Thiết kế máy: gói ôn nước rút

Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 12 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.

Bài mới Quay lại môn học

Trong cửa sổ in, hãy chọn “Lưu dưới dạng PDF” để giữ một bản trên thiết bị của bạn.

1Công thức và phương pháp

Bánh răng và hệ bánh răng

Bánh răng ăn khớp: n₁·N₁ = n₂·N₂
Mômen xoắn: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Công suất: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Hệ bánh răng ghép: tỉ số truyền tổng = tích các tỉ số truyền từng cấp

Xoắn của trục

Ứng suất tiếp: τ = T·r/J
Trục đặc: J = πd⁴/32
Trục rỗng: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Góc xoắn: φ = TL/(GJ)
Công suất: P = T·ω = 2πnT/60

Phương pháp

Tìm mômen quán tính độc cực: J = πd⁴/32 cho trục đặc.
Ứng suất tiếp ở bề mặt: τ = T·r/J, với r là bán kính ngoài.
Góc xoắn: φ = TL/(GJ) theo radian.
Nếu cho công suất, hãy tìm mômen xoắn trước bằng P = T·ω, ω = 2πn/60.

Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất

Tâm: C = (σ_x + σ_y)/2
Bán kính: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Ứng suất chính: σ_1,2 = C ± R
Phương chính: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Mặt phẳng nghiêng: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Phương pháp

Tính tâm của vòng tròn Mohr: C = (σx + σy)/2.
Tính bán kính: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Các ứng suất chính là C ± R và ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng là R.
Các góc trên vòng tròn gấp đôi các góc trên phần tử: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Ứng suất và biến dạng dọc trục

Ứng suất pháp: σ = F/A
Biến dạng: ε = ΔL/L
Định luật Hooke: σ = E·ε
Độ giãn dài: ΔL = FL/(EA)
Biến dạng nhiệt: ε_T = α·ΔT

Mất ổn định cột

Tải Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Hệ số chiều dài tính toán: K = 1 khớp–khớp, 0,5 ngàm–ngàm, 0,7 ngàm–khớp, 2 ngàm–tự do
Ứng suất tới hạn: σ_cr = P_cr/A
Độ mảnh: λ = KL/r, r = √(I/A)

Dao động cơ học

Tần số riêng: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Từ độ võng tĩnh: ω_n = √(g/δ_st)
Cản tới hạn: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Hệ số cản: ζ = c/c_c
Tần số có cản: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Giảm lượng logarit: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Lò xo song song: k = k₁ + k₂
Lò xo nối tiếp: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Bài tập

1.Bánh răng và hệ bánh răngTrung bình

Hai trục song song cách nhau 90 mm. Chúng phải được nối bằng một cặp bánh răng trụ răng thẳng có mô-đun 2 mm và tỉ số giảm tốc 5 : 1. Bánh răng lớn phải có bao nhiêu răng N₂?

a = 90 mmm = 2 mmi = 5

N₂ =

2.Bánh răng và hệ bánh răngKhó

Một dây đai hở nối puli dẫn 125 mm ở 1440 vòng/phút với puli 400 mm; tâm cách nhau 1000 mm. Hệ số ma sát là 0,3 và lực căng nhánh căng không được vượt quá 1000 N. Tìm công suất lớn nhất P mà dây đai có thể truyền mà không trượt, theo kW (bỏ qua hiệu ứng ly tâm).

d₁ = 125 mmn₁ = 1440 rpmd₂ = 400 mmC = 1000 mmμ = 0,3T₁ = 1000 N

P = kW

3.Xoắn của trụcTrung bình

Một trục rỗng thép (đường kính ngoài 80 mm, đường kính trong 48 mm, chiều dài 3 m) được ngàm một đầu và bị xoắn bởi mô-men xoắn 1500 N·m ở đầu kia. Tìm góc xoắn φ theo độ.

T = 1500 N·md_o = 80 mmd_i = 48 mmL = 3 mG = 80 GPa

φ = °

4.Xoắn của trụcKhó

Một trục đặc phải truyền 5 kW ở 1450 rpm mà ứng suất tiếp không vượt quá 40 MPa. Tìm đường kính nhỏ nhất d thỏa mãn.

P = 5 kWN = 1450 rpmτ_allow = 40 MPa

d = mm

5.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suấtTrung bình

Một điểm trong một tấm mỏng ở trạng thái ứng suất phẳng: σₓ = 80 MPa, σᵧ = 60 MPa và τₓᵧ = 30 MPa, với σ_z = 0. Tìm ứng suất cắt lớn nhất tuyệt đối τ_abs tại điểm đó (xét mọi mặt trong không gian ba chiều).

