Thiết kế máy: gói ôn nước rút

Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 12 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.

Bài mớiQuay lại môn học

Trong cửa sổ in, hãy chọn “Lưu dưới dạng PDF” để giữ một bản trên thiết bị của bạn.

1Công thức và phương pháp

Bánh răng và hệ bánh răng

Bánh răng ăn khớp
n1·N1 = n2·N2
Mômen xoắn
T2 = T1·(N2/N1)·η
Công suất
P = T·ω, ω = 2π·n/60
Hệ bánh răng ghép
tỉ số truyền tổng = tích các tỉ số truyền từng cấp

Xoắn của trục

Ứng suất tiếp
τ = T·r/J
Trục đặc
J = πd⁴/32
Trục rỗng
J = π(D⁴ − d⁴)/32
Góc xoắn
φ = TL/(GJ)
Công suất
P = T·ω = 2πnT/60

Phương pháp

  1. Tìm mômen quán tính độc cực: J = πd⁴/32 cho trục đặc.
  2. Ứng suất tiếp ở bề mặt: τ = T·r/J, với r là bán kính ngoài.
  3. Góc xoắn: φ = TL/(GJ) theo radian.
  4. Nếu cho công suất, hãy tìm mômen xoắn trước bằng P = T·ω, ω = 2πn/60.

Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất

Tâm
C = (σx + σy)/2
Bán kính
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
Ứng suất chính
σ1,2 = C ± R
Phương chính
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
Mặt phẳng nghiêng
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

Phương pháp

  1. Tính tâm của vòng tròn Mohr: C = (σx + σy)/2.
  2. Tính bán kính: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
  3. Các ứng suất chính là C ± R và ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng là R.
  4. Các góc trên vòng tròn gấp đôi các góc trên phần tử: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Ứng suất và biến dạng dọc trục

Ứng suất pháp
σ = F/A
Biến dạng
ε = ΔL/L
Định luật Hooke
σ = E·ε
Độ giãn dài
ΔL = FL/(EA)
Biến dạng nhiệt
εT = α·ΔT

Mất ổn định cột

Tải Euler
Pcr = π²EI/(KL)²
Hệ số chiều dài tính toán
K = 1 khớp–khớp, 0,5 ngàm–ngàm, 0,7 ngàm–khớp, 2 ngàm–tự do
Ứng suất tới hạn
σcr = Pcr/A
Độ mảnh
λ = KL/r, r = √(I/A)

Dao động cơ học

Tần số riêng
ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
Từ độ võng tĩnh
ωn = √(g/δst)
Cản tới hạn
cc = 2√(km) = 2mωn
Hệ số cản
ζ = c/cc
Tần số có cản
ωd = ωn√(1 − ζ²)
Giảm lượng logarit
δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Lò xo song song
k = k1 + k2
Lò xo nối tiếp
1/k = 1/k1 + 1/k2

2Bài tập

1.Bánh răng và hệ bánh răngTrung bình
N1​ = 24N2​ = 72

Một động cơ 15 kW chạy ở 1500 rpm dẫn động một bánh răng nhỏ có 24 răng, ăn khớp với một bánh răng có 72 răng. Cặp bánh răng có hiệu suất 98%. Tìm mômen xoắn T1 trên trục động cơ.

P = 15 kWn1 = 1500 rpmN1 = 24N2 = 72η = 98%
T1 = N·m
2.Bánh răng và hệ bánh răngKhó
Ns​ = 20vành răng cố địnhNp​ = 12nc​ = ?

Trong một bộ bánh răng hành tinh, bánh răng mặt trời có 20 răng và mỗi bánh răng hành tinh có 12 răng. Vành răng ngoài được giữ cố định và bánh mặt trời được dẫn động ở 900 rpm. Tìm tốc độ nc của cần dẫn hành tinh.

Ns = 20Np = 12ns = 900 rpm
nc = rpm
3.Xoắn của trụcTrung bình
T = 1000 N·md = 30 mmL = 1,2 mφ = ?

