Thiết kế máy: gói ôn nước rút

Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 12 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.

Bài mớiQuay lại môn học

Trong cửa sổ in, hãy chọn “Lưu dưới dạng PDF” để giữ một bản trên thiết bị của bạn.

1Công thức và phương pháp

Bánh răng và hệ bánh răng

Bánh răng ăn khớp
n1·N1 = n2·N2
Mômen xoắn
T2 = T1·(N2/N1)·η
Công suất
P = T·ω, ω = 2π·n/60
Hệ bánh răng ghép
tỉ số truyền tổng = tích các tỉ số truyền từng cấp

Xoắn của trục

Ứng suất tiếp
τ = T·r/J
Trục đặc
J = πd⁴/32
Trục rỗng
J = π(D⁴ − d⁴)/32
Góc xoắn
φ = TL/(GJ)
Công suất
P = T·ω = 2πnT/60

Phương pháp

  1. Tìm mômen quán tính độc cực: J = πd⁴/32 cho trục đặc.
  2. Ứng suất tiếp ở bề mặt: τ = T·r/J, với r là bán kính ngoài.
  3. Góc xoắn: φ = TL/(GJ) theo radian.
  4. Nếu cho công suất, hãy tìm mômen xoắn trước bằng P = T·ω, ω = 2πn/60.

Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất

Tâm
C = (σx + σy)/2
Bán kính
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
Ứng suất chính
σ1,2 = C ± R
Phương chính
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
Mặt phẳng nghiêng
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

Phương pháp

  1. Tính tâm của vòng tròn Mohr: C = (σx + σy)/2.
  2. Tính bán kính: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
  3. Các ứng suất chính là C ± R và ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng là R.
  4. Các góc trên vòng tròn gấp đôi các góc trên phần tử: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Ứng suất và biến dạng dọc trục

Ứng suất pháp
σ = F/A
Biến dạng
ε = ΔL/L
Định luật Hooke
σ = E·ε
Độ giãn dài
ΔL = FL/(EA)
Biến dạng nhiệt
εT = α·ΔT

Mất ổn định cột

Tải Euler
Pcr = π²EI/(KL)²
Hệ số chiều dài tính toán
K = 1 khớp–khớp, 0,5 ngàm–ngàm, 0,7 ngàm–khớp, 2 ngàm–tự do
Ứng suất tới hạn
σcr = Pcr/A
Độ mảnh
λ = KL/r, r = √(I/A)

Dao động cơ học

Tần số riêng
ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
Từ độ võng tĩnh
ωn = √(g/δst)
Cản tới hạn
cc = 2√(km) = 2mωn
Hệ số cản
ζ = c/cc
Tần số có cản
ωd = ωn√(1 − ζ²)
Giảm lượng logarit
δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Lò xo song song
k = k1 + k2
Lò xo nối tiếp
1/k = 1/k1 + 1/k2

2Bài tập

1.Bánh răng và hệ bánh răngTrung bình
N1​ = 15N2​ = 25

Một động cơ 4 kW chạy ở 960 rpm dẫn động một bánh răng nhỏ có 15 răng, ăn khớp với một bánh răng có 25 răng. Cặp bánh răng có hiệu suất 96%. Tìm mômen xoắn ra T2 trên trục bánh răng.

P = 4 kWn1 = 960 rpmN1 = 15N2 = 25η = 96%
T2 = N·m
2.Bánh răng và hệ bánh răngKhó
A = 15B = 18C = 48D = 72

Trong một hệ bánh răng ghép, bánh răng A (15 răng) trên trục vào quay 960 rpm dẫn động bánh răng B (18 răng). Bánh răng C (48 răng) được cố định trên cùng trục với B và dẫn động bánh răng D (72 răng) trên trục ra. Tìm tốc độ ra nout.

nin = 960 rpmA = 15B = 18C = 48D = 72
nout = rpm
3.Xoắn của trụcTrung bình
T = 750 N·md = 40 mmL = 2 mφ = ?

Một trục đặc nhôm được ngàm vào tường và bị xoắn bởi mômen xoắn T ở đầu tự do. Tìm góc xoắn φ của đầu tự do, theo độ.

T = 750 N·md = 40 mmL = 2 mG = 26 GPa
φ = °
4.Xoắn của trụcKhó
Tdo​ = 40 mm, di​ = 30 mm

Một trục rỗng truyền 20 kW ở 750 rpm. Tìm ứng suất tiếp lớn nhất τmax trong trục.

P = 20 kWN = 750 rpmdo = 40 mmdi = 30 mm
τmax = MPa
5.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suấtTrung bình
σx​ = −60σy​ = −80τxy​ = −30MPa

Một điểm có σₓ = −60 MPa, σᵧ = −80 MPa và τₓᵧ = −30 MPa (kéo là dương). Phân tố được xoay 20° cùng chiều kim đồng hồ. Tìm ứng suất pháp σy′ trên các mặt của phân tố đã xoay vuông góc với trục y′ sau khi xoay.

