Thiết kế máy: gói ôn nước rút

Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 12 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.

Bài mớiQuay lại môn học

Trong cửa sổ in, hãy chọn “Lưu dưới dạng PDF” để giữ một bản trên thiết bị của bạn.

1Công thức và phương pháp

Bánh răng và hệ bánh răng

Bánh răng ăn khớp
n1·N1 = n2·N2
Mômen xoắn
T2 = T1·(N2/N1)·η
Công suất
P = T·ω, ω = 2π·n/60
Hệ bánh răng ghép
tỉ số truyền tổng = tích các tỉ số truyền từng cấp

Xoắn của trục

Ứng suất tiếp
τ = T·r/J
Trục đặc
J = πd⁴/32
Trục rỗng
J = π(D⁴ − d⁴)/32
Góc xoắn
φ = TL/(GJ)
Công suất
P = T·ω = 2πnT/60

Phương pháp

  1. Tìm mômen quán tính độc cực: J = πd⁴/32 cho trục đặc.
  2. Ứng suất tiếp ở bề mặt: τ = T·r/J, với r là bán kính ngoài.
  3. Góc xoắn: φ = TL/(GJ) theo radian.
  4. Nếu cho công suất, hãy tìm mômen xoắn trước bằng P = T·ω, ω = 2πn/60.

Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất

Tâm
C = (σx + σy)/2
Bán kính
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
Ứng suất chính
σ1,2 = C ± R
Phương chính
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
Mặt phẳng nghiêng
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

Phương pháp

  1. Tính tâm của vòng tròn Mohr: C = (σx + σy)/2.
  2. Tính bán kính: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
  3. Các ứng suất chính là C ± R và ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng là R.
  4. Các góc trên vòng tròn gấp đôi các góc trên phần tử: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Ứng suất và biến dạng dọc trục

Ứng suất pháp
σ = F/A
Biến dạng
ε = ΔL/L
Định luật Hooke
σ = E·ε
Độ giãn dài
ΔL = FL/(EA)
Biến dạng nhiệt
εT = α·ΔT

Mất ổn định cột

Tải Euler
Pcr = π²EI/(KL)²
Hệ số chiều dài tính toán
K = 1 khớp–khớp, 0,5 ngàm–ngàm, 0,7 ngàm–khớp, 2 ngàm–tự do
Ứng suất tới hạn
σcr = Pcr/A
Độ mảnh
λ = KL/r, r = √(I/A)

Dao động cơ học

Tần số riêng
ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
Từ độ võng tĩnh
ωn = √(g/δst)
Cản tới hạn
cc = 2√(km) = 2mωn
Hệ số cản
ζ = c/cc
Tần số có cản
ωd = ωn√(1 − ζ²)
Giảm lượng logarit
δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Lò xo song song
k = k1 + k2
Lò xo nối tiếp
1/k = 1/k1 + 1/k2

2Bài tập

1.Bánh răng và hệ bánh răngTrung bình
d1​ = 100 mmd2​ = 450 mm1440 rpmT1​ = 800 NT2​ = 240 NP = ?

Một dây đai chạy trên puli dẫn 100 mm ở 1440 vòng/phút. Lực căng là 800 N ở nhánh căng và 240 N ở nhánh chùng. Tìm công suất P truyền đi, theo kW.

d1 = 100 mmn1 = 1440 rpmT1 = 800 NT2 = 240 N
P = kW
2.Bánh răng và hệ bánh răngKhó
A = 25B = 48C = 16D = 40

Trong một hệ bánh răng ghép, bánh răng A (25 răng) trên trục vào quay 960 rpm dẫn động bánh răng B (48 răng). Bánh răng C (16 răng) được cố định trên cùng trục với B và dẫn động bánh răng D (40 răng) trên trục ra. Tìm tốc độ ra nout.

nin = 960 rpmA = 25B = 48C = 16D = 40
nout = rpm
3.Xoắn của trụcTrung bình
d = 20 mmT = 50 N·m400 mmφ = 1,87°

Trong một thí nghiệm xoắn, một mẫu đặc đường kính 20 mm bị xoắn bởi mô-men xoắn 50 N·m. Hai đầu của một đoạn đo dài 400 mm quay 1,87° so với nhau (vật liệu vẫn còn đàn hồi). Tìm mô-đun cắt G của vật liệu.

