Bánh răng và hệ bánh răng
- Bánh răng ăn khớp
- n1·N1 = n2·N2
- Mômen xoắn
- T2 = T1·(N2/N1)·η
- Công suất
- P = T·ω, ω = 2π·n/60
- Hệ bánh răng ghép
- tỉ số truyền tổng = tích các tỉ số truyền từng cấp
Thiết kế máy: gói ôn nước rút
Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 12 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.
1Công thức và phương pháp
Xoắn của trục
- Ứng suất tiếp
- τ = T·r/J
- Trục đặc
- J = πd⁴/32
- Trục rỗng
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- Góc xoắn
- φ = TL/(GJ)
- Công suất
- P = T·ω = 2πnT/60
Phương pháp
- Tìm mômen quán tính độc cực: J = πd⁴/32 cho trục đặc.
- Ứng suất tiếp ở bề mặt: τ = T·r/J, với r là bán kính ngoài.
- Góc xoắn: φ = TL/(GJ) theo radian.
- Nếu cho công suất, hãy tìm mômen xoắn trước bằng P = T·ω, ω = 2πn/60.
Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất
- Tâm
- C = (σx + σy)/2
- Bán kính
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- Ứng suất chính
- σ1,2 = C ± R
- Phương chính
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- Mặt phẳng nghiêng
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
Phương pháp
- Tính tâm của vòng tròn Mohr: C = (σx + σy)/2.
- Tính bán kính: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
- Các ứng suất chính là C ± R và ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng là R.
- Các góc trên vòng tròn gấp đôi các góc trên phần tử: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).
Ứng suất và biến dạng dọc trục
- Ứng suất pháp
- σ = F/A
- Biến dạng
- ε = ΔL/L
- Định luật Hooke
- σ = E·ε
- Độ giãn dài
- ΔL = FL/(EA)
- Biến dạng nhiệt
- εT = α·ΔT
Mất ổn định cột
- Tải Euler
- Pcr = π²EI/(KL)²
- Hệ số chiều dài tính toán
- K = 1 khớp–khớp, 0,5 ngàm–ngàm, 0,7 ngàm–khớp, 2 ngàm–tự do
- Ứng suất tới hạn
- σcr = Pcr/A
- Độ mảnh
- λ = KL/r, r = √(I/A)
Dao động cơ học
- Tần số riêng
- ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
- Từ độ võng tĩnh
- ωn = √(g/δst)
- Cản tới hạn
- cc = 2√(km) = 2mωn
- Hệ số cản
- ζ = c/cc
- Tần số có cản
- ωd = ωn√(1 − ζ²)
- Giảm lượng logarit
- δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
- Lò xo song song
- k = k1 + k2
- Lò xo nối tiếp
- 1/k = 1/k1 + 1/k2
2Bài tập
1.Bánh răng và hệ bánh răngTrung bình
Một động cơ 7,5 kW chạy ở 960 rpm dẫn động một bánh răng nhỏ có 48 răng, ăn khớp với một bánh răng có 50 răng. Cặp bánh răng có hiệu suất 98%. Tìm mômen xoắn ra T2 trên trục bánh răng.
P = 7,5 kWn1 = 960 rpmN1 = 48N2 = 50η = 98%
T2 = N·m
2.Bánh răng và hệ bánh răngKhó
Một động cơ 3 kW ở 960 rpm dẫn động bánh răng A (50 răng), ăn khớp với bánh răng B (72 răng). Bánh răng C (18 răng) trên cùng trục với B dẫn động bánh răng D (72 răng) trên trục ra. Mỗi cặp ăn khớp có hiệu suất 96%. Tìm mô-men đầu ra Tout.
P = 3 kWnin = 960 rpmA = 50B = 72C = 18D = 72ηmesh = 96%
Tout = N·m
3.Xoắn của trụcTrung bình
Một trục rỗng phải chịu mô-men xoắn 250 N·m. Đường kính trong của nó bằng 0,8 lần đường kính ngoài, và ứng suất cắt không được vượt quá 40 MPa. Tìm đường kính ngoài nhỏ nhất do.