σx = −60 MPaσy = −80 MPaτxy = −30 MPaθ = -20°
σy′ = MPa
6.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suấtKhó
σx​ = 90τxy​ = 50MPa

Một điểm trong một tấm mỏng ở trạng thái ứng suất phẳng: σₓ = 90 MPa, σᵧ = 0 MPa và τₓᵧ = 50 MPa (σz = 0). Vật liệu có giới hạn chảy 250 MPa. Tìm hệ số an toàn n chống chảy theo tiêu chuẩn Tresca (ứng suất cắt lớn nhất).

σx = 90 MPaσy = 0 MPaτxy = 50 MPaσY = 250 MPa
n =
7.Ứng suất và biến dạng dọc trụcTrung bình
Ø 10 mmThép2 mP = 35 kN

Tìm biến dạng dọc trục ε trong thanh thép, tính bằng microstrain (µε = 10⁻⁶).

P = 35 kNd = 10 mmL = 2 mE = 200 GPa
ε = µε
8.Ứng suất và biến dạng dọc trụcKhó
P = ?Ø3070 GPaØ120/70600 mm

Một thanh thép (đường kính 30 mm, E = 200 GPa, ứng suất cho phép 250 MPa) nằm trong một ống làm bằng nhôm (đường kính ngoài 120 mm, đường kính trong 70 mm, E = 70 GPa, ứng suất cho phép 50 MPa). Chúng bị nén cùng nhau giữa các tấm cứng. Tìm tải lớn nhất Pmax.

thanh: Ø30 mm, E = 200 GPa, σallow = 250 MPaống: Ø120/Ø70 mm, E = 70 GPa, σallow = 50 MPa
Pmax = kN
9.Mất ổn định cộtTrung bình
PL = 4 m25 × 100 mmmặt cắt ngang

Một cột dài L làm bằng nhôm được hai đầu khớp. Dùng công thức Euler, tìm tải trọng oằn tới hạn Pcr của nó.

L = 4 mE = 70 GPa (nhôm)b × h = 25 × 100 mm
Pcr = kN
10.Mất ổn định cộtKhó
PL = 5 md = 60 mmmặt cắt ngang

Một cột dài L làm bằng nhôm được hai đầu khớp. Tìm độ mảnh của nó và ứng suất oằn tới hạn σcr theo công thức Euler.

L = 5 mE = 70 GPa (nhôm)d = 60 mm
σcr = MPa
11.Dao động cơ họcTrung bình
k = 4 kN/mζ = 0,4m = 2 kg

Một vật 2 kg trên lò xo có độ cứng 4 kN/m có bộ cản nhớt cho hệ số cản 0,4. Tìm tần số riêng có cản fd của dao động tự do theo Hz.

m = 2 kgk = 4 kN/mζ = 0,4
fd = Hz
12.Dao động cơ họcKhó
k1​ = 100k2​ = 100m = 20 kg

Một vật 20 kg treo vào hai lò xo nối đầu với đầu (nối tiếp): lò xo trên có k₁ = 100 kN/m và lò xo dưới có k₂ = 100 kN/m. Bỏ qua cản và khối lượng của các lò xo. Tìm tần số riêng fn của dao động thẳng đứng theo Hz.

m = 20 kgk1 = 100 kN/mk2 = 100 kN/m
fn = Hz

3Dung dịch

1.Bánh răng và hệ bánh răng

Đáp số: T2 = 63,66 N·m

Hệ bánh răng: các bánh răng ăn khớp có cùng tốc độ tại răng, nên n₁·N₁ = n₂·N₂: bánh răng có ít răng hơn quay nhanh hơn. Các bánh răng trên cùng một trục quay cùng tốc độ. Công suất được truyền đi (trừ tổn thất), nên mômen xoắn tăng khi tốc độ giảm: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, và P = T·ω với ω = 2π·n/60.

Mômen xoắn động cơ

ω₁ = 2π·960/60 = 100,5 rad/s
T1 = P/ω₁ = 4000/100,5 = 39,79 N·m

Mômen xoắn ra

T2 = 39,79·25/15·0,96 = 63,66 N·m

Đáp số

T2 = 63,66 N·m
2.Bánh răng và hệ bánh răng

Đáp số: nout = 533,3 rpm

Hệ bánh răng: các bánh răng ăn khớp có cùng tốc độ tại răng, nên n₁·N₁ = n₂·N₂: bánh răng có ít răng hơn quay nhanh hơn. Các bánh răng trên cùng một trục quay cùng tốc độ. Công suất được truyền đi (trừ tổn thất), nên mômen xoắn tăng khi tốc độ giảm: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, và P = T·ω với ω = 2π·n/60.