T = 50 N·md = 20 mmL = 400 mmφ = 1,87°
G = GPa
4.Xoắn của trụcKhó
Tdo​ = 60 mm, di​ = 30 mm

Một trục rỗng truyền 75 kW ở 1450 rpm. Tìm ứng suất tiếp lớn nhất τmax trong trục.

P = 75 kWN = 1450 rpmdo = 60 mmdi = 30 mm
τmax = MPa
5.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suấtTrung bình
σx​ = 120σy​ = −20τxy​ = 40MPa

Một điểm trong một tấm mỏng ở trạng thái ứng suất phẳng: σₓ = 120 MPa, σᵧ = −20 MPa và τₓᵧ = 40 MPa, với σz = 0. Tìm ứng suất cắt lớn nhất tuyệt đối τabs tại điểm đó (xét mọi mặt trong không gian ba chiều).

σx = 120 MPaσy = −20 MPaτxy = 40 MPaσz = 0
τabs = MPa
6.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suấtKhó
σx​τxy​bề mặt trên của trục

Một trục đặc đường kính 50 mm chịu một mô-men uốn 1500 N·m cùng với mô-men xoắn 400 N·m. Tại bề mặt trên, nơi ứng suất uốn là kéo và lớn nhất, hãy tìm ứng suất chính lớn nhất σ1.

d = 50 mmM = 1500 N·mT = 400 N·m
σ1 = MPa
7.Ứng suất và biến dạng dọc trụcTrung bình
Ø 25 mmĐồng thau3 mP = 115 kN

Tìm biến dạng dọc trục ε trong thanh đồng thau, tính bằng microstrain (µε = 10⁻⁶).

P = 115 kNd = 25 mmL = 3 mE = 100 GPa
ε = µε
8.Ứng suất và biến dạng dọc trụcKhó
P = ?Ø25110 GPaØ80/60500 mm

Một thanh thép (đường kính 25 mm, E = 200 GPa, ứng suất cho phép 250 MPa) nằm trong một ống làm bằng đồng thanh (đường kính ngoài 80 mm, đường kính trong 60 mm, E = 110 GPa, ứng suất cho phép 70 MPa). Chúng bị nén cùng nhau giữa các tấm cứng. Tìm tải lớn nhất Pmax.

thanh: Ø25 mm, E = 200 GPa, σallow = 250 MPaống: Ø80/Ø60 mm, E = 110 GPa, σallow = 70 MPa
Pmax = kN
9.Mất ổn định cộtTrung bình
PL = 2 md = 25 mmmặt cắt ngang

Một cột dài L làm bằng nhôm được ngàm cả hai đầu. Dùng công thức Euler, tìm tải trọng oằn tới hạn Pcr của nó.

L = 2 mE = 70 GPa (nhôm)d = 25 mm
Pcr = kN
10.Mất ổn định cộtKhó
P = 110 kNL = 1 md = ?mặt cắt ngang

Một cột tròn đặc dài L làm bằng thép được hai đầu khớp. Nó phải chịu 110 kN với hệ số an toàn 3 chống oằn. Tìm đường kính nhỏ nhất d.