T = 250 N·mdi/do = 0,8τallow = 40 MPa
do = mm
4.Xoắn của trụcKhó
Một trục đặc nhôm đường kính 50 mm được ngàm tại A. Một mô-men xoắn 400 N·m tác dụng tại B, cách A 3 m, và một mô-men xoắn 400 N·m cùng chiều tác dụng tại đầu tự do C, cách thêm 2 m. Tìm độ lớn của góc xoắn φC của đầu C, theo độ.
d = 50 mmTB = 400 N·mTC = 400 N·mAB = 3 mBC = 2 mG = 26 GPa
φC = °
5.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suấtTrung bình
Một điểm có σₓ = −40 MPa, σᵧ = 0 MPa và τₓᵧ = 30 MPa (kéo là dương). Tìm góc θs, trong khoảng từ −90° đến 90°, từ trục x đến pháp tuyến của mặt có ứng suất cắt đạt giá trị dương lớn nhất +R (ứng suất cắt dương cùng chiều với τₓᵧ).
σx = −40 MPaσy = 0 MPaτxy = 30 MPa
θs = °
6.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suấtKhó
Một điểm trong chi tiết chịu tải có σₓ = 50 MPa, σᵧ = 110 MPa và τₓᵧ = −20 MPa (kéo là dương). Tìm ứng suất pháp σθ trên một mặt có pháp tuyến xoay 25° ngược chiều kim đồng hồ so với trục x.
σx = 50 MPaσy = 110 MPaτxy = −20 MPaθ = 25°
σθ = MPa
7.Ứng suất và biến dạng dọc trụcTrung bình
Tìm độ giãn dài δ của thanh nhôm dưới tải trọng dọc trục.
P = 60 kNd = 12 mmL = 1,5 mE = 70 GPa
δ = mm
8.Ứng suất và biến dạng dọc trụcKhó
Thanh bậc được ngàm vào tường và chịu tải ở đầu tự do. Tìm tổng độ giãn dài δ.
P = 20 kNđoạn 1: Ø25 mm, 2 m, đồng (E = 117 GPa)đoạn 2: Ø12 mm, 0,5 m, đồng (E = 117 GPa)
δ = mm
9.Mất ổn định cộtTrung bình
Một cột dài L làm bằng nhôm được ngàm ở chân và khớp ở đỉnh. Dùng công thức Euler, tìm tải trọng oằn tới hạn Pcr của nó.
L = 3 mE = 70 GPa (nhôm)b × h = 25 × 40 mm
Pcr = kN
10.Mất ổn định cộtKhó
Một cột tròn đặc dài L làm bằng thép được hai đầu khớp. Nó phải chịu 140 kN với hệ số an toàn 2,5 chống oằn. Tìm đường kính nhỏ nhất d.
P = 140 kNn = 2,5L = 6 mE = 200 GPa (thép)
d = mm
11.Dao động cơ họcTrung bình
Trong một thí nghiệm dao động tự do của hệ vật–lò xo có cản, một đỉnh độ dời 20 mm được theo sau 2 chu kỳ sau bởi đỉnh 15,6 mm. Tìm hệ số cản ζ.
x0 = 20 mmx2 = 15,6 mmn = 2
ζ =
12.Dao động cơ họcKhó
Một vật 40 kg treo vào hai lò xo đặt cạnh nhau (song song), có độ cứng k₁ = 100 kN/m và k₂ = 10 kN/m. Vật giữ nằm ngang. Tìm độ cứng tương đương keq của hệ lò xo theo kN/m.
m = 40 kgk1 = 100 kN/mk2 = 10 kN/m
keq = kN/m
3Dung dịch
1.Bánh răng và hệ bánh răng
Đáp số: T2 = 76,16 N·m
Hệ bánh răng: các bánh răng ăn khớp có cùng tốc độ tại răng, nên n₁·N₁ = n₂·N₂: bánh răng có ít răng hơn quay nhanh hơn. Các bánh răng trên cùng một trục quay cùng tốc độ. Công suất được truyền đi (trừ tổn thất), nên mômen xoắn tăng khi tốc độ giảm: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, và P = T·ω với ω = 2π·n/60.
Mômen xoắn động cơ
ω₁ = 2π·960/60 = 100,5 rad/s
T1 = P/ω₁ = 7500/100,5 = 74,6 N·m
Mômen xoắn ra
T2 = 74,6·50/48·0,98 = 76,16 N·m
Đáp số
T2 = 76,16 N·m
2.Bánh răng và hệ bánh răng
Đáp số: Tout = 158,4 N·m
Gear trains: meshing gears have the same speed at the teeth, so n₁·N₁ = n₂·N₂: the gear with fewer teeth turns faster. Gears on one shaft turn at the same speed. Power is passed on (minus losses), so torque goes up when speed goes down: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, and P = T·ω with ω = 2π·n/60.
