Thiết kế máy: gói ôn nước rút

Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 12 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.

Bài mới Quay lại môn học

Trong cửa sổ in, hãy chọn “Lưu dưới dạng PDF” để giữ một bản trên thiết bị của bạn.

1Công thức và phương pháp

Bánh răng và hệ bánh răng

Bánh răng ăn khớp: n₁·N₁ = n₂·N₂
Mômen xoắn: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Công suất: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Hệ bánh răng ghép: tỉ số truyền tổng = tích các tỉ số truyền từng cấp

Xoắn của trục

Ứng suất tiếp: τ = T·r/J
Trục đặc: J = πd⁴/32
Trục rỗng: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Góc xoắn: φ = TL/(GJ)
Công suất: P = T·ω = 2πnT/60

Phương pháp

Tìm mômen quán tính độc cực: J = πd⁴/32 cho trục đặc.
Ứng suất tiếp ở bề mặt: τ = T·r/J, với r là bán kính ngoài.
Góc xoắn: φ = TL/(GJ) theo radian.
Nếu cho công suất, hãy tìm mômen xoắn trước bằng P = T·ω, ω = 2πn/60.

Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất

Tâm: C = (σ_x + σ_y)/2
Bán kính: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Ứng suất chính: σ_1,2 = C ± R
Phương chính: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Mặt phẳng nghiêng: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Phương pháp

Tính tâm của vòng tròn Mohr: C = (σx + σy)/2.
Tính bán kính: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Các ứng suất chính là C ± R và ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng là R.
Các góc trên vòng tròn gấp đôi các góc trên phần tử: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Ứng suất và biến dạng dọc trục

Ứng suất pháp: σ = F/A
Biến dạng: ε = ΔL/L
Định luật Hooke: σ = E·ε
Độ giãn dài: ΔL = FL/(EA)
Biến dạng nhiệt: ε_T = α·ΔT

Mất ổn định cột

Tải Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Hệ số chiều dài tính toán: K = 1 khớp–khớp, 0,5 ngàm–ngàm, 0,7 ngàm–khớp, 2 ngàm–tự do
Ứng suất tới hạn: σ_cr = P_cr/A
Độ mảnh: λ = KL/r, r = √(I/A)

Dao động cơ học

Tần số riêng: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Từ độ võng tĩnh: ω_n = √(g/δ_st)
Cản tới hạn: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Hệ số cản: ζ = c/c_c
Tần số có cản: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Giảm lượng logarit: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Lò xo song song: k = k₁ + k₂
Lò xo nối tiếp: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Bài tập

1.Bánh răng và hệ bánh răngTrung bình

Một động cơ 5,5 kW quay ở 1440 rpm dẫn động một bánh răng nhỏ có 25 răng và mô-đun 2,5 mm. Tìm lực vòng F_t trên các răng của bánh răng nhỏ.

P = 5,5 kWn = 1440 rpmN₁ = 25m = 2,5 mm

F_t = N

2.Bánh răng và hệ bánh răngKhó

Một dây đai hở nối puli dẫn 150 mm ở 1450 vòng/phút với puli 200 mm; tâm cách nhau 500 mm. Hệ số ma sát là 0,25 và lực căng nhánh căng không được vượt quá 600 N. Tìm công suất lớn nhất P mà dây đai có thể truyền mà không trượt, theo kW (bỏ qua hiệu ứng ly tâm).

d₁ = 150 mmn₁ = 1450 rpmd₂ = 200 mmC = 500 mmμ = 0,25T₁ = 600 N

P = kW

3.Xoắn của trụcTrung bình

Một trục đặc nhôm được ngàm vào tường và bị xoắn bởi mômen xoắn T ở đầu tự do. Tìm góc xoắn φ của đầu tự do, theo độ.

T = 200 N·md = 40 mmL = 3 mG = 26 GPa

φ = °

4.Xoắn của trụcKhó

Một trục đặc phải truyền 10 kW ở 1500 rpm mà ứng suất tiếp không vượt quá 60 MPa. Tìm đường kính nhỏ nhất d thỏa mãn.