P = 110 kNn = 3L = 1 mE = 200 GPa (thép)
d = mm
11.Dao động cơ họcTrung bình
k = 5 kN/mζ = 0,7m = 25 kg

Một vật 25 kg trên lò xo có độ cứng 5 kN/m có bộ cản nhớt cho hệ số cản 0,7. Tìm tần số riêng có cản fd của dao động tự do theo Hz.

m = 25 kgk = 5 kN/mζ = 0,7
fd = Hz
12.Dao động cơ họcKhó
k1​ = 5k2​ = 40m = 25 kg

Một vật 25 kg treo vào hai lò xo đặt cạnh nhau (song song), có độ cứng k₁ = 5 kN/m và k₂ = 40 kN/m. Vật giữ nằm ngang. Bỏ qua cản và khối lượng của các lò xo. Tìm tần số riêng fn của dao động thẳng đứng theo Hz.

m = 25 kgk1 = 5 kN/mk2 = 40 kN/m
fn = Hz

3Dung dịch

1.Bánh răng và hệ bánh răng

Đáp số: P = 4,222 kW

Truyền động đai: khi không trượt, cả hai puli có cùng tốc độ mép v = π·d·n/60, nên n₁·d₁ = n₂·d₂ và tỉ số tốc độ là d₂/d₁. Độ trượt s làm puli bị dẫn chậm hơn một chút: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). Công suất truyền là P = (T₁ − T₂)·v, với T₁ là lực căng ở nhánh căng và T₂ ở nhánh chùng. Ma sát giới hạn tỉ số các lực căng: T₁/T₂ = eμθ, trong đó θ là góc ôm tính theo radian trên puli nhỏ hơn; với đai hở θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) với khoảng cách tâm C.

Tốc độ dây đai

v = 7,54 m/s

Công suất

P = (800 − 240)·7,54 = 4222 W = 4,222 kW

Đáp số

P = 4,222 kW
2.Bánh răng và hệ bánh răng

Đáp số: nout = 200 rpm

Hệ bánh răng: các bánh răng ăn khớp có cùng tốc độ tại răng, nên n₁·N₁ = n₂·N₂: bánh răng có ít răng hơn quay nhanh hơn. Các bánh răng trên cùng một trục quay cùng tốc độ. Công suất được truyền đi (trừ tổn thất), nên mômen xoắn tăng khi tốc độ giảm: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, và P = T·ω với ω = 2π·n/60.

Cấp thứ nhất

nB = 960·25/48 = 500 rpm = nC

Cấp thứ hai

nout = 500·16/40 = 200 rpm

Đáp số

nout = 200 rpm

tỉ số truyền tổng = 4,8 : 1

3.Xoắn của trục

Đáp số: G = 39,01 GPa

Xoắn thanh tròn: ứng suất tiếp tăng tuyến tính từ không ở tâm đến τmax = T·r/J ở bề mặt, với J = πd⁴/32 cho trục đặc và J = π(do⁴ − di⁴)/32 cho trục rỗng. Góc xoắn là φ = TL/(GJ) tính bằng radian. Công suất và mômen xoắn liên hệ với nhau qua P = T·ω.

Mô-men quán tính độc cực và góc

J = π·20⁴/32 = 15708 mm⁴
φ = 1,87·π/180 = 0,03264 rad

Mô đun trượt

T = 50 N·m = 50000 N·mm
G = TL/(Jφ) = 50000·400/(15708·0,03264) = 39011 MPa
G = 39,01 GPa

Đáp số

G = 39,01 GPa

So sánh: thép ≈ 80 GPa, đồng thau ≈ 39 GPa, nhôm ≈ 26 GPa.

4.Xoắn của trục

Đáp số: τmax = 12,42 MPa

Xoắn thanh tròn: ứng suất tiếp tăng tuyến tính từ không ở tâm đến τmax = T·r/J ở bề mặt, với J = πd⁴/32 cho trục đặc và J = π(do⁴ − di⁴)/32 cho trục rỗng. Góc xoắn là φ = TL/(GJ) tính bằng radian. Công suất và mômen xoắn liên hệ với nhau qua P = T·ω.