Tốc độ ra
nout = 960·(50/72)·(18/72) = 166,7 rpm
ωout = 2π·166,7/60 = 17,45 rad/s
Công suất và mô-men đầu ra
Pout = 3000·0,96² = 2765 W
Tout = Pout/ωout = 2765/17,45 = 158,4 N·m
Đáp số
Tout = 158,4 N·m
3.Xoắn của trục
Đáp số: do = 37,78 mm
Xoắn thanh tròn: ứng suất tiếp tăng tuyến tính từ không ở tâm đến τmax = T·r/J ở bề mặt, với J = πd⁴/32 cho trục đặc và J = π(do⁴ − di⁴)/32 cho trục rỗng. Góc xoắn là φ = TL/(GJ) tính bằng radian. Công suất và mômen xoắn liên hệ với nhau qua P = T·ω.
Đường kính ngoài từ ứng suất cho phép
T = 250 N·m = 250000 N·mm
1 − k⁴ = 1 − 0,8⁴ = 0,5904
do = ∛(16T/(π·τallow·(1 − k⁴))) = ∛(16·250000/(π·40·0,5904)) = 37,78 mm
di = 0,8·37,78 = 30,22 mm
Đáp số
do = 37,78 mm
Một trục đặc sẽ cần d = 31,69 mm; trục rỗng lớn hơn một chút nhưng nhẹ hơn nhiều.
4.Xoắn của trục
Đáp số: φC = 11,49 °
Xoắn thanh tròn: ứng suất tiếp tăng tuyến tính từ không ở tâm đến τmax = T·r/J ở bề mặt, với J = πd⁴/32 cho trục đặc và J = π(do⁴ − di⁴)/32 cho trục rỗng. Góc xoắn là φ = TL/(GJ) tính bằng radian. Công suất và mômen xoắn liên hệ với nhau qua P = T·ω.
Các mô-men xoắn nội lực
Chiều của TC được lấy là dương.
TBC = TC = 400 N·m
TAB = TC + TB = 400 + 400 = 800 N·m
Góc xoắn của từng đoạn
J = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴
G = 26 GPa = 26000 MPa
φAB = 800000·3000/(26000·613592) = 0,1504 rad
φBC = 400000·2000/(26000·613592) = 0,05015 rad
Góc xoắn của đầu C
φC = 0,1504 + 0,05015 = 0,2006 rad → |φC| = 11,49°
Đáp số
φC = 11,49°
5.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất
Đáp số: θs = 16,85 °
Biến đổi ứng suất phẳng: trên một mặt xoay góc θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Vòng tròn Mohr cho thấy tất cả các mặt cùng lúc: tâm của nó ở C = (σₓ + σᵧ)/2 và bán kính là R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Các ứng suất chính là C ± R, và ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng là R.
Góc trên vòng tròn
Trên vòng tròn Mohr, điểm trên cùng (+R) lệch 90° so với điểm chính σ₁; trên phân tố đó là 45°.
cos 2θs = 30/36,06 = 0,8321, sin 2θs = −(−20)/36,06 = 0,5547
2θs = atan2(20, 30) = 33,69°
Góc trên phần tử
θs = 16,85°
kiểm tra: θs − θp = 16,85 − 61,85 = −45°
Đáp số
θs = 16,85°
Góc dương là ngược chiều kim đồng hồ.
6.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất
Đáp số: σθ = 45,4 MPa
Biến đổi ứng suất phẳng: trên một mặt xoay góc θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Vòng tròn Mohr cho thấy tất cả các mặt cùng lúc: tâm của nó ở C = (σₓ + σᵧ)/2 và bán kính là R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Các ứng suất chính là C ± R, và ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng là R.
Phương trình biến đổi
σθ = 80 + −30·0,6428 + −20·0,766 = 45,4 MPa
Đáp số
σθ = 45,4 MPa
7.Ứng suất và biến dạng dọc trục
Đáp số: δ = 11,37 mm
Định luật Hooke: trong giới hạn đàn hồi σ = E·ε. Kết hợp với σ = P/A và ε = δ/L ta được δ = PL/(AE).
Ứng suất
A = π·12²/4 = 113,1 mm²
σ = P/A = 60·1000/113,1 = 530,5 MPa
Biến dạng (định luật Hooke)
E for nhôm = 70 GPa = 70000 MPa.
ε = σ/E = 530,5/70000 = 0,007579 = 7579 µε
Độ giãn dài
δ = ε·L = 0,007579·1500 mm = 11,37 mm
Đáp số
δ = 11,37 mm
8.Ứng suất và biến dạng dọc trục
Đáp số: δ = 1,452 mm
Cấu kiện chịu tải dọc trục: mỗi đoạn lăng trụ tuân theo δ = PL/(AE). Với các cấu kiện nối tiếp, độ giãn dài cộng lại.
