Bánh răng và hệ bánh răng
- Bánh răng ăn khớp
- n1·N1 = n2·N2
- Mômen xoắn
- T2 = T1·(N2/N1)·η
- Công suất
- P = T·ω, ω = 2π·n/60
- Hệ bánh răng ghép
- tỉ số truyền tổng = tích các tỉ số truyền từng cấp
Thiết kế máy: gói ôn nước rút
Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 12 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.
1Công thức và phương pháp
Xoắn của trục
- Ứng suất tiếp
- τ = T·r/J
- Trục đặc
- J = πd⁴/32
- Trục rỗng
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- Góc xoắn
- φ = TL/(GJ)
- Công suất
- P = T·ω = 2πnT/60
Phương pháp
- Tìm mômen quán tính độc cực: J = πd⁴/32 cho trục đặc.
- Ứng suất tiếp ở bề mặt: τ = T·r/J, với r là bán kính ngoài.
- Góc xoắn: φ = TL/(GJ) theo radian.
- Nếu cho công suất, hãy tìm mômen xoắn trước bằng P = T·ω, ω = 2πn/60.
Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất
- Tâm
- C = (σx + σy)/2
- Bán kính
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- Ứng suất chính
- σ1,2 = C ± R
- Phương chính
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- Mặt phẳng nghiêng
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
Phương pháp
- Tính tâm của vòng tròn Mohr: C = (σx + σy)/2.
- Tính bán kính: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
- Các ứng suất chính là C ± R và ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng là R.
- Các góc trên vòng tròn gấp đôi các góc trên phần tử: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).
Ứng suất và biến dạng dọc trục
- Ứng suất pháp
- σ = F/A
- Biến dạng
- ε = ΔL/L
- Định luật Hooke
- σ = E·ε
- Độ giãn dài
- ΔL = FL/(EA)
- Biến dạng nhiệt
- εT = α·ΔT
Mất ổn định cột
- Tải Euler
- Pcr = π²EI/(KL)²
- Hệ số chiều dài tính toán
- K = 1 khớp–khớp, 0,5 ngàm–ngàm, 0,7 ngàm–khớp, 2 ngàm–tự do
- Ứng suất tới hạn
- σcr = Pcr/A
- Độ mảnh
- λ = KL/r, r = √(I/A)
Dao động cơ học
- Tần số riêng
- ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
- Từ độ võng tĩnh
- ωn = √(g/δst)
- Cản tới hạn
- cc = 2√(km) = 2mωn
- Hệ số cản
- ζ = c/cc
- Tần số có cản
- ωd = ωn√(1 − ζ²)
- Giảm lượng logarit
- δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
- Lò xo song song
- k = k1 + k2
- Lò xo nối tiếp
- 1/k = 1/k1 + 1/k2
2Bài tập
1.Bánh răng và hệ bánh răngTrung bình
Một động cơ 5,5 kW chạy ở 960 rpm dẫn động một bánh răng nhỏ có 20 răng, ăn khớp với một bánh răng có 50 răng. Cặp bánh răng có hiệu suất 96%. Tìm mômen xoắn T1 trên trục động cơ.
P = 5,5 kWn1 = 960 rpmN1 = 20N2 = 50η = 96%
T1 = N·m
2.Bánh răng và hệ bánh răngKhó
Một dây đai hở nối puli dẫn 120 mm ở 960 vòng/phút với puli 400 mm; tâm cách nhau 500 mm. Hệ số ma sát là 0,35 và lực căng nhánh căng không được vượt quá 2000 N. Tìm công suất lớn nhất P mà dây đai có thể truyền mà không trượt, theo kW (bỏ qua hiệu ứng ly tâm).
d1 = 120 mmn1 = 960 rpmd2 = 400 mmC = 500 mmμ = 0,35T1 = 2000 N
P = kW
3.Xoắn của trụcTrung bình
Một trục đặc thép được ngàm vào tường và bị xoắn bởi mômen xoắn T ở đầu tự do. Tìm góc xoắn φ của đầu tự do, theo độ.
T = 100 N·md = 30 mmL = 2 mG = 80 GPa
φ = °
4.Xoắn của trụcKhó
Một trục rỗng phải truyền 75 kW ở 500 rpm. Đường kính trong của nó bằng 0,8 lần đường kính ngoài, và ứng suất cắt không được vượt quá 60 MPa. Tìm đường kính ngoài nhỏ nhất do.
