Bánh răng và hệ bánh răng
- Bánh răng ăn khớp
- n1·N1 = n2·N2
- Mômen xoắn
- T2 = T1·(N2/N1)·η
- Công suất
- P = T·ω, ω = 2π·n/60
- Hệ bánh răng ghép
- tỉ số truyền tổng = tích các tỉ số truyền từng cấp
Thiết kế máy: gói ôn nước rút
Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 12 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.
1Công thức và phương pháp
Xoắn của trục
- Ứng suất tiếp
- τ = T·r/J
- Trục đặc
- J = πd⁴/32
- Trục rỗng
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- Góc xoắn
- φ = TL/(GJ)
- Công suất
- P = T·ω = 2πnT/60
Phương pháp
- Tìm mômen quán tính độc cực: J = πd⁴/32 cho trục đặc.
- Ứng suất tiếp ở bề mặt: τ = T·r/J, với r là bán kính ngoài.
- Góc xoắn: φ = TL/(GJ) theo radian.
- Nếu cho công suất, hãy tìm mômen xoắn trước bằng P = T·ω, ω = 2πn/60.
Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất
- Tâm
- C = (σx + σy)/2
- Bán kính
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- Ứng suất chính
- σ1,2 = C ± R
- Phương chính
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- Mặt phẳng nghiêng
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
Phương pháp
- Tính tâm của vòng tròn Mohr: C = (σx + σy)/2.
- Tính bán kính: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
- Các ứng suất chính là C ± R và ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng là R.
- Các góc trên vòng tròn gấp đôi các góc trên phần tử: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).
Ứng suất và biến dạng dọc trục
- Ứng suất pháp
- σ = F/A
- Biến dạng
- ε = ΔL/L
- Định luật Hooke
- σ = E·ε
- Độ giãn dài
- ΔL = FL/(EA)
- Biến dạng nhiệt
- εT = α·ΔT
Mất ổn định cột
- Tải Euler
- Pcr = π²EI/(KL)²
- Hệ số chiều dài tính toán
- K = 1 khớp–khớp, 0,5 ngàm–ngàm, 0,7 ngàm–khớp, 2 ngàm–tự do
- Ứng suất tới hạn
- σcr = Pcr/A
- Độ mảnh
- λ = KL/r, r = √(I/A)
Dao động cơ học
- Tần số riêng
- ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
- Từ độ võng tĩnh
- ωn = √(g/δst)
- Cản tới hạn
- cc = 2√(km) = 2mωn
- Hệ số cản
- ζ = c/cc
- Tần số có cản
- ωd = ωn√(1 − ζ²)
- Giảm lượng logarit
- δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
- Lò xo song song
- k = k1 + k2
- Lò xo nối tiếp
- 1/k = 1/k1 + 1/k2
2Bài tập
1.Bánh răng và hệ bánh răngTrung bình
Một trục vít 2 đầu mối quay ở 960 rpm và dẫn động một bánh vít có 60 răng. Tìm tốc độ nw của bánh vít.
z = 2Nw = 60n = 960 rpm
nw = rpm
2.Bánh răng và hệ bánh răngKhó
Trong một hệ bánh răng ghép, bánh răng A (18 răng) trên trục vào quay 2900 rpm dẫn động bánh răng B (40 răng). Bánh răng C (25 răng) được cố định trên cùng trục với B và dẫn động bánh răng D (40 răng) trên trục ra. Tìm tốc độ ra nout.
nin = 2900 rpmA = 18B = 40C = 25D = 40
nout = rpm
3.Xoắn của trụcTrung bình
Một trục rỗng thép (đường kính ngoài 50 mm, đường kính trong 25 mm, chiều dài 3 m) được ngàm một đầu và bị xoắn bởi mô-men xoắn 400 N·m ở đầu kia. Tìm góc xoắn φ theo độ.
T = 400 N·mdo = 50 mmdi = 25 mmL = 3 mG = 80 GPa
φ = °
4.Xoắn của trụcKhó
Một trục đặc đồng thau đường kính 60 mm được ngàm tại A. Một mô-men xoắn 500 N·m tác dụng tại B, cách A 1 m, và một mô-men xoắn 1500 N·m ngược chiều tác dụng tại đầu tự do C, cách thêm 0,8 m. Tìm ứng suất cắt lớn nhất τmax trong trục.
d = 60 mmTB = 500 N·mTC = 1500 N·mAB = 1 mBC = 0,8 m
τmax = MPa
5.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suấtTrung bình
Một điểm trong chi tiết chịu tải có σₓ = 40 MPa, σᵧ = 70 MPa và τₓᵧ = −10 MPa (kéo là dương). Tìm ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng τmax.
