Thiết kế máy: gói ôn nước rút

Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 12 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.

Bài mới Quay lại môn học

Trong cửa sổ in, hãy chọn “Lưu dưới dạng PDF” để giữ một bản trên thiết bị của bạn.

1Công thức và phương pháp

Bánh răng và hệ bánh răng

Bánh răng ăn khớp: n₁·N₁ = n₂·N₂
Mômen xoắn: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Công suất: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Hệ bánh răng ghép: tỉ số truyền tổng = tích các tỉ số truyền từng cấp

Xoắn của trục

Ứng suất tiếp: τ = T·r/J
Trục đặc: J = πd⁴/32
Trục rỗng: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Góc xoắn: φ = TL/(GJ)
Công suất: P = T·ω = 2πnT/60

Phương pháp

Tìm mômen quán tính độc cực: J = πd⁴/32 cho trục đặc.
Ứng suất tiếp ở bề mặt: τ = T·r/J, với r là bán kính ngoài.
Góc xoắn: φ = TL/(GJ) theo radian.
Nếu cho công suất, hãy tìm mômen xoắn trước bằng P = T·ω, ω = 2πn/60.

Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất

Tâm: C = (σ_x + σ_y)/2
Bán kính: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Ứng suất chính: σ_1,2 = C ± R
Phương chính: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Mặt phẳng nghiêng: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Phương pháp

Tính tâm của vòng tròn Mohr: C = (σx + σy)/2.
Tính bán kính: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Các ứng suất chính là C ± R và ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng là R.
Các góc trên vòng tròn gấp đôi các góc trên phần tử: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Ứng suất và biến dạng dọc trục

Ứng suất pháp: σ = F/A
Biến dạng: ε = ΔL/L
Định luật Hooke: σ = E·ε
Độ giãn dài: ΔL = FL/(EA)
Biến dạng nhiệt: ε_T = α·ΔT

Mất ổn định cột

Tải Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Hệ số chiều dài tính toán: K = 1 khớp–khớp, 0,5 ngàm–ngàm, 0,7 ngàm–khớp, 2 ngàm–tự do
Ứng suất tới hạn: σ_cr = P_cr/A
Độ mảnh: λ = KL/r, r = √(I/A)

Dao động cơ học

Tần số riêng: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Từ độ võng tĩnh: ω_n = √(g/δ_st)
Cản tới hạn: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Hệ số cản: ζ = c/c_c
Tần số có cản: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Giảm lượng logarit: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Lò xo song song: k = k₁ + k₂
Lò xo nối tiếp: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Bài tập

1.Bánh răng và hệ bánh răngTrung bình

Hai trục song song cách nhau 150 mm. Chúng phải được nối bằng một cặp bánh răng trụ răng thẳng có mô-đun 5 mm và tỉ số giảm tốc 3 : 1. Bánh răng nhỏ phải có bao nhiêu răng N₁?

a = 150 mmm = 5 mmi = 3

N₁ =

2.Bánh răng và hệ bánh răngKhó

Trong một hệ bánh răng ghép, bánh răng A (30 răng) trên trục vào quay 2900 rpm dẫn động bánh răng B (60 răng). Bánh răng C (36 răng) được cố định trên cùng trục với B và dẫn động bánh răng D (45 răng) trên trục ra. Tìm tốc độ ra n_out.

n_in = 2900 rpmA = 30B = 60C = 36D = 45

n_out = rpm

3.Xoắn của trụcTrung bình

Một trục rỗng phải chịu mô-men xoắn 200 N·m. Đường kính trong của nó bằng 0,75 lần đường kính ngoài, và ứng suất cắt không được vượt quá 50 MPa. Tìm đường kính ngoài nhỏ nhất d_o.

T = 200 N·md_i/d_o = 0,75τ_allow = 50 MPa

d_o = mm

4.Xoắn của trụcKhó

Một trục đặc phải truyền 30 kW ở 1800 rpm mà ứng suất tiếp không vượt quá 50 MPa. Tìm đường kính nhỏ nhất d thỏa mãn.

