Công suất tác dụng không đổi, nên mỗi hệ số công suất xác định công suất phản kháng: Q = P·tan φ.

Q₁ = 100·tan(acos 0,8) = 100·0,75 = 75 kvar

Q₂ = 100·tan(acos 0,98) = 100·0,2031 = 20,31 kvar

Công suất phản kháng từ các tụ điện

Q_C = Q₁ − Q₂ = 54,69 kvar

Đáp số

Q_C = 54,69 kvar

19.Máy biến áp

Đáp số: R_1′ = 5000 Ω

Máy biến áp lý tưởng: điện áp tỉ lệ với số vòng dây và dòng điện theo tỉ lệ nghịch: V₁/V₂ = N₁/N₂ = a và I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a, nên công suất vào bằng công suất ra, V₁·I₁ = V₂·I₂. Một tổng trở tải Z ở thứ cấp trông như a²·Z khi nhìn từ sơ cấp.

Điện trở quy đổi

Điện áp tăng a lần và dòng điện giảm a lần, nên tỉ số V/I tăng a² lần.

R_1′ = a²·R_L = 10²·50 = 5000 Ω

Đáp số

R_1′ = 5000 Ω

20.Máy biến áp

Đáp số: S_η,max = 250 kVA

Tổn thất của máy biến áp: tổn thất lõi (từ trễ và dòng điện xoáy) phụ thuộc vào điện áp và như nhau ở mọi tải. Tổn thất đồng ở các cuộn dây tỉ lệ với bình phương dòng điện, nên ở một phần x của tải định mức nó là x²·P_cu,fl. Hiệu suất η = P_out/(P_out + P_core + P_cu), với P_out = x·S·pf. Hiệu suất cao nhất ở tải mà tổn thất đồng bằng tổn thất lõi.

Tổn thất đồng bằng tổn thất lõi

x²·16000 = 4000 → x = √(4000/16000) = 0,5

Tải ở hiệu suất cực đại

S_η,max = x·S = 0,5·500 = 250 kVA

Đáp số

S_η,max = 250 kVA

21.Mạch khuếch đại thuật toán

Đáp số: V_out = 4,5 V

Quy tắc của op-amp lý tưởng: với hồi tiếp âm, op-amp điều khiển ngõ ra sao cho hai ngõ vào ở cùng điện áp (V₋ = V₊), và không có dòng điện chạy vào cả hai ngõ vào. Viết KCL tại ngõ vào đảo với hai sự kiện này sẽ cho ra ngõ ra.

Điện áp tại đầu vào +

V₊ = V_in·R_b/(R_a + R_b) = 4,5·1/(1 + 1) = 2,25 V

Độ khuếch đại không đảo

V₋ = V₊, và dòng điện qua R₁ cũng chạy qua R_f.

V_out = V₊·(1 + R_f/R₁) = 2,25·(1 + 47/47) = 4,5 V

Đáp số

V_out = 4,5 V

22.Mạch khuếch đại thuật toán

Đáp số: V_out = 4,7 V

Độ khuếch đại của mỗi tầng

A₁ = −R_f1/R₁ = −47/10 = −4,7

A₂ = 1 + R_f2/R₂ = 1 + 4,7/4,7 = 2

Từng tầng một

V₁ = −4,7·(−0,5) = 2,35 V

V_out = 2·2,35 = 4,7 V

Đáp số

V_out = 4,7 V

23.Diode và transistor

Đáp số: I_Z = 15,81 mA

Bộ ổn áp Zener: một diode Zener phân cực ngược giữ điện áp V_Z của nó trong khi dòng điện còn trên mức tối thiểu I_Z,min. Điện trở nối tiếp R nhận phần chênh lệch giữa đầu vào và đầu ra: I_R = (V_in − V_Z)/R. Dòng điện đó chia giữa tải, I_L = V_Z/R_L, và Zener: I_Z = I_R − I_L. Thiết kế cho các trường hợp xấu nhất: đầu vào thấp nhất với tải lớn nhất vẫn phải còn lại I_Z,min, và đầu vào cao nhất khi không tải cho công suất Zener lớn nhất P_Z = V_Z·I_Z.