P = 10 kWN = 1500 rpmτ_allow = 60 MPa

d = mm

5.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suấtTrung bình

Một điểm trong chi tiết chịu tải có σₓ = −20 MPa, σᵧ = 40 MPa và τₓᵧ = −20 MPa (kéo là dương). Tìm ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng τ_max.

σ_x = −20 MPaσ_y = 40 MPaτ_xy = −20 MPa

τ_max = MPa

6.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suấtKhó

Một điểm trong chi tiết chịu tải có σₓ = 120 MPa, σᵧ = −60 MPa và τₓᵧ = 40 MPa (kéo là dương). Tìm ứng suất pháp σ_θ trên một mặt có pháp tuyến xoay 45° theo chiều kim đồng hồ so với trục x.

σ_x = 120 MPaσ_y = −60 MPaτ_xy = 40 MPaθ = -45°

σ_θ = MPa

7.Ứng suất và biến dạng dọc trụcTrung bình

Một thanh gồm một đoạn thép (đường kính 40 mm, chiều dài 500 mm, E = 200 GPa) nối đầu với đầu với một đoạn làm bằng đồng thau (đường kính 30 mm, chiều dài 200 mm, E = 100 GPa). Nó được ngàm một đầu và bị kéo ở đầu kia. Tìm tải dọc trục P làm nó giãn tổng cộng 0,25 mm.

đoạn 1: thép, Ø40 mm, 500 mm, E = 200 GPađoạn 2: đồng thau, Ø30 mm, 200 mm, E = 100 GPaδ = 0,25 mm

P = kN

8.Ứng suất và biến dạng dọc trụcKhó

Một đoạn thép (đường kính 20 mm, chiều dài 300 mm, E = 200 GPa) và một đoạn làm bằng nhôm (đường kính 60 mm, chiều dài 500 mm, E = 70 GPa) được nối đầu với đầu và ngàm giữa hai vách cứng. Một tải dọc trục 100 kN tác dụng tại chỗ nối, hướng về phía đoạn 2. Tìm độ lớn ứng suất σ₂ trong đoạn 2.

đoạn 1: thép, Ø20 mm, 300 mm, E = 200 GPađoạn 2: nhôm, Ø60 mm, 500 mm, E = 70 GPaP = 100 kN

σ₂ = MPa

9.Mất ổn định cộtTrung bình

Một cột dài L làm bằng thép được ngàm ở chân và tự do ở đỉnh. Dùng công thức Euler, tìm tải trọng oằn tới hạn P_cr của nó.

L = 2,5 mE = 200 GPa (thép)d = 30 mm

P_cr = kN

10.Mất ổn định cộtKhó

Một cột tròn đặc dài L làm bằng thép được hai đầu khớp. Nó phải chịu 100 kN với hệ số an toàn 3 chống oằn. Tìm đường kính nhỏ nhất d.

P = 100 kNn = 3L = 6 mE = 200 GPa (thép)

d = mm

11.Dao động cơ họcTrung bình

Một vật 40 kg được đỡ bởi một lò xo có độ cứng 5 kN/m và một bộ cản nhớt có hệ số cản 450 N·s/m. Tìm hệ số cản ζ.

m = 40 kgk = 5 kN/mc = 450 N·s/m

ζ =

12.Dao động cơ họcKhó

Một vật 100 kg treo vào hai lò xo đặt cạnh nhau (song song), có độ cứng k₁ = 12 kN/m và k₂ = 25 kN/m. Vật giữ nằm ngang. Bỏ qua cản và khối lượng của các lò xo. Tìm tần số riêng f_n của dao động thẳng đứng theo Hz.

m = 100 kgk₁ = 12 kN/mk₂ = 25 kN/m

f_n = Hz

3Dung dịch

1.Bánh răng và hệ bánh răng

Đáp số: F_t = 1167 N

Gear geometry: the module m sets the tooth size. A gear with N teeth has a pitch diameter d = m·N, two meshing gears have the same module, and their centre distance is a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2. The pitch-line speed is v = π·d·n/60, and the tangential tooth force follows from the torque: F_t = 2T/d.