Một trục đặc thép được ngàm vào tường và bị xoắn bởi mômen xoắn T ở đầu tự do. Tìm góc xoắn φ của đầu tự do, theo độ.

T = 1000 N·md = 30 mmL = 1,2 mG = 80 GPa
φ = °
4.Xoắn của trụcKhó
Td = ?

Một trục đặc phải truyền 75 kW ở 1450 rpm mà ứng suất tiếp không vượt quá 50 MPa. Tìm đường kính nhỏ nhất d thỏa mãn.

P = 75 kWN = 1450 rpmτallow = 50 MPa
d = mm
5.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suấtTrung bình
σx​ = 150σy​ = 10τxy​ = 60MPa

Một điểm trong chi tiết chịu tải có σₓ = 150 MPa, σᵧ = 10 MPa và τₓᵧ = 60 MPa (kéo là dương). Tìm góc θp từ trục x đến phương của ứng suất chính lớn nhất, trong khoảng −90° đến 90°.

σx = 150 MPaσy = 10 MPaτxy = 60 MPa
θp = °
6.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suấtKhó
σx​τxy​bề mặt của trục

Một trục đặc đường kính 30 mm chịu một lực kéo dọc trục 130 kN cùng với mô-men xoắn 500 N·m. Tại bề mặt của trục, hãy tìm ứng suất chính lớn nhất σ1.

d = 30 mmF = 130 kNT = 500 N·m
σ1 = MPa
7.Ứng suất và biến dạng dọc trụcTrung bình
100 kNØ25120 GPaØ120/50500 mmδ = ?

Một thanh thép (đường kính 25 mm, E = 200 GPa) nằm trong một ống làm bằng đồng (đường kính ngoài 120 mm, đường kính trong 50 mm, E = 120 GPa). Cả hai dài 500 mm và bị nén cùng nhau giữa các tấm cứng bởi 100 kN. Tìm độ co ngắn δ.

P = 100 kNthanh: Ø25 mm, E = 200 GPaống: Ø120/Ø50 mm, E = 120 GPaL = 500 mm
δ = mm
8.Ứng suất và biến dạng dọc trụcKhó
P = ?Ø40110 GPaØ80/50800 mm

Một thanh thép (đường kính 40 mm, E = 200 GPa, ứng suất cho phép 250 MPa) nằm trong một ống làm bằng đồng thanh (đường kính ngoài 80 mm, đường kính trong 50 mm, E = 110 GPa, ứng suất cho phép 60 MPa). Chúng bị nén cùng nhau giữa các tấm cứng. Tìm tải lớn nhất Pmax.

thanh: Ø40 mm, E = 200 GPa, σallow = 250 MPaống: Ø80/Ø50 mm, E = 110 GPa, σallow = 60 MPa
Pmax = kN
9.Mất ổn định cộtTrung bình
PL = 1 m20 × 40 mmmặt cắt ngang

Một cột dài L làm bằng nhôm được hai đầu khớp. Dùng công thức Euler, tìm tải trọng oằn tới hạn Pcr của nó.

L = 1 mE = 70 GPa (nhôm)b × h = 20 × 40 mm
Pcr = kN
10.Mất ổn định cộtKhó
P = 80 kNL = 2 md = ?mặt cắt ngang

Một cột tròn đặc dài L làm bằng thép được hai đầu khớp. Nó phải chịu 80 kN với hệ số an toàn 3 chống oằn. Tìm đường kính nhỏ nhất d.

