Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 42 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.
Dầm đơn giản có gối cố định tại A và gối con lăn tại B. Nó chịu một lực tập trung P tại vị trí cách A 0,5 m và một ngẫu lực cùng chiều kim đồng hồ M tại vị trí cách A 3,5 m. Tìm phản lực thẳng đứng RB, lấy chiều hướng lên là dương.
Dầm có gối cố định tại A và gối con lăn tại B, cách A 3,5 m, và đoạn công-xôn nhô ra khỏi B tới đầu tự do C. Dầm chịu một lực tập trung P tại vị trí cách A 2 m và tải phân bố đều w từ 2,5 m đến đầu tự do tại 5 m. Tìm phản lực thẳng đứng RA, lấy chiều hướng lên là dương.
Một thanh gồm một đoạn thép (đường kính 30 mm, chiều dài 500 mm, E = 200 GPa) nối đầu với đầu với một đoạn làm bằng đồng thau (đường kính 40 mm, chiều dài 200 mm, E = 100 GPa). Nó được ngàm một đầu và bị kéo ở đầu kia. Tìm tải dọc trục P làm nó giãn tổng cộng 0,5 mm.
Thanh bậc được ngàm vào tường và chịu tải ở đầu tự do. Tìm ứng suất pháp lớn nhất σmax trong thanh.
Một trục rỗng thép (đường kính ngoài 50 mm, đường kính trong 35 mm, chiều dài 3 m) được ngàm một đầu và bị xoắn bởi mô-men xoắn 100 N·m ở đầu kia. Tìm góc xoắn φ theo độ.
Một trục đặc phải truyền 5 kW ở 1800 rpm mà ứng suất tiếp không vượt quá 75 MPa. Tìm đường kính nhỏ nhất d thỏa mãn.
Dầm đơn giản chịu một ngẫu lực cùng chiều kim đồng hồ M0 = 50 kN·m tại x = 5 m tính từ A, và không có tải nào khác. Tìm mô-men uốn Mx ngay bên trái ngẫu lực. Dùng quy ước mô-men làm võng xuống là dương và lực cắt hướng lên trên mặt cắt bên trái là dương.
Dầm đặt trên gối cố định tại A và gối con lăn tại B, và đoạn công-xôn nhô ra khỏi B một đoạn 1 m tới đầu tự do C. Tải phân bố đều w tác dụng trên toàn bộ chiều dài A–C. Tìm mô-men uốn võng xuống lớn nhất Mmax giữa hai gối.
Một điểm trong chi tiết chịu tải có σₓ = 140 MPa, σᵧ = 70 MPa và τₓᵧ = 60 MPa (kéo là dương). Tìm góc θp từ trục x đến phương của ứng suất chính lớn nhất, trong khoảng −90° đến 90°.
Một điểm trong chi tiết chịu tải có σₓ = 150 MPa, σᵧ = −10 MPa và τₓᵧ = −20 MPa (kéo là dương). Tìm ứng suất tiếp τθ trên một mặt có pháp tuyến xoay 35° ngược chiều kim đồng hồ so với trục x (dương cùng chiều với τₓᵧ).
Một dầm công-xôn dài L ngàm tại A và chịu lực tập trung P tại vị trí cách A một đoạn a = 5 m. Tìm độ võng δB tại đầu tự do B.
Một dầm gỗ đơn giản có tiết diện chữ nhật, rộng 75 mm, chịu tải phân bố đều w trên toàn bộ nhịp. Độ võng tại giữa nhịp không được vượt quá nhịp/300. Tìm chiều cao tiết diện nhỏ nhất hreq.
Một cột dài L làm bằng thép được ngàm ở chân và khớp ở đỉnh. Dùng công thức Euler, tìm tải trọng oằn tới hạn Pcr của nó.
Một cột dài L làm bằng thép được ngàm ở chân và tự do ở đỉnh. Tìm độ mảnh của nó và ứng suất oằn tới hạn σcr theo công thức Euler.
Một quả bóng được phóng từ mặt đất bằng phẳng hợp góc 55° so với phương ngang và rơi cách 115 m. Bỏ qua sức cản không khí và dùng g = 9,81 m/s². Tìm tốc độ phóng v0.
Một quả bóng được ném với góc 45° so với phương ngang từ đỉnh một vách đá cao 40 m. Bỏ qua lực cản không khí. Tìm thời gian bay t cho đến khi quả bóng chạm đất.
Một quả cầu 0,2 kg treo trên một sợi dây nhẹ dài 0,8 m. Nó được kéo lệch cho đến khi dây hợp với phương thẳng đứng góc 90° rồi thả từ trạng thái nghỉ. Tìm lực căng T trong dây khi quả cầu đi qua điểm thấp nhất.
