Bánh răng và hệ bánh răng
- Bánh răng ăn khớp
- n1·N1 = n2·N2
- Mômen xoắn
- T2 = T1·(N2/N1)·η
- Công suất
- P = T·ω, ω = 2π·n/60
- Hệ bánh răng ghép
- tỉ số truyền tổng = tích các tỉ số truyền từng cấp
Thiết kế máy: gói ôn nước rút
Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 12 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.
1Công thức và phương pháp
Xoắn của trục
- Ứng suất tiếp
- τ = T·r/J
- Trục đặc
- J = πd⁴/32
- Trục rỗng
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- Góc xoắn
- φ = TL/(GJ)
- Công suất
- P = T·ω = 2πnT/60
Phương pháp
- Tìm mômen quán tính độc cực: J = πd⁴/32 cho trục đặc.
- Ứng suất tiếp ở bề mặt: τ = T·r/J, với r là bán kính ngoài.
- Góc xoắn: φ = TL/(GJ) theo radian.
- Nếu cho công suất, hãy tìm mômen xoắn trước bằng P = T·ω, ω = 2πn/60.
Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất
- Tâm
- C = (σx + σy)/2
- Bán kính
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- Ứng suất chính
- σ1,2 = C ± R
- Phương chính
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- Mặt phẳng nghiêng
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
Phương pháp
- Tính tâm của vòng tròn Mohr: C = (σx + σy)/2.
- Tính bán kính: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
- Các ứng suất chính là C ± R và ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng là R.
- Các góc trên vòng tròn gấp đôi các góc trên phần tử: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).
Ứng suất và biến dạng dọc trục
- Ứng suất pháp
- σ = F/A
- Biến dạng
- ε = ΔL/L
- Định luật Hooke
- σ = E·ε
- Độ giãn dài
- ΔL = FL/(EA)
- Biến dạng nhiệt
- εT = α·ΔT
Mất ổn định cột
- Tải Euler
- Pcr = π²EI/(KL)²
- Hệ số chiều dài tính toán
- K = 1 khớp–khớp, 0,5 ngàm–ngàm, 0,7 ngàm–khớp, 2 ngàm–tự do
- Ứng suất tới hạn
- σcr = Pcr/A
- Độ mảnh
- λ = KL/r, r = √(I/A)
Dao động cơ học
- Tần số riêng
- ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
- Từ độ võng tĩnh
- ωn = √(g/δst)
- Cản tới hạn
- cc = 2√(km) = 2mωn
- Hệ số cản
- ζ = c/cc
- Tần số có cản
- ωd = ωn√(1 − ζ²)
- Giảm lượng logarit
- δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
- Lò xo song song
- k = k1 + k2
- Lò xo nối tiếp
- 1/k = 1/k1 + 1/k2
2Bài tập
1.Bánh răng và hệ bánh răngTrung bình
Một động cơ 7,5 kW chạy ở 1450 rpm dẫn động một bánh răng nhỏ có 12 răng, ăn khớp với một bánh răng có 20 răng. Bỏ qua tổn thất. Tìm mômen xoắn T1 trên trục động cơ.
P = 7,5 kWn1 = 1450 rpmN1 = 12N2 = 20η = 100%
T1 = N·m
2.Bánh răng và hệ bánh răngKhó
Trong một hệ bánh răng ghép, bánh răng A (24 răng) trên trục vào quay 1500 rpm dẫn động bánh răng B (30 răng). Bánh răng C (30 răng) được cố định trên cùng trục với B và dẫn động bánh răng D (32 răng) trên trục ra. Tìm tốc độ ra nout.
nin = 1500 rpmA = 24B = 30C = 30D = 32
nout = rpm
3.Xoắn của trụcTrung bình
Một trục đặc nhôm được ngàm vào tường và bị xoắn bởi mômen xoắn T ở đầu tự do. Tìm góc xoắn φ của đầu tự do, theo độ.