Cùng một lực trong cả hai đoạn
Đầu tự do chịu lực P, nên mọi mặt cắt của thanh đều chịu cùng một lực dọc trục P. Chỉ có diện tích và vật liệu thay đổi.
A1 = π·25²/4 = 490,9 mm², A2 = π·12²/4 = 113,1 mm²
σ1 = 40,74 MPa
σ2 = 176,8 MPa
Cộng độ giãn dài của các đoạn
δ1 = σ1L1/E1 = 40,74·2000/117000 = 0,6965 mm
δ2 = σ2L2/E2 = 176,8·500/117000 = 0,7557 mm
δ = δ1 + δ2 = 1,452 mm
Đáp số
δ = 1,452 mm
9.Mất ổn định cột
Đáp số: Pcr = 8,159 kN
Mất ổn định Euler: một cột mảnh mất ổn định tại Pcr = π²EI/(KL)², trong đó KL là chiều dài tính toán: K = 1 cho khớp–khớp, 2 cho ngàm–tự do, 0,7 cho ngàm–khớp và 0,5 cho ngàm–ngàm. Cột oằn quanh trục có I nhỏ nhất. Công thức đúng với cột mảnh, có ứng suất tới hạn thấp hơn ứng suất chảy.
Mômen quán tính nhỏ nhất của mặt cắt
Hình chữ nhật oằn quanh trục yếu, dùng kích thước nhỏ hơn lập phương.
Imin = h·b³/12 = 40·25³/12 = 52083 mm⁴
Chiều dài tính toán
KL = 0,7·3000 = 2100 mm
Tải trọng tới hạn
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·52083/2100² = 8159 N = 8,159 kN
Đáp số
Pcr = 8,159 kN
10.Mất ổn định cột
Đáp số: d = 106,8 mm
Mất ổn định Euler: một cột mảnh mất ổn định tại Pcr = π²EI/(KL)², trong đó KL là chiều dài tính toán: K = 1 cho khớp–khớp, 2 cho ngàm–tự do, 0,7 cho ngàm–khớp và 0,5 cho ngàm–ngàm. Cột oằn quanh trục có I nhỏ nhất. Công thức đúng với cột mảnh, có ứng suất tới hạn thấp hơn ứng suất chảy.
Tải trọng tới hạn yêu cầu
Pcr = n·P = 2,5·140000 = 350000 N
KL = 1·6000 = 6000 mm
Giải tìm đường kính
d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·350000·6000²/(π³·200000))^(1/4) = 106,8 mm
Đáp số
d = 106,8 mm
Kiểm tra: độ mảnh KL/r là 224,7, nên cột là mảnh và công thức Euler áp dụng được.
11.Dao động cơ học
Đáp số: ζ = 0,01977
Dao động tự do của hệ vật–lò xo: tần số riêng không cản là ωn = √(k/m) theo rad/s, và fn = ωn/(2π) theo Hz. Một bộ cản nhớt c cho hệ số cản ζ = c/cc, với cản tới hạn cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Hệ cản dưới tới hạn (ζ < 1) dao động ở ωd = ωn·√(1 − ζ²). Các lò xo song song cộng lại, k = k₁ + k₂; các lò xo nối tiếp cộng theo nghịch đảo, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Giảm lượng logarit
δ = (1/2)·ln(20/15,6) = 0,1242
Hệ số cản
ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0,1242/√(39,48 + 0,01543) = 0,01977
Đáp số
ζ = 0,01977
12.Dao động cơ học
Đáp số: keq = 110 kN/m
Dao động tự do của hệ vật–lò xo: tần số riêng không cản là ωn = √(k/m) theo rad/s, và fn = ωn/(2π) theo Hz. Một bộ cản nhớt c cho hệ số cản ζ = c/cc, với cản tới hạn cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Hệ cản dưới tới hạn (ζ < 1) dao động ở ωd = ωn·√(1 − ζ²). Các lò xo song song cộng lại, k = k₁ + k₂; các lò xo nối tiếp cộng theo nghịch đảo, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Độ cứng tương đương
Các lò xo đặt cạnh nhau có chung độ võng và cộng các lực, nên độ cứng đơn giản cộng lại: k = k1 + k2.
keq = 100 + 10 = 110 kN/m
Đáp số
keq = 110 kN/m
ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design