Thiết kế máy: gói ôn nước rút

Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 12 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.

Bài mới Quay lại môn học

Trong cửa sổ in, hãy chọn “Lưu dưới dạng PDF” để giữ một bản trên thiết bị của bạn.

1Công thức và phương pháp

Bánh răng và hệ bánh răng

Bánh răng ăn khớp: n₁·N₁ = n₂·N₂
Mômen xoắn: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Công suất: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Hệ bánh răng ghép: tỉ số truyền tổng = tích các tỉ số truyền từng cấp

Xoắn của trục

Ứng suất tiếp: τ = T·r/J
Trục đặc: J = πd⁴/32
Trục rỗng: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Góc xoắn: φ = TL/(GJ)
Công suất: P = T·ω = 2πnT/60

Phương pháp

Tìm mômen quán tính độc cực: J = πd⁴/32 cho trục đặc.
Ứng suất tiếp ở bề mặt: τ = T·r/J, với r là bán kính ngoài.
Góc xoắn: φ = TL/(GJ) theo radian.
Nếu cho công suất, hãy tìm mômen xoắn trước bằng P = T·ω, ω = 2πn/60.

Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất

Tâm: C = (σ_x + σ_y)/2
Bán kính: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Ứng suất chính: σ_1,2 = C ± R
Phương chính: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Mặt phẳng nghiêng: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Phương pháp

Tính tâm của vòng tròn Mohr: C = (σx + σy)/2.
Tính bán kính: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Các ứng suất chính là C ± R và ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng là R.
Các góc trên vòng tròn gấp đôi các góc trên phần tử: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Ứng suất và biến dạng dọc trục

Ứng suất pháp: σ = F/A
Biến dạng: ε = ΔL/L
Định luật Hooke: σ = E·ε
Độ giãn dài: ΔL = FL/(EA)
Biến dạng nhiệt: ε_T = α·ΔT

Mất ổn định cột

Tải Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Hệ số chiều dài tính toán: K = 1 khớp–khớp, 0,5 ngàm–ngàm, 0,7 ngàm–khớp, 2 ngàm–tự do
Ứng suất tới hạn: σ_cr = P_cr/A
Độ mảnh: λ = KL/r, r = √(I/A)

Dao động cơ học

Tần số riêng: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Từ độ võng tĩnh: ω_n = √(g/δ_st)
Cản tới hạn: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Hệ số cản: ζ = c/c_c
Tần số có cản: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Giảm lượng logarit: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Lò xo song song: k = k₁ + k₂
Lò xo nối tiếp: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Bài tập

1.Bánh răng và hệ bánh răngTrung bình

Một puli 100 mm ở 960 vòng/phút dẫn động một puli 500 mm bằng dây đai với độ trượt 1,5 %. Tìm tốc độ n₂ của puli bị dẫn.

n₁ = 960 rpmd₁ = 100 mmd₂ = 500 mms = 1,5 %

n₂ = rpm

2.Bánh răng và hệ bánh răngKhó

Trong một bộ bánh răng hành tinh, bánh răng mặt trời có 12 răng và mỗi bánh răng hành tinh có 12 răng. Vành răng ngoài được giữ cố định và bánh mặt trời được dẫn động ở 600 rpm. Tìm tốc độ n_c của cần dẫn hành tinh.

N_s = 12N_p = 12n_s = 600 rpm

n_c = rpm

3.Xoắn của trụcTrung bình

Một trục đặc thép được ngàm vào tường và bị xoắn bởi mômen xoắn T ở đầu tự do. Tìm góc xoắn φ của đầu tự do, theo độ.

T = 200 N·md = 25 mmL = 1,2 mG = 80 GPa

φ = °

4.Xoắn của trụcKhó

Một trục đặc phải truyền 5 kW ở 750 rpm mà ứng suất tiếp không vượt quá 60 MPa. Tìm đường kính nhỏ nhất d thỏa mãn.

P = 5 kWN = 750 rpmτ_allow = 60 MPa

d = mm

5.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suấtTrung bình

Một điểm trong một tấm mỏng ở trạng thái ứng suất phẳng: σₓ = 70 MPa, σᵧ = 30 MPa và τₓᵧ = −10 MPa, với σ_z = 0. Tìm ứng suất cắt lớn nhất tuyệt đối τ_abs tại điểm đó (xét mọi mặt trong không gian ba chiều).