Dòng điện qua điện trở

I_R = 6,9/330 = 20,91 mA

Dòng điện qua tải

I_L = 5,1/1000 = 5,1 mA

Dòng điện Zener

I_Z = 20,91 − 5,1 = 15,81 mA

Đáp số

I_Z = 15,81 mA

24.Diode và transistor

Đáp số: R_max = 219,2 Ω

Dòng điện trường hợp xấu nhất

I_R = 25 + 1 = 26 mA

Điện trở lớn nhất

R_max = 5,7/0,026 = 219,2 Ω

Đáp số

R_max = 219,2 Ω

25.Hệ đếm

Đáp số: U = 146

Đặt các bit: mỗi bit có giá trị bằng một lũy thừa của hai (128, 64, …, 1). Một chữ số hex đúng bằng bốn bit, và trong bù hai 8 bit, bit ngoài cùng bên trái có giá trị −128. Các phép toán theo bit làm việc trên từng vị trí bit riêng biệt.

Đảo bit và cộng một

110 = 0110 1110

đã đảo: 1001 0001

+1 → 1001 0010

Đọc như số không dấu

1001 0010₂ = 256 − 110 = 146

Đáp số

U = 146

26.Hệ đếm

Đáp số: N = −8,389 × 10⁶

Hệ đếm theo vị trí: mỗi chữ số có giá trị bằng giá trị của nó nhân với một lũy thừa của cơ số. Trong hệ nhị phân, các vị trí có giá trị 1, 2, 4, 8, 16, …; trong hệ thập lục phân 1, 16, 256, …, với A–F biểu diễn 10–15. Trong số bù hai 8 bit, bit ngoài cùng bên trái có giá trị −128 thay vì +128, đó là cách lưu số âm.

Giá trị âm nhất

−2²³ = −8388608

Đáp số

N = −8388608

27.Logic số: cổng, bìa K và flip-flop

Đáp số: AB = 01, CD = 11

Bìa Karnaugh: các ô được sắp xếp theo mã Gray (00, 01, 11, 10), nên các ô kề nhau, kể cả những ô qua mép, khác nhau đúng một biến. Hãy nhóm các số 1 thành hình chữ nhật gồm 1, 2, 4, 8 hoặc 16 ô, lớn nhất có thể và ít nhóm nhất có thể, cho đến khi mọi số 1 đều được phủ. Mỗi nhóm là một số hạng tích: các biến không đổi bên trong nó. Một nhóm 2ᵏ ô mất k biến. Các điều kiện tùy định (X) có thể dùng để làm nhóm lớn hơn nhưng không bắt buộc phải được phủ. Nhóm các số 0 thay vào đó sẽ cho dạng POS tối thiểu.

Các ô kề của mỗi số 1

Một số 1 có số 1 kề có thể thuộc một nhóm hai ô hoặc lớn hơn.

m7: m6, m5, m3, m15 → 0

Số 1 cô lập

m7 = A′BCD → AB = 01, CD = 11

Đáp số

AB = 01, CD = 11

28.Logic số: cổng, bìa K và flip-flop

Đáp số: N = 5

Các implicant nguyên tố

Các nhóm lớn nhất có thể tạo từ các số 1 và các X.