P = 80 kNn = 3L = 2 mE = 200 GPa (thép)
d = mm
11.Dao động cơ họcTrung bình
k = 80 kN/mζ = 0,4m = 15 kg

Một vật 15 kg trên lò xo có độ cứng 80 kN/m có bộ cản nhớt cho hệ số cản 0,4. Tìm tần số riêng có cản fd của dao động tự do theo Hz.

m = 15 kgk = 80 kN/mζ = 0,4
fd = Hz
12.Dao động cơ họcKhó
k1​ = 25k2​ = 5m = 25 kg

Một vật 25 kg treo vào hai lò xo nối đầu với đầu (nối tiếp): lò xo trên có k₁ = 25 kN/m và lò xo dưới có k₂ = 5 kN/m. Bỏ qua cản và khối lượng của các lò xo. Tìm tần số riêng fn của dao động thẳng đứng theo Hz.

m = 25 kgk1 = 25 kN/mk2 = 5 kN/m
fn = Hz

3Dung dịch

1.Bánh răng và hệ bánh răng

Đáp số: T1 = 95,49 N·m

Hệ bánh răng: các bánh răng ăn khớp có cùng tốc độ tại răng, nên n₁·N₁ = n₂·N₂: bánh răng có ít răng hơn quay nhanh hơn. Các bánh răng trên cùng một trục quay cùng tốc độ. Công suất được truyền đi (trừ tổn thất), nên mômen xoắn tăng khi tốc độ giảm: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, và P = T·ω với ω = 2π·n/60.

Mômen xoắn động cơ

ω₁ = 2π·1500/60 = 157,1 rad/s
T1 = P/ω₁ = 15000/157,1 = 95,49 N·m

Đáp số

T1 = 95,49 N·m
2.Bánh răng và hệ bánh răng

Đáp số: nc = 281,3 rpm

Bộ bánh răng hành tinh: tốc độ của bánh mặt trời, vành răng và cần dẫn liên hệ với nhau bởi phương trình Willis (ns − nc)/(nr − nc) = −Nr/Ns: nhìn từ cần dẫn, bộ truyền là một hệ bánh răng thông thường với các bánh hành tinh là bánh trung gian. Giữ cố định một phần tử biến bộ truyền thành bộ giảm tốc có một tỉ số truyền.

Số răng của vành răng

Nr = Ns + 2·Np = 20 + 2·12 = 44

Phương trình Willis khi vành răng cố định

Đặt nr = 0 và giải tìm tốc độ cần dẫn.

(900 − nc)/(0 − nc) = −44/20
nc = ns·Ns/(Ns + Nr) = 900·20/64 = 281,3 rpm

Đáp số

nc = 281,3 rpm

Cần dẫn quay cùng chiều với bánh mặt trời.

3.Xoắn của trục

Đáp số: φ = 10,81 °

Xoắn thanh tròn: ứng suất tiếp tăng tuyến tính từ không ở tâm đến τmax = T·r/J ở bề mặt, với J = πd⁴/32 cho trục đặc và J = π(do⁴ − di⁴)/32 cho trục rỗng. Góc xoắn là φ = TL/(GJ) tính bằng radian. Công suất và mômen xoắn liên hệ với nhau qua P = T·ω.

Mômen quán tính độc cực của mặt cắt

J = π·30⁴/32 = 79522 mm⁴

Góc xoắn

φ = TL/(GJ) = 1000·1000·1200/(80000·79522) = 0,1886 rad
φ = 0,1886·180/π = 10,81°

Đáp số

φ = 10,81°
4.Xoắn của trục

Đáp số: d = 36,92 mm

Xoắn thanh tròn: ứng suất tiếp tăng tuyến tính từ không ở tâm đến τmax = T·r/J ở bề mặt, với J = πd⁴/32 cho trục đặc và J = π(do⁴ − di⁴)/32 cho trục rỗng. Góc xoắn là φ = TL/(GJ) tính bằng radian. Công suất và mômen xoắn liên hệ với nhau qua P = T·ω.

Mômen xoắn

ω = 2πN/60 = 2π·1450/60 = 151,8 rad/s
T = P/ω = 75000/151,8 = 493,9 N·m

Đường kính từ ứng suất cho phép

d = ∛(16T/(π·τallow)) = ∛(16·493929/(π·50)) = 36,92 mm

Đáp số

d = 36,92 mm

Trong thực tế bạn sẽ làm tròn lên kích thước tiêu chuẩn kế tiếp.