σ_x = 70 MPaσ_y = 30 MPaτ_xy = −10 MPaσ_z = 0

τ_abs = MPa

6.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suấtKhó

Một bể hình trụ thành mỏng có đường kính trong 800 mm và chiều dày thành 8 mm chứa khí ở áp suất dư 3 MPa. Nó được làm từ tấm thép hàn theo một đường hàn xoắn ốc nghiêng 30° so với trục của hình trụ. Tìm ứng suất pháp σ_n tác dụng vuông góc với đường hàn.

D = 800 mmt = 8 mmp = 3 MPaα = 30°

σ_n = MPa

7.Ứng suất và biến dạng dọc trụcTrung bình

Một thanh thép (đường kính 20 mm, E = 200 GPa) nằm trong một ống làm bằng nhôm (đường kính ngoài 100 mm, đường kính trong 70 mm, E = 70 GPa). Cả hai dài 600 mm và bị nén cùng nhau giữa các tấm cứng bởi 300 kN. Tìm độ co ngắn δ.

P = 300 kNthanh: Ø20 mm, E = 200 GPaống: Ø100/Ø70 mm, E = 70 GPaL = 600 mm

δ = mm

8.Ứng suất và biến dạng dọc trụcKhó

Một đoạn thép (đường kính 20 mm, chiều dài 600 mm, E = 200 GPa) và một đoạn làm bằng đồng thanh (đường kính 40 mm, chiều dài 300 mm, E = 110 GPa) được nối đầu với đầu và ngàm giữa hai vách cứng. Một tải dọc trục 100 kN tác dụng tại chỗ nối, hướng về phía đoạn 2. Tìm độ lớn ứng suất σ₂ trong đoạn 2.

đoạn 1: thép, Ø20 mm, 600 mm, E = 200 GPađoạn 2: đồng thanh, Ø40 mm, 300 mm, E = 110 GPaP = 100 kN

σ₂ = MPa

9.Mất ổn định cộtTrung bình

Một cột dài L làm bằng thép được hai đầu khớp. Dùng công thức Euler, tìm tải trọng oằn tới hạn P_cr của nó.

L = 3 mE = 200 GPa (thép)b × h = 20 × 50 mm

P_cr = kN

10.Mất ổn định cộtKhó

Một cột tròn đặc dài L làm bằng nhôm được ngàm ở chân và khớp ở đỉnh. Nó phải chịu 25 kN với hệ số an toàn 2,5 chống oằn. Tìm đường kính nhỏ nhất d.

P = 25 kNn = 2,5L = 3 mE = 70 GPa (nhôm)

d = mm

11.Dao động cơ họcTrung bình

Trong một thí nghiệm dao động tự do của hệ vật–lò xo có cản, một đỉnh độ dời 15 mm được theo sau 2 chu kỳ sau bởi đỉnh 11,7 mm. Tìm hệ số cản ζ.

x₀ = 15 mmx₂ = 11,7 mmn = 2

ζ =

12.Dao động cơ họcKhó

Một vật 100 kg treo vào hai lò xo nối đầu với đầu (nối tiếp): lò xo trên có k₁ = 50 kN/m và lò xo dưới có k₂ = 50 kN/m. Tìm độ cứng tương đương k_eq của hệ lò xo theo kN/m.

m = 100 kgk₁ = 50 kN/mk₂ = 50 kN/m

k_eq = kN/m

3Dung dịch

1.Bánh răng và hệ bánh răng

Đáp số: n₂ = 189,1 rpm

Truyền động đai: khi không trượt, cả hai puli có cùng tốc độ mép v = π·d·n/60, nên n₁·d₁ = n₂·d₂ và tỉ số tốc độ là d₂/d₁. Độ trượt s làm puli bị dẫn chậm hơn một chút: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). Công suất truyền là P = (T₁ − T₂)·v, với T₁ là lực căng ở nhánh căng và T₂ ở nhánh chùng. Ma sát giới hạn tỉ số các lực căng: T₁/T₂ = e^μθ, trong đó θ là góc ôm tính theo radian trên puli nhỏ hơn; với đai hở θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) với khoảng cách tâm C.

