Bánh răng và hệ bánh răng
- Bánh răng ăn khớp
- n1·N1 = n2·N2
- Mômen xoắn
- T2 = T1·(N2/N1)·η
- Công suất
- P = T·ω, ω = 2π·n/60
- Hệ bánh răng ghép
- tỉ số truyền tổng = tích các tỉ số truyền từng cấp
Thiết kế máy: gói ôn nước rút
Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 12 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.
1Công thức và phương pháp
Xoắn của trục
- Ứng suất tiếp
- τ = T·r/J
- Trục đặc
- J = πd⁴/32
- Trục rỗng
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- Góc xoắn
- φ = TL/(GJ)
- Công suất
- P = T·ω = 2πnT/60
Phương pháp
- Tìm mômen quán tính độc cực: J = πd⁴/32 cho trục đặc.
- Ứng suất tiếp ở bề mặt: τ = T·r/J, với r là bán kính ngoài.
- Góc xoắn: φ = TL/(GJ) theo radian.
- Nếu cho công suất, hãy tìm mômen xoắn trước bằng P = T·ω, ω = 2πn/60.
Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất
- Tâm
- C = (σx + σy)/2
- Bán kính
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- Ứng suất chính
- σ1,2 = C ± R
- Phương chính
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- Mặt phẳng nghiêng
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
Phương pháp
- Tính tâm của vòng tròn Mohr: C = (σx + σy)/2.
- Tính bán kính: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
- Các ứng suất chính là C ± R và ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng là R.
- Các góc trên vòng tròn gấp đôi các góc trên phần tử: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).
Ứng suất và biến dạng dọc trục
- Ứng suất pháp
- σ = F/A
- Biến dạng
- ε = ΔL/L
- Định luật Hooke
- σ = E·ε
- Độ giãn dài
- ΔL = FL/(EA)
- Biến dạng nhiệt
- εT = α·ΔT
Mất ổn định cột
- Tải Euler
- Pcr = π²EI/(KL)²
- Hệ số chiều dài tính toán
- K = 1 khớp–khớp, 0,5 ngàm–ngàm, 0,7 ngàm–khớp, 2 ngàm–tự do
- Ứng suất tới hạn
- σcr = Pcr/A
- Độ mảnh
- λ = KL/r, r = √(I/A)
Dao động cơ học
- Tần số riêng
- ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
- Từ độ võng tĩnh
- ωn = √(g/δst)
- Cản tới hạn
- cc = 2√(km) = 2mωn
- Hệ số cản
- ζ = c/cc
- Tần số có cản
- ωd = ωn√(1 − ζ²)
- Giảm lượng logarit
- δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
- Lò xo song song
- k = k1 + k2
- Lò xo nối tiếp
- 1/k = 1/k1 + 1/k2
2Bài tập
1.Bánh răng và hệ bánh răngTrung bình
Một động cơ 4 kW chạy ở 1440 rpm dẫn động một bánh răng nhỏ có 15 răng, ăn khớp với một bánh răng có 24 răng. Cặp bánh răng có hiệu suất 96%. Tìm mômen xoắn ra T2 trên trục bánh răng.
P = 4 kWn1 = 1440 rpmN1 = 15N2 = 24η = 96%
T2 = N·m
2.Bánh răng và hệ bánh răngKhó
Trong một hệ bánh răng ghép, bánh răng A (30 răng) trên trục vào quay 1500 rpm dẫn động bánh răng B (72 răng). Bánh răng C (15 răng) được cố định trên cùng trục với B và dẫn động bánh răng D (60 răng) trên trục ra. Tìm tốc độ ra nout.
nin = 1500 rpmA = 30B = 72C = 15D = 60
nout = rpm
3.Xoắn của trụcTrung bình
Một trục rỗng thép (đường kính ngoài 50 mm, đường kính trong 38 mm, chiều dài 1 m) được ngàm một đầu và bị xoắn bởi mô-men xoắn 2000 N·m ở đầu kia. Tìm góc xoắn φ theo độ.
T = 2000 N·mdo = 50 mmdi = 38 mmL = 1 mG = 80 GPa
φ = °
4.Xoắn của trụcKhó
Một trục đặc phải truyền 30 kW ở 500 rpm mà ứng suất tiếp không vượt quá 40 MPa. Tìm đường kính nhỏ nhất d thỏa mãn.