Mômen xoắn

ω = 2πN/60 = 2π·1450/60 = 151,8 rad/s
T = P/ω = 75000/151,8 = 493,9 N·m

Mômen quán tính độc cực của mặt cắt

J = π(60⁴ − 30⁴)/32 = 1,193 × 10⁶ mm⁴

Ứng suất tiếp lớn nhất

τmax = T·(do/2)/J = 493929·30/1,193 × 10⁶ = 12,42 MPa

Đáp số

τmax = 12,42 MPa
5.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất

Đáp số: τabs = 80,62 MPa

Biến đổi ứng suất phẳng: trên một mặt xoay góc θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Vòng tròn Mohr cho thấy tất cả các mặt cùng lúc: tâm của nó ở C = (σₓ + σᵧ)/2 và bán kính là R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Các ứng suất chính là C ± R, và ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng là R. Trong không gian ba chiều, ứng suất cắt lớn nhất tuyệt đối là (σmax − σmin)/2 trên cả ba ứng suất chính; trong ứng suất phẳng, ứng suất thứ ba bằng không.

στxyCσ1​σ2​

Các ứng suất chính trong mặt phẳng

C = 50 MPa, R = √(70² + 40²) = 80,62 MPa
σ1 = 130,6 MPa, σ2 = −30,62 MPa, σz = 0

Vòng tròn lớn nhất trong ba vòng tròn

τ = max(|σ1 − σ2|, |σ1|, |σ2|)/2 = max(161,2, 130,6, 30,62)/2 = 80,62 MPa

Đáp số

τabs = 80,62 MPa

Ở đây σ₁ và σ₂ trái dấu, nên giá trị lớn nhất trong mặt phẳng R cũng là giá trị lớn nhất tuyệt đối.

6.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất

Đáp số: σ1 = 124,4 MPa

Biến đổi ứng suất phẳng: trên một mặt xoay góc θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Vòng tròn Mohr cho thấy tất cả các mặt cùng lúc: tâm của nó ở C = (σₓ + σᵧ)/2 và bán kính là R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Các ứng suất chính là C ± R, và ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng là R.

Các ứng suất tại bề mặt

σ = 32M/(πd³) = 32·1500000/(π·50³) = 122,2 MPa
τ = 16T/(πd³) = 16·400000/(π·50³) = 16,3 MPa
στxyCσ1​σ2​

Vòng tròn Mohr

C = σ/2 = 61,12 MPa
R = √(61,12² + 16,3²) = 63,25 MPa
σ1 = C + R = 124,4 MPa
σ2 = C − R = −2,136 MPa

Đáp số

σ1 = 124,4 MPa
7.Ứng suất và biến dạng dọc trục

Đáp số: ε = 2343 µε

Định luật Hooke: trong giới hạn đàn hồi σ = E·ε. Kết hợp với σ = P/A và ε = δ/L ta được δ = PL/(AE).

Ứng suất

A = π·25²/4 = 490,9 mm²
σ = P/A = 115·1000/490,9 = 234,3 MPa

Biến dạng (định luật Hooke)

E for đồng thau = 100 GPa = 100000 MPa.

ε = σ/E = 234,3/100000 = 0,002343 = 2343 µε

Đáp số

ε = 2343 µε
8.Ứng suất và biến dạng dọc trục

Đáp số: Pmax = 216,4 kN

Hai vật liệu: khi nối tiếp (cái này sau cái kia) mỗi đoạn chịu cùng một lực và các độ giãn dài cộng lại: δ = P·Σ L/(E·A). Khi song song (cạnh nhau giữa các tấm cứng) cả hai phần co lại cùng một lượng, nên biến dạng của chúng bằng nhau: phần cứng hơn nhận phần tải lớn hơn, Pi = P·EiAi/ΣEA, và σi = Ei·ε. Một thanh bị giữ giữa hai vách cứng với tải đặt tại chỗ nối là siêu tĩnh: hai đoạn chia tải theo tỉ lệ độ cứng k = EA/L của chúng.

