Thiết kế máy: gói ôn nước rút

Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 12 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.

Bài mới Quay lại môn học

Trong cửa sổ in, hãy chọn “Lưu dưới dạng PDF” để giữ một bản trên thiết bị của bạn.

1Công thức và phương pháp

Bánh răng và hệ bánh răng

Bánh răng ăn khớp: n₁·N₁ = n₂·N₂
Mômen xoắn: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Công suất: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Hệ bánh răng ghép: tỉ số truyền tổng = tích các tỉ số truyền từng cấp

Xoắn của trục

Ứng suất tiếp: τ = T·r/J
Trục đặc: J = πd⁴/32
Trục rỗng: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Góc xoắn: φ = TL/(GJ)
Công suất: P = T·ω = 2πnT/60

Phương pháp

Tìm mômen quán tính độc cực: J = πd⁴/32 cho trục đặc.
Ứng suất tiếp ở bề mặt: τ = T·r/J, với r là bán kính ngoài.
Góc xoắn: φ = TL/(GJ) theo radian.
Nếu cho công suất, hãy tìm mômen xoắn trước bằng P = T·ω, ω = 2πn/60.

Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất

Tâm: C = (σ_x + σ_y)/2
Bán kính: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Ứng suất chính: σ_1,2 = C ± R
Phương chính: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Mặt phẳng nghiêng: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Phương pháp

Tính tâm của vòng tròn Mohr: C = (σx + σy)/2.
Tính bán kính: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Các ứng suất chính là C ± R và ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng là R.
Các góc trên vòng tròn gấp đôi các góc trên phần tử: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Ứng suất và biến dạng dọc trục

Ứng suất pháp: σ = F/A
Biến dạng: ε = ΔL/L
Định luật Hooke: σ = E·ε
Độ giãn dài: ΔL = FL/(EA)
Biến dạng nhiệt: ε_T = α·ΔT

Mất ổn định cột

Tải Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Hệ số chiều dài tính toán: K = 1 khớp–khớp, 0,5 ngàm–ngàm, 0,7 ngàm–khớp, 2 ngàm–tự do
Ứng suất tới hạn: σ_cr = P_cr/A
Độ mảnh: λ = KL/r, r = √(I/A)

Dao động cơ học

Tần số riêng: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Từ độ võng tĩnh: ω_n = √(g/δ_st)
Cản tới hạn: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Hệ số cản: ζ = c/c_c
Tần số có cản: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Giảm lượng logarit: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Lò xo song song: k = k₁ + k₂
Lò xo nối tiếp: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Bài tập

1.Bánh răng và hệ bánh răngTrung bình

Một trục vít 4 đầu mối quay ở 960 rpm và dẫn động một bánh vít có 50 răng. Tìm tốc độ n_w của bánh vít.

z = 4N_w = 50n = 960 rpm

n_w = rpm

2.Bánh răng và hệ bánh răngKhó

Trong một hệ bánh răng ghép, bánh răng A (25 răng) trên trục vào quay 1450 rpm dẫn động bánh răng B (72 răng). Bánh răng C (15 răng) được cố định trên cùng trục với B và dẫn động bánh răng D (18 răng) trên trục ra. Tìm tốc độ ra n_out.

n_in = 1450 rpmA = 25B = 72C = 15D = 18

n_out = rpm

3.Xoắn của trụcTrung bình

Một trục đặc đồng thau được ngàm vào tường và bị xoắn bởi mômen xoắn T ở đầu tự do. Tìm góc xoắn φ của đầu tự do, theo độ.

T = 500 N·md = 30 mmL = 0,5 mG = 39 GPa

φ = °

4.Xoắn của trụcKhó

Một trục rỗng truyền 30 kW ở 750 rpm. Tìm ứng suất tiếp lớn nhất τ_max trong trục.

P = 30 kWN = 750 rpmd_o = 75 mmd_i = 60 mm

τ_max = MPa

5.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suấtTrung bình

Một điểm trong một tấm mỏng ở trạng thái ứng suất phẳng: σₓ = 110 MPa, σᵧ = 20 MPa và τₓᵧ = −20 MPa, với σ_z = 0. Tìm ứng suất cắt lớn nhất tuyệt đối τ_abs tại điểm đó (xét mọi mặt trong không gian ba chiều).