P = 30 kWN = 500 rpmτallow = 40 MPa
d = mm
5.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suấtTrung bình
Một điểm trong chi tiết chịu tải có σₓ = 80 MPa, σᵧ = 110 MPa và τₓᵧ = −20 MPa (kéo là dương). Tìm ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng τmax.
σx = 80 MPaσy = 110 MPaτxy = −20 MPa
τmax = MPa
6.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suấtKhó
Một điểm trong chi tiết chịu tải có σₓ = 50 MPa, σᵧ = −40 MPa và τₓᵧ = −30 MPa (kéo là dương). Tìm ứng suất pháp σθ trên một mặt có pháp tuyến xoay 20° ngược chiều kim đồng hồ so với trục x.
σx = 50 MPaσy = −40 MPaτxy = −30 MPaθ = 20°
σθ = MPa
7.Ứng suất và biến dạng dọc trụcTrung bình
Tìm độ giãn dài δ của thanh thép dưới tải trọng dọc trục.
P = 35 kNd = 10 mmL = 1,5 mE = 200 GPa
δ = mm
8.Ứng suất và biến dạng dọc trụcKhó
Thanh bậc được ngàm vào tường và chịu tải ở đầu tự do. Tìm tổng độ giãn dài δ.
P = 25 kNđoạn 1: Ø40 mm, 1 m, đồng thau (E = 100 GPa)đoạn 2: Ø16 mm, 1,5 m, đồng (E = 117 GPa)
δ = mm
9.Mất ổn định cộtTrung bình
Một cột dài L làm bằng thép được ngàm cả hai đầu. Dùng công thức Euler, tìm tải trọng oằn tới hạn Pcr của nó.
L = 1,5 mE = 200 GPa (thép)d = 25 mm
Pcr = kN
10.Mất ổn định cộtKhó
Một cột tròn đặc dài L làm bằng thép được ngàm ở chân và khớp ở đỉnh. Nó phải chịu 135 kN với hệ số an toàn 3 chống oằn. Tìm đường kính nhỏ nhất d.
P = 135 kNn = 3L = 3 mE = 200 GPa (thép)
d = mm
11.Dao động cơ họcTrung bình
Trong một thí nghiệm dao động tự do của hệ vật–lò xo có cản, một đỉnh độ dời 10 mm được theo sau một chu kỳ sau bởi đỉnh 4,7 mm. Tìm hệ số cản ζ.
x0 = 10 mmx1 = 4,7 mmn = 1
ζ =
12.Dao động cơ họcKhó
Một vật 20 kg treo vào hai lò xo đặt cạnh nhau (song song), có độ cứng k₁ = 30 kN/m và k₂ = 20 kN/m. Vật giữ nằm ngang. Tìm độ cứng tương đương keq của hệ lò xo theo kN/m.
m = 20 kgk1 = 30 kN/mk2 = 20 kN/m
keq = kN/m
3Dung dịch
1.Bánh răng và hệ bánh răng
Đáp số: T2 = 40,74 N·m
Hệ bánh răng: các bánh răng ăn khớp có cùng tốc độ tại răng, nên n₁·N₁ = n₂·N₂: bánh răng có ít răng hơn quay nhanh hơn. Các bánh răng trên cùng một trục quay cùng tốc độ. Công suất được truyền đi (trừ tổn thất), nên mômen xoắn tăng khi tốc độ giảm: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, và P = T·ω với ω = 2π·n/60.
Mômen xoắn động cơ
ω₁ = 2π·1440/60 = 150,8 rad/s
T1 = P/ω₁ = 4000/150,8 = 26,53 N·m
Mômen xoắn ra
T2 = 26,53·24/15·0,96 = 40,74 N·m
Đáp số
T2 = 40,74 N·m
2.Bánh răng và hệ bánh răng
Đáp số: nout = 156,3 rpm
Hệ bánh răng: các bánh răng ăn khớp có cùng tốc độ tại răng, nên n₁·N₁ = n₂·N₂: bánh răng có ít răng hơn quay nhanh hơn. Các bánh răng trên cùng một trục quay cùng tốc độ. Công suất được truyền đi (trừ tổn thất), nên mômen xoắn tăng khi tốc độ giảm: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, và P = T·ω với ω = 2π·n/60.
