Thiết kế máy: gói ôn nước rút

Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 12 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.

Bài mớiQuay lại môn học

Trong cửa sổ in, hãy chọn “Lưu dưới dạng PDF” để giữ một bản trên thiết bị của bạn.

1Công thức và phương pháp

Bánh răng và hệ bánh răng

Bánh răng ăn khớp
n1·N1 = n2·N2
Mômen xoắn
T2 = T1·(N2/N1)·η
Công suất
P = T·ω, ω = 2π·n/60
Hệ bánh răng ghép
tỉ số truyền tổng = tích các tỉ số truyền từng cấp

Xoắn của trục

Ứng suất tiếp
τ = T·r/J
Trục đặc
J = πd⁴/32
Trục rỗng
J = π(D⁴ − d⁴)/32
Góc xoắn
φ = TL/(GJ)
Công suất
P = T·ω = 2πnT/60

Phương pháp

  1. Tìm mômen quán tính độc cực: J = πd⁴/32 cho trục đặc.
  2. Ứng suất tiếp ở bề mặt: τ = T·r/J, với r là bán kính ngoài.
  3. Góc xoắn: φ = TL/(GJ) theo radian.
  4. Nếu cho công suất, hãy tìm mômen xoắn trước bằng P = T·ω, ω = 2πn/60.

Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất

Tâm
C = (σx + σy)/2
Bán kính
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
Ứng suất chính
σ1,2 = C ± R
Phương chính
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
Mặt phẳng nghiêng
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

Phương pháp

  1. Tính tâm của vòng tròn Mohr: C = (σx + σy)/2.
  2. Tính bán kính: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
  3. Các ứng suất chính là C ± R và ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng là R.
  4. Các góc trên vòng tròn gấp đôi các góc trên phần tử: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Ứng suất và biến dạng dọc trục

Ứng suất pháp
σ = F/A
Biến dạng
ε = ΔL/L
Định luật Hooke
σ = E·ε
Độ giãn dài
ΔL = FL/(EA)
Biến dạng nhiệt
εT = α·ΔT

Mất ổn định cột

Tải Euler
Pcr = π²EI/(KL)²
Hệ số chiều dài tính toán
K = 1 khớp–khớp, 0,5 ngàm–ngàm, 0,7 ngàm–khớp, 2 ngàm–tự do
Ứng suất tới hạn
σcr = Pcr/A
Độ mảnh
λ = KL/r, r = √(I/A)

Dao động cơ học

Tần số riêng
ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
Từ độ võng tĩnh
ωn = √(g/δst)
Cản tới hạn
cc = 2√(km) = 2mωn
Hệ số cản
ζ = c/cc
Tần số có cản
ωd = ωn√(1 − ζ²)
Giảm lượng logarit
δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Lò xo song song
k = k1 + k2
Lò xo nối tiếp
1/k = 1/k1 + 1/k2

2Bài tập

1.Bánh răng và hệ bánh răngTrung bình
N1​ = 18N2​ = 36

Một động cơ 5,5 kW chạy ở 960 rpm dẫn động một bánh răng nhỏ có 18 răng, ăn khớp với một bánh răng có 36 răng. Cặp bánh răng có hiệu suất 96%. Tìm mômen xoắn T1 trên trục động cơ.

P = 5,5 kWn1 = 960 rpmN1 = 18N2 = 36η = 96%
T1 = N·m
2.Bánh răng và hệ bánh răngKhó
A = 24B = 80C = 12D = 45

Một động cơ 4 kW ở 960 rpm dẫn động bánh răng A (24 răng), ăn khớp với bánh răng B (80 răng). Bánh răng C (12 răng) trên cùng trục với B dẫn động bánh răng D (45 răng) trên trục ra. Mỗi cặp ăn khớp có hiệu suất 97%. Tìm mô-men đầu ra Tout.

P = 4 kWnin = 960 rpmA = 24B = 80C = 12D = 45ηmesh = 97%
Tout = N·m
3.Xoắn của trụcTrung bình
T = 100 N·md = 25 mmL = 1 mφ = ?

Một trục đặc đồng thau được ngàm vào tường và bị xoắn bởi mômen xoắn T ở đầu tự do. Tìm góc xoắn φ của đầu tự do, theo độ.

T = 100 N·md = 25 mmL = 1 mG = 39 GPa
φ = °
4.Xoắn của trụcKhó
d = ?20 kW, 300 rpm

Một trục đặc đồng thau truyền 20 kW ở 300 rpm. Ứng suất cắt không được vượt quá 50 MPa và góc xoắn không được vượt quá 1° trên mỗi m chiều dài. Tìm đường kính nhỏ nhất d thỏa mãn cả hai giới hạn.