Một khối 10 kg bắt đầu từ trạng thái nghỉ ở chân một dốc nghiêng 15° và bị kéo lên dốc bởi một lực không đổi 60 N song song với dốc. Hệ số ma sát trượt là 0,25. Tìm vận tốc v của khối sau khi nó đã đi được 4 m lên dốc.
Một vật 5 kg trên lò xo có độ cứng 100 kN/m có bộ cản nhớt cho hệ số cản 0,4. Tìm tần số riêng có cản fd của dao động tự do theo Hz.
Một vật 100 kg treo vào hai lò xo đặt cạnh nhau (song song), có độ cứng k₁ = 40 kN/m và k₂ = 100 kN/m. Vật giữ nằm ngang. Tìm độ cứng tương đương keq của hệ lò xo theo kN/m.
Một động cơ nhiệt làm việc giữa nguồn nóng ở 600 °C và nguồn lạnh ở 10 °C. Nó nhận 600 kJ nhiệt. Tìm công lớn nhất Wmax mà nó có thể sinh ra.
Một tủ lạnh giữ không gian lạnh ở 2 °C trong căn bếp ở 28 °C, lấy nhiệt từ không gian lạnh với tốc độ 3 kW. Tìm công suất đầu vào tối thiểu Ẇmin.
Một chu trình Diesel lý tưởng có tỉ số nén r = 17 và tỉ số cắt nhiên liệu rc = v₃/v₂ = 3. Dùng các giả thiết không khí lạnh tiêu chuẩn: không khí là khí lý tưởng có nhiệt dung riêng không đổi, k = 1,4, cp = 1,005 kJ/(kg·K) và cv = 0,718 kJ/(kg·K). Tìm hiệu suất nhiệt η của nó theo phần trăm.
Một nhà máy tuabin khí chạy theo chu trình Brayton với tỉ số áp suất máy nén 15. Không khí vào máy nén ở 310 K và vào tuabin ở 1400 K. Cả hai máy đều là đẳng entropi. Dùng các giả thiết không khí lạnh tiêu chuẩn: không khí là khí lý tưởng có nhiệt dung riêng không đổi, k = 1,4, cp = 1,005 kJ/(kg·K) và cv = 0,718 kJ/(kg·K). Tìm công ròng sinh ra wnet trên mỗi kilogam không khí, theo kJ/kg.
Nước chảy qua một ống nằm ngang thu hẹp từ 75 mm xuống 40 mm. Ở đoạn rộng, áp suất là 160 kPa và vận tốc là 1 m/s. Bỏ qua tổn thất, tìm áp suất p2 ở đoạn hẹp.
Nước chảy lên qua một ống thu hẹp từ 75 mm xuống 25 mm trong khi dâng cao 8 m. Tại tiết diện 1, áp suất là 350 kPa và vận tốc là 0,5 m/s. Bỏ qua tổn thất, tìm áp suất p2 tại tiết diện 2.
Nước chảy với vận tốc trung bình 2,9 m/s qua một ống dài 500 m, đường kính trong 200 mm. Dùng hệ số ma sát Darcy f = 0,022 và g = 9,81 m/s². Tìm tổn thất cột áp do ma sát hf.
Hai bể chứa hở được nối bằng một ống dài 100 m, đường kính trong 250 mm và hệ số ma sát Darcy f = 0,015. Các tổn thất cục bộ là lối vào cạnh vuông (K = 0,5), 2 khúc cua (K = 0,3 mỗi khúc), một van (K = 5) và lối ra vào bể thấp hơn (K = 1,0). Dùng g = 9,81 m/s². Chênh lệch mực nước Δz giữa các bể là bao nhiêu để có lưu lượng 150 L/s?
Trong một thử nghiệm, một máy bơm cấp 150 L/s nước (ρ = 1000 kg/m³) ngược với cột áp 36 m trong khi trục của nó nhận 73,6 kW. Dùng g = 9,81 m/s². Tìm hiệu suất bơm η theo phần trăm.
Một máy bơm chuyển 80 L/s nước (ρ = 1000 kg/m³) từ một bể hở phía dưới lên một bồn phía trên có mặt nước cao hơn 9 m. Ống dài 150 m, đường kính trong 250 mm và hệ số ma sát Darcy f = 0,015; các hệ số tổn thất cục bộ cộng lại là ΣK = 5 (đã gồm lối vào và lối ra). Dùng g = 9,81 m/s². Tìm cột áp H mà bơm phải bổ sung.
Một bức tường gồm 200 mm gỗ và 25 mm gạch, có diện tích 12 m². Hai mặt ngoài ở 19 °C và -7 °C. Tìm dòng nhiệt Q̇ qua tường.
Một bức tường gồm 100 mm bông khoáng và 100 mm kính ngăn cách một căn phòng ở 21 °C với không khí bên ngoài ở 3 °C. Hệ số đối lưu là 8 W/(m²·K) bên trong và 25 W/(m²·K) bên ngoài, và diện tích tường là 8 m². Tìm lượng nhiệt thất thoát Q̇ qua tường.