B′C′, A′C′D′, AC′D, A′B′D′, A′BCD

Các implicant nguyên tố cốt yếu

B′C′, A′C′D′, AC′D, A′B′D′, A′BCD

N = 5

Đáp số

N = 5

29.Biến đổi Laplace

Đáp số: f(0.3) = 1,04

Biến đổi Laplace: F(s) = ∫₀^∞ f(t)·e^−st dt biến đạo hàm thành phép nhân với s: ℒ{f′} = sF(s) − f(0), ℒ{f″} = s²F(s) − s·f(0) − f′(0). Các cặp chuẩn: 1 ↔ 1/s, e^−at ↔ 1/(s + a), t·e^−at ↔ 1/(s + a)², sin ωt ↔ ω/(s² + ω²), cos ωt ↔ s/(s² + ω²), và phép dịch s → s + σ nhân hàm theo thời gian với e^−σt. Để biến đổi ngược một F(s) hữu tỉ, hãy tách thành các phân thức riêng: thặng dư của cực đơn p là A = [(s − p)·F(s)] tại s = p. Định lý giá trị cuối: f(∞) = lim_s→0 s·F(s), chỉ đúng khi mọi cực của s·F(s) nằm trong nửa mặt phẳng trái. Định lý giá trị đầu: f(0⁺) = lim_s→∞ s·F(s).

Phân thức riêng

F(s) = A/s + B/(s + 3) + C/(s + 4)

A = 45/(3·4) = 3,75

B = 45/((−3)·1) = −15

C = 45/((−4)·(−1)) = 11,25

Biến đổi ngược

f(t) = 3,75 − 15·e^−3t + 11,25·e^−4t

Tính giá trị

f(0,3) = 3,75 − 15·e^−3·0,3 + 11,25·e^−4·0,3 = 1,04

Đáp số

f(0,3) = 1,04

30.Biến đổi Laplace

Đáp số: g(0.5) = 1,327

Hàm truyền

G(s) = Y(s)/U(s) = (4s + 11)/(s² + 5s + 6)

Phân thức riêng

s² + 5s + 6 = (s + 2)(s + 3)

A = 3, B = 1

Đáp ứng xung

g(t) = 3·e^−2t + e^−3t

g(0,5) = 1,327

Đáp số

g(0,5) = 1,327

31.Sơ đồ khối

Đáp số: e_ss = 0,6486

Đại số sơ đồ khối: các khối nối tiếp thì nhân (G₁·G₂), các khối song song thì cộng (G₁ + G₂), và một vòng có đường thuận G và đường hồi tiếp H rút gọn thành T = G/(1 + G·H) với hồi tiếp âm và G/(1 − G·H) với hồi tiếp dương. Rút gọn các vòng bên trong trước, rồi làm dần ra ngoài. Các cực vòng kín là nghiệm của phương trình đặc trưng 1 + G(s)H(s) = 0. Với vòng ổn định, đầu vào bậc thang có độ lớn A cho đầu ra xác lập A·T(0); với hồi tiếp đơn vị, sai số xác lập đối với bậc thang là A/(1 + K_p) với K_p = G(0).

Hằng số sai số vị trí

Kₚ = G(0) = 5·5/(3·4) = 2,083

Sai số xác lập

e_ss = A/(1 + Kₚ) = 2/(1 + 2,083) = 0,6486

Đáp số

e_ss = 0,6486

32.Sơ đồ khối

Đáp số: K_max = 792

Phương trình đặc trưng

s³ + 14s² + 63s + 90 + K = 0

Bảng Routh

s³ | 1 63

s² | 14 90 + K

s¹ | (14·63 − 90 − K)/14

s⁰ | 90 + K

Giới hạn ổn định

Mọi phần tử của cột đầu tiên phải dương.

K_max = 14·63 − 90 = 792

Đáp số

K_max = 792

33.Đáp ứng bước

Đáp số: %OS = 48,64 %

Đáp ứng bước: một hệ bậc nhất G(s) = K/(τs + 1) đáp ứng với một bước nhảy có biên độ U là y(t) = K·U·(1 − e^−t/τ): nó đạt 63,2 % giá trị cuối K·U sau một hằng số thời gian τ và 98 % sau 4τ. Một hệ bậc hai G(s) = K·ωₙ²/(s² + 2ζωₙs + ωₙ²) có các cực s = −ζωₙ ± jω_d với ω_d = ωₙ√(1 − ζ²). Với 0 < ζ < 1, đáp ứng bước có độ vọt lố: độ vọt lố phần trăm %OS = 100·e^{−ζπ/√(1−ζ²)}, thời gian đỉnh t_p = π/ω_d, và thời gian xác lập 2 % t_s ≈ 4/(ζωₙ). So sánh mẫu số với s² + 2ζωₙs + ωₙ² để suy ra ωₙ và ζ. Với hệ khối lượng–lò xo–giảm chấn ωₙ = √(k/m) và ζ = c/(2√(km)); với mạch RLC nối tiếp ωₙ = 1/√(LC) và ζ = (R/2)·√(C/L).