Diện tích

Ar = π·25²/4 = 490,9 mm²
At = π(80² − 60²)/4 = 2199 mm²

Độ cứng dọc trục kết hợp

ΣEA = 200·10³·490,9 + 110·10³·2199 = 3,401 × 10⁸ N

Biến dạng quyết định

ε = min(0,00125, 0,0006364) = 0,0006364 (đồng thanh)

Tải lớn nhất

Pmax = 0,0006364·3,401 × 10⁸ = 216413 N = 216,4 kN

Đáp số

Pmax = 216,4 kN
9.Mất ổn định cột

Đáp số: Pcr = 13,25 kN

Mất ổn định Euler: một cột mảnh mất ổn định tại Pcr = π²EI/(KL)², trong đó KL là chiều dài tính toán: K = 1 cho khớp–khớp, 2 cho ngàm–tự do, 0,7 cho ngàm–khớp và 0,5 cho ngàm–ngàm. Cột oằn quanh trục có I nhỏ nhất. Công thức đúng với cột mảnh, có ứng suất tới hạn thấp hơn ứng suất chảy.

Mômen quán tính nhỏ nhất của mặt cắt

Mặt cắt tròn có cùng I đối với mọi trục.

I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴

Chiều dài tính toán

KL = 0,5·2000 = 1000 mm

Tải trọng tới hạn

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·19175/1000² = 13247 N = 13,25 kN

Đáp số

Pcr = 13,25 kN
10.Mất ổn định cột

Đáp số: d = 42,96 mm

Mất ổn định Euler: một cột mảnh mất ổn định tại Pcr = π²EI/(KL)², trong đó KL là chiều dài tính toán: K = 1 cho khớp–khớp, 2 cho ngàm–tự do, 0,7 cho ngàm–khớp và 0,5 cho ngàm–ngàm. Cột oằn quanh trục có I nhỏ nhất. Công thức đúng với cột mảnh, có ứng suất tới hạn thấp hơn ứng suất chảy.

Tải trọng tới hạn yêu cầu

Pcr = n·P = 3·110000 = 330000 N
KL = 1·1000 = 1000 mm

Giải tìm đường kính

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·330000·1000²/(π³·200000))^(1/4) = 42,96 mm

Đáp số

d = 42,96 mm

Kiểm tra: độ mảnh KL/r là 93,11, nên cột là mảnh và công thức Euler áp dụng được.

11.Dao động cơ học

Đáp số: fd = 1,607 Hz

Dao động tự do của hệ vật–lò xo: tần số riêng không cản là ωn = √(k/m) theo rad/s, và fn = ωn/(2π) theo Hz. Một bộ cản nhớt c cho hệ số cản ζ = c/cc, với cản tới hạn cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Hệ cản dưới tới hạn (ζ < 1) dao động ở ωd = ωn·√(1 − ζ²). Các lò xo song song cộng lại, k = k₁ + k₂; các lò xo nối tiếp cộng theo nghịch đảo, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Tần số riêng không cản

ωn = √(5000/25) = 14,14 rad/s
fn = 14,14/(2π) = 2,251 Hz

Tần số riêng có cản

fd = fn·√(1 − ζ²) = 2,251·√(1 − 0,7²) = 1,607 Hz

Đáp số

fd = 1,607 Hz
12.Dao động cơ học

Đáp số: fn = 6,752 Hz

Dao động tự do của hệ vật–lò xo: tần số riêng không cản là ωn = √(k/m) theo rad/s, và fn = ωn/(2π) theo Hz. Một bộ cản nhớt c cho hệ số cản ζ = c/cc, với cản tới hạn cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Hệ cản dưới tới hạn (ζ < 1) dao động ở ωd = ωn·√(1 − ζ²). Các lò xo song song cộng lại, k = k₁ + k₂; các lò xo nối tiếp cộng theo nghịch đảo, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Độ cứng tương đương

Các lò xo đặt cạnh nhau có chung độ võng và cộng các lực, nên độ cứng đơn giản cộng lại: k = k1 + k2.

keq = 5 + 40 = 45 kN/m

Tần số riêng

ωn = √(45000/25) = 42,43 rad/s
fn = 42,43/(2π) = 6,752 Hz

Đáp số

fn = 6,752 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design