Thiết kế máy: gói ôn nước rút

Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 12 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.

Bài mới Quay lại môn học

Trong cửa sổ in, hãy chọn “Lưu dưới dạng PDF” để giữ một bản trên thiết bị của bạn.

1Công thức và phương pháp

Bánh răng và hệ bánh răng

Bánh răng ăn khớp: n₁·N₁ = n₂·N₂
Mômen xoắn: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Công suất: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Hệ bánh răng ghép: tỉ số truyền tổng = tích các tỉ số truyền từng cấp

Xoắn của trục

Ứng suất tiếp: τ = T·r/J
Trục đặc: J = πd⁴/32
Trục rỗng: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Góc xoắn: φ = TL/(GJ)
Công suất: P = T·ω = 2πnT/60

Phương pháp

Tìm mômen quán tính độc cực: J = πd⁴/32 cho trục đặc.
Ứng suất tiếp ở bề mặt: τ = T·r/J, với r là bán kính ngoài.
Góc xoắn: φ = TL/(GJ) theo radian.
Nếu cho công suất, hãy tìm mômen xoắn trước bằng P = T·ω, ω = 2πn/60.

Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất

Tâm: C = (σ_x + σ_y)/2
Bán kính: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Ứng suất chính: σ_1,2 = C ± R
Phương chính: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Mặt phẳng nghiêng: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Phương pháp

Tính tâm của vòng tròn Mohr: C = (σx + σy)/2.
Tính bán kính: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Các ứng suất chính là C ± R và ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng là R.
Các góc trên vòng tròn gấp đôi các góc trên phần tử: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Ứng suất và biến dạng dọc trục

Ứng suất pháp: σ = F/A
Biến dạng: ε = ΔL/L
Định luật Hooke: σ = E·ε
Độ giãn dài: ΔL = FL/(EA)
Biến dạng nhiệt: ε_T = α·ΔT

Mất ổn định cột

Tải Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Hệ số chiều dài tính toán: K = 1 khớp–khớp, 0,5 ngàm–ngàm, 0,7 ngàm–khớp, 2 ngàm–tự do
Ứng suất tới hạn: σ_cr = P_cr/A
Độ mảnh: λ = KL/r, r = √(I/A)

Dao động cơ học

Tần số riêng: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Từ độ võng tĩnh: ω_n = √(g/δ_st)
Cản tới hạn: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Hệ số cản: ζ = c/c_c
Tần số có cản: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Giảm lượng logarit: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Lò xo song song: k = k₁ + k₂
Lò xo nối tiếp: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Bài tập

1.Bánh răng và hệ bánh răngTrung bình

Một puli 160 mm ở 720 vòng/phút dẫn động một puli 200 mm bằng dây đai với độ trượt 1,5 %. Tìm tốc độ n₂ của puli bị dẫn.

n₁ = 720 rpmd₁ = 160 mmd₂ = 200 mms = 1,5 %

n₂ = rpm

2.Bánh răng và hệ bánh răngKhó

Một dây đai hở nối puli dẫn 200 mm ở 1440 vòng/phút với puli 450 mm; tâm cách nhau 600 mm. Hệ số ma sát là 0,25 và lực căng nhánh căng không được vượt quá 600 N. Tìm công suất lớn nhất P mà dây đai có thể truyền mà không trượt, theo kW (bỏ qua hiệu ứng ly tâm).

d₁ = 200 mmn₁ = 1440 rpmd₂ = 450 mmC = 600 mmμ = 0,25T₁ = 600 N

P = kW

3.Xoắn của trụcTrung bình

Trong một thí nghiệm xoắn, một mẫu đặc đường kính 10 mm bị xoắn bởi mô-men xoắn 20 N·m. Hai đầu của một đoạn đo dài 300 mm quay 8,98° so với nhau (vật liệu vẫn còn đàn hồi). Tìm mô-đun cắt G của vật liệu.

T = 20 N·md = 10 mmL = 300 mmφ = 8,98°

G = GPa

4.Xoắn của trụcKhó

Một trục đặc phải truyền 10 kW ở 1800 rpm mà ứng suất tiếp không vượt quá 50 MPa. Tìm đường kính nhỏ nhất d thỏa mãn.

