Thiết kế máy: gói ôn nước rút

Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 12 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.

Bài mớiQuay lại môn học

Trong cửa sổ in, hãy chọn “Lưu dưới dạng PDF” để giữ một bản trên thiết bị của bạn.

1Công thức và phương pháp

Bánh răng và hệ bánh răng

Bánh răng ăn khớp
n1·N1 = n2·N2
Mômen xoắn
T2 = T1·(N2/N1)·η
Công suất
P = T·ω, ω = 2π·n/60
Hệ bánh răng ghép
tỉ số truyền tổng = tích các tỉ số truyền từng cấp

Xoắn của trục

Ứng suất tiếp
τ = T·r/J
Trục đặc
J = πd⁴/32
Trục rỗng
J = π(D⁴ − d⁴)/32
Góc xoắn
φ = TL/(GJ)
Công suất
P = T·ω = 2πnT/60

Phương pháp

  1. Tìm mômen quán tính độc cực: J = πd⁴/32 cho trục đặc.
  2. Ứng suất tiếp ở bề mặt: τ = T·r/J, với r là bán kính ngoài.
  3. Góc xoắn: φ = TL/(GJ) theo radian.
  4. Nếu cho công suất, hãy tìm mômen xoắn trước bằng P = T·ω, ω = 2πn/60.

Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất

Tâm
C = (σx + σy)/2
Bán kính
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
Ứng suất chính
σ1,2 = C ± R
Phương chính
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
Mặt phẳng nghiêng
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

Phương pháp

  1. Tính tâm của vòng tròn Mohr: C = (σx + σy)/2.
  2. Tính bán kính: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
  3. Các ứng suất chính là C ± R và ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng là R.
  4. Các góc trên vòng tròn gấp đôi các góc trên phần tử: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Ứng suất và biến dạng dọc trục

Ứng suất pháp
σ = F/A
Biến dạng
ε = ΔL/L
Định luật Hooke
σ = E·ε
Độ giãn dài
ΔL = FL/(EA)
Biến dạng nhiệt
εT = α·ΔT

Mất ổn định cột

Tải Euler
Pcr = π²EI/(KL)²
Hệ số chiều dài tính toán
K = 1 khớp–khớp, 0,5 ngàm–ngàm, 0,7 ngàm–khớp, 2 ngàm–tự do
Ứng suất tới hạn
σcr = Pcr/A
Độ mảnh
λ = KL/r, r = √(I/A)

Dao động cơ học

Tần số riêng
ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
Từ độ võng tĩnh
ωn = √(g/δst)
Cản tới hạn
cc = 2√(km) = 2mωn
Hệ số cản
ζ = c/cc
Tần số có cản
ωd = ωn√(1 − ζ²)
Giảm lượng logarit
δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Lò xo song song
k = k1 + k2
Lò xo nối tiếp
1/k = 1/k1 + 1/k2

2Bài tập

1.Bánh răng và hệ bánh răngTrung bình
Nw​ = 80z = 3, 2900 rpm

Một trục vít 3 đầu mối quay ở 2900 rpm và dẫn động một bánh vít có 80 răng. Tìm tốc độ nw của bánh vít.

z = 3Nw = 80n = 2900 rpm
nw = rpm
2.Bánh răng và hệ bánh răngKhó
A = 32B = 36C = 36D = 40

Trong một hệ bánh răng ghép, bánh răng A (32 răng) trên trục vào quay 3000 rpm dẫn động bánh răng B (36 răng). Bánh răng C (36 răng) được cố định trên cùng trục với B và dẫn động bánh răng D (40 răng) trên trục ra. Tìm tốc độ ra nout.

nin = 3000 rpmA = 32B = 36C = 36D = 40
nout = rpm
3.Xoắn của trụcTrung bình
d = ?T = 100 N·mL = 0,5 m

Một trục thép đặc dài 0,5 m chịu mô-men xoắn 100 N·m. Góc xoắn giữa hai đầu không được vượt quá 2°. Tìm đường kính nhỏ nhất d đáp ứng giới hạn này.

T = 100 N·mL = 0,5 mG = 80 GPaφallow = 2°
d = mm
4.Xoắn của trụcKhó
Tdo​ = 75 mm, di​ = 56 mm

Một trục rỗng truyền 20 kW ở 750 rpm. Tìm ứng suất tiếp lớn nhất τmax trong trục.

P = 20 kWN = 750 rpmdo = 75 mmdi = 56 mm
τmax = MPa
5.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suấtTrung bình
σx​ = 80σy​ = 10τxy​ = −20MPa

Một điểm có σₓ = 80 MPa, σᵧ = 10 MPa và τₓᵧ = −20 MPa (kéo là dương). Phân tố được xoay 30° ngược chiều kim đồng hồ. Tìm ứng suất pháp σy′ trên các mặt của phân tố đã xoay vuông góc với trục y′ sau khi xoay.

