Bánh răng và hệ bánh răng
- Bánh răng ăn khớp
- n1·N1 = n2·N2
- Mômen xoắn
- T2 = T1·(N2/N1)·η
- Công suất
- P = T·ω, ω = 2π·n/60
- Hệ bánh răng ghép
- tỉ số truyền tổng = tích các tỉ số truyền từng cấp
Thiết kế máy: gói ôn nước rút
Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 12 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.
1Công thức và phương pháp
Xoắn của trục
- Ứng suất tiếp
- τ = T·r/J
- Trục đặc
- J = πd⁴/32
- Trục rỗng
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- Góc xoắn
- φ = TL/(GJ)
- Công suất
- P = T·ω = 2πnT/60
Phương pháp
- Tìm mômen quán tính độc cực: J = πd⁴/32 cho trục đặc.
- Ứng suất tiếp ở bề mặt: τ = T·r/J, với r là bán kính ngoài.
- Góc xoắn: φ = TL/(GJ) theo radian.
- Nếu cho công suất, hãy tìm mômen xoắn trước bằng P = T·ω, ω = 2πn/60.
Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất
- Tâm
- C = (σx + σy)/2
- Bán kính
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- Ứng suất chính
- σ1,2 = C ± R
- Phương chính
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- Mặt phẳng nghiêng
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
Phương pháp
- Tính tâm của vòng tròn Mohr: C = (σx + σy)/2.
- Tính bán kính: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
- Các ứng suất chính là C ± R và ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng là R.
- Các góc trên vòng tròn gấp đôi các góc trên phần tử: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).
Ứng suất và biến dạng dọc trục
- Ứng suất pháp
- σ = F/A
- Biến dạng
- ε = ΔL/L
- Định luật Hooke
- σ = E·ε
- Độ giãn dài
- ΔL = FL/(EA)
- Biến dạng nhiệt
- εT = α·ΔT
Mất ổn định cột
- Tải Euler
- Pcr = π²EI/(KL)²
- Hệ số chiều dài tính toán
- K = 1 khớp–khớp, 0,5 ngàm–ngàm, 0,7 ngàm–khớp, 2 ngàm–tự do
- Ứng suất tới hạn
- σcr = Pcr/A
- Độ mảnh
- λ = KL/r, r = √(I/A)
Dao động cơ học
- Tần số riêng
- ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
- Từ độ võng tĩnh
- ωn = √(g/δst)
- Cản tới hạn
- cc = 2√(km) = 2mωn
- Hệ số cản
- ζ = c/cc
- Tần số có cản
- ωd = ωn√(1 − ζ²)
- Giảm lượng logarit
- δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
- Lò xo song song
- k = k1 + k2
- Lò xo nối tiếp
- 1/k = 1/k1 + 1/k2
2Bài tập
1.Bánh răng và hệ bánh răngTrung bình
Một động cơ 2,2 kW chạy ở 2900 rpm dẫn động một bánh răng nhỏ có 12 răng, ăn khớp với một bánh răng có 40 răng. Bỏ qua tổn thất. Tìm mômen xoắn ra T2 trên trục bánh răng.
P = 2,2 kWn1 = 2900 rpmN1 = 12N2 = 40η = 100%
T2 = N·m
2.Bánh răng và hệ bánh răngKhó
Trong một bộ bánh răng hành tinh, bánh răng mặt trời có 12 răng và mỗi bánh răng hành tinh có 24 răng. Vành răng ngoài được giữ cố định và bánh mặt trời được dẫn động ở 600 rpm. Tìm tốc độ nc của cần dẫn hành tinh.
Ns = 12Np = 24ns = 600 rpm
nc = rpm
3.Xoắn của trụcTrung bình
Một trục đặc thép được ngàm vào tường và bị xoắn bởi mômen xoắn T ở đầu tự do. Tìm góc xoắn φ của đầu tự do, theo độ.
T = 250 N·md = 30 mmL = 0,8 mG = 80 GPa
φ = °
4.Xoắn của trụcKhó
Một trục đặc thép đường kính 60 mm được ngàm tại A. Một mô-men xoắn 400 N·m tác dụng tại B, cách A 1,5 m, và một mô-men xoắn 250 N·m cùng chiều tác dụng tại đầu tự do C, cách thêm 3 m. Tìm độ lớn của góc xoắn φC của đầu C, theo độ.
d = 60 mmTB = 400 N·mTC = 250 N·mAB = 1,5 mBC = 3 mG = 80 GPa
φC = °
5.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suấtTrung bình
Một điểm trong chi tiết chịu tải có σₓ = −70 MPa, σᵧ = 80 MPa và τₓᵧ = 10 MPa (kéo là dương). Tìm ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng τmax.