P = 20 kWN = 300 rpmτallow = 50 MPaθallow = 1°/mG = 39 GPa
d = mm
5.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suấtTrung bình
σx​ = 30σy​ = −10τxy​ = −40MPa

Một điểm có σₓ = 30 MPa, σᵧ = −10 MPa và τₓᵧ = −40 MPa (kéo là dương). Tìm góc θs, trong khoảng từ −90° đến 90°, từ trục x đến pháp tuyến của mặt có ứng suất cắt đạt giá trị dương lớn nhất +R (ứng suất cắt dương cùng chiều với τₓᵧ).

σx = 30 MPaσy = −10 MPaτxy = −40 MPa
θs = °
6.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suấtKhó
σx​ = −20σy​ = 0τxy​ = 10MPa

Một điểm trong chi tiết chịu tải có σₓ = −20 MPa, σᵧ = 0 MPa và τₓᵧ = 10 MPa (kéo là dương). Tìm ứng suất pháp σθ trên một mặt có pháp tuyến xoay 25° ngược chiều kim đồng hồ so với trục x.

σx = −20 MPaσy = 0 MPaτxy = 10 MPaθ = 25°
σθ = MPa
7.Ứng suất và biến dạng dọc trụcTrung bình
Ø 16 mmĐồng1,5 mP = 110 kN

Tìm biến dạng dọc trục ε trong thanh đồng, tính bằng microstrain (µε = 10⁻⁶).

P = 110 kNd = 16 mmL = 1,5 mE = 117 GPa
ε = µε
8.Ứng suất và biến dạng dọc trụcKhó
Ø 30 mmThép0,5 mØ 12 mmNhôm0,5 mP = 120 kN

Thanh bậc được ngàm vào tường và chịu tải ở đầu tự do. Tìm ứng suất pháp lớn nhất σmax trong thanh.

P = 120 kNđoạn 1: Ø30 mm, 0,5 m, thép (E = 200 GPa)đoạn 2: Ø12 mm, 0,5 m, nhôm (E = 70 GPa)
σmax = MPa
9.Mất ổn định cộtTrung bình
PL = 2 m30 × 100 mmmặt cắt ngang

Một cột dài L làm bằng nhôm được ngàm cả hai đầu. Dùng công thức Euler, tìm tải trọng oằn tới hạn Pcr của nó.

L = 2 mE = 70 GPa (nhôm)b × h = 30 × 100 mm
Pcr = kN
10.Mất ổn định cộtKhó
P = 5 kNL = 4 md = ?mặt cắt ngang

Một cột tròn đặc dài L làm bằng thép được ngàm ở chân và khớp ở đỉnh. Nó phải chịu 5 kN với hệ số an toàn 2,5 chống oằn. Tìm đường kính nhỏ nhất d.

P = 5 kNn = 2,5L = 4 mE = 200 GPa (thép)
d = mm
11.Dao động cơ họcTrung bình
k = 5 kN/mc = 30 N·s/mm = 15 kg

Một vật 15 kg được đỡ bởi một lò xo có độ cứng 5 kN/m và một bộ cản nhớt có hệ số cản 30 N·s/m. Tìm hệ số cản ζ.

m = 15 kgk = 5 kN/mc = 30 N·s/m
ζ =
12.Dao động cơ họcKhó
k1​ = 15k2​ = 50m = 10 kg

Một vật 10 kg treo vào hai lò xo đặt cạnh nhau (song song), có độ cứng k₁ = 15 kN/m và k₂ = 50 kN/m. Vật giữ nằm ngang. Bỏ qua cản và khối lượng của các lò xo. Tìm tần số riêng fn của dao động thẳng đứng theo Hz.

m = 10 kgk1 = 15 kN/mk2 = 50 kN/m
fn = Hz

3Dung dịch

1.Bánh răng và hệ bánh răng

Đáp số: T1 = 54,71 N·m

Hệ bánh răng: các bánh răng ăn khớp có cùng tốc độ tại răng, nên n₁·N₁ = n₂·N₂: bánh răng có ít răng hơn quay nhanh hơn. Các bánh răng trên cùng một trục quay cùng tốc độ. Công suất được truyền đi (trừ tổn thất), nên mômen xoắn tăng khi tốc độ giảm: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, và P = T·ω với ω = 2π·n/60.

Mômen xoắn động cơ

ω₁ = 2π·960/60 = 100,5 rad/s
T1 = P/ω₁ = 5500/100,5 = 54,71 N·m

Đáp số

T1 = 54,71 N·m
2.Bánh răng và hệ bánh răng

Đáp số: Tout = 468 N·m

Gear trains: meshing gears have the same speed at the teeth, so n₁·N₁ = n₂·N₂: the gear with fewer teeth turns faster. Gears on one shaft turn at the same speed. Power is passed on (minus losses), so torque goes up when speed goes down: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, and P = T·ω with ω = 2π·n/60.