σx = 40 MPaσy = 70 MPaτxy = −10 MPa
τmax = MPa
6.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suấtKhó
Một điểm trong chi tiết chịu tải có σₓ = 60 MPa, σᵧ = 80 MPa và τₓᵧ = 10 MPa (kéo là dương). Tìm ứng suất tiếp τθ trên một mặt có pháp tuyến xoay 30° ngược chiều kim đồng hồ so với trục x (dương cùng chiều với τₓᵧ).
σx = 60 MPaσy = 80 MPaτxy = 10 MPaθ = 30°
τθ = MPa
7.Ứng suất và biến dạng dọc trụcTrung bình
Một thanh thép (đường kính 25 mm, E = 200 GPa) nằm trong một ống làm bằng nhôm (đường kính ngoài 120 mm, đường kính trong 50 mm, E = 70 GPa). Cả hai dài 800 mm và bị nén cùng nhau giữa các tấm cứng bởi 250 kN. Tìm độ co ngắn δ.
P = 250 kNthanh: Ø25 mm, E = 200 GPaống: Ø120/Ø50 mm, E = 70 GPaL = 800 mm
δ = mm
8.Ứng suất và biến dạng dọc trụcKhó
Thanh bậc được ngàm vào tường và chịu tải ở đầu tự do. Tìm tổng độ giãn dài δ.
P = 110 kNđoạn 1: Ø35 mm, 2 m, nhôm (E = 70 GPa)đoạn 2: Ø16 mm, 2 m, đồng (E = 117 GPa)
δ = mm
9.Mất ổn định cộtTrung bình
Một cột dài L làm bằng nhôm được hai đầu khớp. Dùng công thức Euler, tìm tải trọng oằn tới hạn Pcr của nó.
L = 2 mE = 70 GPa (nhôm)b × h = 50 × 80 mm
Pcr = kN
10.Mất ổn định cộtKhó
Một cột tròn đặc dài L làm bằng thép được ngàm ở chân và tự do ở đỉnh. Nó phải chịu 20 kN với hệ số an toàn 3 chống oằn. Tìm đường kính nhỏ nhất d.
P = 20 kNn = 3L = 1,5 mE = 200 GPa (thép)
d = mm
11.Dao động cơ họcTrung bình
Một vật 12 kg trên lò xo có độ cứng 20 kN/m có bộ cản nhớt cho hệ số cản 0,7. Tìm tần số riêng có cản fd của dao động tự do theo Hz.
m = 12 kgk = 20 kN/mζ = 0,7
fd = Hz
12.Dao động cơ họcKhó
Một vật 20 kg treo vào hai lò xo nối đầu với đầu (nối tiếp): lò xo trên có k₁ = 30 kN/m và lò xo dưới có k₂ = 100 kN/m. Bỏ qua cản và khối lượng của các lò xo. Tìm tần số riêng fn của dao động thẳng đứng theo Hz.
m = 20 kgk1 = 30 kN/mk2 = 100 kN/m
fn = Hz
3Dung dịch
1.Bánh răng và hệ bánh răng
Đáp số: nw = 32 rpm
Gear trains: meshing gears have the same speed at the teeth, so n₁·N₁ = n₂·N₂: the gear with fewer teeth turns faster. Gears on one shaft turn at the same speed. Power is passed on (minus losses), so torque goes up when speed goes down: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, and P = T·ω with ω = 2π·n/60.
Tốc độ bánh vít
nw = n·z/Nw = 960·2/60 = 32 rpm
Đáp số
nw = 32 rpm
2.Bánh răng và hệ bánh răng
Đáp số: nout = 815,6 rpm
Hệ bánh răng: các bánh răng ăn khớp có cùng tốc độ tại răng, nên n₁·N₁ = n₂·N₂: bánh răng có ít răng hơn quay nhanh hơn. Các bánh răng trên cùng một trục quay cùng tốc độ. Công suất được truyền đi (trừ tổn thất), nên mômen xoắn tăng khi tốc độ giảm: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, và P = T·ω với ω = 2π·n/60.
