Thiết kế máy: gói ôn nước rút

Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 12 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.

Bài mới Quay lại môn học

Trong cửa sổ in, hãy chọn “Lưu dưới dạng PDF” để giữ một bản trên thiết bị của bạn.

1Công thức và phương pháp

Bánh răng và hệ bánh răng

Bánh răng ăn khớp: n₁·N₁ = n₂·N₂
Mômen xoắn: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Công suất: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Hệ bánh răng ghép: tỉ số truyền tổng = tích các tỉ số truyền từng cấp

Xoắn của trục

Ứng suất tiếp: τ = T·r/J
Trục đặc: J = πd⁴/32
Trục rỗng: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Góc xoắn: φ = TL/(GJ)
Công suất: P = T·ω = 2πnT/60

Phương pháp

Tìm mômen quán tính độc cực: J = πd⁴/32 cho trục đặc.
Ứng suất tiếp ở bề mặt: τ = T·r/J, với r là bán kính ngoài.
Góc xoắn: φ = TL/(GJ) theo radian.
Nếu cho công suất, hãy tìm mômen xoắn trước bằng P = T·ω, ω = 2πn/60.

Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất

Tâm: C = (σ_x + σ_y)/2
Bán kính: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Ứng suất chính: σ_1,2 = C ± R
Phương chính: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Mặt phẳng nghiêng: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Phương pháp

Tính tâm của vòng tròn Mohr: C = (σx + σy)/2.
Tính bán kính: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Các ứng suất chính là C ± R và ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng là R.
Các góc trên vòng tròn gấp đôi các góc trên phần tử: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Ứng suất và biến dạng dọc trục

Ứng suất pháp: σ = F/A
Biến dạng: ε = ΔL/L
Định luật Hooke: σ = E·ε
Độ giãn dài: ΔL = FL/(EA)
Biến dạng nhiệt: ε_T = α·ΔT

Mất ổn định cột

Tải Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Hệ số chiều dài tính toán: K = 1 khớp–khớp, 0,5 ngàm–ngàm, 0,7 ngàm–khớp, 2 ngàm–tự do
Ứng suất tới hạn: σ_cr = P_cr/A
Độ mảnh: λ = KL/r, r = √(I/A)

Dao động cơ học

Tần số riêng: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Từ độ võng tĩnh: ω_n = √(g/δ_st)
Cản tới hạn: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Hệ số cản: ζ = c/c_c
Tần số có cản: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Giảm lượng logarit: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Lò xo song song: k = k₁ + k₂
Lò xo nối tiếp: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Bài tập

1.Bánh răng và hệ bánh răngTrung bình

Một puli 150 mm ở 960 vòng/phút dẫn động một puli 315 mm bằng dây đai với độ trượt 2 %. Tìm tốc độ n₂ của puli bị dẫn.

n₁ = 960 rpmd₁ = 150 mmd₂ = 315 mms = 2 %

n₂ = rpm

2.Bánh răng và hệ bánh răngKhó

Trong một hệ bánh răng ghép, bánh răng A (45 răng) trên trục vào quay 1440 rpm dẫn động bánh răng B (48 răng). Bánh răng C (12 răng) được cố định trên cùng trục với B và dẫn động bánh răng D (16 răng) trên trục ra. Tìm tốc độ ra n_out.

n_in = 1440 rpmA = 45B = 48C = 12D = 16

n_out = rpm

3.Xoắn của trụcTrung bình

Một trục nhôm đặc dài 2,5 m chịu mô-men xoắn 500 N·m. Góc xoắn giữa hai đầu không được vượt quá 0,5°. Tìm đường kính nhỏ nhất d đáp ứng giới hạn này.

T = 500 N·mL = 2,5 mG = 26 GPaφ_allow = 0,5°

d = mm

4.Xoắn của trụcKhó

Một trục đặc phải truyền 100 kW ở 1800 rpm mà ứng suất tiếp không vượt quá 80 MPa. Tìm đường kính nhỏ nhất d thỏa mãn.