Tốc độ ra

nout = 960·(24/80)·(12/45) = 76,8 rpm
ωout = 2π·76,8/60 = 8,042 rad/s

Công suất và mô-men đầu ra

Pout = 4000·0,97² = 3764 W
Tout = Pout/ωout = 3764/8,042 = 468 N·m

Đáp số

Tout = 468 N·m
3.Xoắn của trục

Đáp số: φ = 3,831 °

Xoắn thanh tròn: ứng suất tiếp tăng tuyến tính từ không ở tâm đến τmax = T·r/J ở bề mặt, với J = πd⁴/32 cho trục đặc và J = π(do⁴ − di⁴)/32 cho trục rỗng. Góc xoắn là φ = TL/(GJ) tính bằng radian. Công suất và mômen xoắn liên hệ với nhau qua P = T·ω.

Mômen quán tính độc cực của mặt cắt

J = π·25⁴/32 = 38350 mm⁴

Góc xoắn

φ = TL/(GJ) = 100·1000·1000/(39000·38350) = 0,06686 rad
φ = 0,06686·180/π = 3,831°

Đáp số

φ = 3,831°
4.Xoắn của trục

Đáp số: d = 55,56 mm

Xoắn thanh tròn: ứng suất tiếp tăng tuyến tính từ không ở tâm đến τmax = T·r/J ở bề mặt, với J = πd⁴/32 cho trục đặc và J = π(do⁴ − di⁴)/32 cho trục rỗng. Góc xoắn là φ = TL/(GJ) tính bằng radian. Công suất và mômen xoắn liên hệ với nhau qua P = T·ω.

Mômen xoắn

ω = 2πN/60 = 2π·300/60 = 31,42 rad/s
T = P/ω = 20000/31,42 = 636,6 N·m

Đường kính theo điều kiện bền

T = 636,6 N·m = 636620 N·mm
dτ = ∛(16·636620/(π·50)) = 40,18 mm

Đường kính theo điều kiện cứng

θ = 1·π/180/1000 = 1,745 × 10⁻⁵ rad/mm
G = 39 GPa = 39000 MPa
dφ = (32·636620/(π·39000·1,745 × 10⁻⁵))1/4 = 55,56 mm

Đường kính quyết định

Cả hai giới hạn đều phải thỏa, nên đường kính lớn hơn quyết định.

d = max(40,18, 55,56) = 55,56 mm

Đáp số

d = 55,56 mm

Ở đây điều kiện cứng quyết định.

5.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất

Đáp số: θs = −76,72 °

Biến đổi ứng suất phẳng: trên một mặt xoay góc θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Vòng tròn Mohr cho thấy tất cả các mặt cùng lúc: tâm của nó ở C = (σₓ + σᵧ)/2 và bán kính là R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Các ứng suất chính là C ± R, và ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng là R.

στxyCτmax​

Góc trên vòng tròn

Trên vòng tròn Mohr, điểm trên cùng (+R) lệch 90° so với điểm chính σ₁; trên phân tố đó là 45°.

cos 2θs = −40/44,72 = −0,8944, sin 2θs = −20/44,72 = −0,4472
2θs = atan2(−20, −40) = −153,4°

Góc trên phần tử

θs = −76,72°
kiểm tra: θs − θp = −76,72 − (−31,72) = −45°

Đáp số

θs = −76,72°

Góc dương là ngược chiều kim đồng hồ.

6.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất

Đáp số: σθ = −8,767 MPa

Biến đổi ứng suất phẳng: trên một mặt xoay góc θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Vòng tròn Mohr cho thấy tất cả các mặt cùng lúc: tâm của nó ở C = (σₓ + σᵧ)/2 và bán kính là R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Các ứng suất chính là C ± R, và ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng là R.

Phương trình biến đổi

σθ = −10 + −10·0,6428 + 10·0,766 = −8,767 MPa

Đáp số

σθ = −8,767 MPa
7.Ứng suất và biến dạng dọc trục

Đáp số: ε = 4676 µε

Định luật Hooke: trong giới hạn đàn hồi σ = E·ε. Kết hợp với σ = P/A và ε = δ/L ta được δ = PL/(AE).

Ứng suất

A = π·16²/4 = 201,1 mm²
σ = P/A = 110·1000/201,1 = 547,1 MPa

Biến dạng (định luật Hooke)

E for đồng = 117 GPa = 117000 MPa.