Cấp thứ nhất
nB = 2900·18/40 = 1305 rpm = nC
Cấp thứ hai
nout = 1305·25/40 = 815,6 rpm
Đáp số
nout = 815,6 rpm
tỉ số truyền tổng = 3,556 : 1
3.Xoắn của trục
Đáp số: φ = 1,494 °
Xoắn thanh tròn: ứng suất tiếp tăng tuyến tính từ không ở tâm đến τmax = T·r/J ở bề mặt, với J = πd⁴/32 cho trục đặc và J = π(do⁴ − di⁴)/32 cho trục rỗng. Góc xoắn là φ = TL/(GJ) tính bằng radian. Công suất và mômen xoắn liên hệ với nhau qua P = T·ω.
Mômen quán tính độc cực của mặt cắt
J = π(50⁴ − 25⁴)/32 = 575243 mm⁴
Góc xoắn
T = 400 N·m = 400000 N·mm
L = 3 m = 3000 mm
G = 80 GPa = 80000 MPa
φ = TL/(GJ) = 400000·3000/(80000·575243) = 0,02608 rad
φ = 0,02608·180/π = 1,494°
Đáp số
φ = 1,494°
4.Xoắn của trục
Đáp số: τmax = 35,37 MPa
Xoắn thanh tròn: ứng suất tiếp tăng tuyến tính từ không ở tâm đến τmax = T·r/J ở bề mặt, với J = πd⁴/32 cho trục đặc và J = π(do⁴ − di⁴)/32 cho trục rỗng. Góc xoắn là φ = TL/(GJ) tính bằng radian. Công suất và mômen xoắn liên hệ với nhau qua P = T·ω.
Các mô-men xoắn nội lực
Chiều của TC được lấy là dương.
TBC = TC = 1500 N·m
TAB = TC − TB = 1500 − 500 = 1000 N·m
Ứng suất tiếp lớn nhất
Đoạn có mô-men xoắn nội lực lớn nhất có ứng suất lớn nhất (cùng đường kính).
|T|max = 1500 N·m
τmax = 16·1,5 × 10⁶/(π·60³) = 35,37 MPa
Đáp số
τmax = 35,37 MPa
5.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất
Đáp số: τmax = 18,03 MPa
Biến đổi ứng suất phẳng: trên một mặt xoay góc θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Vòng tròn Mohr cho thấy tất cả các mặt cùng lúc: tâm của nó ở C = (σₓ + σᵧ)/2 và bán kính là R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Các ứng suất chính là C ± R, và ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng là R.
Bán kính vòng tròn Mohr
τmax = R = √(((40 − 70)/2)² + −10²) = 18,03 MPa
Đáp số
τmax = 18,03 MPa
6.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất
Đáp số: τθ = 13,66 MPa
Biến đổi ứng suất phẳng: trên một mặt xoay góc θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Vòng tròn Mohr cho thấy tất cả các mặt cùng lúc: tâm của nó ở C = (σₓ + σᵧ)/2 và bán kính là R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Các ứng suất chính là C ± R, và ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng là R.
Phương trình biến đổi
τθ = −−10·0,866 + 10·0,5 = 13,66 MPa
Đáp số
τθ = 13,66 MPa
7.Ứng suất và biến dạng dọc trục
Đáp số: δ = 0,2658 mm
Hai vật liệu: khi nối tiếp (cái này sau cái kia) mỗi đoạn chịu cùng một lực và các độ giãn dài cộng lại: δ = P·Σ L/(E·A). Khi song song (cạnh nhau giữa các tấm cứng) cả hai phần co lại cùng một lượng, nên biến dạng của chúng bằng nhau: phần cứng hơn nhận phần tải lớn hơn, Pi = P·EiAi/ΣEA, và σi = Ei·ε. Một thanh bị giữ giữa hai vách cứng với tải đặt tại chỗ nối là siêu tĩnh: hai đoạn chia tải theo tỉ lệ độ cứng k = EA/L của chúng.
Diện tích
Ar = π·25²/4 = 490,9 mm²
At = π(120² − 50²)/4 = 9346 mm²
Độ cứng dọc trục kết hợp
ΣEA = 200·10³·490,9 + 70·10³·9346 = 7,524 × 10⁸ N
Độ co ngắn
δ = 250000·800/7,524 × 10⁸ = 0,2658 mm
Đáp số
δ = 0,2658 mm
8.Ứng suất và biến dạng dọc trục
Đáp số: δ = 12,62 mm
Cấu kiện chịu tải dọc trục: mỗi đoạn lăng trụ tuân theo δ = PL/(AE). Với các cấu kiện nối tiếp, độ giãn dài cộng lại.