P = 75 kWN = 500 rpmdi/do = 0,8τallow = 60 MPa
do = mm
5.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suấtTrung bình
Một điểm có σₓ = 110 MPa, σᵧ = −30 MPa và τₓᵧ = −40 MPa (kéo là dương). Tìm góc θs, trong khoảng từ −90° đến 90°, từ trục x đến pháp tuyến của mặt có ứng suất cắt đạt giá trị dương lớn nhất +R (ứng suất cắt dương cùng chiều với τₓᵧ).
σx = 110 MPaσy = −30 MPaτxy = −40 MPa
θs = °
6.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suấtKhó
Một điểm trong chi tiết chịu tải có σₓ = 150 MPa, σᵧ = −10 MPa và τₓᵧ = −50 MPa (kéo là dương). Tìm ứng suất pháp σθ trên một mặt có pháp tuyến xoay 50° ngược chiều kim đồng hồ so với trục x.
σx = 150 MPaσy = −10 MPaτxy = −50 MPaθ = 50°
σθ = MPa
7.Ứng suất và biến dạng dọc trụcTrung bình
Tìm độ giãn dài δ của thanh thép dưới tải trọng dọc trục.
P = 90 kNd = 25 mmL = 2,5 mE = 200 GPa
δ = mm
8.Ứng suất và biến dạng dọc trụcKhó
Thanh bậc được ngàm vào tường và chịu tải ở đầu tự do. Tìm ứng suất pháp lớn nhất σmax trong thanh.
P = 95 kNđoạn 1: Ø35 mm, 1,5 m, thép (E = 200 GPa)đoạn 2: Ø12 mm, 2 m, nhôm (E = 70 GPa)
σmax = MPa
9.Mất ổn định cộtTrung bình
Một cột dài L làm bằng nhôm được ngàm ở chân và tự do ở đỉnh. Dùng công thức Euler, tìm tải trọng oằn tới hạn Pcr của nó.
L = 4 mE = 70 GPa (nhôm)d = 80 mm
Pcr = kN
10.Mất ổn định cộtKhó
Một cột dài L làm bằng thép được ngàm ở chân và khớp ở đỉnh. Tìm độ mảnh của nó và ứng suất oằn tới hạn σcr theo công thức Euler.
L = 5 mE = 200 GPa (thép)d = 25 mm
σcr = MPa
11.Dao động cơ họcTrung bình
Một vật 25 kg được đỡ bởi một lò xo có độ cứng 150 kN/m và một bộ cản nhớt có hệ số cản 2320 N·s/m. Tìm hệ số cản ζ.
m = 25 kgk = 150 kN/mc = 2320 N·s/m
ζ =
12.Dao động cơ họcKhó
Một vật 10 kg treo vào lò xo k₃ = 30 kN/m. Đầu trên của k₃ được gắn vào một thanh cứng treo bằng hai lò xo đặt cạnh nhau, k₁ = 30 kN/m và k₂ = 40 kN/m; thanh giữ nằm ngang. Bỏ qua lực cản và khối lượng của các lò xo và thanh. Tìm tần số riêng fn của dao động thẳng đứng theo Hz.
m = 10 kgk1 = 30 kN/mk2 = 40 kN/mk3 = 30 kN/m
fn = Hz
3Dung dịch
1.Bánh răng và hệ bánh răng
Đáp số: T1 = 54,71 N·m
Hệ bánh răng: các bánh răng ăn khớp có cùng tốc độ tại răng, nên n₁·N₁ = n₂·N₂: bánh răng có ít răng hơn quay nhanh hơn. Các bánh răng trên cùng một trục quay cùng tốc độ. Công suất được truyền đi (trừ tổn thất), nên mômen xoắn tăng khi tốc độ giảm: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, và P = T·ω với ω = 2π·n/60.
Mômen xoắn động cơ
ω₁ = 2π·960/60 = 100,5 rad/s
T1 = P/ω₁ = 5500/100,5 = 54,71 N·m
Đáp số
T1 = 54,71 N·m
2.Bánh răng và hệ bánh răng
Đáp số: P = 7,163 kW
Truyền động đai: khi không trượt, cả hai puli có cùng tốc độ mép v = π·d·n/60, nên n₁·d₁ = n₂·d₂ và tỉ số tốc độ là d₂/d₁. Độ trượt s làm puli bị dẫn chậm hơn một chút: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). Công suất truyền là P = (T₁ − T₂)·v, với T₁ là lực căng ở nhánh căng và T₂ ở nhánh chùng. Ma sát giới hạn tỉ số các lực căng: T₁/T₂ = eμθ, trong đó θ là góc ôm tính theo radian trên puli nhỏ hơn; với đai hở θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) với khoảng cách tâm C.