Một động cơ 2,2 kW chạy ở 1440 rpm dẫn động một bánh răng nhỏ có 15 răng, ăn khớp với một bánh răng có 20 răng. Cặp bánh răng có hiệu suất 97%. Tìm mômen xoắn ra T2 trên trục bánh răng.
Trong một hệ bánh răng ghép, bánh răng A (45 răng) trên trục vào quay ở 2880 rpm và dẫn động bánh răng B (50 răng). Bánh răng C (30 răng) được gắn cố định trên cùng trục với B và dẫn động bánh răng D trên trục ra. Trục ra phải quay ở 1620 rpm. Bánh răng D phải có bao nhiêu răng ND?
Tìm f(t) cho F(s) = (2s + 19)/(s² + 8s + 16) và tính f(0,2).
Một hệ thống tuân theo y″ + 6y′ + 8y = 12·u(t). Nó bắt đầu từ trạng thái nghỉ (y(0) = 0, y′(0) = 0) và đầu vào là một bước u(t) = 10 với t ≥ 0. Dùng biến đổi Laplace để tìm đầu ra y(0,6).
Đối tượng G(s) = K/(s(s + 8)) nằm trong vòng hồi tiếp âm đơn vị. Tìm độ lợi K để vòng kín tắt dần tới hạn (hai cực thực bằng nhau).
Đối tượng G(s) = K/(s(s + 2)(s + 5)) nằm trong vòng hồi tiếp âm đơn vị. Dùng tiêu chuẩn Routh–Hurwitz để tìm độ lợi lớn nhất Kmax mà vòng kín còn ổn định.
Một hệ có hàm truyền G(s) = 219/(s² + 10s + 73) và nhận tín hiệu vào là bước nhảy đơn vị. Tìm thời gian xác lập 2 % ts của đáp ứng bước, dùng ts ≈ 4/(ζωₙ).
Một vật khối lượng m = 2,5 kg treo trên lò xo k = 200 N/m có bộ giảm chấn nhớt c = 7 N·s/m (m·x″ + c·x′ + k·x = F). Ở trạng thái cân bằng đứng yên, một lực không đổi F = 100 N đột ngột được đặt vào. Tìm hệ số cản ζ.
Một vòng phản hồi đơn vị với G(s) = K/(s(s + 5)) phải bám theo tín hiệu dốc r(t) = 2t với sai số xác lập 0,05. Tìm độ lợi K.
Một bộ điều khiển PD C(s) = 8 + Kd·s điều khiển đối tượng G(s) = 1/(s(s + 3)) trong một vòng phản hồi đơn vị. Tìm độ lợi vi phân Kd cho vòng kín có tỷ số cản ζ = 0,9.
Đáp số: RB = 13,13 kN
Cân bằng tĩnh: một vật ở trạng thái nghỉ có ΣFx = 0, ΣFy = 0 và ΣM = 0 đối với mọi điểm. Thay mỗi tải phân bố bằng hợp lực của nó (diện tích) đặt tại trọng tâm của biểu đồ tải, và lấy mô-men đối với một gối để khử phản lực của gối đó khỏi phương trình.
Ngược chiều kim đồng hồ là dương.
Phản lực âm hướng xuống.
Đáp số: RA = 24,82 kN
Cân bằng tĩnh: một vật ở trạng thái nghỉ có ΣFx = 0, ΣFy = 0 và ΣM = 0 đối với mọi điểm. Thay mỗi tải phân bố bằng hợp lực của nó (diện tích) đặt tại trọng tâm của biểu đồ tải, và lấy mô-men đối với một gối để khử phản lực của gối đó khỏi phương trình.
Mômen quanh A, chiều ngược kim đồng hồ là dương. Sau đó cân bằng lực theo phương thẳng đứng.
Đáp số: P = 97,5 kN
Hai vật liệu: khi nối tiếp (cái này sau cái kia) mỗi đoạn chịu cùng một lực và các độ giãn dài cộng lại: δ = P·Σ L/(E·A). Khi song song (cạnh nhau giữa các tấm cứng) cả hai phần co lại cùng một lượng, nên biến dạng của chúng bằng nhau: phần cứng hơn nhận phần tải lớn hơn, Pi = P·EiAi/ΣEA, và σi = Ei·ε. Một thanh bị giữ giữa hai vách cứng với tải đặt tại chỗ nối là siêu tĩnh: hai đoạn chia tải theo tỉ lệ độ cứng k = EA/L của chúng.
Đáp số: σmax = 547,1 MPa
Cấu kiện chịu tải dọc trục: mỗi đoạn lăng trụ tuân theo δ = PL/(AE). Với các cấu kiện nối tiếp, độ giãn dài cộng lại.
Đầu tự do chịu lực P, nên mọi mặt cắt của thanh đều chịu cùng một lực dọc trục P. Chỉ có diện tích và vật liệu thay đổi.