Tốc độ khi không trượt

960·100/500 = 192 rpm

Khi có trượt

n₂ = 192·0,985 = 189,1 rpm

Đáp số

n₂ = 189,1 rpm

2.Bánh răng và hệ bánh răng

Đáp số: n_c = 150 rpm

Bộ bánh răng hành tinh: tốc độ của bánh mặt trời, vành răng và cần dẫn liên hệ với nhau bởi phương trình Willis (n_s − n_c)/(n_r − n_c) = −N_r/N_s: nhìn từ cần dẫn, bộ truyền là một hệ bánh răng thông thường với các bánh hành tinh là bánh trung gian. Giữ cố định một phần tử biến bộ truyền thành bộ giảm tốc có một tỉ số truyền.

Số răng của vành răng

N_r = N_s + 2·N_p = 12 + 2·12 = 36

Phương trình Willis khi vành răng cố định

Đặt n_r = 0 và giải tìm tốc độ cần dẫn.

(600 − n_c)/(0 − n_c) = −36/12

n_c = n_s·N_s/(N_s + N_r) = 600·12/48 = 150 rpm

Đáp số

n_c = 150 rpm

Cần dẫn quay cùng chiều với bánh mặt trời.

3.Xoắn của trục

Đáp số: φ = 4,482 °

Xoắn thanh tròn: ứng suất tiếp tăng tuyến tính từ không ở tâm đến τ_max = T·r/J ở bề mặt, với J = πd⁴/32 cho trục đặc và J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 cho trục rỗng. Góc xoắn là φ = TL/(GJ) tính bằng radian. Công suất và mômen xoắn liên hệ với nhau qua P = T·ω.

Mômen quán tính độc cực của mặt cắt

J = π·25⁴/32 = 38350 mm⁴

Góc xoắn

φ = TL/(GJ) = 200·1000·1200/(80000·38350) = 0,07823 rad

φ = 0,07823·180/π = 4,482°

Đáp số

φ = 4,482°

4.Xoắn của trục

Đáp số: d = 17,55 mm

Mômen xoắn

ω = 2πN/60 = 2π·750/60 = 78,54 rad/s

T = P/ω = 5000/78,54 = 63,66 N·m

Đường kính từ ứng suất cho phép

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·63662/(π·60)) = 17,55 mm

Đáp số

d = 17,55 mm

Trong thực tế bạn sẽ làm tròn lên kích thước tiêu chuẩn kế tiếp.

5.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất

Đáp số: τ_abs = 36,18 MPa

Biến đổi ứng suất phẳng: trên một mặt xoay góc θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Vòng tròn Mohr cho thấy tất cả các mặt cùng lúc: tâm của nó ở C = (σₓ + σᵧ)/2 và bán kính là R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Các ứng suất chính là C ± R, và ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng là R. Trong không gian ba chiều, ứng suất cắt lớn nhất tuyệt đối là (σ_max − σ_min)/2 trên cả ba ứng suất chính; trong ứng suất phẳng, ứng suất thứ ba bằng không.

Các ứng suất chính trong mặt phẳng

C = 50 MPa, R = √(20² + (−10)²) = 22,36 MPa

σ₁ = 72,36 MPa, σ₂ = 27,64 MPa, σ_z = 0

Vòng tròn lớn nhất trong ba vòng tròn

τ = max(|σ₁ − σ₂|, |σ₁|, |σ₂|)/2 = max(44,72, 72,36, 27,64)/2 = 36,18 MPa

Đáp số

τ_abs = 36,18 MPa

Ở đây vòng tròn ngoài mặt phẳng quyết định: giá trị lớn nhất tuyệt đối lớn hơn giá trị lớn nhất trong mặt phẳng R.

6.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất

Đáp số: σ_n = 131,3 MPa

Biến đổi ứng suất phẳng: trên một mặt xoay góc θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Vòng tròn Mohr cho thấy tất cả các mặt cùng lúc: tâm của nó ở C = (σₓ + σᵧ)/2 và bán kính là R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Các ứng suất chính là C ± R, và ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng là R. Hình trụ thành mỏng: ứng suất vòng σ_h = pr/t và ứng suất dọc trục σ_a = pr/(2t); đó là các ứng suất chính trong thành.

Các ứng suất trong thành

r = 800/2 = 400 mm

σ_h = pr/t = 3·400/8 = 150 MPa

σ_a = pr/(2t) = 75 MPa

Biến đổi sang đường hàn

Lấy x dọc theo trục (σ_a) và y theo chiều vòng (σ_h). Pháp tuyến của đường hàn tạo góc 90° − α với trục.