P = 10 kWN = 1800 rpmτ_allow = 50 MPa

d = mm

5.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suấtTrung bình

Một điểm có σₓ = 40 MPa và σᵧ = −60 MPa. Ứng suất cắt τ_xy (độ lớn) có thể lớn đến mức nào trước khi ứng suất chính lớn nhất đạt 100 MPa?

σ_x = 40 MPaσ_y = −60 MPaσ₁ = 100 MPa

τ_xy = MPa

6.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suấtKhó

Một điểm trong một tấm mỏng ở trạng thái ứng suất phẳng: σₓ = 100 MPa, σᵧ = 30 MPa và τₓᵧ = −30 MPa (σ_z = 0). Vật liệu có giới hạn chảy 300 MPa. Tìm hệ số an toàn n chống chảy theo tiêu chuẩn von Mises (năng lượng biến dạng hình dạng).

σ_x = 100 MPaσ_y = 30 MPaτ_xy = −30 MPaσ_Y = 300 MPa

n =

7.Ứng suất và biến dạng dọc trụcTrung bình

Một thanh gồm một đoạn thép (đường kính 20 mm, chiều dài 600 mm, E = 200 GPa) nối đầu với đầu với một đoạn làm bằng đồng thau (đường kính 40 mm, chiều dài 300 mm, E = 100 GPa). Nó được ngàm một đầu và bị kéo ở đầu kia. Tìm tải dọc trục P làm nó giãn tổng cộng 0,5 mm.

đoạn 1: thép, Ø20 mm, 600 mm, E = 200 GPađoạn 2: đồng thau, Ø40 mm, 300 mm, E = 100 GPaδ = 0,5 mm

P = kN

8.Ứng suất và biến dạng dọc trụcKhó

Thanh bậc được ngàm vào tường và chịu tải ở đầu tự do. Tìm ứng suất pháp lớn nhất σ_max trong thanh.

P = 110 kNđoạn 1: Ø40 mm, 1 m, đồng thau (E = 100 GPa)đoạn 2: Ø16 mm, 0,5 m, nhôm (E = 70 GPa)

σ_max = MPa

9.Mất ổn định cộtTrung bình

Một cột dài L làm bằng thép được ngàm ở chân và tự do ở đỉnh. Dùng công thức Euler, tìm tải trọng oằn tới hạn P_cr của nó.

L = 2 mE = 200 GPa (thép)d = 80 mm

P_cr = kN

10.Mất ổn định cộtKhó

Một cột tròn đặc dài L làm bằng thép được ngàm cả hai đầu. Nó phải chịu 150 kN với hệ số an toàn 2 chống oằn. Tìm đường kính nhỏ nhất d.

P = 150 kNn = 2L = 4 mE = 200 GPa (thép)

d = mm

11.Dao động cơ họcTrung bình

Một vật 2 kg trên lò xo có độ cứng 4 kN/m có bộ cản nhớt cho hệ số cản 0,6. Tìm tần số riêng có cản f_d của dao động tự do theo Hz.

m = 2 kgk = 4 kN/mζ = 0,6

f_d = Hz

12.Dao động cơ họcKhó

Một vật 50 kg treo vào hai lò xo đặt cạnh nhau (song song), có độ cứng k₁ = 20 kN/m và k₂ = 40 kN/m. Vật giữ nằm ngang. Tìm độ cứng tương đương k_eq của hệ lò xo theo kN/m.

m = 50 kgk₁ = 20 kN/mk₂ = 40 kN/m

k_eq = kN/m

3Dung dịch

1.Bánh răng và hệ bánh răng

Đáp số: n₂ = 567,4 rpm

Truyền động đai: khi không trượt, cả hai puli có cùng tốc độ mép v = π·d·n/60, nên n₁·d₁ = n₂·d₂ và tỉ số tốc độ là d₂/d₁. Độ trượt s làm puli bị dẫn chậm hơn một chút: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). Công suất truyền là P = (T₁ − T₂)·v, với T₁ là lực căng ở nhánh căng và T₂ ở nhánh chùng. Ma sát giới hạn tỉ số các lực căng: T₁/T₂ = e^μθ, trong đó θ là góc ôm tính theo radian trên puli nhỏ hơn; với đai hở θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) với khoảng cách tâm C.