5.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất

Đáp số: θp = 20,3 °

Biến đổi ứng suất phẳng: trên một mặt xoay góc θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Vòng tròn Mohr cho thấy tất cả các mặt cùng lúc: tâm của nó ở C = (σₓ + σᵧ)/2 và bán kính là R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Các ứng suất chính là C ± R, và ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng là R.

στxyCσ1​σ2​

Góc trên vòng tròn

Điểm x nằm ở góc 2θp so với trục σ trên vòng tròn Mohr; góc phần tư suy ra từ dấu của σₓ − σᵧ và τₓᵧ.

2θp = atan2(2·60, 150 − 10) = 40,6°

Góc trên phần tử

θp = 20,3°

Đáp số

θp = 20,3°

Góc dương là ngược chiều kim đồng hồ.

6.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất

Đáp số: σ1 = 223,7 MPa

Biến đổi ứng suất phẳng: trên một mặt xoay góc θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Vòng tròn Mohr cho thấy tất cả các mặt cùng lúc: tâm của nó ở C = (σₓ + σᵧ)/2 và bán kính là R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Các ứng suất chính là C ± R, và ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng là R.

Các ứng suất tại bề mặt

σ = F/A = 130000/(π·30²/4) = 130000/706,9 = 183,9 MPa
τ = 16T/(πd³) = 16·500000/(π·30³) = 94,31 MPa
στxyCσ1​σ2​

Vòng tròn Mohr

C = σ/2 = 91,96 MPa
R = √(91,96² + 94,31²) = 131,7 MPa
σ1 = C + R = 223,7 MPa
σ2 = C − R = −39,77 MPa

Đáp số

σ1 = 223,7 MPa
7.Ứng suất và biến dạng dọc trục

Đáp số: δ = 0,04099 mm

Hai vật liệu: khi nối tiếp (cái này sau cái kia) mỗi đoạn chịu cùng một lực và các độ giãn dài cộng lại: δ = P·Σ L/(E·A). Khi song song (cạnh nhau giữa các tấm cứng) cả hai phần co lại cùng một lượng, nên biến dạng của chúng bằng nhau: phần cứng hơn nhận phần tải lớn hơn, Pi = P·EiAi/ΣEA, và σi = Ei·ε. Một thanh bị giữ giữa hai vách cứng với tải đặt tại chỗ nối là siêu tĩnh: hai đoạn chia tải theo tỉ lệ độ cứng k = EA/L của chúng.

Diện tích

Ar = π·25²/4 = 490,9 mm²
At = π(120² − 50²)/4 = 9346 mm²

Độ cứng dọc trục kết hợp

ΣEA = 200·10³·490,9 + 120·10³·9346 = 1,22 × 10⁹ N

Độ co ngắn

δ = 100000·500/1,22 × 10⁹ = 0,04099 mm

Đáp số

δ = 0,04099 mm
8.Ứng suất và biến dạng dọc trục

Đáp số: Pmax = 320,9 kN

Hai vật liệu: khi nối tiếp (cái này sau cái kia) mỗi đoạn chịu cùng một lực và các độ giãn dài cộng lại: δ = P·Σ L/(E·A). Khi song song (cạnh nhau giữa các tấm cứng) cả hai phần co lại cùng một lượng, nên biến dạng của chúng bằng nhau: phần cứng hơn nhận phần tải lớn hơn, Pi = P·EiAi/ΣEA, và σi = Ei·ε. Một thanh bị giữ giữa hai vách cứng với tải đặt tại chỗ nối là siêu tĩnh: hai đoạn chia tải theo tỉ lệ độ cứng k = EA/L của chúng.