P = 100 kWN = 1800 rpmτ_allow = 80 MPa

d = mm

5.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suấtTrung bình

Một điểm trong chi tiết chịu tải có σₓ = 140 MPa, σᵧ = −70 MPa và τₓᵧ = 10 MPa (kéo là dương). Tìm ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng τ_max.

σ_x = 140 MPaσ_y = −70 MPaτ_xy = 10 MPa

τ_max = MPa

6.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suấtKhó

Một điểm trong một tấm mỏng ở trạng thái ứng suất phẳng: σₓ = 150 MPa, σᵧ = −70 MPa và τₓᵧ = −30 MPa (σ_z = 0). Tìm ứng suất tương đương von Mises σ_vM.

σ_x = 150 MPaσ_y = −70 MPaτ_xy = −30 MPa

σ_vM = MPa

7.Ứng suất và biến dạng dọc trụcTrung bình

Tìm độ giãn dài δ của thanh nhôm dưới tải trọng dọc trục.

P = 50 kNd = 30 mmL = 2,5 mE = 70 GPa

δ = mm

8.Ứng suất và biến dạng dọc trụcKhó

Thanh bậc được ngàm vào tường và chịu tải ở đầu tự do. Tìm tổng độ giãn dài δ.

P = 50 kNđoạn 1: Ø30 mm, 1,5 m, nhôm (E = 70 GPa)đoạn 2: Ø20 mm, 2 m, thép (E = 200 GPa)

δ = mm

9.Mất ổn định cộtTrung bình

Một cột dài L làm bằng nhôm được ngàm cả hai đầu. Dùng công thức Euler, tìm tải trọng oằn tới hạn P_cr của nó.

L = 2,5 mE = 70 GPa (nhôm)d = 30 mm

P_cr = kN

10.Mất ổn định cộtKhó

Một cột dài L làm bằng thép được ngàm ở chân và khớp ở đỉnh. Tìm độ mảnh của nó và ứng suất oằn tới hạn σ_cr theo công thức Euler.

L = 1,5 mE = 200 GPa (thép)d = 30 mm

σ_cr = MPa

11.Dao động cơ họcTrung bình

Một vật 200 kg trên lò xo có độ cứng 150 kN/m có bộ cản nhớt cho hệ số cản 0,45. Tìm tần số riêng có cản f_d của dao động tự do theo Hz.

m = 200 kgk = 150 kN/mζ = 0,45

f_d = Hz

12.Dao động cơ họcKhó

Một vật 20 kg treo vào lò xo k₃ = 50 kN/m. Đầu trên của k₃ được gắn vào một thanh cứng treo bằng hai lò xo đặt cạnh nhau, k₁ = 30 kN/m và k₂ = 25 kN/m; thanh giữ nằm ngang. Bỏ qua lực cản và khối lượng của các lò xo và thanh. Tìm tần số riêng f_n của dao động thẳng đứng theo Hz.

m = 20 kgk₁ = 30 kN/mk₂ = 25 kN/mk₃ = 50 kN/m

f_n = Hz

3Dung dịch

1.Bánh răng và hệ bánh răng

Đáp số: n₂ = 448 rpm

Truyền động đai: khi không trượt, cả hai puli có cùng tốc độ mép v = π·d·n/60, nên n₁·d₁ = n₂·d₂ và tỉ số tốc độ là d₂/d₁. Độ trượt s làm puli bị dẫn chậm hơn một chút: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). Công suất truyền là P = (T₁ − T₂)·v, với T₁ là lực căng ở nhánh căng và T₂ ở nhánh chùng. Ma sát giới hạn tỉ số các lực căng: T₁/T₂ = e^μθ, trong đó θ là góc ôm tính theo radian trên puli nhỏ hơn; với đai hở θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) với khoảng cách tâm C.