Đoạn mảnh hơn có diện tích nhỏ hơn, nên chịu ứng suất lớn hơn.
Đáp số: φ = 0,4608 °
Xoắn thanh tròn: ứng suất tiếp tăng tuyến tính từ không ở tâm đến τmax = T·r/J ở bề mặt, với J = πd⁴/32 cho trục đặc và J = π(do⁴ − di⁴)/32 cho trục rỗng. Góc xoắn là φ = TL/(GJ) tính bằng radian. Công suất và mômen xoắn liên hệ với nhau qua P = T·ω.
Đáp số: d = 12,17 mm
Xoắn thanh tròn: ứng suất tiếp tăng tuyến tính từ không ở tâm đến τmax = T·r/J ở bề mặt, với J = πd⁴/32 cho trục đặc và J = π(do⁴ − di⁴)/32 cho trục rỗng. Góc xoắn là φ = TL/(GJ) tính bằng radian. Công suất và mômen xoắn liên hệ với nhau qua P = T·ω.
Trong thực tế bạn sẽ làm tròn lên kích thước tiêu chuẩn kế tiếp.
Đáp số: Mx = −31,25 kN·m
Phương pháp mặt cắt: cắt dầm tại vị trí cần tìm nội lực và giữ lại một phía. Lực cắt V cân bằng với các lực thẳng đứng ở phía đó, và mômen uốn M cân bằng với mômen của chúng quanh mặt cắt. Một ngẫu lực đặt vào làm biểu đồ mô-men uốn nhảy một đoạn bằng độ lớn của ngẫu lực.
Mô-men đối với A, chiều ngược chiều kim đồng hồ là dương: RB·L − M0 = 0. Cân bằng theo phương thẳng đứng: RA + RB = 0.
Phần bên trái chỉ chứa RA.
Đáp số: Mmax = 34,03 kN·m
Phương pháp mặt cắt: cắt dầm tại vị trí cần tìm nội lực và giữ lại một phía. Lực cắt V cân bằng với các lực thẳng đứng ở phía đó, và mômen uốn M cân bằng với mômen của chúng quanh mặt cắt. Mô-men lớn nhất: vì dM/dx = V, mô-men uốn đạt cực trị tại nơi lực cắt đi qua không, hoặc tại một lực tập trung hoặc bên trong một tải phân bố.
Cân bằng của toàn bộ dầm, kể cả tải trên đoạn công-xôn.
Đáp số: θp = 29,87 °
Biến đổi ứng suất phẳng: trên một mặt xoay góc θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Vòng tròn Mohr cho thấy tất cả các mặt cùng lúc: tâm của nó ở C = (σₓ + σᵧ)/2 và bán kính là R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Các ứng suất chính là C ± R, và ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng là R.
Điểm x nằm ở góc 2θp so với trục σ trên vòng tròn Mohr; góc phần tư suy ra từ dấu của σₓ − σᵧ và τₓᵧ.
Góc dương là ngược chiều kim đồng hồ.
Đáp số: τθ = −82,02 MPa
Biến đổi ứng suất phẳng: trên một mặt xoay góc θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Vòng tròn Mohr cho thấy tất cả các mặt cùng lúc: tâm của nó ở C = (σₓ + σᵧ)/2 và bán kính là R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Các ứng suất chính là C ± R, và ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng là R.
Đáp số: δB = 64,48 mm
Độ võng của dầm: độ võng có được bằng cách tích phân độ cong M/(EI) hai lần. Các trường hợp tiêu chuẩn đã được lập bảng, ví dụ PL³/(3EI) cho dầm công xôn chịu tải ở đầu tự do và 5wL⁴/(384EI) cho dầm đơn giản chịu tải phân bố đều toàn nhịp. Độ võng do các tải riêng rẽ cộng lại (xếp chồng).
Làm việc theo N và mm: P theo N, w theo N/mm (kN/m = N/mm), L theo mm, E theo N/mm² (GPa × 1000), I theo mm⁴.
Độ võng tại tải cộng góc xoay tại tải nhân với chiều dài còn lại.
Đáp số: hreq = 221,8 mm
Độ võng của dầm: độ võng có được bằng cách tích phân độ cong M/(EI) hai lần. Các trường hợp tiêu chuẩn đã được lập bảng, ví dụ PL³/(3EI) cho dầm công xôn chịu tải ở đầu tự do và 5wL⁴/(384EI) cho dầm đơn giản chịu tải phân bố đều toàn nhịp. Độ võng do các tải riêng rẽ cộng lại (xếp chồng).
Làm việc theo N và mm: P theo N, w theo N/mm (kN/m = N/mm), L theo mm, E theo N/mm² (GPa × 1000), I theo mm⁴.
Trong thực tế, hãy chọn chiều cao tiêu chuẩn kế tiếp lớn hơn giá trị này.