So sánh với dạng chuẩn

Mẫu số phải khớp với s² + 2ζωₙs + ωₙ².

ωₙ² = 45 → ωₙ = 6,708 rad/s

2ζωₙ = 3 → ζ = 3/(2·6,708) = 0,2236

Kết quả

%OS = 100·e^{−ζπ/√(1−ζ²)} = 100·e^−0,7207 = 48,64 %

Đáp số

%OS = 48,64 %

34.Đáp ứng bước

Đáp số: t_s = 2 s

Hàm truyền vòng kín

T(s) = 40/(s² + 4s + 40): ωₙ = 6,325 rad/s, ζ = 0,3162

Thời gian xác lập

ζωₙ = 4/2 = 2

t_s ≈ 4/(ζωₙ) = 2 s

Đáp số

t_s = 2 s

Với vòng này ζωₙ = a/2 bất kể K bằng bao nhiêu: tăng K làm tăng độ vọt lố nhưng không rút ngắn thời gian xác lập.

35.Biểu đồ Bode và độ dự trữ

Đáp số: f₀ = 1073 Hz

Đáp ứng tần số: thay s = jω vào hàm truyền. Độ lớn theo decibel là 20·log₁₀|H(jω)| và pha là tổng các góc của các nhân tử ở tử trừ đi các góc của các nhân tử ở mẫu. Một bộ lọc RC hoặc RL bậc nhất có tần số góc (−3 dB) tại ω_c = 1/(RC) hoặc R/L, và f_c = ω_c/(2π); bộ lọc thông thấp cho |H| = 1/√(1 + (ω/ω_c)²) và φ = −atan(ω/ω_c). Trong biểu đồ Bode tiệm cận (đường thẳng), mỗi cực bẻ độ lớn xuống 20 dB/decade tại tần số góc của nó, mỗi điểm không bẻ nó lên 20 dB/decade, và một bộ tích phân 1/s cho −20 dB/decade ở mọi tần số. Tần số cắt biên ω_c: |L(jω)| = 1 (0 dB); độ dự trữ pha PM = 180° + ∠L(jω_c). Tần số cắt pha ω₁₈₀: ∠L(jω) = −180°; độ dự trữ biên GM = −20·log₁₀|L(jω₁₈₀)| dB. Vòng kín ổn định khi cả hai độ dự trữ đều dương.

Tần số cộng hưởng

ω₀ = 1/√(LC) = 1/√(0,1·2,2 × 10⁻⁷) = 6742 rad/s

f₀ = ω₀/(2π) = 1073 Hz

Đáp số

f₀ = 1073 Hz

36.Biểu đồ Bode và độ dự trữ

Đáp số: PM = 40,53 °

Tần số cắt biên

ω⁴ + 25ω² − 2025 = 0

ω² = (−25 + √(625 + 4·2025))/2 = 34,2

ω_c = 5,848 rad/s

Độ dự trữ pha

∠L(jω_c) = −90° − atan(5,848/5) = −139,5°

PM = 180° + ∠L = 40,53°

Đáp số

PM = 40,53°

37.Ổn định: Routh–Hurwitz và quỹ đạo nghiệm

Đáp số: K_max = 378

Tiêu chuẩn Routh–Hurwitz: một hệ tuyến tính ổn định khi mọi nghiệm của đa thức đặc trưng của nó nằm ở nửa trái của mặt phẳng s. Viết các hệ số xen kẽ vào hai hàng đầu tiên của bảng Routh. Mỗi phần tử của một hàng mới đến từ hai hàng phía trên nó; với đa thức bậc ba a₃s³ + a₂s² + a₁s + a₀ phần tử s¹ là b₁ = (a₂·a₁ − a₃·a₀)/a₂. Số lần đổi dấu trong cột đầu tiên bằng số nghiệm ở nửa mặt phẳng phải. Với độ lợi K trong các hệ số, mọi phần tử của cột đầu phải dương: độ lợi làm phần tử s¹ bằng không là giới hạn ổn định, và hàng s² khi đó cho tần số của dao động duy trì.