σ_x = 80 MPaσ_y = 60 MPaτ_xy = 30 MPaσ_z = 0

τ_abs = MPa

6.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suấtKhó

Một điểm trong một tấm mỏng ở trạng thái ứng suất phẳng: σₓ = 40 MPa, σᵧ = −20 MPa và τₓᵧ = 60 MPa (σ_z = 0). Vật liệu có giới hạn chảy 300 MPa. Tìm hệ số an toàn n chống chảy theo tiêu chuẩn von Mises (năng lượng biến dạng hình dạng).

σ_x = 40 MPaσ_y = −20 MPaτ_xy = 60 MPaσ_Y = 300 MPa

n =

7.Ứng suất và biến dạng dọc trụcTrung bình

Một thanh thép (đường kính 30 mm, E = 200 GPa) nằm trong một ống làm bằng nhôm (đường kính ngoài 80 mm, đường kính trong 50 mm, E = 70 GPa). Cả hai dài 500 mm và bị nén cùng nhau giữa các tấm cứng bởi 50 kN. Tìm độ co ngắn δ.

P = 50 kNthanh: Ø30 mm, E = 200 GPaống: Ø80/Ø50 mm, E = 70 GPaL = 500 mm

δ = mm

8.Ứng suất và biến dạng dọc trụcKhó

Một thanh thép (đường kính 30 mm, E = 200 GPa, ứng suất cho phép 250 MPa) nằm trong một ống làm bằng nhôm (đường kính ngoài 100 mm, đường kính trong 50 mm, E = 70 GPa, ứng suất cho phép 80 MPa). Chúng bị nén cùng nhau giữa các tấm cứng. Tìm tải lớn nhất P_max.

thanh: Ø30 mm, E = 200 GPa, σ_allow = 250 MPaống: Ø100/Ø50 mm, E = 70 GPa, σ_allow = 80 MPa

P_max = kN

9.Mất ổn định cộtTrung bình

Một cột dài L làm bằng thép được hai đầu khớp. Dùng công thức Euler, tìm tải trọng oằn tới hạn P_cr của nó.

L = 5 mE = 200 GPa (thép)b × h = 40 × 100 mm

P_cr = kN

10.Mất ổn định cộtKhó

Một cột dài L làm bằng nhôm được ngàm ở chân và tự do ở đỉnh. Tìm độ mảnh của nó và ứng suất oằn tới hạn σ_cr theo công thức Euler.

L = 5 mE = 70 GPa (nhôm)d = 60 mm

σ_cr = MPa

11.Dao động cơ họcTrung bình

Một vật 500 kg trên lò xo có độ cứng 150 kN/m có bộ cản nhớt cho hệ số cản 0,35. Tìm tần số riêng có cản f_d của dao động tự do theo Hz.

m = 500 kgk = 150 kN/mζ = 0,35

f_d = Hz

12.Dao động cơ họcKhó

Một vật 50 kg treo vào hai lò xo đặt cạnh nhau (song song), có độ cứng k₁ = 100 kN/m và k₂ = 5 kN/m. Vật giữ nằm ngang. Tìm độ cứng tương đương k_eq của hệ lò xo theo kN/m.

m = 50 kgk₁ = 100 kN/mk₂ = 5 kN/m

k_eq = kN/m

3Dung dịch

1.Bánh răng và hệ bánh răng

Đáp số: N₂ = 75

Gear geometry: the module m sets the tooth size. A gear with N teeth has a pitch diameter d = m·N, two meshing gears have the same module, and their centre distance is a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2. The pitch-line speed is v = π·d·n/60, and the tangential tooth force follows from the torque: F_t = 2T/d.

Tổng số răng

N₁ + N₂ = 2a/m = 2·90/2 = 90

Chia theo tỉ số

N₁ = 90/(1 + 5) = 15

N₂ = 5·15 = 75

Đáp số

N₂ = 75

2.Bánh răng và hệ bánh răng

Đáp số: P = 5,435 kW

Truyền động đai: khi không trượt, cả hai puli có cùng tốc độ mép v = π·d·n/60, nên n₁·d₁ = n₂·d₂ và tỉ số tốc độ là d₂/d₁. Độ trượt s làm puli bị dẫn chậm hơn một chút: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). Công suất truyền là P = (T₁ − T₂)·v, với T₁ là lực căng ở nhánh căng và T₂ ở nhánh chùng. Ma sát giới hạn tỉ số các lực căng: T₁/T₂ = e^μθ, trong đó θ là góc ôm tính theo radian trên puli nhỏ hơn; với đai hở θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) với khoảng cách tâm C.