σx = 80 MPaσy = 10 MPaτxy = −20 MPaθ = 30°
σy′ = MPa
6.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suấtKhó
30°D = 500 mm, t = 5 mm, p = 2 MPap

Một bể hình trụ thành mỏng có đường kính trong 500 mm và chiều dày thành 5 mm chứa khí ở áp suất dư 2 MPa. Nó được làm từ tấm thép hàn theo một đường hàn xoắn ốc nghiêng 30° so với trục của hình trụ. Tìm độ lớn của ứng suất cắt |τn| tác dụng dọc theo đường hàn.

D = 500 mmt = 5 mmp = 2 MPaα = 30°
|τn| = MPa
7.Ứng suất và biến dạng dọc trụcTrung bình
Ø 12 mmĐồng3 mP = 55 kN

Tìm độ giãn dài δ của thanh đồng dưới tải trọng dọc trục.

P = 55 kNd = 12 mmL = 3 mE = 117 GPa
δ = mm
8.Ứng suất và biến dạng dọc trụcKhó
P = ?Ø40100 GPaØ120/70400 mm

Một thanh thép (đường kính 40 mm, E = 200 GPa, ứng suất cho phép 250 MPa) nằm trong một ống làm bằng đồng thau (đường kính ngoài 120 mm, đường kính trong 70 mm, E = 100 GPa, ứng suất cho phép 50 MPa). Chúng bị nén cùng nhau giữa các tấm cứng. Tìm tải lớn nhất Pmax.

thanh: Ø40 mm, E = 200 GPa, σallow = 250 MPaống: Ø120/Ø70 mm, E = 100 GPa, σallow = 50 MPa
Pmax = kN
9.Mất ổn định cộtTrung bình
PL = 4 m30 × 50 mmmặt cắt ngang

Một cột dài L làm bằng thép được ngàm ở chân và khớp ở đỉnh. Dùng công thức Euler, tìm tải trọng oằn tới hạn Pcr của nó.

L = 4 mE = 200 GPa (thép)b × h = 30 × 50 mm
Pcr = kN
10.Mất ổn định cộtKhó
PL = 4 md = 50 mmmặt cắt ngang

Một cột dài L làm bằng nhôm được ngàm cả hai đầu. Tìm độ mảnh của nó và ứng suất oằn tới hạn σcr theo công thức Euler.

L = 4 mE = 70 GPa (nhôm)d = 50 mm
σcr = MPa
11.Dao động cơ họcTrung bình
k = 150 kN/mc = 2190 N·s/mm = 50 kg

Một vật 50 kg được đỡ bởi một lò xo có độ cứng 150 kN/m và một bộ cản nhớt có hệ số cản 2190 N·s/m. Tìm hệ số cản ζ.

m = 50 kgk = 150 kN/mc = 2190 N·s/m
ζ =
12.Dao động cơ họcKhó
k1​ = 100k2​ = 12m = 20 kg

Một vật 20 kg treo vào hai lò xo đặt cạnh nhau (song song), có độ cứng k₁ = 100 kN/m và k₂ = 12 kN/m. Vật giữ nằm ngang. Bỏ qua cản và khối lượng của các lò xo. Tìm tần số riêng fn của dao động thẳng đứng theo Hz.

m = 20 kgk1 = 100 kN/mk2 = 12 kN/m
fn = Hz

3Dung dịch

1.Bánh răng và hệ bánh răng

Đáp số: nw = 108,8 rpm

Gear trains: meshing gears have the same speed at the teeth, so n₁·N₁ = n₂·N₂: the gear with fewer teeth turns faster. Gears on one shaft turn at the same speed. Power is passed on (minus losses), so torque goes up when speed goes down: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, and P = T·ω with ω = 2π·n/60.

Tốc độ bánh vít

nw = n·z/Nw = 2900·3/80 = 108,8 rpm

Đáp số

nw = 108,8 rpm
2.Bánh răng và hệ bánh răng

Đáp số: nout = 2400 rpm

Hệ bánh răng: các bánh răng ăn khớp có cùng tốc độ tại răng, nên n₁·N₁ = n₂·N₂: bánh răng có ít răng hơn quay nhanh hơn. Các bánh răng trên cùng một trục quay cùng tốc độ. Công suất được truyền đi (trừ tổn thất), nên mômen xoắn tăng khi tốc độ giảm: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, và P = T·ω với ω = 2π·n/60.