Mô-men trên bánh răng nhỏ

ω = 2π·1440/60 = 150,8 rad/s

T = P/ω = 5500/150,8 = 36,47 N·m

Đường kính vòng chia

d = m·N = 2,5·25 = 62,5 mm

Lực vòng

F_t = 2T/d = 2·36,47/0,0625 = 1167 N

Đáp số

F_t = 1167 N

2.Bánh răng và hệ bánh răng

Đáp số: P = 3,639 kW

Truyền động đai: khi không trượt, cả hai puli có cùng tốc độ mép v = π·d·n/60, nên n₁·d₁ = n₂·d₂ và tỉ số tốc độ là d₂/d₁. Độ trượt s làm puli bị dẫn chậm hơn một chút: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). Công suất truyền là P = (T₁ − T₂)·v, với T₁ là lực căng ở nhánh căng và T₂ ở nhánh chùng. Ma sát giới hạn tỉ số các lực căng: T₁/T₂ = e^μθ, trong đó θ là góc ôm tính theo radian trên puli nhỏ hơn; với đai hở θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) với khoảng cách tâm C.

Góc ôm

θ = 3,042 rad

Lực căng nhánh chùng

e^μθ = e^0,7604 = 2,139, T₂ = 600/2,139 = 280,5 N

Công suất

P = (600 − 280,5)·11,39 = 3,639 kW

Đáp số

P = 3,639 kW

3.Xoắn của trục

Đáp số: φ = 5,261 °

Xoắn thanh tròn: ứng suất tiếp tăng tuyến tính từ không ở tâm đến τ_max = T·r/J ở bề mặt, với J = πd⁴/32 cho trục đặc và J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 cho trục rỗng. Góc xoắn là φ = TL/(GJ) tính bằng radian. Công suất và mômen xoắn liên hệ với nhau qua P = T·ω.

Mômen quán tính độc cực của mặt cắt

J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴

Góc xoắn

φ = TL/(GJ) = 200·1000·3000/(26000·251327) = 0,09182 rad

φ = 0,09182·180/π = 5,261°

Đáp số

φ = 5,261°

4.Xoắn của trục

Đáp số: d = 17,55 mm

Mômen xoắn

ω = 2πN/60 = 2π·1500/60 = 157,1 rad/s

T = P/ω = 10000/157,1 = 63,66 N·m

Đường kính từ ứng suất cho phép

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·63662/(π·60)) = 17,55 mm

Đáp số

d = 17,55 mm

Trong thực tế bạn sẽ làm tròn lên kích thước tiêu chuẩn kế tiếp.

5.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất

Đáp số: τ_max = 36,06 MPa

Biến đổi ứng suất phẳng: trên một mặt xoay góc θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Vòng tròn Mohr cho thấy tất cả các mặt cùng lúc: tâm của nó ở C = (σₓ + σᵧ)/2 và bán kính là R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Các ứng suất chính là C ± R, và ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng là R.

Bán kính vòng tròn Mohr

τ_max = R = √(((−20 − 40)/2)² + −20²) = 36,06 MPa

Đáp số

τ_max = 36,06 MPa

6.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất

Đáp số: σ_θ = −10 MPa

Phương trình biến đổi

σ_θ = 30 + 90·0 + 40·−1 = −10 MPa

Đáp số

σ_θ = −10 MPa

7.Ứng suất và biến dạng dọc trục

Đáp số: P = 51,88 kN

Hai vật liệu: khi nối tiếp (cái này sau cái kia) mỗi đoạn chịu cùng một lực và các độ giãn dài cộng lại: δ = P·Σ L/(E·A). Khi song song (cạnh nhau giữa các tấm cứng) cả hai phần co lại cùng một lượng, nên biến dạng của chúng bằng nhau: phần cứng hơn nhận phần tải lớn hơn, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, và σ_i = E_i·ε. Một thanh bị giữ giữa hai vách cứng với tải đặt tại chỗ nối là siêu tĩnh: hai đoạn chia tải theo tỉ lệ độ cứng k = EA/L của chúng.