Góc ôm

θ = 2,866 rad

Lực căng nhánh chùng

e^μθ = e^0,8597 = 2,362, T₂ = 1000/2,362 = 423,3 N

Công suất

P = (1000 − 423,3)·9,425 = 5,435 kW

Đáp số

P = 5,435 kW

3.Xoắn của trục

Đáp số: φ = 0,9208 °

Xoắn thanh tròn: ứng suất tiếp tăng tuyến tính từ không ở tâm đến τ_max = T·r/J ở bề mặt, với J = πd⁴/32 cho trục đặc và J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 cho trục rỗng. Góc xoắn là φ = TL/(GJ) tính bằng radian. Công suất và mômen xoắn liên hệ với nhau qua P = T·ω.

Mômen quán tính độc cực của mặt cắt

J = π(80⁴ − 48⁴)/32 = 3,5 × 10⁶ mm⁴

Góc xoắn

T = 1500 N·m = 1,5 × 10⁶ N·mm

L = 3 m = 3000 mm

G = 80 GPa = 80000 MPa

φ = TL/(GJ) = 1,5 × 10⁶·3000/(80000·3,5 × 10⁶) = 0,01607 rad

φ = 0,01607·180/π = 0,9208°

Đáp số

φ = 0,9208°

4.Xoắn của trục

Đáp số: d = 16,12 mm

Mômen xoắn

ω = 2πN/60 = 2π·1450/60 = 151,8 rad/s

T = P/ω = 5000/151,8 = 32,93 N·m

Đường kính từ ứng suất cho phép

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·32929/(π·40)) = 16,12 mm

Đáp số

d = 16,12 mm

Trong thực tế bạn sẽ làm tròn lên kích thước tiêu chuẩn kế tiếp.

5.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất

Đáp số: τ_abs = 50,81 MPa

Biến đổi ứng suất phẳng: trên một mặt xoay góc θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Vòng tròn Mohr cho thấy tất cả các mặt cùng lúc: tâm của nó ở C = (σₓ + σᵧ)/2 và bán kính là R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Các ứng suất chính là C ± R, và ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng là R. Trong không gian ba chiều, ứng suất cắt lớn nhất tuyệt đối là (σ_max − σ_min)/2 trên cả ba ứng suất chính; trong ứng suất phẳng, ứng suất thứ ba bằng không.

Các ứng suất chính trong mặt phẳng

C = 70 MPa, R = √(10² + 30²) = 31,62 MPa

σ₁ = 101,6 MPa, σ₂ = 38,38 MPa, σ_z = 0

Vòng tròn lớn nhất trong ba vòng tròn

τ = max(|σ₁ − σ₂|, |σ₁|, |σ₂|)/2 = max(63,25, 101,6, 38,38)/2 = 50,81 MPa

Đáp số

τ_abs = 50,81 MPa

Ở đây vòng tròn ngoài mặt phẳng quyết định: giá trị lớn nhất tuyệt đối lớn hơn giá trị lớn nhất trong mặt phẳng R.

6.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất

Đáp số: n = 2,572

Biến đổi ứng suất phẳng: trên một mặt xoay góc θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Vòng tròn Mohr cho thấy tất cả các mặt cùng lúc: tâm của nó ở C = (σₓ + σᵧ)/2 và bán kính là R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Các ứng suất chính là C ± R, và ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng là R. Tiêu chuẩn chảy: von Mises dự đoán vật liệu chảy khi σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) đạt σ_Y; Tresca khi ứng suất cắt lớn nhất tuyệt đối đạt σ_Y/2.

Ứng suất chính

C = 10 MPa, R = 67,08 MPa

σ₁ = 77,08 MPa, σ₂ = −57,08 MPa, σ₃ = 0

Von Mises

σ_vM = √(77,08² − 77,08·(−57,08) + (−57,08)²) = 116,6 MPa

n = 300/116,6 = 2,572

Đáp số

n = 2,572

n > 1 nghĩa là điểm không bị chảy; Tresca thận trọng hơn von Mises một chút.