P = 30 kWN = 1800 rpmτ_allow = 50 MPa

d = mm

5.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suấtTrung bình

Một điểm có σₓ = −30 MPa và σᵧ = 30 MPa. Ứng suất cắt τ_xy (độ lớn) có thể lớn đến mức nào trước khi ứng suất chính lớn nhất đạt 85 MPa?

σ_x = −30 MPaσ_y = 30 MPaσ₁ = 85 MPa

τ_xy = MPa

6.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suấtKhó

Một bể hình trụ thành mỏng có đường kính trong 500 mm và chiều dày thành 15 mm chứa khí ở áp suất dư 2,5 MPa. Nó được làm từ tấm thép hàn theo một đường hàn xoắn ốc nghiêng 55° so với trục của hình trụ. Tìm độ lớn của ứng suất cắt |τ_n| tác dụng dọc theo đường hàn.

D = 500 mmt = 15 mmp = 2,5 MPaα = 55°

|τ_n| = MPa

7.Ứng suất và biến dạng dọc trụcTrung bình

Một thanh thép (đường kính 30 mm, E = 200 GPa) nằm trong một ống làm bằng đồng thanh (đường kính ngoài 80 mm, đường kính trong 60 mm, E = 110 GPa). Cả hai dài 400 mm và bị nén cùng nhau giữa các tấm cứng bởi 200 kN. Tìm độ co ngắn δ.

P = 200 kNthanh: Ø30 mm, E = 200 GPaống: Ø80/Ø60 mm, E = 110 GPaL = 400 mm

δ = mm

8.Ứng suất và biến dạng dọc trụcKhó

Thanh bậc được ngàm vào tường và chịu tải ở đầu tự do. Tìm tổng độ giãn dài δ.

P = 65 kNđoạn 1: Ø40 mm, 1 m, đồng (E = 117 GPa)đoạn 2: Ø16 mm, 2 m, đồng (E = 117 GPa)

δ = mm

9.Mất ổn định cộtTrung bình

Một cột dài L làm bằng nhôm được ngàm cả hai đầu. Dùng công thức Euler, tìm tải trọng oằn tới hạn P_cr của nó.

L = 4 mE = 70 GPa (nhôm)d = 30 mm

P_cr = kN

10.Mất ổn định cộtKhó

Một cột tròn đặc dài L làm bằng thép được ngàm ở chân và khớp ở đỉnh. Nó phải chịu 125 kN với hệ số an toàn 2 chống oằn. Tìm đường kính nhỏ nhất d.

P = 125 kNn = 2L = 6 mE = 200 GPa (thép)

d = mm

11.Dao động cơ họcTrung bình

Một vật 20 kg trên lò xo có độ cứng 15 kN/m có bộ cản nhớt cho hệ số cản 0,7. Tìm tần số riêng có cản f_d của dao động tự do theo Hz.

m = 20 kgk = 15 kN/mζ = 0,7

f_d = Hz

12.Dao động cơ họcKhó

Một vật 50 kg treo vào hai lò xo nối đầu với đầu (nối tiếp): lò xo trên có k₁ = 40 kN/m và lò xo dưới có k₂ = 5 kN/m. Bỏ qua cản và khối lượng của các lò xo. Tìm tần số riêng f_n của dao động thẳng đứng theo Hz.

m = 50 kgk₁ = 40 kN/mk₂ = 5 kN/m

f_n = Hz

3Dung dịch

1.Bánh răng và hệ bánh răng

Đáp số: N₁ = 15

Gear geometry: the module m sets the tooth size. A gear with N teeth has a pitch diameter d = m·N, two meshing gears have the same module, and their centre distance is a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2. The pitch-line speed is v = π·d·n/60, and the tangential tooth force follows from the torque: F_t = 2T/d.

Tổng số răng

N₁ + N₂ = 2a/m = 2·150/5 = 60

Chia theo tỉ số

N₁ = 60/(1 + 3) = 15

Đáp số

N₁ = 15

2.Bánh răng và hệ bánh răng

Đáp số: n_out = 1160 rpm

Hệ bánh răng: các bánh răng ăn khớp có cùng tốc độ tại răng, nên n₁·N₁ = n₂·N₂: bánh răng có ít răng hơn quay nhanh hơn. Các bánh răng trên cùng một trục quay cùng tốc độ. Công suất được truyền đi (trừ tổn thất), nên mômen xoắn tăng khi tốc độ giảm: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, và P = T·ω với ω = 2π·n/60.