Đáp số: Pcr = 2,146 kN
Mất ổn định Euler: một cột mảnh mất ổn định tại Pcr = π²EI/(KL)², trong đó KL là chiều dài tính toán: K = 1 cho khớp–khớp, 2 cho ngàm–tự do, 0,7 cho ngàm–khớp và 0,5 cho ngàm–ngàm. Cột oằn quanh trục có I nhỏ nhất. Công thức đúng với cột mảnh, có ứng suất tới hạn thấp hơn ứng suất chảy.
Mặt cắt tròn có cùng I đối với mọi trục.
Đáp số: σcr = 197,4 MPa
Mất ổn định Euler: một cột mảnh mất ổn định tại Pcr = π²EI/(KL)², trong đó KL là chiều dài tính toán: K = 1 cho khớp–khớp, 2 cho ngàm–tự do, 0,7 cho ngàm–khớp và 0,5 cho ngàm–ngàm. Cột oằn quanh trục có I nhỏ nhất. Công thức đúng với cột mảnh, có ứng suất tới hạn thấp hơn ứng suất chảy.
Mặt cắt tròn có cùng I đối với mọi trục.
Đáp số: v0 = 34,65 m/s
Projectile motion: with no air resistance, x = vxt and y = h + vyt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.
Đáp số: t = 6,095 s
Chuyển động ném: khi bỏ qua lực cản không khí, x = vxt và y = h + vyt − ½gt². Hai phương độc lập với nhau, chỉ chung thời gian.
Vận tốc ngang không đổi; chuyển động thẳng đứng có gia tốc không đổi g = 9,81 m/s² hướng xuống.
Giải y(t) = h + vy·t − ½gt² = 0 và lấy nghiệm dương.
Đáp số: T = 5,886 N
Nguyên lý công–năng: độ biến thiên động năng bằng công của mọi lực. Viết trọng lực và lò xo thành thế năng (mgh và ½kx²) biến nó thành một phương trình cân bằng: năng lượng ban đầu = năng lượng cuối + năng lượng mất do ma sát (μN·d). Trên quỹ đạo tròn, hợp lực hướng về tâm phải bằng mv²/r.
Kiểm tra: T = mg(3 − 2cos θ) = 5,886 N.
Đáp số: v = 2,956 m/s
Nguyên lý công–năng: độ biến thiên động năng bằng công của mọi lực. Viết trọng lực và lò xo thành thế năng (mgh và ½kx²) biến nó thành một phương trình cân bằng: năng lượng ban đầu = năng lượng cuối + năng lượng mất do ma sát (μN·d).
Đáp số: fd = 20,63 Hz
Dao động tự do của hệ vật–lò xo: tần số riêng không cản là ωn = √(k/m) theo rad/s, và fn = ωn/(2π) theo Hz. Một bộ cản nhớt c cho hệ số cản ζ = c/cc, với cản tới hạn cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Hệ cản dưới tới hạn (ζ < 1) dao động ở ωd = ωn·√(1 − ζ²). Các lò xo song song cộng lại, k = k₁ + k₂; các lò xo nối tiếp cộng theo nghịch đảo, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Đáp số: keq = 140 kN/m
Dao động tự do của hệ vật–lò xo: tần số riêng không cản là ωn = √(k/m) theo rad/s, và fn = ωn/(2π) theo Hz. Một bộ cản nhớt c cho hệ số cản ζ = c/cc, với cản tới hạn cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Hệ cản dưới tới hạn (ζ < 1) dao động ở ωd = ωn·√(1 − ζ²). Các lò xo song song cộng lại, k = k₁ + k₂; các lò xo nối tiếp cộng theo nghịch đảo, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Các lò xo đặt cạnh nhau có chung độ võng và cộng các lực, nên độ cứng đơn giản cộng lại: k = k1 + k2.
Đáp số: Wmax = 405,4 kJ
Giới hạn của định luật hai: không chu trình nào làm việc giữa các nguồn nhiệt có nhiệt độ tuyệt đối TH và TL có thể vượt qua chu trình thuận nghịch (Carnot): ηmax = 1 − TL/TH, COPR,max = TL/(TH − TL) và COPHP,max = TH/(TH − TL). Năng lượng luôn được bảo toàn: QH = W + QL.
Đáp số: Ẇmin = 0,2835 kW
Giới hạn của định luật hai: không chu trình nào làm việc giữa các nguồn nhiệt có nhiệt độ tuyệt đối TH và TL có thể vượt qua chu trình thuận nghịch (Carnot): ηmax = 1 − TL/TH, COPR,max = TL/(TH − TL) và COPHP,max = TH/(TH − TL). Năng lượng luôn được bảo toàn: QH = W + QL.
Máy thuận nghịch cần công ít nhất, và nó có COP cao nhất.