7.Ứng suất và biến dạng dọc trục

Đáp số: δ = 0,07027 mm

Hai vật liệu: khi nối tiếp (cái này sau cái kia) mỗi đoạn chịu cùng một lực và các độ giãn dài cộng lại: δ = P·Σ L/(E·A). Khi song song (cạnh nhau giữa các tấm cứng) cả hai phần co lại cùng một lượng, nên biến dạng của chúng bằng nhau: phần cứng hơn nhận phần tải lớn hơn, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, và σ_i = E_i·ε. Một thanh bị giữ giữa hai vách cứng với tải đặt tại chỗ nối là siêu tĩnh: hai đoạn chia tải theo tỉ lệ độ cứng k = EA/L của chúng.

Diện tích

A_r = π·30²/4 = 706,9 mm²

A_t = π(80² − 50²)/4 = 3063 mm²

Độ cứng dọc trục kết hợp

ΣEA = 200·10³·706,9 + 70·10³·3063 = 3,558 × 10⁸ N

Độ co ngắn

δ = 50000·500/3,558 × 10⁸ = 0,07027 mm

Đáp số

δ = 0,07027 mm

8.Ứng suất và biến dạng dọc trục

Đáp số: P_max = 632,8 kN

Diện tích

A_r = π·30²/4 = 706,9 mm²

A_t = π(100² − 50²)/4 = 5890 mm²

Độ cứng dọc trục kết hợp

ΣEA = 200·10³·706,9 + 70·10³·5890 = 5,537 × 10⁸ N

Biến dạng quyết định

ε = min(0,00125, 0,001143) = 0,001143 (nhôm)

Tải lớn nhất

P_max = 0,001143·5,537 × 10⁸ = 632807 N = 632,8 kN

Đáp số

P_max = 632,8 kN

9.Mất ổn định cột

Đáp số: P_cr = 42,11 kN

Mất ổn định Euler: một cột mảnh mất ổn định tại P_cr = π²EI/(KL)², trong đó KL là chiều dài tính toán: K = 1 cho khớp–khớp, 2 cho ngàm–tự do, 0,7 cho ngàm–khớp và 0,5 cho ngàm–ngàm. Cột oằn quanh trục có I nhỏ nhất. Công thức đúng với cột mảnh, có ứng suất tới hạn thấp hơn ứng suất chảy.

Mômen quán tính nhỏ nhất của mặt cắt

Hình chữ nhật oằn quanh trục yếu, dùng kích thước nhỏ hơn lập phương.

I_min = h·b³/12 = 100·40³/12 = 533333 mm⁴

Chiều dài tính toán

KL = 1·5000 = 5000 mm

Tải trọng tới hạn

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·533333/5000² = 42110 N = 42,11 kN

Đáp số

P_cr = 42,11 kN

10.Mất ổn định cột

Đáp số: σ_cr = 1,554 MPa

Mômen quán tính nhỏ nhất của mặt cắt

Mặt cắt tròn có cùng I đối với mọi trục.

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

Bán kính quán tính và độ mảnh

A = 2827 mm²

r = √(I/A) = √(636173/2827) = 15 mm

KL = 2·5000 = 10000 mm

KL/r = 10000/15 = 666,7

Ứng suất tới hạn

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/666,7² = 1,554 MPa

Đáp số

σ_cr = 1,554 MPa

11.Dao động cơ học

Đáp số: f_d = 2,582 Hz

Dao động tự do của hệ vật–lò xo: tần số riêng không cản là ω_n = √(k/m) theo rad/s, và f_n = ω_n/(2π) theo Hz. Một bộ cản nhớt c cho hệ số cản ζ = c/c_c, với cản tới hạn c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Hệ cản dưới tới hạn (ζ < 1) dao động ở ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Các lò xo song song cộng lại, k = k₁ + k₂; các lò xo nối tiếp cộng theo nghịch đảo, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Tần số riêng không cản

ω_n = √(150000/500) = 17,32 rad/s

f_n = 17,32/(2π) = 2,757 Hz

Tần số riêng có cản

f_d = f_n·√(1 − ζ²) = 2,757·√(1 − 0,35²) = 2,582 Hz

Đáp số

f_d = 2,582 Hz

12.Dao động cơ học

Đáp số: k_eq = 105 kN/m

Độ cứng tương đương

Các lò xo đặt cạnh nhau có chung độ võng và cộng các lực, nên độ cứng đơn giản cộng lại: k = k₁ + k₂.

k_eq = 100 + 5 = 105 kN/m

Đáp số

k_eq = 105 kN/m

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design