Diện tích

Ar = π·40²/4 = 1257 mm²
At = π(80² − 50²)/4 = 3063 mm²

Độ cứng dọc trục kết hợp

ΣEA = 200·10³·1257 + 110·10³·3063 = 5,883 × 10⁸ N

Biến dạng quyết định

ε = min(0,00125, 0,0005455) = 0,0005455 (đồng thanh)

Tải lớn nhất

Pmax = 0,0005455·5,883 × 10⁸ = 320871 N = 320,9 kN

Đáp số

Pmax = 320,9 kN
9.Mất ổn định cột

Đáp số: Pcr = 18,42 kN

Mất ổn định Euler: một cột mảnh mất ổn định tại Pcr = π²EI/(KL)², trong đó KL là chiều dài tính toán: K = 1 cho khớp–khớp, 2 cho ngàm–tự do, 0,7 cho ngàm–khớp và 0,5 cho ngàm–ngàm. Cột oằn quanh trục có I nhỏ nhất. Công thức đúng với cột mảnh, có ứng suất tới hạn thấp hơn ứng suất chảy.

Mômen quán tính nhỏ nhất của mặt cắt

Hình chữ nhật oằn quanh trục yếu, dùng kích thước nhỏ hơn lập phương.

Imin = h·b³/12 = 40·20³/12 = 26667 mm⁴

Chiều dài tính toán

KL = 1·1000 = 1000 mm

Tải trọng tới hạn

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·26667/1000² = 18423 N = 18,42 kN

Đáp số

Pcr = 18,42 kN
10.Mất ổn định cột

Đáp số: d = 56,1 mm

Mất ổn định Euler: một cột mảnh mất ổn định tại Pcr = π²EI/(KL)², trong đó KL là chiều dài tính toán: K = 1 cho khớp–khớp, 2 cho ngàm–tự do, 0,7 cho ngàm–khớp và 0,5 cho ngàm–ngàm. Cột oằn quanh trục có I nhỏ nhất. Công thức đúng với cột mảnh, có ứng suất tới hạn thấp hơn ứng suất chảy.

Tải trọng tới hạn yêu cầu

Pcr = n·P = 3·80000 = 240000 N
KL = 1·2000 = 2000 mm

Giải tìm đường kính

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·240000·2000²/(π³·200000))^(1/4) = 56,1 mm

Đáp số

d = 56,1 mm

Kiểm tra: độ mảnh KL/r là 142,6, nên cột là mảnh và công thức Euler áp dụng được.

11.Dao động cơ học

Đáp số: fd = 10,65 Hz

Dao động tự do của hệ vật–lò xo: tần số riêng không cản là ωn = √(k/m) theo rad/s, và fn = ωn/(2π) theo Hz. Một bộ cản nhớt c cho hệ số cản ζ = c/cc, với cản tới hạn cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Hệ cản dưới tới hạn (ζ < 1) dao động ở ωd = ωn·√(1 − ζ²). Các lò xo song song cộng lại, k = k₁ + k₂; các lò xo nối tiếp cộng theo nghịch đảo, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Tần số riêng không cản

ωn = √(80000/15) = 73,03 rad/s
fn = 73,03/(2π) = 11,62 Hz

Tần số riêng có cản

fd = fn·√(1 − ζ²) = 11,62·√(1 − 0,4²) = 10,65 Hz

Đáp số

fd = 10,65 Hz
12.Dao động cơ học

Đáp số: fn = 2,055 Hz

Dao động tự do của hệ vật–lò xo: tần số riêng không cản là ωn = √(k/m) theo rad/s, và fn = ωn/(2π) theo Hz. Một bộ cản nhớt c cho hệ số cản ζ = c/cc, với cản tới hạn cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Hệ cản dưới tới hạn (ζ < 1) dao động ở ωd = ωn·√(1 − ζ²). Các lò xo song song cộng lại, k = k₁ + k₂; các lò xo nối tiếp cộng theo nghịch đảo, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Độ cứng tương đương

Các lò xo nối tiếp chịu cùng một lực và cộng độ võng, nên chúng gộp theo nghịch đảo: 1/k = 1/k1 + 1/k2.

1/keq = 1/25 + 1/5 → keq = 25·5/(25 + 5) = 4,167 kN/m

Tần số riêng

ωn = √(4167/25) = 12,91 rad/s
fn = 12,91/(2π) = 2,055 Hz

Đáp số

fn = 2,055 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design