T = 100 N·md = 40 mmL = 0,8 mG = 26 GPa
φ = °
4.Xoắn của trụcKhó
Một trục đặc nhôm đường kính 30 mm được ngàm tại A. Một mô-men xoắn 400 N·m tác dụng tại B, cách A 1 m, và một mô-men xoắn 250 N·m ngược chiều tác dụng tại đầu tự do C, cách thêm 2 m. Tìm độ lớn của góc xoắn φC của đầu C, theo độ.
d = 30 mmTB = 400 N·mTC = 250 N·mAB = 1 mBC = 2 mG = 26 GPa
φC = °
5.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suấtTrung bình
Một điểm trong một tấm mỏng ở trạng thái ứng suất phẳng: σₓ = −50 MPa, σᵧ = −60 MPa và τₓᵧ = −30 MPa, với σz = 0. Tìm ứng suất cắt lớn nhất tuyệt đối τabs tại điểm đó (xét mọi mặt trong không gian ba chiều).
σx = −50 MPaσy = −60 MPaτxy = −30 MPaσz = 0
τabs = MPa
6.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suấtKhó
Một điểm trong chi tiết chịu tải có σₓ = −60 MPa, σᵧ = −10 MPa và τₓᵧ = −40 MPa (kéo là dương). Tìm ứng suất tiếp τθ trên một mặt có pháp tuyến xoay 20° ngược chiều kim đồng hồ so với trục x (dương cùng chiều với τₓᵧ).
σx = −60 MPaσy = −10 MPaτxy = −40 MPaθ = 20°
τθ = MPa
7.Ứng suất và biến dạng dọc trụcTrung bình
Một thanh gồm một đoạn thép (đường kính 30 mm, chiều dài 500 mm, E = 200 GPa) nối đầu với đầu với một đoạn làm bằng đồng (đường kính 30 mm, chiều dài 500 mm, E = 120 GPa). Nó được ngàm một đầu và bị kéo ở đầu kia. Tìm tải dọc trục P làm nó giãn tổng cộng 0,3 mm.
đoạn 1: thép, Ø30 mm, 500 mm, E = 200 GPađoạn 2: đồng, Ø30 mm, 500 mm, E = 120 GPaδ = 0,3 mm
P = kN
8.Ứng suất và biến dạng dọc trụcKhó
Một đoạn thép (đường kính 20 mm, chiều dài 600 mm, E = 200 GPa) và một đoạn làm bằng đồng thanh (đường kính 30 mm, chiều dài 400 mm, E = 110 GPa) được nối đầu với đầu và ngàm giữa hai vách cứng. Một tải dọc trục 80 kN tác dụng tại chỗ nối, hướng về phía đoạn 2. Tìm độ lớn ứng suất σ2 trong đoạn 2.
đoạn 1: thép, Ø20 mm, 600 mm, E = 200 GPađoạn 2: đồng thanh, Ø30 mm, 400 mm, E = 110 GPaP = 80 kN
σ2 = MPa
9.Mất ổn định cộtTrung bình
Một cột dài L làm bằng nhôm được hai đầu khớp. Dùng công thức Euler, tìm tải trọng oằn tới hạn Pcr của nó.
L = 2 mE = 70 GPa (nhôm)d = 50 mm
Pcr = kN
10.Mất ổn định cộtKhó
Một cột tròn đặc dài L làm bằng thép được ngàm ở chân và khớp ở đỉnh. Nó phải chịu 120 kN với hệ số an toàn 2 chống oằn. Tìm đường kính nhỏ nhất d.