Cấp thứ nhất

nB = 960·15/18 = 800 rpm = nC

Cấp thứ hai

nout = 800·48/72 = 533,3 rpm

Đáp số

nout = 533,3 rpm

tỉ số truyền tổng = 1,8 : 1

3.Xoắn của trục

Đáp số: φ = 13,15 °

Xoắn thanh tròn: ứng suất tiếp tăng tuyến tính từ không ở tâm đến τmax = T·r/J ở bề mặt, với J = πd⁴/32 cho trục đặc và J = π(do⁴ − di⁴)/32 cho trục rỗng. Góc xoắn là φ = TL/(GJ) tính bằng radian. Công suất và mômen xoắn liên hệ với nhau qua P = T·ω.

Mômen quán tính độc cực của mặt cắt

J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴

Góc xoắn

φ = TL/(GJ) = 750·1000·2000/(26000·251327) = 0,2296 rad
φ = 0,2296·180/π = 13,15°

Đáp số

φ = 13,15°
4.Xoắn của trục

Đáp số: τmax = 29,64 MPa

Xoắn thanh tròn: ứng suất tiếp tăng tuyến tính từ không ở tâm đến τmax = T·r/J ở bề mặt, với J = πd⁴/32 cho trục đặc và J = π(do⁴ − di⁴)/32 cho trục rỗng. Góc xoắn là φ = TL/(GJ) tính bằng radian. Công suất và mômen xoắn liên hệ với nhau qua P = T·ω.

Mômen xoắn

ω = 2πN/60 = 2π·750/60 = 78,54 rad/s
T = P/ω = 20000/78,54 = 254,6 N·m

Mômen quán tính độc cực của mặt cắt

J = π(40⁴ − 30⁴)/32 = 171806 mm⁴

Ứng suất tiếp lớn nhất

τmax = T·(do/2)/J = 254648·20/171806 = 29,64 MPa

Đáp số

τmax = 29,64 MPa
5.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất

Đáp số: σy′ = −96,94 MPa

Biến đổi ứng suất phẳng: trên một mặt xoay góc θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Vòng tròn Mohr cho thấy tất cả các mặt cùng lúc: tâm của nó ở C = (σₓ + σᵧ)/2 và bán kính là R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Các ứng suất chính là C ± R, và ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng là R.

Phương trình biến đổi cho mặt y′

σy′ = −70 − 10·0,766 − (−30)·(−0,6428) = −96,94 MPa

Kiểm tra

Tổng các ứng suất pháp không thay đổi khi xoay.

σx′ = −43,06 MPa, σx′ + σy′ = −140 = σx + σy

Đáp số

σy′ = −96,94 MPa
6.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất

Đáp số: n = 1,858

Biến đổi ứng suất phẳng: trên một mặt xoay góc θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Vòng tròn Mohr cho thấy tất cả các mặt cùng lúc: tâm của nó ở C = (σₓ + σᵧ)/2 và bán kính là R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Các ứng suất chính là C ± R, và ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng là R. Tiêu chuẩn chảy: von Mises dự đoán vật liệu chảy khi σvM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) đạt σY; Tresca khi ứng suất cắt lớn nhất tuyệt đối đạt σY/2.

στxyCσ1​σ2​

Ứng suất chính

C = 45 MPa, R = 67,27 MPa
σ1 = 112,3 MPa, σ2 = −22,27 MPa, σ3 = 0

Tresca

σmax − σmin = 134,5 MPa
n = 250/134,5 = 1,858

Đáp số

n = 1,858

n > 1 nghĩa là điểm không bị chảy; Tresca thận trọng hơn von Mises một chút.

7.Ứng suất và biến dạng dọc trục

Đáp số: ε = 2228 µε

Định luật Hooke: trong giới hạn đàn hồi σ = E·ε. Kết hợp với σ = P/A và ε = δ/L ta được δ = PL/(AE).

Ứng suất

A = π·10²/4 = 78,54 mm²
σ = P/A = 35·1000/78,54 = 445,6 MPa

Biến dạng (định luật Hooke)

E for thép = 200 GPa = 200000 MPa.

ε = σ/E = 445,6/200000 = 0,002228 = 2228 µε

Đáp số

ε = 2228 µε
8.Ứng suất và biến dạng dọc trục

Đáp số: Pmax = 474 kN

Hai vật liệu: khi nối tiếp (cái này sau cái kia) mỗi đoạn chịu cùng một lực và các độ giãn dài cộng lại: δ = P·Σ L/(E·A). Khi song song (cạnh nhau giữa các tấm cứng) cả hai phần co lại cùng một lượng, nên biến dạng của chúng bằng nhau: phần cứng hơn nhận phần tải lớn hơn, Pi = P·EiAi/ΣEA, và σi = Ei·ε. Một thanh bị giữ giữa hai vách cứng với tải đặt tại chỗ nối là siêu tĩnh: hai đoạn chia tải theo tỉ lệ độ cứng k = EA/L của chúng.