Cấp thứ nhất

n_B = 2900·30/60 = 1450 rpm = n_C

Cấp thứ hai

n_out = 1450·36/45 = 1160 rpm

Đáp số

n_out = 1160 rpm

tỉ số truyền tổng = 2,5 : 1

3.Xoắn của trục

Đáp số: d_o = 31 mm

Xoắn thanh tròn: ứng suất tiếp tăng tuyến tính từ không ở tâm đến τ_max = T·r/J ở bề mặt, với J = πd⁴/32 cho trục đặc và J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 cho trục rỗng. Góc xoắn là φ = TL/(GJ) tính bằng radian. Công suất và mômen xoắn liên hệ với nhau qua P = T·ω.

Đường kính ngoài từ ứng suất cho phép

T = 200 N·m = 200000 N·mm

1 − k⁴ = 1 − 0,75⁴ = 0,6836

d_o = ∛(16T/(π·τ_allow·(1 − k⁴))) = ∛(16·200000/(π·50·0,6836)) = 31 mm

d_i = 0,75·31 = 23,25 mm

Đáp số

d_o = 31 mm

Một trục đặc sẽ cần d = 27,31 mm; trục rỗng lớn hơn một chút nhưng nhẹ hơn nhiều.

4.Xoắn của trục

Đáp số: d = 25,31 mm

Mômen xoắn

ω = 2πN/60 = 2π·1800/60 = 188,5 rad/s

T = P/ω = 30000/188,5 = 159,2 N·m

Đường kính từ ứng suất cho phép

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·159155/(π·50)) = 25,31 mm

Đáp số

d = 25,31 mm

Trong thực tế bạn sẽ làm tròn lên kích thước tiêu chuẩn kế tiếp.

5.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất

Đáp số: τ_xy = 79,53 MPa

Biến đổi ứng suất phẳng: trên một mặt xoay góc θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Vòng tròn Mohr cho thấy tất cả các mặt cùng lúc: tâm của nó ở C = (σₓ + σᵧ)/2 và bán kính là R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Các ứng suất chính là C ± R, và ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng là R.

Bán kính cần thiết

C = (−30 + 30)/2 = 0 MPa

R = σ₁ − C = 85 − 0 = 85 MPa

Ứng suất tiếp

τ_xy = √(R² − ((σₓ − σᵧ)/2)²) = √(85² − 30²) = 79,53 MPa

Đáp số

τ_xy = 79,53 MPa

6.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất

Đáp số: |τ_n| = 9,788 MPa

Các ứng suất trong thành

r = 500/2 = 250 mm

σ_h = pr/t = 2,5·250/15 = 41,67 MPa

σ_a = pr/(2t) = 20,83 MPa

Biến đổi sang đường hàn

Lấy x dọc theo trục (σ_a) và y theo chiều vòng (σ_h). Pháp tuyến của đường hàn tạo góc 90° − α với trục.

|τ_n| = (41,67 − 20,83)·sin 55°·cos 55° = 9,788 MPa

Đáp số

|τ_n| = 9,788 MPa

7.Ứng suất và biến dạng dọc trục

Đáp số: δ = 0,2087 mm

Hai vật liệu: khi nối tiếp (cái này sau cái kia) mỗi đoạn chịu cùng một lực và các độ giãn dài cộng lại: δ = P·Σ L/(E·A). Khi song song (cạnh nhau giữa các tấm cứng) cả hai phần co lại cùng một lượng, nên biến dạng của chúng bằng nhau: phần cứng hơn nhận phần tải lớn hơn, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, và σ_i = E_i·ε. Một thanh bị giữ giữa hai vách cứng với tải đặt tại chỗ nối là siêu tĩnh: hai đoạn chia tải theo tỉ lệ độ cứng k = EA/L của chúng.