Góc ôm
θ = 2,574 rad
Lực căng nhánh chùng
eμθ = e0,9009 = 2,462, T₂ = 2000/2,462 = 812,4 N
Công suất
P = (2000 − 812,4)·6,032 = 7,163 kW
Đáp số
P = 7,163 kW
3.Xoắn của trục
Đáp số: φ = 1,801 °
Xoắn thanh tròn: ứng suất tiếp tăng tuyến tính từ không ở tâm đến τmax = T·r/J ở bề mặt, với J = πd⁴/32 cho trục đặc và J = π(do⁴ − di⁴)/32 cho trục rỗng. Góc xoắn là φ = TL/(GJ) tính bằng radian. Công suất và mômen xoắn liên hệ với nhau qua P = T·ω.
Mômen quán tính độc cực của mặt cắt
J = π·30⁴/32 = 79522 mm⁴
Góc xoắn
φ = TL/(GJ) = 100·1000·2000/(80000·79522) = 0,03144 rad
φ = 0,03144·180/π = 1,801°
Đáp số
φ = 1,801°
4.Xoắn của trục
Đáp số: do = 59,05 mm
Xoắn thanh tròn: ứng suất tiếp tăng tuyến tính từ không ở tâm đến τmax = T·r/J ở bề mặt, với J = πd⁴/32 cho trục đặc và J = π(do⁴ − di⁴)/32 cho trục rỗng. Góc xoắn là φ = TL/(GJ) tính bằng radian. Công suất và mômen xoắn liên hệ với nhau qua P = T·ω.
Mômen xoắn
ω = 2πN/60 = 2π·500/60 = 52,36 rad/s
T = P/ω = 75000/52,36 = 1432 N·m
Đường kính ngoài từ ứng suất cho phép
T = 1432 N·m = 1,432 × 10⁶ N·mm
1 − k⁴ = 1 − 0,8⁴ = 0,5904
do = ∛(16T/(π·τallow·(1 − k⁴))) = ∛(16·1,432 × 10⁶/(π·60·0,5904)) = 59,05 mm
di = 0,8·59,05 = 47,24 mm
Đáp số
do = 59,05 mm
Một trục đặc sẽ cần d = 49,54 mm; trục rỗng lớn hơn một chút nhưng nhẹ hơn nhiều.
5.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất
Đáp số: θs = −59,87 °
Biến đổi ứng suất phẳng: trên một mặt xoay góc θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Vòng tròn Mohr cho thấy tất cả các mặt cùng lúc: tâm của nó ở C = (σₓ + σᵧ)/2 và bán kính là R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Các ứng suất chính là C ± R, và ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng là R.
Góc trên vòng tròn
Trên vòng tròn Mohr, điểm trên cùng (+R) lệch 90° so với điểm chính σ₁; trên phân tố đó là 45°.
cos 2θs = −40/80,62 = −0,4961, sin 2θs = −70/80,62 = −0,8682
2θs = atan2(−70, −40) = −119,7°
Góc trên phần tử
θs = −59,87°
kiểm tra: θs − θp = −59,87 − (−14,87) = −45°
Đáp số
θs = −59,87°
Góc dương là ngược chiều kim đồng hồ.
6.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất
Đáp số: σθ = 6,868 MPa
Biến đổi ứng suất phẳng: trên một mặt xoay góc θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Vòng tròn Mohr cho thấy tất cả các mặt cùng lúc: tâm của nó ở C = (σₓ + σᵧ)/2 và bán kính là R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Các ứng suất chính là C ± R, và ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng là R.
Phương trình biến đổi
σθ = 70 + 80·−0,1736 + −50·0,9848 = 6,868 MPa
Đáp số
σθ = 6,868 MPa
7.Ứng suất và biến dạng dọc trục
Đáp số: δ = 2,292 mm
Định luật Hooke: trong giới hạn đàn hồi σ = E·ε. Kết hợp với σ = P/A và ε = δ/L ta được δ = PL/(AE).
Ứng suất
A = π·25²/4 = 490,9 mm²
σ = P/A = 90·1000/490,9 = 183,3 MPa
Biến dạng (định luật Hooke)
E for thép = 200 GPa = 200000 MPa.
ε = σ/E = 183,3/200000 = 0,0009167 = 916,7 µε
Độ giãn dài
δ = ε·L = 0,0009167·2500 mm = 2,292 mm
Đáp số
δ = 2,292 mm
8.Ứng suất và biến dạng dọc trục
Đáp số: σmax = 840 MPa
Cấu kiện chịu tải dọc trục: mỗi đoạn lăng trụ tuân theo δ = PL/(AE). Với các cấu kiện nối tiếp, độ giãn dài cộng lại.
