Bánh răng và hệ bánh răng
- Bánh răng ăn khớp
- n1·N1 = n2·N2
- Mômen xoắn
- T2 = T1·(N2/N1)·η
- Công suất
- P = T·ω, ω = 2π·n/60
- Hệ bánh răng ghép
- tỉ số truyền tổng = tích các tỉ số truyền từng cấp
Thiết kế máy: gói ôn nước rút
Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 12 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.
1Công thức và phương pháp
Xoắn của trục
- Ứng suất tiếp
- τ = T·r/J
- Trục đặc
- J = πd⁴/32
- Trục rỗng
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- Góc xoắn
- φ = TL/(GJ)
- Công suất
- P = T·ω = 2πnT/60
Phương pháp
- Tìm mômen quán tính độc cực: J = πd⁴/32 cho trục đặc.
- Ứng suất tiếp ở bề mặt: τ = T·r/J, với r là bán kính ngoài.
- Góc xoắn: φ = TL/(GJ) theo radian.
- Nếu cho công suất, hãy tìm mômen xoắn trước bằng P = T·ω, ω = 2πn/60.
Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất
- Tâm
- C = (σx + σy)/2
- Bán kính
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- Ứng suất chính
- σ1,2 = C ± R
- Phương chính
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- Mặt phẳng nghiêng
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
Phương pháp
- Tính tâm của vòng tròn Mohr: C = (σx + σy)/2.
- Tính bán kính: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
- Các ứng suất chính là C ± R và ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng là R.
- Các góc trên vòng tròn gấp đôi các góc trên phần tử: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).
Ứng suất và biến dạng dọc trục
- Ứng suất pháp
- σ = F/A
- Biến dạng
- ε = ΔL/L
- Định luật Hooke
- σ = E·ε
- Độ giãn dài
- ΔL = FL/(EA)
- Biến dạng nhiệt
- εT = α·ΔT
Mất ổn định cột
- Tải Euler
- Pcr = π²EI/(KL)²
- Hệ số chiều dài tính toán
- K = 1 khớp–khớp, 0,5 ngàm–ngàm, 0,7 ngàm–khớp, 2 ngàm–tự do
- Ứng suất tới hạn
- σcr = Pcr/A
- Độ mảnh
- λ = KL/r, r = √(I/A)
Dao động cơ học
- Tần số riêng
- ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
- Từ độ võng tĩnh
- ωn = √(g/δst)
- Cản tới hạn
- cc = 2√(km) = 2mωn
- Hệ số cản
- ζ = c/cc
- Tần số có cản
- ωd = ωn√(1 − ζ²)
- Giảm lượng logarit
- δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
- Lò xo song song
- k = k1 + k2
- Lò xo nối tiếp
- 1/k = 1/k1 + 1/k2
2Bài tập
1.Bánh răng và hệ bánh răngTrung bình
Một động cơ 1,5 kW chạy ở 960 rpm dẫn động một bánh răng nhỏ có 32 răng, ăn khớp với một bánh răng có 40 răng. Cặp bánh răng có hiệu suất 96%. Tìm mômen xoắn T1 trên trục động cơ.
P = 1,5 kWn1 = 960 rpmN1 = 32N2 = 40η = 96%
T1 = N·m
2.Bánh răng và hệ bánh răngKhó
Trong một bộ bánh răng hành tinh, bánh răng mặt trời có 12 răng và mỗi bánh răng hành tinh có 18 răng. Vành răng ngoài được giữ cố định và bánh mặt trời được dẫn động ở 3000 rpm. Tìm tốc độ nc của cần dẫn hành tinh.
Ns = 12Np = 18ns = 3000 rpm
nc = rpm
3.Xoắn của trụcTrung bình
Một trục đặc thép được ngàm vào tường và bị xoắn bởi mômen xoắn T ở đầu tự do. Tìm góc xoắn φ của đầu tự do, theo độ.
T = 1000 N·md = 50 mmL = 2 mG = 80 GPa
φ = °
4.Xoắn của trụcKhó
Một trục đặc phải truyền 50 kW ở 1800 rpm mà ứng suất tiếp không vượt quá 50 MPa. Tìm đường kính nhỏ nhất d thỏa mãn.
P = 50 kWN = 1800 rpmτallow = 50 MPa
d = mm
5.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suấtTrung bình
Một điểm có σₓ = −80 MPa, σᵧ = 40 MPa và τₓᵧ = −60 MPa (kéo là dương). Tìm góc θs, trong khoảng từ −90° đến 90°, từ trục x đến pháp tuyến của mặt có ứng suất cắt đạt giá trị dương lớn nhất +R (ứng suất cắt dương cùng chiều với τₓᵧ).