σ_x = 110 MPaσ_y = 20 MPaτ_xy = −20 MPaσ_z = 0

τ_abs = MPa

6.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suấtKhó

Một trục đặc đường kính 50 mm chịu một mô-men uốn 1000 N·m cùng với mô-men xoắn 1000 N·m. Tại bề mặt trên, nơi ứng suất uốn là kéo và lớn nhất, hãy tìm ứng suất cắt lớn nhất trong mặt phẳng τ_max.

d = 50 mmM = 1000 N·mT = 1000 N·m

τ_max = MPa

7.Ứng suất và biến dạng dọc trụcTrung bình

Tìm biến dạng dọc trục ε trong thanh đồng thau, tính bằng microstrain (µε = 10⁻⁶).

P = 70 kNd = 25 mmL = 1 mE = 100 GPa

ε = µε

8.Ứng suất và biến dạng dọc trụcKhó

Một đoạn thép (đường kính 30 mm, chiều dài 300 mm, E = 200 GPa) và một đoạn làm bằng đồng thanh (đường kính 60 mm, chiều dài 200 mm, E = 110 GPa) được nối đầu với đầu và ngàm giữa hai vách cứng. Một tải dọc trục 40 kN tác dụng tại chỗ nối, hướng về phía đoạn 2. Tìm độ lớn ứng suất σ₂ trong đoạn 2.

đoạn 1: thép, Ø30 mm, 300 mm, E = 200 GPađoạn 2: đồng thanh, Ø60 mm, 200 mm, E = 110 GPaP = 40 kN

σ₂ = MPa

9.Mất ổn định cộtTrung bình

Một cột dài L làm bằng thép được ngàm ở chân và khớp ở đỉnh. Dùng công thức Euler, tìm tải trọng oằn tới hạn P_cr của nó.

L = 2 mE = 200 GPa (thép)d = 50 mm

P_cr = kN

10.Mất ổn định cộtKhó

Một cột dài L làm bằng nhôm được ngàm ở chân và khớp ở đỉnh. Tìm độ mảnh của nó và ứng suất oằn tới hạn σ_cr theo công thức Euler.

L = 4 mE = 70 GPa (nhôm)d = 50 mm

σ_cr = MPa

11.Dao động cơ họcTrung bình

Một vật 40 kg được đỡ bởi một lò xo có độ cứng 100 kN/m và một bộ cản nhớt có hệ số cản 320 N·s/m. Tìm hệ số cản ζ.

m = 40 kgk = 100 kN/mc = 320 N·s/m

ζ =

12.Dao động cơ họcKhó

Một vật 5 kg treo vào lò xo k₃ = 100 kN/m. Đầu trên của k₃ được gắn vào một thanh cứng treo bằng hai lò xo đặt cạnh nhau, k₁ = 10 kN/m và k₂ = 60 kN/m; thanh giữ nằm ngang. Bỏ qua lực cản và khối lượng của các lò xo và thanh. Tìm tần số riêng f_n của dao động thẳng đứng theo Hz.

m = 5 kgk₁ = 10 kN/mk₂ = 60 kN/mk₃ = 100 kN/m

f_n = Hz

3Dung dịch

1.Bánh răng và hệ bánh răng

Đáp số: n_w = 76,8 rpm

Gear trains: meshing gears have the same speed at the teeth, so n₁·N₁ = n₂·N₂: the gear with fewer teeth turns faster. Gears on one shaft turn at the same speed. Power is passed on (minus losses), so torque goes up when speed goes down: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, and P = T·ω with ω = 2π·n/60.

Tốc độ bánh vít

n_w = n·z/N_w = 960·4/50 = 76,8 rpm

Đáp số

n_w = 76,8 rpm

2.Bánh răng và hệ bánh răng

Đáp số: n_out = 419,6 rpm

Hệ bánh răng: các bánh răng ăn khớp có cùng tốc độ tại răng, nên n₁·N₁ = n₂·N₂: bánh răng có ít răng hơn quay nhanh hơn. Các bánh răng trên cùng một trục quay cùng tốc độ. Công suất được truyền đi (trừ tổn thất), nên mômen xoắn tăng khi tốc độ giảm: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, và P = T·ω với ω = 2π·n/60.