Cùng một lực trong cả hai đoạn
Đầu tự do chịu lực P, nên mọi mặt cắt của thanh đều chịu cùng một lực dọc trục P. Chỉ có diện tích và vật liệu thay đổi.
A1 = π·35²/4 = 962,1 mm², A2 = π·12²/4 = 113,1 mm²
σ1 = 98,74 MPa
σ2 = 840 MPa
Ứng suất lớn nhất
Đoạn mảnh hơn có diện tích nhỏ hơn, nên chịu ứng suất lớn hơn.
σmax = 840 MPa
Đáp số
σmax = 840 MPa
9.Mất ổn định cột
Đáp số: Pcr = 21,7 kN
Mất ổn định Euler: một cột mảnh mất ổn định tại Pcr = π²EI/(KL)², trong đó KL là chiều dài tính toán: K = 1 cho khớp–khớp, 2 cho ngàm–tự do, 0,7 cho ngàm–khớp và 0,5 cho ngàm–ngàm. Cột oằn quanh trục có I nhỏ nhất. Công thức đúng với cột mảnh, có ứng suất tới hạn thấp hơn ứng suất chảy.
Mômen quán tính nhỏ nhất của mặt cắt
Mặt cắt tròn có cùng I đối với mọi trục.
I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2,011 × 10⁶ mm⁴
Chiều dài tính toán
KL = 2·4000 = 8000 mm
Tải trọng tới hạn
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·2,011 × 10⁶/8000² = 21704 N = 21,7 kN
Đáp số
Pcr = 21,7 kN
10.Mất ổn định cột
Đáp số: σcr = 6,294 MPa
Mất ổn định Euler: một cột mảnh mất ổn định tại Pcr = π²EI/(KL)², trong đó KL là chiều dài tính toán: K = 1 cho khớp–khớp, 2 cho ngàm–tự do, 0,7 cho ngàm–khớp và 0,5 cho ngàm–ngàm. Cột oằn quanh trục có I nhỏ nhất. Công thức đúng với cột mảnh, có ứng suất tới hạn thấp hơn ứng suất chảy.
Mômen quán tính nhỏ nhất của mặt cắt
Mặt cắt tròn có cùng I đối với mọi trục.
I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴
Bán kính quán tính và độ mảnh
A = 490,9 mm²
r = √(I/A) = √(19175/490,9) = 6,25 mm
KL = 0,7·5000 = 3500 mm
KL/r = 3500/6,25 = 560
Ứng suất tới hạn
σcr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/560² = 6,294 MPa
Đáp số
σcr = 6,294 MPa
11.Dao động cơ học
Đáp số: ζ = 0,599
Dao động tự do của hệ vật–lò xo: tần số riêng không cản là ωn = √(k/m) theo rad/s, và fn = ωn/(2π) theo Hz. Một bộ cản nhớt c cho hệ số cản ζ = c/cc, với cản tới hạn cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Hệ cản dưới tới hạn (ζ < 1) dao động ở ωd = ωn·√(1 − ζ²). Các lò xo song song cộng lại, k = k₁ + k₂; các lò xo nối tiếp cộng theo nghịch đảo, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Cản tới hạn
cc = 2·√(k·m) = 2·√(150000·25) = 3873 N·s/m
Hệ số cản
ζ = c/cc = 2320/3873 = 0,599
Đáp số
ζ = 0,599
ζ < 1, nên hệ cản dưới tới hạn và dao động khi tắt dần.
12.Dao động cơ học
Đáp số: fn = 7,293 Hz
Dao động tự do của hệ vật–lò xo: tần số riêng không cản là ωn = √(k/m) theo rad/s, và fn = ωn/(2π) theo Hz. Một bộ cản nhớt c cho hệ số cản ζ = c/cc, với cản tới hạn cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Hệ cản dưới tới hạn (ζ < 1) dao động ở ωd = ωn·√(1 − ζ²). Các lò xo song song cộng lại, k = k₁ + k₂; các lò xo nối tiếp cộng theo nghịch đảo, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Độ cứng tương đương
Chỉ k1 và k2 song song. Cặp đó nối tiếp với k3, nên gộp chúng theo nghịch đảo.
k12 = 30 + 40 = 70 kN/m
keq = 70·30/(70 + 30) = 21 kN/m
Tần số riêng
ωn = √(21000/10) = 45,83 rad/s
fn = 45,83/(2π) = 7,293 Hz
Đáp số
fn = 7,293 Hz
ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design