Cấp thứ nhất

nB = 3000·32/36 = 2667 rpm = nC

Cấp thứ hai

nout = 2667·36/40 = 2400 rpm

Đáp số

nout = 2400 rpm

tỉ số truyền tổng = 1,25 : 1

3.Xoắn của trục

Đáp số: d = 20,67 mm

Xoắn thanh tròn: ứng suất tiếp tăng tuyến tính từ không ở tâm đến τmax = T·r/J ở bề mặt, với J = πd⁴/32 cho trục đặc và J = π(do⁴ − di⁴)/32 cho trục rỗng. Góc xoắn là φ = TL/(GJ) tính bằng radian. Công suất và mômen xoắn liên hệ với nhau qua P = T·ω.

Mô-men quán tính độc cực cần thiết

T = 100 N·m = 100000 N·mm
L = 0,5 m = 500 mm
G = 80 GPa = 80000 MPa
φ = 2·π/180 = 0,03491 rad
J = TL/(Gφ) = 100000·500/(80000·0,03491) = 17905 mm⁴

Đường kính

d = (32J/π)1/4 = 20,67 mm

Đáp số

d = 20,67 mm

Trong thực tế bạn sẽ làm tròn lên kích thước tiêu chuẩn kế tiếp.

4.Xoắn của trục

Đáp số: τmax = 4,461 MPa

Xoắn thanh tròn: ứng suất tiếp tăng tuyến tính từ không ở tâm đến τmax = T·r/J ở bề mặt, với J = πd⁴/32 cho trục đặc và J = π(do⁴ − di⁴)/32 cho trục rỗng. Góc xoắn là φ = TL/(GJ) tính bằng radian. Công suất và mômen xoắn liên hệ với nhau qua P = T·ω.

Mômen xoắn

ω = 2πN/60 = 2π·750/60 = 78,54 rad/s
T = P/ω = 20000/78,54 = 254,6 N·m

Mômen quán tính độc cực của mặt cắt

J = π(75⁴ − 56⁴)/32 = 2,141 × 10⁶ mm⁴

Ứng suất tiếp lớn nhất

τmax = T·(do/2)/J = 254648·37,5/2,141 × 10⁶ = 4,461 MPa

Đáp số

τmax = 4,461 MPa
5.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất

Đáp số: σy′ = 44,82 MPa

Biến đổi ứng suất phẳng: trên một mặt xoay góc θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Vòng tròn Mohr cho thấy tất cả các mặt cùng lúc: tâm của nó ở C = (σₓ + σᵧ)/2 và bán kính là R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Các ứng suất chính là C ± R, và ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng là R.

Phương trình biến đổi cho mặt y′

σy′ = 45 − 35·0,5 − (−20)·0,866 = 44,82 MPa

Kiểm tra

Tổng các ứng suất pháp không thay đổi khi xoay.

σx′ = 45,18 MPa, σx′ + σy′ = 90 = σx + σy

Đáp số

σy′ = 44,82 MPa
6.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất

Đáp số: |τn| = 21,65 MPa

Biến đổi ứng suất phẳng: trên một mặt xoay góc θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Vòng tròn Mohr cho thấy tất cả các mặt cùng lúc: tâm của nó ở C = (σₓ + σᵧ)/2 và bán kính là R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Các ứng suất chính là C ± R, và ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng là R. Hình trụ thành mỏng: ứng suất vòng σh = pr/t và ứng suất dọc trục σa = pr/(2t); đó là các ứng suất chính trong thành.

Các ứng suất trong thành

r = 500/2 = 250 mm
σh = pr/t = 2·250/5 = 100 MPa
σa = pr/(2t) = 50 MPa

Biến đổi sang đường hàn

Lấy x dọc theo trục (σa) và y theo chiều vòng (σh). Pháp tuyến của đường hàn tạo góc 90° − α với trục.

|τn| = (100 − 50)·sin 30°·cos 30° = 21,65 MPa

Đáp số

|τn| = 21,65 MPa
7.Ứng suất và biến dạng dọc trục

Đáp số: δ = 12,47 mm

Định luật Hooke: trong giới hạn đàn hồi σ = E·ε. Kết hợp với σ = P/A và ε = δ/L ta được δ = PL/(AE).

Ứng suất

A = π·12²/4 = 113,1 mm²
σ = P/A = 55·1000/113,1 = 486,3 MPa

Biến dạng (định luật Hooke)

E for đồng = 117 GPa = 117000 MPa.

ε = σ/E = 486,3/117000 = 0,004156 = 4156 µε

Độ giãn dài

δ = ε·L = 0,004156·3000 mm = 12,47 mm

Đáp số

δ = 12,47 mm
8.Ứng suất và biến dạng dọc trục

Đáp số: Pmax = 498,7 kN

Hai vật liệu: khi nối tiếp (cái này sau cái kia) mỗi đoạn chịu cùng một lực và các độ giãn dài cộng lại: δ = P·Σ L/(E·A). Khi song song (cạnh nhau giữa các tấm cứng) cả hai phần co lại cùng một lượng, nên biến dạng của chúng bằng nhau: phần cứng hơn nhận phần tải lớn hơn, Pi = P·EiAi/ΣEA, và σi = Ei·ε. Một thanh bị giữ giữa hai vách cứng với tải đặt tại chỗ nối là siêu tĩnh: hai đoạn chia tải theo tỉ lệ độ cứng k = EA/L của chúng.