Cấp thứ nhất

n_B = 1450·25/72 = 503,5 rpm = n_C

Cấp thứ hai

n_out = 503,5·15/18 = 419,6 rpm

Đáp số

n_out = 419,6 rpm

tỉ số truyền tổng = 3,456 : 1

3.Xoắn của trục

Đáp số: φ = 4,619 °

Xoắn thanh tròn: ứng suất tiếp tăng tuyến tính từ không ở tâm đến τ_max = T·r/J ở bề mặt, với J = πd⁴/32 cho trục đặc và J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 cho trục rỗng. Góc xoắn là φ = TL/(GJ) tính bằng radian. Công suất và mômen xoắn liên hệ với nhau qua P = T·ω.

Mômen quán tính độc cực của mặt cắt

J = π·30⁴/32 = 79522 mm⁴

Góc xoắn

φ = TL/(GJ) = 500·1000·500/(39000·79522) = 0,08061 rad

φ = 0,08061·180/π = 4,619°

Đáp số

φ = 4,619°

4.Xoắn của trục

Đáp số: τ_max = 7,81 MPa

Mômen xoắn

ω = 2πN/60 = 2π·750/60 = 78,54 rad/s

T = P/ω = 30000/78,54 = 382 N·m

Mômen quán tính độc cực của mặt cắt

J = π(75⁴ − 60⁴)/32 = 1,834 × 10⁶ mm⁴

Ứng suất tiếp lớn nhất

τ_max = T·(d_o/2)/J = 381972·37,5/1,834 × 10⁶ = 7,81 MPa

Đáp số

τ_max = 7,81 MPa

5.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất

Đáp số: τ_abs = 57,12 MPa

Biến đổi ứng suất phẳng: trên một mặt xoay góc θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Vòng tròn Mohr cho thấy tất cả các mặt cùng lúc: tâm của nó ở C = (σₓ + σᵧ)/2 và bán kính là R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Các ứng suất chính là C ± R, và ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng là R. Trong không gian ba chiều, ứng suất cắt lớn nhất tuyệt đối là (σ_max − σ_min)/2 trên cả ba ứng suất chính; trong ứng suất phẳng, ứng suất thứ ba bằng không.

Các ứng suất chính trong mặt phẳng

C = 65 MPa, R = √(45² + (−20)²) = 49,24 MPa

σ₁ = 114,2 MPa, σ₂ = 15,76 MPa, σ_z = 0

Vòng tròn lớn nhất trong ba vòng tròn

τ = max(|σ₁ − σ₂|, |σ₁|, |σ₂|)/2 = max(98,49, 114,2, 15,76)/2 = 57,12 MPa

Đáp số

τ_abs = 57,12 MPa

Ở đây vòng tròn ngoài mặt phẳng quyết định: giá trị lớn nhất tuyệt đối lớn hơn giá trị lớn nhất trong mặt phẳng R.

6.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất

Đáp số: τ_max = 57,62 MPa

Các ứng suất tại bề mặt

σ = 32M/(πd³) = 32·1000000/(π·50³) = 81,49 MPa

τ = 16T/(πd³) = 16·1000000/(π·50³) = 40,74 MPa

Vòng tròn Mohr

C = σ/2 = 40,74 MPa

R = √(40,74² + 40,74²) = 57,62 MPa

Đáp số

τ_max = 57,62 MPa

7.Ứng suất và biến dạng dọc trục

Đáp số: ε = 1426 µε

Định luật Hooke: trong giới hạn đàn hồi σ = E·ε. Kết hợp với σ = P/A và ε = δ/L ta được δ = PL/(AE).

Ứng suất

A = π·25²/4 = 490,9 mm²

σ = P/A = 70·1000/490,9 = 142,6 MPa

Biến dạng (định luật Hooke)

E for đồng thau = 100 GPa = 100000 MPa.