Đa thức đặc trưng

s³ + 11s² + 38s + 40 + K = 0

Bảng Routh

s³: 1, 38

s²: 11, 40 + K

s¹: (11·38 − 40 − K)/11

s⁰: 40 + K

Điều kiện

Phần tử s¹ phải giữ dương.

K < 11·38 − 40 = 378

Đáp số

K_max = 378

Tại giới hạn vòng dao động ở ω = √38 = 6,164 rad/s.

38.Ổn định: Routh–Hurwitz và quỹ đạo nghiệm

Đáp số: s_b = −1,063

Quỹ đạo nghiệm số: khi độ lợi K đi từ 0 đến ∞, các cực vòng kín, tức các nghiệm của 1 + K·G(s) = 0, di chuyển từ các cực vòng hở đến các điểm không vòng hở hoặc đến vô cực. Một điểm trên trục thực thuộc quỹ đạo khi số cực và điểm không thực ở bên phải nó là số lẻ. n − m nhánh đi đến vô cực theo các đường tiệm cận ở các góc (2q + 1)·180°/(n − m), xuất phát từ trọng tâm σₐ = (Σ cực − Σ điểm không)/(n − m). Các nhánh rời hoặc nhập vào trục thực tại nơi dK/ds = 0. Điều kiện góc ∠G(s) = 180° quyết định hình dạng, và điều kiện biên độ K = 1/|G(s)| cho độ lợi tại bất kỳ điểm nào của quỹ đạo.

Độ lợi dọc theo trục thực

K(s) = −(s² + 2s)/(s + 9)

Các điểm dừng

Lấy đạo hàm bằng quy tắc thương và đặt tử số bằng không.

(2s + 2)(s + 9) − (s² + 2s) = s² + 18s + 18 = 0

s = −9 ± √63 = −1,063, −16,94

Điểm tách

s_b = −1,063

Đáp số

s_b = −1,063

Giữa hai điểm tách/nhập, quỹ đạo là một đường tròn tâm tại điểm không, với bán kính √63 = 7,937.

39.Sai số xác lập và điều khiển PID

Đáp số: K = 1000

Sai số xác lập: trong một vòng phản hồi đơn vị với hàm truyền vòng hở G(s), sai số là E(s) = R(s)/(1 + G(s)), và theo định lý giá trị cuối e_ss = lim_s→0 s·E(s). Loại của hệ là số cực của G(s) tại s = 0. Các hằng số sai số là K_p = lim G(s), K_v = lim s·G(s) và K_a = lim s²·G(s), đều với s → 0. Một bước nhảy có độ lớn A cho e_ss = A/(1 + K_p), một tín hiệu dốc A·t cho A/K_v và một parabol A·t²/2 cho A/K_a. Một vòng loại 0 bám theo bước nhảy với sai số hữu hạn, một vòng loại 1 bám theo nó chính xác và bám theo tín hiệu dốc với sai số hữu hạn.

Hằng số vận tốc yêu cầu

K_v = A/e_ss = 10/0,05 = 200

Độ khuếch đại

K = 5·K_v = 1000

Đáp số

K = 1000

Một độ lợi lớn làm vòng này cản rất yếu: ζ = 0,07906. Mâu thuẫn đó là lý do dùng các bộ bù.