P = 120 kNn = 2L = 2 mE = 200 GPa (thép)
d = mm
11.Dao động cơ họcTrung bình
Một vật 25 kg được đỡ bởi một lò xo có độ cứng 200 kN/m và một bộ cản nhớt có hệ số cản 450 N·s/m. Tìm hệ số cản ζ.
m = 25 kgk = 200 kN/mc = 450 N·s/m
ζ =
12.Dao động cơ họcKhó
Một vật 100 kg treo vào hai lò xo nối đầu với đầu (nối tiếp): lò xo trên có k₁ = 12 kN/m và lò xo dưới có k₂ = 15 kN/m. Tìm độ cứng tương đương keq của hệ lò xo theo kN/m.
m = 100 kgk1 = 12 kN/mk2 = 15 kN/m
keq = kN/m
3Dung dịch
1.Bánh răng và hệ bánh răng
Đáp số: T1 = 49,39 N·m
Hệ bánh răng: các bánh răng ăn khớp có cùng tốc độ tại răng, nên n₁·N₁ = n₂·N₂: bánh răng có ít răng hơn quay nhanh hơn. Các bánh răng trên cùng một trục quay cùng tốc độ. Công suất được truyền đi (trừ tổn thất), nên mômen xoắn tăng khi tốc độ giảm: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, và P = T·ω với ω = 2π·n/60.
Mômen xoắn động cơ
ω₁ = 2π·1450/60 = 151,8 rad/s
T1 = P/ω₁ = 7500/151,8 = 49,39 N·m
Đáp số
T1 = 49,39 N·m
2.Bánh răng và hệ bánh răng
Đáp số: nout = 1125 rpm
Hệ bánh răng: các bánh răng ăn khớp có cùng tốc độ tại răng, nên n₁·N₁ = n₂·N₂: bánh răng có ít răng hơn quay nhanh hơn. Các bánh răng trên cùng một trục quay cùng tốc độ. Công suất được truyền đi (trừ tổn thất), nên mômen xoắn tăng khi tốc độ giảm: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, và P = T·ω với ω = 2π·n/60.
Cấp thứ nhất
nB = 1500·24/30 = 1200 rpm = nC
Cấp thứ hai
nout = 1200·30/32 = 1125 rpm
Đáp số
nout = 1125 rpm
tỉ số truyền tổng = 1,333 : 1
3.Xoắn của trục
Đáp số: φ = 0,7015 °
Xoắn thanh tròn: ứng suất tiếp tăng tuyến tính từ không ở tâm đến τmax = T·r/J ở bề mặt, với J = πd⁴/32 cho trục đặc và J = π(do⁴ − di⁴)/32 cho trục rỗng. Góc xoắn là φ = TL/(GJ) tính bằng radian. Công suất và mômen xoắn liên hệ với nhau qua P = T·ω.
Mômen quán tính độc cực của mặt cắt
J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴
Góc xoắn
φ = TL/(GJ) = 100·1000·800/(26000·251327) = 0,01224 rad
φ = 0,01224·180/π = 0,7015°
Đáp số
φ = 0,7015°
4.Xoắn của trục
Đáp số: φC = 9,699 °
Xoắn thanh tròn: ứng suất tiếp tăng tuyến tính từ không ở tâm đến τmax = T·r/J ở bề mặt, với J = πd⁴/32 cho trục đặc và J = π(do⁴ − di⁴)/32 cho trục rỗng. Góc xoắn là φ = TL/(GJ) tính bằng radian. Công suất và mômen xoắn liên hệ với nhau qua P = T·ω.
Các mô-men xoắn nội lực
Chiều của TC được lấy là dương.