σ_n = 75·sin²30° + 150·cos²30° = 131,3 MPa

Đáp số

σ_n = 131,3 MPa

7.Ứng suất và biến dạng dọc trục

Đáp số: δ = 0,5244 mm

Hai vật liệu: khi nối tiếp (cái này sau cái kia) mỗi đoạn chịu cùng một lực và các độ giãn dài cộng lại: δ = P·Σ L/(E·A). Khi song song (cạnh nhau giữa các tấm cứng) cả hai phần co lại cùng một lượng, nên biến dạng của chúng bằng nhau: phần cứng hơn nhận phần tải lớn hơn, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, và σ_i = E_i·ε. Một thanh bị giữ giữa hai vách cứng với tải đặt tại chỗ nối là siêu tĩnh: hai đoạn chia tải theo tỉ lệ độ cứng k = EA/L của chúng.

Diện tích

A_r = π·20²/4 = 314,2 mm²

A_t = π(100² − 70²)/4 = 4006 mm²

Độ cứng dọc trục kết hợp

ΣEA = 200·10³·314,2 + 70·10³·4006 = 3,432 × 10⁸ N

Độ co ngắn

δ = 300000·600/3,432 × 10⁸ = 0,5244 mm

Đáp số

δ = 0,5244 mm

8.Ứng suất và biến dạng dọc trục

Đáp số: σ₂ = 64,84 MPa

Các độ cứng

k₁ = 200000·314,2/600 = 104720 N/mm

k₂ = 110000·1257/300 = 460767 N/mm

Phần của đoạn 2

F₂ = 100000·460767/565487 = 81481 N

Ứng suất

σ₂ = 81481/1257 = 64,84 MPa (nén)

Đáp số

σ₂ = 64,84 MPa

9.Mất ổn định cột

Đáp số: P_cr = 7,311 kN

Mất ổn định Euler: một cột mảnh mất ổn định tại P_cr = π²EI/(KL)², trong đó KL là chiều dài tính toán: K = 1 cho khớp–khớp, 2 cho ngàm–tự do, 0,7 cho ngàm–khớp và 0,5 cho ngàm–ngàm. Cột oằn quanh trục có I nhỏ nhất. Công thức đúng với cột mảnh, có ứng suất tới hạn thấp hơn ứng suất chảy.

Mômen quán tính nhỏ nhất của mặt cắt

Hình chữ nhật oằn quanh trục yếu, dùng kích thước nhỏ hơn lập phương.

I_min = h·b³/12 = 50·20³/12 = 33333 mm⁴

Chiều dài tính toán

KL = 1·3000 = 3000 mm

Tải trọng tới hạn

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·33333/3000² = 7311 N = 7,311 kN

Đáp số

P_cr = 7,311 kN

10.Mất ổn định cột

Đáp số: d = 53,39 mm

Tải trọng tới hạn yêu cầu

P_cr = n·P = 2,5·25000 = 62500 N

KL = 0,7·3000 = 2100 mm

Giải tìm đường kính

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·62500·2100²/(π³·70000))^(1/4) = 53,39 mm

Đáp số

d = 53,39 mm

Kiểm tra: độ mảnh KL/r là 157,3, nên cột là mảnh và công thức Euler áp dụng được.

11.Dao động cơ học

Đáp số: ζ = 0,01977

Dao động tự do của hệ vật–lò xo: tần số riêng không cản là ω_n = √(k/m) theo rad/s, và f_n = ω_n/(2π) theo Hz. Một bộ cản nhớt c cho hệ số cản ζ = c/c_c, với cản tới hạn c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Hệ cản dưới tới hạn (ζ < 1) dao động ở ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Các lò xo song song cộng lại, k = k₁ + k₂; các lò xo nối tiếp cộng theo nghịch đảo, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Giảm lượng logarit

δ = (1/2)·ln(15/11,7) = 0,1242

Hệ số cản

ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0,1242/√(39,48 + 0,01543) = 0,01977

Đáp số

ζ = 0,01977

12.Dao động cơ học

Đáp số: k_eq = 25 kN/m

Độ cứng tương đương

Các lò xo nối tiếp chịu cùng một lực và cộng độ võng, nên chúng gộp theo nghịch đảo: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

1/k_eq = 1/50 + 1/50 → k_eq = 50·50/(50 + 50) = 25 kN/m

Đáp số

k_eq = 25 kN/m

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design