σx = −70 MPaσy = 80 MPaτxy = 10 MPa
τmax = MPa
6.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suấtKhó
Một điểm trong chi tiết chịu tải có σₓ = 100 MPa, σᵧ = 10 MPa và τₓᵧ = 10 MPa (kéo là dương). Tìm ứng suất pháp σθ trên một mặt có pháp tuyến xoay 30° theo chiều kim đồng hồ so với trục x.
σx = 100 MPaσy = 10 MPaτxy = 10 MPaθ = -30°
σθ = MPa
7.Ứng suất và biến dạng dọc trụcTrung bình
Tìm biến dạng dọc trục ε trong thanh đồng, tính bằng microstrain (µε = 10⁻⁶).
P = 25 kNd = 16 mmL = 1 mE = 117 GPa
ε = µε
8.Ứng suất và biến dạng dọc trụcKhó
Một thanh thép (đường kính 25 mm, E = 200 GPa, ứng suất cho phép 160 MPa) nằm trong một ống làm bằng đồng thanh (đường kính ngoài 100 mm, đường kính trong 60 mm, E = 110 GPa, ứng suất cho phép 60 MPa). Chúng bị nén cùng nhau giữa các tấm cứng. Tìm tải lớn nhất Pmax.
thanh: Ø25 mm, E = 200 GPa, σallow = 160 MPaống: Ø100/Ø60 mm, E = 110 GPa, σallow = 60 MPa
Pmax = kN
9.Mất ổn định cộtTrung bình
Một cột dài L làm bằng thép được ngàm ở chân và tự do ở đỉnh. Dùng công thức Euler, tìm tải trọng oằn tới hạn Pcr của nó.
L = 1 mE = 200 GPa (thép)b × h = 50 × 80 mm
Pcr = kN
10.Mất ổn định cộtKhó
Một cột tròn đặc dài L làm bằng thép được ngàm ở chân và khớp ở đỉnh. Nó phải chịu 25 kN với hệ số an toàn 3 chống oằn. Tìm đường kính nhỏ nhất d.
P = 25 kNn = 3L = 2,5 mE = 200 GPa (thép)
d = mm
11.Dao động cơ họcTrung bình
Một vật 8 kg trên lò xo có độ cứng 80 kN/m có bộ cản nhớt cho hệ số cản 0,3. Tìm tần số riêng có cản fd của dao động tự do theo Hz.
m = 8 kgk = 80 kN/mζ = 0,3
fd = Hz
12.Dao động cơ họcKhó
Một vật 10 kg treo vào lò xo k₃ = 30 kN/m. Đầu trên của k₃ được gắn vào một thanh cứng treo bằng hai lò xo đặt cạnh nhau, k₁ = 80 kN/m và k₂ = 5 kN/m; thanh giữ nằm ngang. Bỏ qua lực cản và khối lượng của các lò xo và thanh. Tìm tần số riêng fn của dao động thẳng đứng theo Hz.
m = 10 kgk1 = 80 kN/mk2 = 5 kN/mk3 = 30 kN/m
fn = Hz
3Dung dịch
1.Bánh răng và hệ bánh răng
Đáp số: T2 = 24,15 N·m
Hệ bánh răng: các bánh răng ăn khớp có cùng tốc độ tại răng, nên n₁·N₁ = n₂·N₂: bánh răng có ít răng hơn quay nhanh hơn. Các bánh răng trên cùng một trục quay cùng tốc độ. Công suất được truyền đi (trừ tổn thất), nên mômen xoắn tăng khi tốc độ giảm: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, và P = T·ω với ω = 2π·n/60.
Mômen xoắn động cơ
ω₁ = 2π·2900/60 = 303,7 rad/s
T1 = P/ω₁ = 2200/303,7 = 7,244 N·m
Mômen xoắn ra
T2 = 7,244·40/12·1 = 24,15 N·m
Đáp số
T2 = 24,15 N·m
2.Bánh răng và hệ bánh răng
Đáp số: nc = 100 rpm
Bộ bánh răng hành tinh: tốc độ của bánh mặt trời, vành răng và cần dẫn liên hệ với nhau bởi phương trình Willis (ns − nc)/(nr − nc) = −Nr/Ns: nhìn từ cần dẫn, bộ truyền là một hệ bánh răng thông thường với các bánh hành tinh là bánh trung gian. Giữ cố định một phần tử biến bộ truyền thành bộ giảm tốc có một tỉ số truyền.