40.Sai số xác lập và điều khiển PID

Đáp số: K_d = 0,2 s

Điều khiển P, PI và PID: bộ điều khiển C(s) = K_p + K_i/s + K_d·s tác động lên sai số. Một độ lợi tỉ lệ làm vòng nhanh hơn và giảm sai số của đối tượng loại 0, nhưng không bao giờ loại bỏ nó. Thành phần tích phân thêm một cực tại s = 0: loại của hệ tăng thêm một, và một bước nhảy được bám theo không có sai số. Thành phần vi phân thêm sự cản. Để chọn các độ lợi, viết đa thức đặc trưng vòng kín và so sánh nó với s² + 2ζω_ns + ω_n². Khi đó %OS = 100·e^{−ζπ/√(1−ζ²)}, t_p = π/ω_d với ω_d = ω_n√(1 − ζ²), và t_s ≈ 4/(ζω_n).

Đa thức đặc trưng

s(s + 4) + 4(4 + K_ds) = s² + (4 + 4K_d)s + 16

Tần số riêng

ωₙ = √16 = 4 rad/s

Độ lợi vi phân

4 + 4K_d = 2·0,6·4 = 4,8

K_d = 0,2 s

Đáp số

K_d = 0,2 s

Thành phần vi phân thêm sự cản mà không làm đổi ωₙ.

Đây là tài liệu luyện tập độc lập. ExamProblems không liên kết với hay được xác nhận bởi tổ chức tổ chức kỳ thi này, và tên kỳ thi chỉ được dùng để mô tả nội dung. Kỳ thi FE exam do NCEES tổ chức; tổ chức này không liên kết với ExamProblems và không bảo trợ nó.

ExamProblems · examproblems.com/courses/fe-exam-electrical

Luyện thi FE Điện và Máy tính: gói ôn nước rút

1Công thức và phương pháp

Điện trở nối tiếp và song song

Phương pháp

Phương pháp điện thế nút

Phương pháp

Phương pháp dòng điện mạch vòng

Phương pháp

Nguyên lý xếp chồng

Phương pháp

Thévenin và Norton

Phương pháp

Quá độ RC và RL

Phương pháp

Tổng trở xoay chiều và phasor

Phương pháp

Công suất xoay chiều và hệ số công suất

Công suất ba pha

Máy biến áp

Mạch khuếch đại thuật toán

Diode và transistor

Hệ đếm

Logic số: cổng, bìa K và flip-flop

Phương pháp

Ổn định: Routh–Hurwitz và quỹ đạo nghiệm

Phương pháp

Sai số xác lập và điều khiển PID

Phương pháp

2Bài tập

3Dung dịch

Gộp các điện trở từ đầu xa

Dòng điện từ nguồn

Đáp số

Gộp các điện trở từ đầu xa

Đáp số

Thiết lập các nút

KCL tại nút A

KCL tại nút B

Giải

Đáp số

Lập siêu nút

Giải

Dòng điện qua R₁

Đáp số

Gán các dòng điện mạch vòng

KVL quanh mạch vòng 1

KVL quanh mạch vòng 2

Giải

Đáp số

Gán các dòng điện mạch vòng

KVL quanh mạch vòng 1

KVL quanh mạch vòng 2

KVL quanh mạch vòng 3

Giải

Đáp số

Trường hợp 1 · V1 tác dụng riêng

Trường hợp 2 · Is tác dụng riêng

Cho tổng bằng không

Đáp số

Viết các phép đo theo các phần đóng góp

Giải tìm các phần đóng góp

Tắt V₂

Đáp số

Tìm Rth khi tắt mọi nguồn

Tìm Rth khi tắt mọi nguồn

Tìm Vth, điện áp hở mạch

Nối tải vào mạch tương đương Thévenin

Mạch tương đương Thévenin nhìn từ tụ điện

Hằng số thời gian

Đáp số

Điện áp ban đầu của tụ điện

Hằng số thời gian sau khi công tắc mở

Sự phóng điện

Đáp số

Điện kháng

Tổng trở

Góc pha

Đáp số

Cộng hưởng

Đáp số

Trường hợp 1 · V₁ tác dụng riêng

Trường hợp 2 · I_s tác dụng riêng

Tìm R_th khi tắt mọi nguồn

Tìm R_th khi tắt mọi nguồn

Tìm V_th, điện áp hở mạch