TBC = TC = 250 N·m
TAB = TC − TB = 250 − 400 = −150 N·m
Góc xoắn của từng đoạn
J = π·30⁴/32 = 79522 mm⁴
G = 26 GPa = 26000 MPa
φAB = −150000·1000/(26000·79522) = −0,07255 rad
φBC = 250000·2000/(26000·79522) = 0,2418 rad
Góc xoắn của đầu C
φC = −0,07255 + 0,2418 = 0,1693 rad → |φC| = 9,699°
Đáp số
φC = 9,699°
5.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất
Đáp số: τabs = 42,71 MPa
Biến đổi ứng suất phẳng: trên một mặt xoay góc θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Vòng tròn Mohr cho thấy tất cả các mặt cùng lúc: tâm của nó ở C = (σₓ + σᵧ)/2 và bán kính là R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Các ứng suất chính là C ± R, và ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng là R. Trong không gian ba chiều, ứng suất cắt lớn nhất tuyệt đối là (σmax − σmin)/2 trên cả ba ứng suất chính; trong ứng suất phẳng, ứng suất thứ ba bằng không.
Các ứng suất chính trong mặt phẳng
C = −55 MPa, R = √(5² + (−30)²) = 30,41 MPa
σ1 = −24,59 MPa, σ2 = −85,41 MPa, σz = 0
Vòng tròn lớn nhất trong ba vòng tròn
τ = max(|σ1 − σ2|, |σ1|, |σ2|)/2 = max(60,83, 24,59, 85,41)/2 = 42,71 MPa
Đáp số
τabs = 42,71 MPa
Ở đây vòng tròn ngoài mặt phẳng quyết định: giá trị lớn nhất tuyệt đối lớn hơn giá trị lớn nhất trong mặt phẳng R.
6.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất
Đáp số: τθ = −14,57 MPa
Biến đổi ứng suất phẳng: trên một mặt xoay góc θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Vòng tròn Mohr cho thấy tất cả các mặt cùng lúc: tâm của nó ở C = (σₓ + σᵧ)/2 và bán kính là R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Các ứng suất chính là C ± R, và ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng là R.
Phương trình biến đổi
τθ = −−25·0,6428 + −40·0,766 = −14,57 MPa
Đáp số
τθ = −14,57 MPa
7.Ứng suất và biến dạng dọc trục
Đáp số: P = 31,81 kN
Hai vật liệu: khi nối tiếp (cái này sau cái kia) mỗi đoạn chịu cùng một lực và các độ giãn dài cộng lại: δ = P·Σ L/(E·A). Khi song song (cạnh nhau giữa các tấm cứng) cả hai phần co lại cùng một lượng, nên biến dạng của chúng bằng nhau: phần cứng hơn nhận phần tải lớn hơn, Pi = P·EiAi/ΣEA, và σi = Ei·ε. Một thanh bị giữ giữa hai vách cứng với tải đặt tại chỗ nối là siêu tĩnh: hai đoạn chia tải theo tỉ lệ độ cứng k = EA/L của chúng.
Diện tích
A₁ = 706,9 mm², A₂ = 706,9 mm²
Các độ mềm
L₁/(E₁A₁) = 500/(200000·706,9) = 3,537 × 10⁻⁶ mm/N
L₂/(E₂A₂) = 500/(120000·706,9) = 5,895 × 10⁻⁶ mm/N
Tải
P = 0,3/9,431 × 10⁻⁶ = 31809 N = 31,81 kN
Đáp số
P = 31,81 kN
8.Ứng suất và biến dạng dọc trục
Đáp số: σ2 = 73,55 MPa
Hai vật liệu: khi nối tiếp (cái này sau cái kia) mỗi đoạn chịu cùng một lực và các độ giãn dài cộng lại: δ = P·Σ L/(E·A). Khi song song (cạnh nhau giữa các tấm cứng) cả hai phần co lại cùng một lượng, nên biến dạng của chúng bằng nhau: phần cứng hơn nhận phần tải lớn hơn, Pi = P·EiAi/ΣEA, và σi = Ei·ε. Một thanh bị giữ giữa hai vách cứng với tải đặt tại chỗ nối là siêu tĩnh: hai đoạn chia tải theo tỉ lệ độ cứng k = EA/L của chúng.