ε = σ/E = 547,1/117000 = 0,004676 = 4676 µε

Đáp số

ε = 4676 µε
8.Ứng suất và biến dạng dọc trục

Đáp số: σmax = 1061 MPa

Cấu kiện chịu tải dọc trục: mỗi đoạn lăng trụ tuân theo δ = PL/(AE). Với các cấu kiện nối tiếp, độ giãn dài cộng lại.

Cùng một lực trong cả hai đoạn

Đầu tự do chịu lực P, nên mọi mặt cắt của thanh đều chịu cùng một lực dọc trục P. Chỉ có diện tích và vật liệu thay đổi.

A1 = π·30²/4 = 706,9 mm², A2 = π·12²/4 = 113,1 mm²
σ1 = 169,8 MPa
σ2 = 1061 MPa

Ứng suất lớn nhất

Đoạn mảnh hơn có diện tích nhỏ hơn, nên chịu ứng suất lớn hơn.

σmax = 1061 MPa

Đáp số

σmax = 1061 MPa
9.Mất ổn định cột

Đáp số: Pcr = 155,4 kN

Mất ổn định Euler: một cột mảnh mất ổn định tại Pcr = π²EI/(KL)², trong đó KL là chiều dài tính toán: K = 1 cho khớp–khớp, 2 cho ngàm–tự do, 0,7 cho ngàm–khớp và 0,5 cho ngàm–ngàm. Cột oằn quanh trục có I nhỏ nhất. Công thức đúng với cột mảnh, có ứng suất tới hạn thấp hơn ứng suất chảy.

Mômen quán tính nhỏ nhất của mặt cắt

Hình chữ nhật oằn quanh trục yếu, dùng kích thước nhỏ hơn lập phương.

Imin = h·b³/12 = 100·30³/12 = 225000 mm⁴

Chiều dài tính toán

KL = 0,5·2000 = 1000 mm

Tải trọng tới hạn

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·225000/1000² = 155446 N = 155,4 kN

Đáp số

Pcr = 155,4 kN
10.Mất ổn định cột

Đáp số: d = 31,71 mm

Mất ổn định Euler: một cột mảnh mất ổn định tại Pcr = π²EI/(KL)², trong đó KL là chiều dài tính toán: K = 1 cho khớp–khớp, 2 cho ngàm–tự do, 0,7 cho ngàm–khớp và 0,5 cho ngàm–ngàm. Cột oằn quanh trục có I nhỏ nhất. Công thức đúng với cột mảnh, có ứng suất tới hạn thấp hơn ứng suất chảy.

Tải trọng tới hạn yêu cầu

Pcr = n·P = 2,5·5000 = 12500 N
KL = 0,7·4000 = 2800 mm

Giải tìm đường kính

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·12500·2800²/(π³·200000))^(1/4) = 31,71 mm

Đáp số

d = 31,71 mm

Kiểm tra: độ mảnh KL/r là 353,2, nên cột là mảnh và công thức Euler áp dụng được.

11.Dao động cơ học

Đáp số: ζ = 0,05477

Dao động tự do của hệ vật–lò xo: tần số riêng không cản là ωn = √(k/m) theo rad/s, và fn = ωn/(2π) theo Hz. Một bộ cản nhớt c cho hệ số cản ζ = c/cc, với cản tới hạn cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Hệ cản dưới tới hạn (ζ < 1) dao động ở ωd = ωn·√(1 − ζ²). Các lò xo song song cộng lại, k = k₁ + k₂; các lò xo nối tiếp cộng theo nghịch đảo, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Cản tới hạn

cc = 2·√(k·m) = 2·√(5000·15) = 547,7 N·s/m

Hệ số cản

ζ = c/cc = 30/547,7 = 0,05477

Đáp số

ζ = 0,05477

ζ < 1, nên hệ cản dưới tới hạn và dao động khi tắt dần.

12.Dao động cơ học

Đáp số: fn = 12,83 Hz

Dao động tự do của hệ vật–lò xo: tần số riêng không cản là ωn = √(k/m) theo rad/s, và fn = ωn/(2π) theo Hz. Một bộ cản nhớt c cho hệ số cản ζ = c/cc, với cản tới hạn cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Hệ cản dưới tới hạn (ζ < 1) dao động ở ωd = ωn·√(1 − ζ²). Các lò xo song song cộng lại, k = k₁ + k₂; các lò xo nối tiếp cộng theo nghịch đảo, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Độ cứng tương đương

Các lò xo đặt cạnh nhau có chung độ võng và cộng các lực, nên độ cứng đơn giản cộng lại: k = k1 + k2.

keq = 15 + 50 = 65 kN/m

Tần số riêng

ωn = √(65000/10) = 80,62 rad/s
fn = 80,62/(2π) = 12,83 Hz

Đáp số

fn = 12,83 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design