Tốc độ khi không trượt

960·150/315 = 457,1 rpm

Khi có trượt

n₂ = 457,1·0,98 = 448 rpm

Đáp số

n₂ = 448 rpm

2.Bánh răng và hệ bánh răng

Đáp số: n_out = 1013 rpm

Hệ bánh răng: các bánh răng ăn khớp có cùng tốc độ tại răng, nên n₁·N₁ = n₂·N₂: bánh răng có ít răng hơn quay nhanh hơn. Các bánh răng trên cùng một trục quay cùng tốc độ. Công suất được truyền đi (trừ tổn thất), nên mômen xoắn tăng khi tốc độ giảm: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, và P = T·ω với ω = 2π·n/60.

Cấp thứ nhất

n_B = 1440·45/48 = 1350 rpm = n_C

Cấp thứ hai

n_out = 1350·12/16 = 1013 rpm

Đáp số

n_out = 1013 rpm

tỉ số truyền tổng = 1,422 : 1

3.Xoắn của trục

Đáp số: d = 86,55 mm

Xoắn thanh tròn: ứng suất tiếp tăng tuyến tính từ không ở tâm đến τ_max = T·r/J ở bề mặt, với J = πd⁴/32 cho trục đặc và J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 cho trục rỗng. Góc xoắn là φ = TL/(GJ) tính bằng radian. Công suất và mômen xoắn liên hệ với nhau qua P = T·ω.

Mô-men quán tính độc cực cần thiết

T = 500 N·m = 500000 N·mm

L = 2,5 m = 2500 mm

G = 26 GPa = 26000 MPa

φ = 0,5·π/180 = 0,008727 rad

J = TL/(Gφ) = 500000·2500/(26000·0,008727) = 5,509 × 10⁶ mm⁴

Đường kính

d = (32J/π)^1/4 = 86,55 mm

Đáp số

d = 86,55 mm

Trong thực tế bạn sẽ làm tròn lên kích thước tiêu chuẩn kế tiếp.

4.Xoắn của trục

Đáp số: d = 32,32 mm

Mômen xoắn

ω = 2πN/60 = 2π·1800/60 = 188,5 rad/s

T = P/ω = 100000/188,5 = 530,5 N·m

Đường kính từ ứng suất cho phép

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·530516/(π·80)) = 32,32 mm

Đáp số

d = 32,32 mm

Trong thực tế bạn sẽ làm tròn lên kích thước tiêu chuẩn kế tiếp.

5.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất

Đáp số: τ_max = 105,5 MPa

Bán kính vòng tròn Mohr

τ_max = R = √(((140 − −70)/2)² + 10²) = 105,5 MPa

Đáp số

τ_max = 105,5 MPa

6.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất

Đáp số: σ_vM = 201,5 MPa

Biến đổi ứng suất phẳng: trên một mặt xoay góc θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Vòng tròn Mohr cho thấy tất cả các mặt cùng lúc: tâm của nó ở C = (σₓ + σᵧ)/2 và bán kính là R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Các ứng suất chính là C ± R, và ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng là R. Tiêu chuẩn chảy: von Mises dự đoán vật liệu chảy khi σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) đạt σ_Y; Tresca khi ứng suất cắt lớn nhất tuyệt đối đạt σ_Y/2.

Ứng suất chính

C = 40 MPa, R = 114 MPa

σ₁ = 154 MPa, σ₂ = −74,02 MPa, σ₃ = 0

Von Mises

σ_vM = √(154² − 154·(−74,02) + (−74,02)²) = 201,5 MPa

Đáp số

σ_vM = 201,5 MPa

7.Ứng suất và biến dạng dọc trục

Đáp số: δ = 2,526 mm

Định luật Hooke: trong giới hạn đàn hồi σ = E·ε. Kết hợp với σ = P/A và ε = δ/L ta được δ = PL/(AE).

Ứng suất

A = π·30²/4 = 706,9 mm²

σ = P/A = 50·1000/706,9 = 70,74 MPa

Biến dạng (định luật Hooke)

E for nhôm = 70 GPa = 70000 MPa.