Tốc độ khi không trượt

720·160/200 = 576 rpm

Khi có trượt

n₂ = 576·0,985 = 567,4 rpm

Đáp số

n₂ = 567,4 rpm

2.Bánh răng và hệ bánh răng

Đáp số: P = 4,466 kW

Góc ôm

θ = 2,722 rad

Lực căng nhánh chùng

e^μθ = e^0,6805 = 1,975, T₂ = 600/1,975 = 303,8 N

Công suất

P = (600 − 303,8)·15,08 = 4,466 kW

Đáp số

P = 4,466 kW

3.Xoắn của trục

Đáp số: G = 38,99 GPa

Xoắn thanh tròn: ứng suất tiếp tăng tuyến tính từ không ở tâm đến τ_max = T·r/J ở bề mặt, với J = πd⁴/32 cho trục đặc và J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 cho trục rỗng. Góc xoắn là φ = TL/(GJ) tính bằng radian. Công suất và mômen xoắn liên hệ với nhau qua P = T·ω.

Mô-men quán tính độc cực và góc

J = π·10⁴/32 = 981,7 mm⁴

φ = 8,98·π/180 = 0,1567 rad

Mô đun trượt

T = 20 N·m = 20000 N·mm

G = TL/(Jφ) = 20000·300/(981,7·0,1567) = 38994 MPa

G = 38,99 GPa

Đáp số

G = 38,99 GPa

So sánh: thép ≈ 80 GPa, đồng thau ≈ 39 GPa, nhôm ≈ 26 GPa.

4.Xoắn của trục

Đáp số: d = 17,55 mm

Mômen xoắn

ω = 2πN/60 = 2π·1800/60 = 188,5 rad/s

T = P/ω = 10000/188,5 = 53,05 N·m

Đường kính từ ứng suất cho phép

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·53052/(π·50)) = 17,55 mm

Đáp số

d = 17,55 mm

Trong thực tế bạn sẽ làm tròn lên kích thước tiêu chuẩn kế tiếp.

5.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất

Đáp số: τ_xy = 97,98 MPa

Bán kính cần thiết

C = (40 + (−60))/2 = −10 MPa

R = σ₁ − C = 100 − (−10) = 110 MPa

Ứng suất tiếp

τ_xy = √(R² − ((σₓ − σᵧ)/2)²) = √(110² − 50²) = 97,98 MPa

Đáp số

τ_xy = 97,98 MPa

6.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất

Đáp số: n = 2,914

Biến đổi ứng suất phẳng: trên một mặt xoay góc θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Vòng tròn Mohr cho thấy tất cả các mặt cùng lúc: tâm của nó ở C = (σₓ + σᵧ)/2 và bán kính là R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Các ứng suất chính là C ± R, và ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng là R. Tiêu chuẩn chảy: von Mises dự đoán vật liệu chảy khi σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) đạt σ_Y; Tresca khi ứng suất cắt lớn nhất tuyệt đối đạt σ_Y/2.

Ứng suất chính

C = 65 MPa, R = 46,1 MPa

σ₁ = 111,1 MPa, σ₂ = 18,9 MPa, σ₃ = 0

Von Mises

σ_vM = √(111,1² − 111,1·18,9 + 18,9²) = 103 MPa

n = 300/103 = 2,914

Đáp số

n = 2,914

n > 1 nghĩa là điểm không bị chảy; Tresca thận trọng hơn von Mises một chút.

7.Ứng suất và biến dạng dọc trục

Đáp số: P = 41,89 kN

Hai vật liệu: khi nối tiếp (cái này sau cái kia) mỗi đoạn chịu cùng một lực và các độ giãn dài cộng lại: δ = P·Σ L/(E·A). Khi song song (cạnh nhau giữa các tấm cứng) cả hai phần co lại cùng một lượng, nên biến dạng của chúng bằng nhau: phần cứng hơn nhận phần tải lớn hơn, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, và σ_i = E_i·ε. Một thanh bị giữ giữa hai vách cứng với tải đặt tại chỗ nối là siêu tĩnh: hai đoạn chia tải theo tỉ lệ độ cứng k = EA/L của chúng.