Cùng một lực trong cả hai đoạn
Đầu tự do chịu lực P, nên mọi mặt cắt của thanh đều chịu cùng một lực dọc trục P. Chỉ có diện tích và vật liệu thay đổi.
A1 = π·35²/4 = 962,1 mm², A2 = π·16²/4 = 201,1 mm²
σ1 = 114,3 MPa
σ2 = 547,1 MPa
Cộng độ giãn dài của các đoạn
δ1 = σ1L1/E1 = 114,3·2000/70000 = 3,267 mm
δ2 = σ2L2/E2 = 547,1·2000/117000 = 9,352 mm
δ = δ1 + δ2 = 12,62 mm
Đáp số
δ = 12,62 mm
9.Mất ổn định cột
Đáp số: Pcr = 143,9 kN
Mất ổn định Euler: một cột mảnh mất ổn định tại Pcr = π²EI/(KL)², trong đó KL là chiều dài tính toán: K = 1 cho khớp–khớp, 2 cho ngàm–tự do, 0,7 cho ngàm–khớp và 0,5 cho ngàm–ngàm. Cột oằn quanh trục có I nhỏ nhất. Công thức đúng với cột mảnh, có ứng suất tới hạn thấp hơn ứng suất chảy.
Mômen quán tính nhỏ nhất của mặt cắt
Hình chữ nhật oằn quanh trục yếu, dùng kích thước nhỏ hơn lập phương.
Imin = h·b³/12 = 80·50³/12 = 833333 mm⁴
Chiều dài tính toán
KL = 1·2000 = 2000 mm
Tải trọng tới hạn
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·833333/2000² = 143932 N = 143,9 kN
Đáp số
Pcr = 143,9 kN
10.Mất ổn định cột
Đáp số: d = 48,59 mm
Mất ổn định Euler: một cột mảnh mất ổn định tại Pcr = π²EI/(KL)², trong đó KL là chiều dài tính toán: K = 1 cho khớp–khớp, 2 cho ngàm–tự do, 0,7 cho ngàm–khớp và 0,5 cho ngàm–ngàm. Cột oằn quanh trục có I nhỏ nhất. Công thức đúng với cột mảnh, có ứng suất tới hạn thấp hơn ứng suất chảy.
Tải trọng tới hạn yêu cầu
Pcr = n·P = 3·20000 = 60000 N
KL = 2·1500 = 3000 mm
Giải tìm đường kính
d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·60000·3000²/(π³·200000))^(1/4) = 48,59 mm
Đáp số
d = 48,59 mm
Kiểm tra: độ mảnh KL/r là 247, nên cột là mảnh và công thức Euler áp dụng được.
11.Dao động cơ học
Đáp số: fd = 4,64 Hz
Dao động tự do của hệ vật–lò xo: tần số riêng không cản là ωn = √(k/m) theo rad/s, và fn = ωn/(2π) theo Hz. Một bộ cản nhớt c cho hệ số cản ζ = c/cc, với cản tới hạn cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Hệ cản dưới tới hạn (ζ < 1) dao động ở ωd = ωn·√(1 − ζ²). Các lò xo song song cộng lại, k = k₁ + k₂; các lò xo nối tiếp cộng theo nghịch đảo, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Tần số riêng không cản
ωn = √(20000/12) = 40,82 rad/s
fn = 40,82/(2π) = 6,497 Hz
Tần số riêng có cản
fd = fn·√(1 − ζ²) = 6,497·√(1 − 0,7²) = 4,64 Hz
Đáp số
fd = 4,64 Hz
12.Dao động cơ học
Đáp số: fn = 5,406 Hz
Dao động tự do của hệ vật–lò xo: tần số riêng không cản là ωn = √(k/m) theo rad/s, và fn = ωn/(2π) theo Hz. Một bộ cản nhớt c cho hệ số cản ζ = c/cc, với cản tới hạn cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Hệ cản dưới tới hạn (ζ < 1) dao động ở ωd = ωn·√(1 − ζ²). Các lò xo song song cộng lại, k = k₁ + k₂; các lò xo nối tiếp cộng theo nghịch đảo, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Độ cứng tương đương
Các lò xo nối tiếp chịu cùng một lực và cộng độ võng, nên chúng gộp theo nghịch đảo: 1/k = 1/k1 + 1/k2.
1/keq = 1/30 + 1/100 → keq = 30·100/(30 + 100) = 23,08 kN/m
Tần số riêng
ωn = √(23077/20) = 33,97 rad/s
fn = 33,97/(2π) = 5,406 Hz
Đáp số
fn = 5,406 Hz
ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design