Diện tích

A_r = π·30²/4 = 706,9 mm²

A_t = π(80² − 60²)/4 = 2199 mm²

Độ cứng dọc trục kết hợp

ΣEA = 200·10³·706,9 + 110·10³·2199 = 3,833 × 10⁸ N

Độ co ngắn

δ = 200000·400/3,833 × 10⁸ = 0,2087 mm

Đáp số

δ = 0,2087 mm

8.Ứng suất và biến dạng dọc trục

Đáp số: δ = 5,968 mm

Cấu kiện chịu tải dọc trục: mỗi đoạn lăng trụ tuân theo δ = PL/(AE). Với các cấu kiện nối tiếp, độ giãn dài cộng lại.

Cùng một lực trong cả hai đoạn

Đầu tự do chịu lực P, nên mọi mặt cắt của thanh đều chịu cùng một lực dọc trục P. Chỉ có diện tích và vật liệu thay đổi.

A₁ = π·40²/4 = 1257 mm², A₂ = π·16²/4 = 201,1 mm²

σ₁ = 51,73 MPa

σ₂ = 323,3 MPa

Cộng độ giãn dài của các đoạn

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 51,73·1000/117000 = 0,4421 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 323,3·2000/117000 = 5,526 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 5,968 mm

Đáp số

δ = 5,968 mm

9.Mất ổn định cột

Đáp số: P_cr = 6,867 kN

Mất ổn định Euler: một cột mảnh mất ổn định tại P_cr = π²EI/(KL)², trong đó KL là chiều dài tính toán: K = 1 cho khớp–khớp, 2 cho ngàm–tự do, 0,7 cho ngàm–khớp và 0,5 cho ngàm–ngàm. Cột oằn quanh trục có I nhỏ nhất. Công thức đúng với cột mảnh, có ứng suất tới hạn thấp hơn ứng suất chảy.

Mômen quán tính nhỏ nhất của mặt cắt

Mặt cắt tròn có cùng I đối với mọi trục.

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

Chiều dài tính toán

KL = 0,5·4000 = 2000 mm

Tải trọng tới hạn

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·39761/2000² = 6867 N = 6,867 kN

Đáp số

P_cr = 6,867 kN

10.Mất ổn định cột

Đáp số: d = 82,14 mm

Tải trọng tới hạn yêu cầu

P_cr = n·P = 2·125000 = 250000 N

KL = 0,7·6000 = 4200 mm

Giải tìm đường kính

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·250000·4200²/(π³·200000))^(1/4) = 82,14 mm

Đáp số

d = 82,14 mm

Kiểm tra: độ mảnh KL/r là 204,5, nên cột là mảnh và công thức Euler áp dụng được.

11.Dao động cơ học

Đáp số: f_d = 3,113 Hz

Dao động tự do của hệ vật–lò xo: tần số riêng không cản là ω_n = √(k/m) theo rad/s, và f_n = ω_n/(2π) theo Hz. Một bộ cản nhớt c cho hệ số cản ζ = c/c_c, với cản tới hạn c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Hệ cản dưới tới hạn (ζ < 1) dao động ở ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Các lò xo song song cộng lại, k = k₁ + k₂; các lò xo nối tiếp cộng theo nghịch đảo, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Tần số riêng không cản

ω_n = √(15000/20) = 27,39 rad/s

f_n = 27,39/(2π) = 4,359 Hz

Tần số riêng có cản

f_d = f_n·√(1 − ζ²) = 4,359·√(1 − 0,7²) = 3,113 Hz

Đáp số

f_d = 3,113 Hz

12.Dao động cơ học

Đáp số: f_n = 1,501 Hz

Độ cứng tương đương

Các lò xo nối tiếp chịu cùng một lực và cộng độ võng, nên chúng gộp theo nghịch đảo: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

1/k_eq = 1/40 + 1/5 → k_eq = 40·5/(40 + 5) = 4,444 kN/m

Tần số riêng

ω_n = √(4444/50) = 9,428 rad/s

f_n = 9,428/(2π) = 1,501 Hz

Đáp số

f_n = 1,501 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design