σx = −80 MPaσy = 40 MPaτxy = −60 MPa
θs = °
6.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suấtKhó
Một điểm trong chi tiết chịu tải có σₓ = −70 MPa, σᵧ = −30 MPa và τₓᵧ = −20 MPa (kéo là dương). Tìm ứng suất pháp σθ trên một mặt có pháp tuyến xoay 30° ngược chiều kim đồng hồ so với trục x.
σx = −70 MPaσy = −30 MPaτxy = −20 MPaθ = 30°
σθ = MPa
7.Ứng suất và biến dạng dọc trụcTrung bình
Một thanh gồm một đoạn thép (đường kính 20 mm, chiều dài 400 mm, E = 200 GPa) nối đầu với đầu với một đoạn làm bằng đồng (đường kính 30 mm, chiều dài 300 mm, E = 120 GPa). Nó được ngàm một đầu và bị kéo ở đầu kia. Tìm tải dọc trục P làm nó giãn tổng cộng 0,4 mm.
đoạn 1: thép, Ø20 mm, 400 mm, E = 200 GPađoạn 2: đồng, Ø30 mm, 300 mm, E = 120 GPaδ = 0,4 mm
P = kN
8.Ứng suất và biến dạng dọc trụcKhó
Thanh bậc được ngàm vào tường và chịu tải ở đầu tự do. Tìm ứng suất pháp lớn nhất σmax trong thanh.
P = 80 kNđoạn 1: Ø35 mm, 1,5 m, nhôm (E = 70 GPa)đoạn 2: Ø20 mm, 1 m, đồng thau (E = 100 GPa)
σmax = MPa
9.Mất ổn định cộtTrung bình
Một cột dài L làm bằng thép được hai đầu khớp. Dùng công thức Euler, tìm tải trọng oằn tới hạn Pcr của nó.
L = 2,5 mE = 200 GPa (thép)d = 30 mm
Pcr = kN
10.Mất ổn định cộtKhó
Một cột dài L làm bằng nhôm được ngàm ở chân và khớp ở đỉnh. Tìm độ mảnh của nó và ứng suất oằn tới hạn σcr theo công thức Euler.
L = 2,5 mE = 70 GPa (nhôm)d = 50 mm
σcr = MPa
11.Dao động cơ họcTrung bình
Một vật 8 kg trên lò xo có độ cứng 8 kN/m có bộ cản nhớt cho hệ số cản 0,35. Tìm tần số riêng có cản fd của dao động tự do theo Hz.
m = 8 kgk = 8 kN/mζ = 0,35
fd = Hz
12.Dao động cơ họcKhó
Một vật 100 kg treo vào hai lò xo đặt cạnh nhau (song song), có độ cứng k₁ = 10 kN/m và k₂ = 80 kN/m. Vật giữ nằm ngang. Bỏ qua cản và khối lượng của các lò xo. Tìm tần số riêng fn của dao động thẳng đứng theo Hz.
m = 100 kgk1 = 10 kN/mk2 = 80 kN/m
fn = Hz
3Dung dịch
1.Bánh răng và hệ bánh răng
Đáp số: T1 = 14,92 N·m
Hệ bánh răng: các bánh răng ăn khớp có cùng tốc độ tại răng, nên n₁·N₁ = n₂·N₂: bánh răng có ít răng hơn quay nhanh hơn. Các bánh răng trên cùng một trục quay cùng tốc độ. Công suất được truyền đi (trừ tổn thất), nên mômen xoắn tăng khi tốc độ giảm: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, và P = T·ω với ω = 2π·n/60.
Mômen xoắn động cơ
ω₁ = 2π·960/60 = 100,5 rad/s
T1 = P/ω₁ = 1500/100,5 = 14,92 N·m
Đáp số
T1 = 14,92 N·m
2.Bánh răng và hệ bánh răng
Đáp số: nc = 600 rpm
Bộ bánh răng hành tinh: tốc độ của bánh mặt trời, vành răng và cần dẫn liên hệ với nhau bởi phương trình Willis (ns − nc)/(nr − nc) = −Nr/Ns: nhìn từ cần dẫn, bộ truyền là một hệ bánh răng thông thường với các bánh hành tinh là bánh trung gian. Giữ cố định một phần tử biến bộ truyền thành bộ giảm tốc có một tỉ số truyền.
Số răng của vành răng
Nr = Ns + 2·Np = 12 + 2·18 = 48
Phương trình Willis khi vành răng cố định
Đặt nr = 0 và giải tìm tốc độ cần dẫn.