Đáp số: η = 57,96 %
Chu trình Diesel (động cơ tự cháy do nén): 1→2 nén đẳng entropi, 2→3 cấp nhiệt đẳng áp, 3→4 giãn nở đẳng entropi, 4→1 thải nhiệt đẳng tích. Với tỉ số nén r = v₁/v₂ và tỉ số cắt nhiên liệu rc = v₃/v₂: T₂ = T₁·rk−1, T₃ = rc·T₂, qin = cp·(T₃ − T₂) và η = 1 − (1/rk−1)·(rck − 1)/(k·(rc − 1)).
Đáp số: wnet = 394,1 kJ/kg
Chu trình Brayton (tuabin khí): 1→2 nén đẳng entropi, 2→3 cấp nhiệt đẳng áp, 3→4 giãn nở đẳng entropi trong tuabin, 4→1 thải nhiệt đẳng áp. Với tỉ số áp suất rp = P₂/P₁: T₂ = T₁·rp(k−1)/k, T₄ = T₃/rp(k−1)/k và η = 1 − 1/rp(k−1)/k. Công ròng w = cp·[(T₃ − T₄) − (T₂ − T₁)]. Với hiệu suất đẳng entropi, máy nén cần ws/ηc và tuabin cho ηt·ws.
Tỉ số công ngược: wc/wt = 48%.
Đáp số: p2 = 154,3 kPa
Phương trình liên tục và Bernoulli: với chất lỏng không nén được, lưu lượng ở mọi tiết diện đều như nhau, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Dọc theo một đường dòng không có tổn thất, p + ½ρv² + ρgz là hằng số, nên ở nơi chất lỏng nhanh hơn hoặc cao hơn thì áp suất thấp hơn.
Làm việc theo Pa, rồi chia cho 1000 để có kPa.
Đáp số: p2 = 261,5 kPa
Phương trình liên tục và Bernoulli: với chất lỏng không nén được, lưu lượng ở mọi tiết diện đều như nhau, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Dọc theo một đường dòng không có tổn thất, p + ½ρv² + ρgz là hằng số, nên ở nơi chất lỏng nhanh hơn hoặc cao hơn thì áp suất thấp hơn.
Làm việc theo Pa, rồi chia cho 1000 để có kPa.
Đáp số: hf = 23,58 m
Dòng chảy trong ống: số Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ phân biệt chảy tầng (Re dưới khoảng 2000) với chảy rối (trên khoảng 4000). Ma sát dọc ống gây tổn thất cột áp Darcy–Weisbach hf = f·(L/D)·V²/(2g). Các phụ kiện, van, lối vào và lối ra gây thêm tổn thất cục bộ hm = ΣK·V²/(2g). Giữa hai mặt thoáng của bể hở, phương trình năng lượng cho Δz = hf + hm, đã tính cả tổn thất lối ra K = 1.
Đáp số: Δz = 6,235 m
Dòng chảy trong ống: số Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ phân biệt chảy tầng (Re dưới khoảng 2000) với chảy rối (trên khoảng 4000). Ma sát dọc ống gây tổn thất cột áp Darcy–Weisbach hf = f·(L/D)·V²/(2g). Các phụ kiện, van, lối vào và lối ra gây thêm tổn thất cục bộ hm = ΣK·V²/(2g). Giữa hai mặt thoáng của bể hở, phương trình năng lượng cho Δz = hf + hm, đã tính cả tổn thất lối ra K = 1.
Đáp số: η = 71,98 %
Công suất bơm: công suất truyền cho nước là công suất thủy lực Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. Trục phải cung cấp nhiều hơn vì bơm có tổn hao: Pshaft = Ph/ηpump, và động cơ tiêu thụ Pel = Pshaft/ηmotor. Cột áp bơm H suy ra từ phương trình năng lượng: chiều cao nâng tĩnh + cột áp áp suất + mọi tổn thất ma sát và cục bộ.
Đáp số: H = 10,9 m
Công suất bơm: công suất truyền cho nước là công suất thủy lực Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. Trục phải cung cấp nhiều hơn vì bơm có tổn hao: Pshaft = Ph/ηpump, và động cơ tiêu thụ Pel = Pshaft/ηmotor. Cột áp bơm H suy ra từ phương trình năng lượng: chiều cao nâng tĩnh + cột áp áp suất + mọi tổn thất ma sát và cục bộ.
Cả hai mặt đều hở và thực tế đứng yên, nên các số hạng áp suất và vận tốc triệt tiêu.
Đáp số: Q̇ = 257,6 W
Nhiệt trở: dòng nhiệt ổn định qua các lớp nối tiếp hoạt động giống như dòng điện qua các điện trở nối tiếp: Q̇ = ΔT/ΣR, với R = L/(kA) cho lớp dẫn nhiệt và R = 1/(hA) cho bề mặt đối lưu. Độ giảm nhiệt độ qua mỗi lớp tỉ lệ với nhiệt trở của nó.