Các độ cứng
k₁ = 200000·314,2/600 = 104720 N/mm
k₂ = 110000·706,9/400 = 194386 N/mm
Phần của đoạn 2
F2 = 80000·194386/299106 = 51991 N
Ứng suất
σ2 = 51991/706,9 = 73,55 MPa (nén)
Đáp số
σ2 = 73,55 MPa
9.Mất ổn định cột
Đáp số: Pcr = 52,99 kN
Mất ổn định Euler: một cột mảnh mất ổn định tại Pcr = π²EI/(KL)², trong đó KL là chiều dài tính toán: K = 1 cho khớp–khớp, 2 cho ngàm–tự do, 0,7 cho ngàm–khớp và 0,5 cho ngàm–ngàm. Cột oằn quanh trục có I nhỏ nhất. Công thức đúng với cột mảnh, có ứng suất tới hạn thấp hơn ứng suất chảy.
Mômen quán tính nhỏ nhất của mặt cắt
Mặt cắt tròn có cùng I đối với mọi trục.
I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴
Chiều dài tính toán
KL = 1·2000 = 2000 mm
Tải trọng tới hạn
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·306796/2000² = 52989 N = 52,99 kN
Đáp số
Pcr = 52,99 kN
10.Mất ổn định cột
Đáp số: d = 46,94 mm
Mất ổn định Euler: một cột mảnh mất ổn định tại Pcr = π²EI/(KL)², trong đó KL là chiều dài tính toán: K = 1 cho khớp–khớp, 2 cho ngàm–tự do, 0,7 cho ngàm–khớp và 0,5 cho ngàm–ngàm. Cột oằn quanh trục có I nhỏ nhất. Công thức đúng với cột mảnh, có ứng suất tới hạn thấp hơn ứng suất chảy.
Tải trọng tới hạn yêu cầu
Pcr = n·P = 2·120000 = 240000 N
KL = 0,7·2000 = 1400 mm
Giải tìm đường kính
d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·240000·1400²/(π³·200000))^(1/4) = 46,94 mm
Đáp số
d = 46,94 mm
Kiểm tra: độ mảnh KL/r là 119,3, nên cột là mảnh và công thức Euler áp dụng được.
11.Dao động cơ học
Đáp số: ζ = 0,1006
Dao động tự do của hệ vật–lò xo: tần số riêng không cản là ωn = √(k/m) theo rad/s, và fn = ωn/(2π) theo Hz. Một bộ cản nhớt c cho hệ số cản ζ = c/cc, với cản tới hạn cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Hệ cản dưới tới hạn (ζ < 1) dao động ở ωd = ωn·√(1 − ζ²). Các lò xo song song cộng lại, k = k₁ + k₂; các lò xo nối tiếp cộng theo nghịch đảo, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Cản tới hạn
cc = 2·√(k·m) = 2·√(200000·25) = 4472 N·s/m
Hệ số cản
ζ = c/cc = 450/4472 = 0,1006
Đáp số
ζ = 0,1006
ζ < 1, nên hệ cản dưới tới hạn và dao động khi tắt dần.
12.Dao động cơ học
Đáp số: keq = 6,667 kN/m
Dao động tự do của hệ vật–lò xo: tần số riêng không cản là ωn = √(k/m) theo rad/s, và fn = ωn/(2π) theo Hz. Một bộ cản nhớt c cho hệ số cản ζ = c/cc, với cản tới hạn cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Hệ cản dưới tới hạn (ζ < 1) dao động ở ωd = ωn·√(1 − ζ²). Các lò xo song song cộng lại, k = k₁ + k₂; các lò xo nối tiếp cộng theo nghịch đảo, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Độ cứng tương đương
Các lò xo nối tiếp chịu cùng một lực và cộng độ võng, nên chúng gộp theo nghịch đảo: 1/k = 1/k1 + 1/k2.
1/keq = 1/12 + 1/15 → keq = 12·15/(12 + 15) = 6,667 kN/m
Đáp số
keq = 6,667 kN/m
ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design