(3000 − nc)/(0 − nc) = −48/12
nc = ns·Ns/(Ns + Nr) = 3000·12/60 = 600 rpm
Đáp số
nc = 600 rpm
Cần dẫn quay cùng chiều với bánh mặt trời.
3.Xoắn của trục
Đáp số: φ = 2,334 °
Xoắn thanh tròn: ứng suất tiếp tăng tuyến tính từ không ở tâm đến τmax = T·r/J ở bề mặt, với J = πd⁴/32 cho trục đặc và J = π(do⁴ − di⁴)/32 cho trục rỗng. Góc xoắn là φ = TL/(GJ) tính bằng radian. Công suất và mômen xoắn liên hệ với nhau qua P = T·ω.
Mômen quán tính độc cực của mặt cắt
J = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴
Góc xoắn
φ = TL/(GJ) = 1000·1000·2000/(80000·613592) = 0,04074 rad
φ = 0,04074·180/π = 2,334°
Đáp số
φ = 2,334°
4.Xoắn của trục
Đáp số: d = 30,01 mm
Xoắn thanh tròn: ứng suất tiếp tăng tuyến tính từ không ở tâm đến τmax = T·r/J ở bề mặt, với J = πd⁴/32 cho trục đặc và J = π(do⁴ − di⁴)/32 cho trục rỗng. Góc xoắn là φ = TL/(GJ) tính bằng radian. Công suất và mômen xoắn liên hệ với nhau qua P = T·ω.
Mômen xoắn
ω = 2πN/60 = 2π·1800/60 = 188,5 rad/s
T = P/ω = 50000/188,5 = 265,3 N·m
Đường kính từ ứng suất cho phép
d = ∛(16T/(π·τallow)) = ∛(16·265258/(π·50)) = 30,01 mm
Đáp số
d = 30,01 mm
Trong thực tế bạn sẽ làm tròn lên kích thước tiêu chuẩn kế tiếp.
5.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất
Đáp số: θs = 67,5 °
Biến đổi ứng suất phẳng: trên một mặt xoay góc θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Vòng tròn Mohr cho thấy tất cả các mặt cùng lúc: tâm của nó ở C = (σₓ + σᵧ)/2 và bán kính là R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Các ứng suất chính là C ± R, và ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng là R.
Góc trên vòng tròn
Trên vòng tròn Mohr, điểm trên cùng (+R) lệch 90° so với điểm chính σ₁; trên phân tố đó là 45°.
cos 2θs = −60/84,85 = −0,7071, sin 2θs = −(−60)/84,85 = 0,7071
2θs = atan2(60, −60) = 135°
Góc trên phần tử
θs = 67,5°
kiểm tra: θs − θp = 67,5 − (−67,5) = 135°
Đáp số
θs = 67,5°
Góc dương là ngược chiều kim đồng hồ.
6.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất
Đáp số: σθ = −77,32 MPa
Biến đổi ứng suất phẳng: trên một mặt xoay góc θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Vòng tròn Mohr cho thấy tất cả các mặt cùng lúc: tâm của nó ở C = (σₓ + σᵧ)/2 và bán kính là R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Các ứng suất chính là C ± R, và ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng là R.
Phương trình biến đổi
σθ = −50 + −20·0,5 + −20·0,866 = −77,32 MPa
Đáp số
σθ = −77,32 MPa
7.Ứng suất và biến dạng dọc trục
Đáp số: P = 40,39 kN
Hai vật liệu: khi nối tiếp (cái này sau cái kia) mỗi đoạn chịu cùng một lực và các độ giãn dài cộng lại: δ = P·Σ L/(E·A). Khi song song (cạnh nhau giữa các tấm cứng) cả hai phần co lại cùng một lượng, nên biến dạng của chúng bằng nhau: phần cứng hơn nhận phần tải lớn hơn, Pi = P·EiAi/ΣEA, và σi = Ei·ε. Một thanh bị giữ giữa hai vách cứng với tải đặt tại chỗ nối là siêu tĩnh: hai đoạn chia tải theo tỉ lệ độ cứng k = EA/L của chúng.
Diện tích
A₁ = 314,2 mm², A₂ = 706,9 mm²
Các độ mềm
L₁/(E₁A₁) = 400/(200000·314,2) = 6,366 × 10⁻⁶ mm/N
L₂/(E₂A₂) = 300/(120000·706,9) = 3,537 × 10⁻⁶ mm/N
Tải
P = 0,4/9,903 × 10⁻⁶ = 40392 N = 40,39 kN
Đáp số
P = 40,39 kN
8.Ứng suất và biến dạng dọc trục
Đáp số: σmax = 254,6 MPa
Cấu kiện chịu tải dọc trục: mỗi đoạn lăng trụ tuân theo δ = PL/(AE). Với các cấu kiện nối tiếp, độ giãn dài cộng lại.