Đáp số: Q̇ = 52 W
Nhiệt trở: dòng nhiệt ổn định qua các lớp nối tiếp hoạt động giống như dòng điện qua các điện trở nối tiếp: Q̇ = ΔT/ΣR, với R = L/(kA) cho lớp dẫn nhiệt và R = 1/(hA) cho bề mặt đối lưu. Độ giảm nhiệt độ qua mỗi lớp tỉ lệ với nhiệt trở của nó.
Đáp số: T2 = 18,87 N·m
Hệ bánh răng: các bánh răng ăn khớp có cùng tốc độ tại răng, nên n₁·N₁ = n₂·N₂: bánh răng có ít răng hơn quay nhanh hơn. Các bánh răng trên cùng một trục quay cùng tốc độ. Công suất được truyền đi (trừ tổn thất), nên mômen xoắn tăng khi tốc độ giảm: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, và P = T·ω với ω = 2π·n/60.
Đáp số: ND = 48
Gear trains: meshing gears have the same speed at the teeth, so n₁·N₁ = n₂·N₂: the gear with fewer teeth turns faster. Gears on one shaft turn at the same speed. Power is passed on (minus losses), so torque goes up when speed goes down: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, and P = T·ω with ω = 2π·n/60.
Đáp số: f(0.2) = 1,887
Biến đổi Laplace: F(s) = ∫₀∞ f(t)·e−st dt biến đạo hàm thành phép nhân với s: ℒ{f′} = sF(s) − f(0), ℒ{f″} = s²F(s) − s·f(0) − f′(0). Các cặp chuẩn: 1 ↔ 1/s, e−at ↔ 1/(s + a), t·e−at ↔ 1/(s + a)², sin ωt ↔ ω/(s² + ω²), cos ωt ↔ s/(s² + ω²), và phép dịch s → s + σ nhân hàm theo thời gian với e−σt. Để biến đổi ngược một F(s) hữu tỉ, hãy tách thành các phân thức riêng: thặng dư của cực đơn p là A = [(s − p)·F(s)] tại s = p. Định lý giá trị cuối: f(∞) = lims→0 s·F(s), chỉ đúng khi mọi cực của s·F(s) nằm trong nửa mặt phẳng trái. Định lý giá trị đầu: f(0⁺) = lims→∞ s·F(s).
Đáp số: y(0.6) = 7,325
Biến đổi Laplace: F(s) = ∫₀∞ f(t)·e−st dt biến đạo hàm thành phép nhân với s: ℒ{f′} = sF(s) − f(0), ℒ{f″} = s²F(s) − s·f(0) − f′(0). Các cặp chuẩn: 1 ↔ 1/s, e−at ↔ 1/(s + a), t·e−at ↔ 1/(s + a)², sin ωt ↔ ω/(s² + ω²), cos ωt ↔ s/(s² + ω²), và phép dịch s → s + σ nhân hàm theo thời gian với e−σt. Để biến đổi ngược một F(s) hữu tỉ, hãy tách thành các phân thức riêng: thặng dư của cực đơn p là A = [(s − p)·F(s)] tại s = p. Định lý giá trị cuối: f(∞) = lims→0 s·F(s), chỉ đúng khi mọi cực của s·F(s) nằm trong nửa mặt phẳng trái. Định lý giá trị đầu: f(0⁺) = lims→∞ s·F(s).
Đáp số: K = 16
Đại số sơ đồ khối: các khối nối tiếp thì nhân (G₁·G₂), các khối song song thì cộng (G₁ + G₂), và một vòng có đường thuận G và đường hồi tiếp H rút gọn thành T = G/(1 + G·H) với hồi tiếp âm và G/(1 − G·H) với hồi tiếp dương. Rút gọn các vòng bên trong trước, rồi làm dần ra ngoài. Các cực vòng kín là nghiệm của phương trình đặc trưng 1 + G(s)H(s) = 0. Với vòng ổn định, đầu vào bậc thang có độ lớn A cho đầu ra xác lập A·T(0); với hồi tiếp đơn vị, sai số xác lập đối với bậc thang là A/(1 + Kp) với Kp = G(0).
Tam thức s² + βs + γ có nghiệm kép khi β² = 4γ.
Đáp số: Kmax = 70
Đại số sơ đồ khối: các khối nối tiếp thì nhân (G₁·G₂), các khối song song thì cộng (G₁ + G₂), và một vòng có đường thuận G và đường hồi tiếp H rút gọn thành T = G/(1 + G·H) với hồi tiếp âm và G/(1 − G·H) với hồi tiếp dương. Rút gọn các vòng bên trong trước, rồi làm dần ra ngoài. Các cực vòng kín là nghiệm của phương trình đặc trưng 1 + G(s)H(s) = 0. Với vòng ổn định, đầu vào bậc thang có độ lớn A cho đầu ra xác lập A·T(0); với hồi tiếp đơn vị, sai số xác lập đối với bậc thang là A/(1 + Kp) với Kp = G(0).