Cấp thứ nhất
nB = 1500·30/72 = 625 rpm = nC
Cấp thứ hai
nout = 625·15/60 = 156,3 rpm
Đáp số
nout = 156,3 rpm
tỉ số truyền tổng = 9,6 : 1
3.Xoắn của trục
Đáp số: φ = 3,503 °
Xoắn thanh tròn: ứng suất tiếp tăng tuyến tính từ không ở tâm đến τmax = T·r/J ở bề mặt, với J = πd⁴/32 cho trục đặc và J = π(do⁴ − di⁴)/32 cho trục rỗng. Góc xoắn là φ = TL/(GJ) tính bằng radian. Công suất và mômen xoắn liên hệ với nhau qua P = T·ω.
Mômen quán tính độc cực của mặt cắt
J = π(50⁴ − 38⁴)/32 = 408885 mm⁴
Góc xoắn
T = 2000 N·m = 2 × 10⁶ N·mm
L = 1 m = 1000 mm
G = 80 GPa = 80000 MPa
φ = TL/(GJ) = 2 × 10⁶·1000/(80000·408885) = 0,06114 rad
φ = 0,06114·180/π = 3,503°
Đáp số
φ = 3,503°
4.Xoắn của trục
Đáp số: d = 41,78 mm
Xoắn thanh tròn: ứng suất tiếp tăng tuyến tính từ không ở tâm đến τmax = T·r/J ở bề mặt, với J = πd⁴/32 cho trục đặc và J = π(do⁴ − di⁴)/32 cho trục rỗng. Góc xoắn là φ = TL/(GJ) tính bằng radian. Công suất và mômen xoắn liên hệ với nhau qua P = T·ω.
Mômen xoắn
ω = 2πN/60 = 2π·500/60 = 52,36 rad/s
T = P/ω = 30000/52,36 = 573 N·m
Đường kính từ ứng suất cho phép
d = ∛(16T/(π·τallow)) = ∛(16·572958/(π·40)) = 41,78 mm
Đáp số
d = 41,78 mm
Trong thực tế bạn sẽ làm tròn lên kích thước tiêu chuẩn kế tiếp.
5.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất
Đáp số: τmax = 25 MPa
Biến đổi ứng suất phẳng: trên một mặt xoay góc θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Vòng tròn Mohr cho thấy tất cả các mặt cùng lúc: tâm của nó ở C = (σₓ + σᵧ)/2 và bán kính là R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Các ứng suất chính là C ± R, và ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng là R.
Bán kính vòng tròn Mohr
τmax = R = √(((80 − 110)/2)² + −20²) = 25 MPa
Đáp số
τmax = 25 MPa
6.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất
Đáp số: σθ = 20,19 MPa
Biến đổi ứng suất phẳng: trên một mặt xoay góc θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Vòng tròn Mohr cho thấy tất cả các mặt cùng lúc: tâm của nó ở C = (σₓ + σᵧ)/2 và bán kính là R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Các ứng suất chính là C ± R, và ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng là R.
Phương trình biến đổi
σθ = 5 + 45·0,766 + −30·0,6428 = 20,19 MPa
Đáp số
σθ = 20,19 MPa
7.Ứng suất và biến dạng dọc trục
Đáp số: δ = 3,342 mm
Định luật Hooke: trong giới hạn đàn hồi σ = E·ε. Kết hợp với σ = P/A và ε = δ/L ta được δ = PL/(AE).
Ứng suất
A = π·10²/4 = 78,54 mm²
σ = P/A = 35·1000/78,54 = 445,6 MPa
Biến dạng (định luật Hooke)
E for thép = 200 GPa = 200000 MPa.
ε = σ/E = 445,6/200000 = 0,002228 = 2228 µε
Độ giãn dài
δ = ε·L = 0,002228·1500 mm = 3,342 mm
Đáp số
δ = 3,342 mm
8.Ứng suất và biến dạng dọc trục
Đáp số: δ = 1,793 mm
Cấu kiện chịu tải dọc trục: mỗi đoạn lăng trụ tuân theo δ = PL/(AE). Với các cấu kiện nối tiếp, độ giãn dài cộng lại.