ε = σ/E = 70,74/70000 = 0,001011 = 1011 µε

Độ giãn dài

δ = ε·L = 0,001011·2500 mm = 2,526 mm

Đáp số

δ = 2,526 mm

8.Ứng suất và biến dạng dọc trục

Đáp số: δ = 3,107 mm

Cấu kiện chịu tải dọc trục: mỗi đoạn lăng trụ tuân theo δ = PL/(AE). Với các cấu kiện nối tiếp, độ giãn dài cộng lại.

Cùng một lực trong cả hai đoạn

Đầu tự do chịu lực P, nên mọi mặt cắt của thanh đều chịu cùng một lực dọc trục P. Chỉ có diện tích và vật liệu thay đổi.

A₁ = π·30²/4 = 706,9 mm², A₂ = π·20²/4 = 314,2 mm²

σ₁ = 70,74 MPa

σ₂ = 159,2 MPa

Cộng độ giãn dài của các đoạn

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 70,74·1500/70000 = 1,516 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 159,2·2000/200000 = 1,592 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 3,107 mm

Đáp số

δ = 3,107 mm

9.Mất ổn định cột

Đáp số: P_cr = 17,58 kN

Mất ổn định Euler: một cột mảnh mất ổn định tại P_cr = π²EI/(KL)², trong đó KL là chiều dài tính toán: K = 1 cho khớp–khớp, 2 cho ngàm–tự do, 0,7 cho ngàm–khớp và 0,5 cho ngàm–ngàm. Cột oằn quanh trục có I nhỏ nhất. Công thức đúng với cột mảnh, có ứng suất tới hạn thấp hơn ứng suất chảy.

Mômen quán tính nhỏ nhất của mặt cắt

Mặt cắt tròn có cùng I đối với mọi trục.

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

Chiều dài tính toán

KL = 0,5·2500 = 1250 mm

Tải trọng tới hạn

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·39761/1250² = 17581 N = 17,58 kN

Đáp số

P_cr = 17,58 kN

10.Mất ổn định cột

Đáp số: σ_cr = 100,7 MPa

Mômen quán tính nhỏ nhất của mặt cắt

Mặt cắt tròn có cùng I đối với mọi trục.

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

Bán kính quán tính và độ mảnh

A = 706,9 mm²

r = √(I/A) = √(39761/706,9) = 7,5 mm

KL = 0,7·1500 = 1050 mm

KL/r = 1050/7,5 = 140

Ứng suất tới hạn

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/140² = 100,7 MPa

Đáp số

σ_cr = 100,7 MPa

11.Dao động cơ học

Đáp số: f_d = 3,892 Hz

Dao động tự do của hệ vật–lò xo: tần số riêng không cản là ω_n = √(k/m) theo rad/s, và f_n = ω_n/(2π) theo Hz. Một bộ cản nhớt c cho hệ số cản ζ = c/c_c, với cản tới hạn c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Hệ cản dưới tới hạn (ζ < 1) dao động ở ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Các lò xo song song cộng lại, k = k₁ + k₂; các lò xo nối tiếp cộng theo nghịch đảo, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Tần số riêng không cản

ω_n = √(150000/200) = 27,39 rad/s

f_n = 27,39/(2π) = 4,359 Hz

Tần số riêng có cản

f_d = f_n·√(1 − ζ²) = 4,359·√(1 − 0,45²) = 3,892 Hz

Đáp số

f_d = 3,892 Hz

12.Dao động cơ học

Đáp số: f_n = 5,759 Hz

Độ cứng tương đương

Chỉ k₁ và k₂ song song. Cặp đó nối tiếp với k₃, nên gộp chúng theo nghịch đảo.

k₁₂ = 30 + 25 = 55 kN/m

k_eq = 55·50/(55 + 50) = 26,19 kN/m

Tần số riêng

ω_n = √(26190/20) = 36,19 rad/s

f_n = 36,19/(2π) = 5,759 Hz

Đáp số

f_n = 5,759 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design