Diện tích

Ar = π·40²/4 = 1257 mm²
At = π(120² − 70²)/4 = 7461 mm²

Độ cứng dọc trục kết hợp

ΣEA = 200·10³·1257 + 100·10³·7461 = 9,975 × 10⁸ N

Biến dạng quyết định

ε = min(0,00125, 0,0005) = 0,0005 (đồng thau)

Tải lớn nhất

Pmax = 0,0005·9,975 × 10⁸ = 498728 N = 498,7 kN

Đáp số

Pmax = 498,7 kN
9.Mất ổn định cột

Đáp số: Pcr = 28,32 kN

Mất ổn định Euler: một cột mảnh mất ổn định tại Pcr = π²EI/(KL)², trong đó KL là chiều dài tính toán: K = 1 cho khớp–khớp, 2 cho ngàm–tự do, 0,7 cho ngàm–khớp và 0,5 cho ngàm–ngàm. Cột oằn quanh trục có I nhỏ nhất. Công thức đúng với cột mảnh, có ứng suất tới hạn thấp hơn ứng suất chảy.

Mômen quán tính nhỏ nhất của mặt cắt

Hình chữ nhật oằn quanh trục yếu, dùng kích thước nhỏ hơn lập phương.

Imin = h·b³/12 = 50·30³/12 = 112500 mm⁴

Chiều dài tính toán

KL = 0,7·4000 = 2800 mm

Tải trọng tới hạn

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·112500/2800² = 28325 N = 28,32 kN

Đáp số

Pcr = 28,32 kN
10.Mất ổn định cột

Đáp số: σcr = 26,99 MPa

Mất ổn định Euler: một cột mảnh mất ổn định tại Pcr = π²EI/(KL)², trong đó KL là chiều dài tính toán: K = 1 cho khớp–khớp, 2 cho ngàm–tự do, 0,7 cho ngàm–khớp và 0,5 cho ngàm–ngàm. Cột oằn quanh trục có I nhỏ nhất. Công thức đúng với cột mảnh, có ứng suất tới hạn thấp hơn ứng suất chảy.

Mômen quán tính nhỏ nhất của mặt cắt

Mặt cắt tròn có cùng I đối với mọi trục.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

Bán kính quán tính và độ mảnh

A = 1963 mm²
r = √(I/A) = √(306796/1963) = 12,5 mm
KL = 0,5·4000 = 2000 mm
KL/r = 2000/12,5 = 160

Ứng suất tới hạn

σcr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/160² = 26,99 MPa

Đáp số

σcr = 26,99 MPa
11.Dao động cơ học

Đáp số: ζ = 0,3998

Dao động tự do của hệ vật–lò xo: tần số riêng không cản là ωn = √(k/m) theo rad/s, và fn = ωn/(2π) theo Hz. Một bộ cản nhớt c cho hệ số cản ζ = c/cc, với cản tới hạn cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Hệ cản dưới tới hạn (ζ < 1) dao động ở ωd = ωn·√(1 − ζ²). Các lò xo song song cộng lại, k = k₁ + k₂; các lò xo nối tiếp cộng theo nghịch đảo, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Cản tới hạn

cc = 2·√(k·m) = 2·√(150000·50) = 5477 N·s/m

Hệ số cản

ζ = c/cc = 2190/5477 = 0,3998

Đáp số

ζ = 0,3998

ζ < 1, nên hệ cản dưới tới hạn và dao động khi tắt dần.

12.Dao động cơ học

Đáp số: fn = 11,91 Hz

Dao động tự do của hệ vật–lò xo: tần số riêng không cản là ωn = √(k/m) theo rad/s, và fn = ωn/(2π) theo Hz. Một bộ cản nhớt c cho hệ số cản ζ = c/cc, với cản tới hạn cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Hệ cản dưới tới hạn (ζ < 1) dao động ở ωd = ωn·√(1 − ζ²). Các lò xo song song cộng lại, k = k₁ + k₂; các lò xo nối tiếp cộng theo nghịch đảo, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Độ cứng tương đương

Các lò xo đặt cạnh nhau có chung độ võng và cộng các lực, nên độ cứng đơn giản cộng lại: k = k1 + k2.

keq = 100 + 12 = 112 kN/m

Tần số riêng

ωn = √(112000/20) = 74,83 rad/s
fn = 74,83/(2π) = 11,91 Hz

Đáp số

fn = 11,91 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design