Cùng một lực trong cả hai đoạn
Đầu tự do chịu lực P, nên mọi mặt cắt của thanh đều chịu cùng một lực dọc trục P. Chỉ có diện tích và vật liệu thay đổi.
A1 = π·40²/4 = 1257 mm², A2 = π·16²/4 = 201,1 mm²
σ1 = 19,89 MPa
σ2 = 124,3 MPa
Cộng độ giãn dài của các đoạn
δ1 = σ1L1/E1 = 19,89·1000/100000 = 0,1989 mm
δ2 = σ2L2/E2 = 124,3·1500/117000 = 1,594 mm
δ = δ1 + δ2 = 1,793 mm
Đáp số
δ = 1,793 mm
9.Mất ổn định cột
Đáp số: Pcr = 67,29 kN
Mất ổn định Euler: một cột mảnh mất ổn định tại Pcr = π²EI/(KL)², trong đó KL là chiều dài tính toán: K = 1 cho khớp–khớp, 2 cho ngàm–tự do, 0,7 cho ngàm–khớp và 0,5 cho ngàm–ngàm. Cột oằn quanh trục có I nhỏ nhất. Công thức đúng với cột mảnh, có ứng suất tới hạn thấp hơn ứng suất chảy.
Mômen quán tính nhỏ nhất của mặt cắt
Mặt cắt tròn có cùng I đối với mọi trục.
I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴
Chiều dài tính toán
KL = 0,5·1500 = 750 mm
Tải trọng tới hạn
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·19175/750² = 67288 N = 67,29 kN
Đáp số
Pcr = 67,29 kN
10.Mất ổn định cột
Đáp số: d = 65,52 mm
Mất ổn định Euler: một cột mảnh mất ổn định tại Pcr = π²EI/(KL)², trong đó KL là chiều dài tính toán: K = 1 cho khớp–khớp, 2 cho ngàm–tự do, 0,7 cho ngàm–khớp và 0,5 cho ngàm–ngàm. Cột oằn quanh trục có I nhỏ nhất. Công thức đúng với cột mảnh, có ứng suất tới hạn thấp hơn ứng suất chảy.
Tải trọng tới hạn yêu cầu
Pcr = n·P = 3·135000 = 405000 N
KL = 0,7·3000 = 2100 mm
Giải tìm đường kính
d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·405000·2100²/(π³·200000))^(1/4) = 65,52 mm
Đáp số
d = 65,52 mm
Kiểm tra: độ mảnh KL/r là 128,2, nên cột là mảnh và công thức Euler áp dụng được.
11.Dao động cơ học
Đáp số: ζ = 0,1193
Dao động tự do của hệ vật–lò xo: tần số riêng không cản là ωn = √(k/m) theo rad/s, và fn = ωn/(2π) theo Hz. Một bộ cản nhớt c cho hệ số cản ζ = c/cc, với cản tới hạn cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Hệ cản dưới tới hạn (ζ < 1) dao động ở ωd = ωn·√(1 − ζ²). Các lò xo song song cộng lại, k = k₁ + k₂; các lò xo nối tiếp cộng theo nghịch đảo, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Giảm lượng logarit
δ = (1/1)·ln(10/4,7) = 0,755
Hệ số cản
ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0,755/√(39,48 + 0,5701) = 0,1193
Đáp số
ζ = 0,1193
12.Dao động cơ học
Đáp số: keq = 50 kN/m
Dao động tự do của hệ vật–lò xo: tần số riêng không cản là ωn = √(k/m) theo rad/s, và fn = ωn/(2π) theo Hz. Một bộ cản nhớt c cho hệ số cản ζ = c/cc, với cản tới hạn cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Hệ cản dưới tới hạn (ζ < 1) dao động ở ωd = ωn·√(1 − ζ²). Các lò xo song song cộng lại, k = k₁ + k₂; các lò xo nối tiếp cộng theo nghịch đảo, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Độ cứng tương đương
Các lò xo đặt cạnh nhau có chung độ võng và cộng các lực, nên độ cứng đơn giản cộng lại: k = k1 + k2.
keq = 30 + 20 = 50 kN/m
Đáp số
keq = 50 kN/m
ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design