Mọi phần tử của cột đầu tiên phải dương.
Đáp số: ts = 0,8 s
Đáp ứng bước: một hệ bậc nhất G(s) = K/(τs + 1) đáp ứng với một bước nhảy có biên độ U là y(t) = K·U·(1 − e−t/τ): nó đạt 63,2 % giá trị cuối K·U sau một hằng số thời gian τ và 98 % sau 4τ. Một hệ bậc hai G(s) = K·ωₙ²/(s² + 2ζωₙs + ωₙ²) có các cực s = −ζωₙ ± jωd với ωd = ωₙ√(1 − ζ²). Với 0 < ζ < 1, đáp ứng bước có độ vọt lố: độ vọt lố phần trăm %OS = 100·e−ζπ/√(1−ζ²), thời gian đỉnh tp = π/ωd, và thời gian xác lập 2 % ts ≈ 4/(ζωₙ). So sánh mẫu số với s² + 2ζωₙs + ωₙ² để suy ra ωₙ và ζ. Với hệ khối lượng–lò xo–giảm chấn ωₙ = √(k/m) và ζ = c/(2√(km)); với mạch RLC nối tiếp ωₙ = 1/√(LC) và ζ = (R/2)·√(C/L).
Mẫu số phải khớp với s² + 2ζωₙs + ωₙ².
Đáp số: ζ = 0,1565
Đáp ứng bước: một hệ bậc nhất G(s) = K/(τs + 1) đáp ứng với một bước nhảy có biên độ U là y(t) = K·U·(1 − e−t/τ): nó đạt 63,2 % giá trị cuối K·U sau một hằng số thời gian τ và 98 % sau 4τ. Một hệ bậc hai G(s) = K·ωₙ²/(s² + 2ζωₙs + ωₙ²) có các cực s = −ζωₙ ± jωd với ωd = ωₙ√(1 − ζ²). Với 0 < ζ < 1, đáp ứng bước có độ vọt lố: độ vọt lố phần trăm %OS = 100·e−ζπ/√(1−ζ²), thời gian đỉnh tp = π/ωd, và thời gian xác lập 2 % ts ≈ 4/(ζωₙ). So sánh mẫu số với s² + 2ζωₙs + ωₙ² để suy ra ωₙ và ζ. Với hệ khối lượng–lò xo–giảm chấn ωₙ = √(k/m) và ζ = c/(2√(km)); với mạch RLC nối tiếp ωₙ = 1/√(LC) và ζ = (R/2)·√(C/L).
Đáp số: K = 200
Sai số xác lập: trong một vòng phản hồi đơn vị với hàm truyền vòng hở G(s), sai số là E(s) = R(s)/(1 + G(s)), và theo định lý giá trị cuối ess = lims→0 s·E(s). Loại của hệ là số cực của G(s) tại s = 0. Các hằng số sai số là Kp = lim G(s), Kv = lim s·G(s) và Ka = lim s²·G(s), đều với s → 0. Một bước nhảy có độ lớn A cho ess = A/(1 + Kp), một tín hiệu dốc A·t cho A/Kv và một parabol A·t²/2 cho A/Ka. Một vòng loại 0 bám theo bước nhảy với sai số hữu hạn, một vòng loại 1 bám theo nó chính xác và bám theo tín hiệu dốc với sai số hữu hạn.
Một độ lợi lớn làm vòng này cản rất yếu: ζ = 0,1768. Mâu thuẫn đó là lý do dùng các bộ bù.
Đáp số: Kd = 2,091 s
Điều khiển P, PI và PID: bộ điều khiển C(s) = Kp + Ki/s + Kd·s tác động lên sai số. Một độ lợi tỉ lệ làm vòng nhanh hơn và giảm sai số của đối tượng loại 0, nhưng không bao giờ loại bỏ nó. Thành phần tích phân thêm một cực tại s = 0: loại của hệ tăng thêm một, và một bước nhảy được bám theo không có sai số. Thành phần vi phân thêm sự cản. Để chọn các độ lợi, viết đa thức đặc trưng vòng kín và so sánh nó với s² + 2ζωns + ωn². Khi đó %OS = 100·e−ζπ/√(1−ζ²), tp = π/ωd với ωd = ωn√(1 − ζ²), và ts ≈ 4/(ζωn).
Thành phần vi phân thêm sự cản mà không làm đổi ωₙ.
Đây là tài liệu luyện tập độc lập. ExamProblems không liên kết với hay được xác nhận bởi tổ chức tổ chức kỳ thi này, và tên kỳ thi chỉ được dùng để mô tả nội dung. Kỳ thi FE exam do NCEES tổ chức; tổ chức này không liên kết với ExamProblems và không bảo trợ nó.
ExamProblems · examproblems.com/courses/fe-exam-mechanical