ε = σ/E = 142,6/100000 = 0,001426 = 1426 µε

Đáp số

ε = 1426 µε

8.Ứng suất và biến dạng dọc trục

Đáp số: σ₂ = 10,86 MPa

Hai vật liệu: khi nối tiếp (cái này sau cái kia) mỗi đoạn chịu cùng một lực và các độ giãn dài cộng lại: δ = P·Σ L/(E·A). Khi song song (cạnh nhau giữa các tấm cứng) cả hai phần co lại cùng một lượng, nên biến dạng của chúng bằng nhau: phần cứng hơn nhận phần tải lớn hơn, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, và σ_i = E_i·ε. Một thanh bị giữ giữa hai vách cứng với tải đặt tại chỗ nối là siêu tĩnh: hai đoạn chia tải theo tỉ lệ độ cứng k = EA/L của chúng.

Các độ cứng

k₁ = 200000·706,9/300 = 471239 N/mm

k₂ = 110000·2827/200 = 1,555 × 10⁶ N/mm

Phần của đoạn 2

F₂ = 40000·1,555 × 10⁶/2,026 × 10⁶ = 30698 N

Ứng suất

σ₂ = 30698/2827 = 10,86 MPa (nén)

Đáp số

σ₂ = 10,86 MPa

9.Mất ổn định cột

Đáp số: P_cr = 309 kN

Mất ổn định Euler: một cột mảnh mất ổn định tại P_cr = π²EI/(KL)², trong đó KL là chiều dài tính toán: K = 1 cho khớp–khớp, 2 cho ngàm–tự do, 0,7 cho ngàm–khớp và 0,5 cho ngàm–ngàm. Cột oằn quanh trục có I nhỏ nhất. Công thức đúng với cột mảnh, có ứng suất tới hạn thấp hơn ứng suất chảy.

Mômen quán tính nhỏ nhất của mặt cắt

Mặt cắt tròn có cùng I đối với mọi trục.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

Chiều dài tính toán

KL = 0,7·2000 = 1400 mm

Tải trọng tới hạn

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·306796/1400² = 308975 N = 309 kN

Đáp số

P_cr = 309 kN

10.Mất ổn định cột

Đáp số: σ_cr = 13,77 MPa

Mômen quán tính nhỏ nhất của mặt cắt

Mặt cắt tròn có cùng I đối với mọi trục.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

Bán kính quán tính và độ mảnh

A = 1963 mm²

r = √(I/A) = √(306796/1963) = 12,5 mm

KL = 0,7·4000 = 2800 mm

KL/r = 2800/12,5 = 224

Ứng suất tới hạn

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/224² = 13,77 MPa

Đáp số

σ_cr = 13,77 MPa

11.Dao động cơ học

Đáp số: ζ = 0,08

Dao động tự do của hệ vật–lò xo: tần số riêng không cản là ω_n = √(k/m) theo rad/s, và f_n = ω_n/(2π) theo Hz. Một bộ cản nhớt c cho hệ số cản ζ = c/c_c, với cản tới hạn c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Hệ cản dưới tới hạn (ζ < 1) dao động ở ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Các lò xo song song cộng lại, k = k₁ + k₂; các lò xo nối tiếp cộng theo nghịch đảo, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Cản tới hạn

c_c = 2·√(k·m) = 2·√(100000·40) = 4000 N·s/m

Hệ số cản

ζ = c/c_c = 320/4000 = 0,08

Đáp số

ζ = 0,08

ζ < 1, nên hệ cản dưới tới hạn và dao động khi tắt dần.

12.Dao động cơ học

Đáp số: f_n = 14,44 Hz

Độ cứng tương đương

Chỉ k₁ và k₂ song song. Cặp đó nối tiếp với k₃, nên gộp chúng theo nghịch đảo.

k₁₂ = 10 + 60 = 70 kN/m

k_eq = 70·100/(70 + 100) = 41,18 kN/m

Tần số riêng

ω_n = √(41176/5) = 90,75 rad/s

f_n = 90,75/(2π) = 14,44 Hz

Đáp số

f_n = 14,44 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design