Cùng một lực trong cả hai đoạn
Đầu tự do chịu lực P, nên mọi mặt cắt của thanh đều chịu cùng một lực dọc trục P. Chỉ có diện tích và vật liệu thay đổi.
A1 = π·35²/4 = 962,1 mm², A2 = π·20²/4 = 314,2 mm²
σ1 = 83,15 MPa
σ2 = 254,6 MPa
Ứng suất lớn nhất
Đoạn mảnh hơn có diện tích nhỏ hơn, nên chịu ứng suất lớn hơn.
σmax = 254,6 MPa
Đáp số
σmax = 254,6 MPa
9.Mất ổn định cột
Đáp số: Pcr = 12,56 kN
Mất ổn định Euler: một cột mảnh mất ổn định tại Pcr = π²EI/(KL)², trong đó KL là chiều dài tính toán: K = 1 cho khớp–khớp, 2 cho ngàm–tự do, 0,7 cho ngàm–khớp và 0,5 cho ngàm–ngàm. Cột oằn quanh trục có I nhỏ nhất. Công thức đúng với cột mảnh, có ứng suất tới hạn thấp hơn ứng suất chảy.
Mômen quán tính nhỏ nhất của mặt cắt
Mặt cắt tròn có cùng I đối với mọi trục.
I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴
Chiều dài tính toán
KL = 1·2500 = 2500 mm
Tải trọng tới hạn
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·39761/2500² = 12558 N = 12,56 kN
Đáp số
Pcr = 12,56 kN
10.Mất ổn định cột
Đáp số: σcr = 35,25 MPa
Mất ổn định Euler: một cột mảnh mất ổn định tại Pcr = π²EI/(KL)², trong đó KL là chiều dài tính toán: K = 1 cho khớp–khớp, 2 cho ngàm–tự do, 0,7 cho ngàm–khớp và 0,5 cho ngàm–ngàm. Cột oằn quanh trục có I nhỏ nhất. Công thức đúng với cột mảnh, có ứng suất tới hạn thấp hơn ứng suất chảy.
Mômen quán tính nhỏ nhất của mặt cắt
Mặt cắt tròn có cùng I đối với mọi trục.
I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴
Bán kính quán tính và độ mảnh
A = 1963 mm²
r = √(I/A) = √(306796/1963) = 12,5 mm
KL = 0,7·2500 = 1750 mm
KL/r = 1750/12,5 = 140
Ứng suất tới hạn
σcr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/140² = 35,25 MPa
Đáp số
σcr = 35,25 MPa
11.Dao động cơ học
Đáp số: fd = 4,715 Hz
Dao động tự do của hệ vật–lò xo: tần số riêng không cản là ωn = √(k/m) theo rad/s, và fn = ωn/(2π) theo Hz. Một bộ cản nhớt c cho hệ số cản ζ = c/cc, với cản tới hạn cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Hệ cản dưới tới hạn (ζ < 1) dao động ở ωd = ωn·√(1 − ζ²). Các lò xo song song cộng lại, k = k₁ + k₂; các lò xo nối tiếp cộng theo nghịch đảo, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Tần số riêng không cản
ωn = √(8000/8) = 31,62 rad/s
fn = 31,62/(2π) = 5,033 Hz
Tần số riêng có cản
fd = fn·√(1 − ζ²) = 5,033·√(1 − 0,35²) = 4,715 Hz
Đáp số
fd = 4,715 Hz
12.Dao động cơ học
Đáp số: fn = 4,775 Hz
Dao động tự do của hệ vật–lò xo: tần số riêng không cản là ωn = √(k/m) theo rad/s, và fn = ωn/(2π) theo Hz. Một bộ cản nhớt c cho hệ số cản ζ = c/cc, với cản tới hạn cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Hệ cản dưới tới hạn (ζ < 1) dao động ở ωd = ωn·√(1 − ζ²). Các lò xo song song cộng lại, k = k₁ + k₂; các lò xo nối tiếp cộng theo nghịch đảo, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Độ cứng tương đương
Các lò xo đặt cạnh nhau có chung độ võng và cộng các lực, nên độ cứng đơn giản cộng lại: k = k1 + k2.
keq = 10 + 80 = 90 kN/m
Tần số riêng
ωn = √(90000/100) = 30 rad/s
fn = 30/(2π) = 4,775 Hz
Đáp số
fn = 4,775 Hz
ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design