Số răng của vành răng
Nr = Ns + 2·Np = 12 + 2·24 = 60
Phương trình Willis khi vành răng cố định
Đặt nr = 0 và giải tìm tốc độ cần dẫn.
(600 − nc)/(0 − nc) = −60/12
nc = ns·Ns/(Ns + Nr) = 600·12/72 = 100 rpm
Đáp số
nc = 100 rpm
Cần dẫn quay cùng chiều với bánh mặt trời.
3.Xoắn của trục
Đáp số: φ = 1,801 °
Xoắn thanh tròn: ứng suất tiếp tăng tuyến tính từ không ở tâm đến τmax = T·r/J ở bề mặt, với J = πd⁴/32 cho trục đặc và J = π(do⁴ − di⁴)/32 cho trục rỗng. Góc xoắn là φ = TL/(GJ) tính bằng radian. Công suất và mômen xoắn liên hệ với nhau qua P = T·ω.
Mômen quán tính độc cực của mặt cắt
J = π·30⁴/32 = 79522 mm⁴
Góc xoắn
φ = TL/(GJ) = 250·1000·800/(80000·79522) = 0,03144 rad
φ = 0,03144·180/π = 1,801°
Đáp số
φ = 1,801°
4.Xoắn của trục
Đáp số: φC = 0,971 °
Xoắn thanh tròn: ứng suất tiếp tăng tuyến tính từ không ở tâm đến τmax = T·r/J ở bề mặt, với J = πd⁴/32 cho trục đặc và J = π(do⁴ − di⁴)/32 cho trục rỗng. Góc xoắn là φ = TL/(GJ) tính bằng radian. Công suất và mômen xoắn liên hệ với nhau qua P = T·ω.
Các mô-men xoắn nội lực
Chiều của TC được lấy là dương.
TBC = TC = 250 N·m
TAB = TC + TB = 250 + 400 = 650 N·m
Góc xoắn của từng đoạn
J = π·60⁴/32 = 1,272 × 10⁶ mm⁴
G = 80 GPa = 80000 MPa
φAB = 650000·1500/(80000·1,272 × 10⁶) = 0,009579 rad
φBC = 250000·3000/(80000·1,272 × 10⁶) = 0,007368 rad
Góc xoắn của đầu C
φC = 0,009579 + 0,007368 = 0,01695 rad → |φC| = 0,971°
Đáp số
φC = 0,971°
5.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất
Đáp số: τmax = 75,66 MPa
Biến đổi ứng suất phẳng: trên một mặt xoay góc θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Vòng tròn Mohr cho thấy tất cả các mặt cùng lúc: tâm của nó ở C = (σₓ + σᵧ)/2 và bán kính là R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Các ứng suất chính là C ± R, và ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng là R.
Bán kính vòng tròn Mohr
τmax = R = √(((−70 − 80)/2)² + 10²) = 75,66 MPa
Đáp số
τmax = 75,66 MPa
6.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất
Đáp số: σθ = 68,84 MPa
Biến đổi ứng suất phẳng: trên một mặt xoay góc θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Vòng tròn Mohr cho thấy tất cả các mặt cùng lúc: tâm của nó ở C = (σₓ + σᵧ)/2 và bán kính là R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Các ứng suất chính là C ± R, và ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng là R.
Phương trình biến đổi
σθ = 55 + 45·0,5 + 10·−0,866 = 68,84 MPa
Đáp số
σθ = 68,84 MPa
7.Ứng suất và biến dạng dọc trục
Đáp số: ε = 1063 µε
Định luật Hooke: trong giới hạn đàn hồi σ = E·ε. Kết hợp với σ = P/A và ε = δ/L ta được δ = PL/(AE).
Ứng suất
A = π·16²/4 = 201,1 mm²
σ = P/A = 25·1000/201,1 = 124,3 MPa
Biến dạng (định luật Hooke)
E for đồng = 117 GPa = 117000 MPa.
ε = σ/E = 124,3/117000 = 0,001063 = 1063 µε
Đáp số
ε = 1063 µε
8.Ứng suất và biến dạng dọc trục
Đáp số: Pmax = 355,1 kN
Hai vật liệu: khi nối tiếp (cái này sau cái kia) mỗi đoạn chịu cùng một lực và các độ giãn dài cộng lại: δ = P·Σ L/(E·A). Khi song song (cạnh nhau giữa các tấm cứng) cả hai phần co lại cùng một lượng, nên biến dạng của chúng bằng nhau: phần cứng hơn nhận phần tải lớn hơn, Pi = P·EiAi/ΣEA, và σi = Ei·ε. Một thanh bị giữ giữa hai vách cứng với tải đặt tại chỗ nối là siêu tĩnh: hai đoạn chia tải theo tỉ lệ độ cứng k = EA/L của chúng.