Diện tích

A₁ = 314,2 mm², A₂ = 1257 mm²

Các độ mềm

L₁/(E₁A₁) = 600/(200000·314,2) = 9,549 × 10⁻⁶ mm/N

L₂/(E₂A₂) = 300/(100000·1257) = 2,387 × 10⁻⁶ mm/N

Tải

P = 0,5/1,194 × 10⁻⁵ = 41888 N = 41,89 kN

Đáp số

P = 41,89 kN

8.Ứng suất và biến dạng dọc trục

Đáp số: σ_max = 547,1 MPa

Cấu kiện chịu tải dọc trục: mỗi đoạn lăng trụ tuân theo δ = PL/(AE). Với các cấu kiện nối tiếp, độ giãn dài cộng lại.

Cùng một lực trong cả hai đoạn

Đầu tự do chịu lực P, nên mọi mặt cắt của thanh đều chịu cùng một lực dọc trục P. Chỉ có diện tích và vật liệu thay đổi.

A₁ = π·40²/4 = 1257 mm², A₂ = π·16²/4 = 201,1 mm²

σ₁ = 87,54 MPa

σ₂ = 547,1 MPa

Ứng suất lớn nhất

Đoạn mảnh hơn có diện tích nhỏ hơn, nên chịu ứng suất lớn hơn.

σ_max = 547,1 MPa

Đáp số

σ_max = 547,1 MPa

9.Mất ổn định cột

Đáp số: P_cr = 248,1 kN

Mất ổn định Euler: một cột mảnh mất ổn định tại P_cr = π²EI/(KL)², trong đó KL là chiều dài tính toán: K = 1 cho khớp–khớp, 2 cho ngàm–tự do, 0,7 cho ngàm–khớp và 0,5 cho ngàm–ngàm. Cột oằn quanh trục có I nhỏ nhất. Công thức đúng với cột mảnh, có ứng suất tới hạn thấp hơn ứng suất chảy.

Mômen quán tính nhỏ nhất của mặt cắt

Mặt cắt tròn có cùng I đối với mọi trục.

I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2,011 × 10⁶ mm⁴

Chiều dài tính toán

KL = 2·2000 = 4000 mm

Tải trọng tới hạn

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·2,011 × 10⁶/4000² = 248050 N = 248,1 kN

Đáp số

P_cr = 248,1 kN

10.Mất ổn định cột

Đáp số: d = 59,32 mm

Tải trọng tới hạn yêu cầu

P_cr = n·P = 2·150000 = 300000 N

KL = 0,5·4000 = 2000 mm

Giải tìm đường kính

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·300000·2000²/(π³·200000))^(1/4) = 59,32 mm

Đáp số

d = 59,32 mm

Kiểm tra: độ mảnh KL/r là 134,9, nên cột là mảnh và công thức Euler áp dụng được.

11.Dao động cơ học

Đáp số: f_d = 5,694 Hz

Dao động tự do của hệ vật–lò xo: tần số riêng không cản là ω_n = √(k/m) theo rad/s, và f_n = ω_n/(2π) theo Hz. Một bộ cản nhớt c cho hệ số cản ζ = c/c_c, với cản tới hạn c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Hệ cản dưới tới hạn (ζ < 1) dao động ở ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Các lò xo song song cộng lại, k = k₁ + k₂; các lò xo nối tiếp cộng theo nghịch đảo, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Tần số riêng không cản

ω_n = √(4000/2) = 44,72 rad/s

f_n = 44,72/(2π) = 7,118 Hz

Tần số riêng có cản

f_d = f_n·√(1 − ζ²) = 7,118·√(1 − 0,6²) = 5,694 Hz

Đáp số

f_d = 5,694 Hz

12.Dao động cơ học

Đáp số: k_eq = 60 kN/m

Độ cứng tương đương

Các lò xo đặt cạnh nhau có chung độ võng và cộng các lực, nên độ cứng đơn giản cộng lại: k = k₁ + k₂.

k_eq = 20 + 40 = 60 kN/m

Đáp số

k_eq = 60 kN/m

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design