Diện tích

A₁ = 1257 mm², A₂ = 706,9 mm²

Các độ mềm

L₁/(E₁A₁) = 500/(200000·1257) = 1,989 × 10⁻⁶ mm/N

L₂/(E₂A₂) = 200/(100000·706,9) = 2,829 × 10⁻⁶ mm/N

Tải

P = 0,25/4,819 × 10⁻⁶ = 51880 N = 51,88 kN

Đáp số

P = 51,88 kN

8.Ứng suất và biến dạng dọc trục

Đáp số: σ₂ = 23,13 MPa

Các độ cứng

k₁ = 200000·314,2/300 = 209440 N/mm

k₂ = 70000·2827/500 = 395841 N/mm

Phần của đoạn 2

F₂ = 100000·395841/605280 = 65398 N

Ứng suất

σ₂ = 65398/2827 = 23,13 MPa (nén)

Đáp số

σ₂ = 23,13 MPa

9.Mất ổn định cột

Đáp số: P_cr = 3,139 kN

Mất ổn định Euler: một cột mảnh mất ổn định tại P_cr = π²EI/(KL)², trong đó KL là chiều dài tính toán: K = 1 cho khớp–khớp, 2 cho ngàm–tự do, 0,7 cho ngàm–khớp và 0,5 cho ngàm–ngàm. Cột oằn quanh trục có I nhỏ nhất. Công thức đúng với cột mảnh, có ứng suất tới hạn thấp hơn ứng suất chảy.

Mômen quán tính nhỏ nhất của mặt cắt

Mặt cắt tròn có cùng I đối với mọi trục.

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

Chiều dài tính toán

KL = 2·2500 = 5000 mm

Tải trọng tới hạn

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·39761/5000² = 3139 N = 3,139 kN

Đáp số

P_cr = 3,139 kN

10.Mất ổn định cột

Đáp số: d = 102,7 mm

Tải trọng tới hạn yêu cầu

P_cr = n·P = 3·100000 = 300000 N

KL = 1·6000 = 6000 mm

Giải tìm đường kính

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·300000·6000²/(π³·200000))^(1/4) = 102,7 mm

Đáp số

d = 102,7 mm

Kiểm tra: độ mảnh KL/r là 233,6, nên cột là mảnh và công thức Euler áp dụng được.

11.Dao động cơ học

Đáp số: ζ = 0,5031

Dao động tự do của hệ vật–lò xo: tần số riêng không cản là ω_n = √(k/m) theo rad/s, và f_n = ω_n/(2π) theo Hz. Một bộ cản nhớt c cho hệ số cản ζ = c/c_c, với cản tới hạn c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Hệ cản dưới tới hạn (ζ < 1) dao động ở ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Các lò xo song song cộng lại, k = k₁ + k₂; các lò xo nối tiếp cộng theo nghịch đảo, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Cản tới hạn

c_c = 2·√(k·m) = 2·√(5000·40) = 894,4 N·s/m

Hệ số cản

ζ = c/c_c = 450/894,4 = 0,5031

Đáp số

ζ = 0,5031

ζ < 1, nên hệ cản dưới tới hạn và dao động khi tắt dần.

12.Dao động cơ học

Đáp số: f_n = 3,061 Hz

Độ cứng tương đương

Các lò xo đặt cạnh nhau có chung độ võng và cộng các lực, nên độ cứng đơn giản cộng lại: k = k₁ + k₂.

k_eq = 12 + 25 = 37 kN/m

Tần số riêng

ω_n = √(37000/100) = 19,24 rad/s

f_n = 19,24/(2π) = 3,061 Hz

Đáp số

f_n = 3,061 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design