Diện tích
Ar = π·25²/4 = 490,9 mm²
At = π(100² − 60²)/4 = 5027 mm²
Độ cứng dọc trục kết hợp
ΣEA = 200·10³·490,9 + 110·10³·5027 = 6,511 × 10⁸ N
Biến dạng quyết định
ε = min(0,0008, 0,0005455) = 0,0005455 (đồng thanh)
Tải lớn nhất
Pmax = 0,0005455·6,511 × 10⁸ = 355143 N = 355,1 kN
Đáp số
Pmax = 355,1 kN
9.Mất ổn định cột
Đáp số: Pcr = 411,2 kN
Mất ổn định Euler: một cột mảnh mất ổn định tại Pcr = π²EI/(KL)², trong đó KL là chiều dài tính toán: K = 1 cho khớp–khớp, 2 cho ngàm–tự do, 0,7 cho ngàm–khớp và 0,5 cho ngàm–ngàm. Cột oằn quanh trục có I nhỏ nhất. Công thức đúng với cột mảnh, có ứng suất tới hạn thấp hơn ứng suất chảy.
Mômen quán tính nhỏ nhất của mặt cắt
Hình chữ nhật oằn quanh trục yếu, dùng kích thước nhỏ hơn lập phương.
Imin = h·b³/12 = 80·50³/12 = 833333 mm⁴
Chiều dài tính toán
KL = 2·1000 = 2000 mm
Tải trọng tới hạn
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·833333/2000² = 411234 N = 411,2 kN
Đáp số
Pcr = 411,2 kN
10.Mất ổn định cột
Đáp số: d = 39,24 mm
Mất ổn định Euler: một cột mảnh mất ổn định tại Pcr = π²EI/(KL)², trong đó KL là chiều dài tính toán: K = 1 cho khớp–khớp, 2 cho ngàm–tự do, 0,7 cho ngàm–khớp và 0,5 cho ngàm–ngàm. Cột oằn quanh trục có I nhỏ nhất. Công thức đúng với cột mảnh, có ứng suất tới hạn thấp hơn ứng suất chảy.
Tải trọng tới hạn yêu cầu
Pcr = n·P = 3·25000 = 75000 N
KL = 0,7·2500 = 1750 mm
Giải tìm đường kính
d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·75000·1750²/(π³·200000))^(1/4) = 39,24 mm
Đáp số
d = 39,24 mm
Kiểm tra: độ mảnh KL/r là 178,4, nên cột là mảnh và công thức Euler áp dụng được.
11.Dao động cơ học
Đáp số: fd = 15,18 Hz
Dao động tự do của hệ vật–lò xo: tần số riêng không cản là ωn = √(k/m) theo rad/s, và fn = ωn/(2π) theo Hz. Một bộ cản nhớt c cho hệ số cản ζ = c/cc, với cản tới hạn cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Hệ cản dưới tới hạn (ζ < 1) dao động ở ωd = ωn·√(1 − ζ²). Các lò xo song song cộng lại, k = k₁ + k₂; các lò xo nối tiếp cộng theo nghịch đảo, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Tần số riêng không cản
ωn = √(80000/8) = 100 rad/s
fn = 100/(2π) = 15,92 Hz
Tần số riêng có cản
fd = fn·√(1 − ζ²) = 15,92·√(1 − 0,3²) = 15,18 Hz
Đáp số
fd = 15,18 Hz
12.Dao động cơ học
Đáp số: fn = 7,494 Hz
Dao động tự do của hệ vật–lò xo: tần số riêng không cản là ωn = √(k/m) theo rad/s, và fn = ωn/(2π) theo Hz. Một bộ cản nhớt c cho hệ số cản ζ = c/cc, với cản tới hạn cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Hệ cản dưới tới hạn (ζ < 1) dao động ở ωd = ωn·√(1 − ζ²). Các lò xo song song cộng lại, k = k₁ + k₂; các lò xo nối tiếp cộng theo nghịch đảo, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Độ cứng tương đương
Chỉ k1 và k2 song song. Cặp đó nối tiếp với k3, nên gộp chúng theo nghịch đảo.
k12 = 80 + 5 = 85 kN/m
keq = 85·30/(85 + 30) = 22,17 kN/m
Tần số riêng
ωn = √(22174/10) = 47,09 rad/s
fn = 47,09/(2π) = 7,494 Hz
Đáp số
fn = 7,494 Hz
ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design