Diện tích

Ar = π·30²/4 = 706,9 mm²
At = π(120² − 70²)/4 = 7461 mm²

Độ cứng dọc trục kết hợp

ΣEA = 200·10³·706,9 + 70·10³·7461 = 6,637 × 10⁸ N

Biến dạng quyết định

ε = min(0,00125, 0,0007143) = 0,0007143 (nhôm)

Tải lớn nhất

Pmax = 0,0007143·6,637 × 10⁸ = 474044 N = 474 kN

Đáp số

Pmax = 474 kN
9.Mất ổn định cột

Đáp số: Pcr = 5,622 kN

Mất ổn định Euler: một cột mảnh mất ổn định tại Pcr = π²EI/(KL)², trong đó KL là chiều dài tính toán: K = 1 cho khớp–khớp, 2 cho ngàm–tự do, 0,7 cho ngàm–khớp và 0,5 cho ngàm–ngàm. Cột oằn quanh trục có I nhỏ nhất. Công thức đúng với cột mảnh, có ứng suất tới hạn thấp hơn ứng suất chảy.

Mômen quán tính nhỏ nhất của mặt cắt

Hình chữ nhật oằn quanh trục yếu, dùng kích thước nhỏ hơn lập phương.

Imin = h·b³/12 = 100·25³/12 = 130208 mm⁴

Chiều dài tính toán

KL = 1·4000 = 4000 mm

Tải trọng tới hạn

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·130208/4000² = 5622 N = 5,622 kN

Đáp số

Pcr = 5,622 kN
10.Mất ổn định cột

Đáp số: σcr = 6,218 MPa

Mất ổn định Euler: một cột mảnh mất ổn định tại Pcr = π²EI/(KL)², trong đó KL là chiều dài tính toán: K = 1 cho khớp–khớp, 2 cho ngàm–tự do, 0,7 cho ngàm–khớp và 0,5 cho ngàm–ngàm. Cột oằn quanh trục có I nhỏ nhất. Công thức đúng với cột mảnh, có ứng suất tới hạn thấp hơn ứng suất chảy.

Mômen quán tính nhỏ nhất của mặt cắt

Mặt cắt tròn có cùng I đối với mọi trục.

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

Bán kính quán tính và độ mảnh

A = 2827 mm²
r = √(I/A) = √(636173/2827) = 15 mm
KL = 1·5000 = 5000 mm
KL/r = 5000/15 = 333,3

Ứng suất tới hạn

σcr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/333,3² = 6,218 MPa

Đáp số

σcr = 6,218 MPa
11.Dao động cơ học

Đáp số: fd = 6,523 Hz

Dao động tự do của hệ vật–lò xo: tần số riêng không cản là ωn = √(k/m) theo rad/s, và fn = ωn/(2π) theo Hz. Một bộ cản nhớt c cho hệ số cản ζ = c/cc, với cản tới hạn cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Hệ cản dưới tới hạn (ζ < 1) dao động ở ωd = ωn·√(1 − ζ²). Các lò xo song song cộng lại, k = k₁ + k₂; các lò xo nối tiếp cộng theo nghịch đảo, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Tần số riêng không cản

ωn = √(4000/2) = 44,72 rad/s
fn = 44,72/(2π) = 7,118 Hz

Tần số riêng có cản

fd = fn·√(1 − ζ²) = 7,118·√(1 − 0,4²) = 6,523 Hz

Đáp số

fd = 6,523 Hz
12.Dao động cơ học

Đáp số: fn = 7,958 Hz

Dao động tự do của hệ vật–lò xo: tần số riêng không cản là ωn = √(k/m) theo rad/s, và fn = ωn/(2π) theo Hz. Một bộ cản nhớt c cho hệ số cản ζ = c/cc, với cản tới hạn cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Hệ cản dưới tới hạn (ζ < 1) dao động ở ωd = ωn·√(1 − ζ²). Các lò xo song song cộng lại, k = k₁ + k₂; các lò xo nối tiếp cộng theo nghịch đảo, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Độ cứng tương đương

Các lò xo nối tiếp chịu cùng một lực và cộng độ võng, nên chúng gộp theo nghịch đảo: 1/k = 1/k1 + 1/k2.

1/keq = 1/100 + 1/100 → keq = 100·100/(100 + 100) = 50 kN/m

Tần số riêng

ωn = √(50000/20) = 50 rad/s
fn = 50/(2π) = 7,958 Hz

Đáp số

fn = 7,958 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design