Thiết kế máy: gói ôn nước rút

Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 12 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.

Bài mớiQuay lại môn học

Trong cửa sổ in, hãy chọn “Lưu dưới dạng PDF” để giữ một bản trên thiết bị của bạn.

1Công thức và phương pháp

Bánh răng và hệ bánh răng

Bánh răng ăn khớp
n1·N1 = n2·N2
Mômen xoắn
T2 = T1·(N2/N1)·η
Công suất
P = T·ω, ω = 2π·n/60
Hệ bánh răng ghép
tỉ số truyền tổng = tích các tỉ số truyền từng cấp

Xoắn của trục

Ứng suất tiếp
τ = T·r/J
Trục đặc
J = πd⁴/32
Trục rỗng
J = π(D⁴ − d⁴)/32
Góc xoắn
φ = TL/(GJ)
Công suất
P = T·ω = 2πnT/60

Phương pháp

  1. Tìm mômen quán tính độc cực: J = πd⁴/32 cho trục đặc.
  2. Ứng suất tiếp ở bề mặt: τ = T·r/J, với r là bán kính ngoài.
  3. Góc xoắn: φ = TL/(GJ) theo radian.
  4. Nếu cho công suất, hãy tìm mômen xoắn trước bằng P = T·ω, ω = 2πn/60.

Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất

Tâm
C = (σx + σy)/2
Bán kính
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
Ứng suất chính
σ1,2 = C ± R
Phương chính
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
Mặt phẳng nghiêng
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

Phương pháp

  1. Tính tâm của vòng tròn Mohr: C = (σx + σy)/2.
  2. Tính bán kính: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
  3. Các ứng suất chính là C ± R và ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng là R.
  4. Các góc trên vòng tròn gấp đôi các góc trên phần tử: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Ứng suất và biến dạng dọc trục

Ứng suất pháp
σ = F/A
Biến dạng
ε = ΔL/L
Định luật Hooke
σ = E·ε
Độ giãn dài
ΔL = FL/(EA)
Biến dạng nhiệt
εT = α·ΔT

Mất ổn định cột

Tải Euler
Pcr = π²EI/(KL)²
Hệ số chiều dài tính toán
K = 1 khớp–khớp, 0,5 ngàm–ngàm, 0,7 ngàm–khớp, 2 ngàm–tự do
Ứng suất tới hạn
σcr = Pcr/A
Độ mảnh
λ = KL/r, r = √(I/A)

Dao động cơ học

Tần số riêng
ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
Từ độ võng tĩnh
ωn = √(g/δst)
Cản tới hạn
cc = 2√(km) = 2mωn
Hệ số cản
ζ = c/cc
Tần số có cản
ωd = ωn√(1 − ζ²)
Giảm lượng logarit
δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Lò xo song song
k = k1 + k2
Lò xo nối tiếp
1/k = 1/k1 + 1/k2

2Bài tập

1.Bánh răng và hệ bánh răngTrung bình
N1​ = 18, m = 4 mm

Một động cơ 3 kW quay ở 1440 rpm dẫn động một bánh răng nhỏ có 18 răng và mô-đun 4 mm. Tìm lực vòng Ft trên các răng của bánh răng nhỏ.

P = 3 kWn = 1440 rpmN1 = 18m = 4 mm
Ft = N
2.Bánh răng và hệ bánh răngKhó
A = 16B = 48C = 18D = 36

Trong một hệ bánh răng ghép, bánh răng A (16 răng) trên trục vào quay 960 rpm dẫn động bánh răng B (48 răng). Bánh răng C (18 răng) được cố định trên cùng trục với B và dẫn động bánh răng D (36 răng) trên trục ra. Tìm tốc độ ra nout.

nin = 960 rpmA = 16B = 48C = 18D = 36
nout = rpm
3.Xoắn của trụcTrung bình
T = 1000 N·md = 50 mmL = 1,2 mφ = ?

Một trục đặc đồng thau được ngàm vào tường và bị xoắn bởi mômen xoắn T ở đầu tự do. Tìm góc xoắn φ của đầu tự do, theo độ.

T = 1000 N·md = 50 mmL = 1,2 mG = 39 GPa
φ = °
4.Xoắn của trụcKhó
Td = ?

Một trục đặc phải truyền 100 kW ở 1000 rpm mà ứng suất tiếp không vượt quá 60 MPa. Tìm đường kính nhỏ nhất d thỏa mãn.

P = 100 kWN = 1000 rpmτallow = 60 MPa
d = mm
5.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suấtTrung bình
σx​ = −40σy​ = −60MPaτxy​ = ?

Một điểm có σₓ = −40 MPa và σᵧ = −60 MPa. Ứng suất cắt τxy (độ lớn) có thể lớn đến mức nào trước khi ứng suất chính lớn nhất đạt −15 MPa?

σx = −40 MPaσy = −60 MPaσ1 = −15 MPa
τxy = MPa
6.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suấtKhó
σx​τxy​bề mặt trên của trục

Một trục đặc đường kính 20 mm chịu một mô-men uốn 200 N·m cùng với mô-men xoắn 250 N·m. Tại bề mặt trên, nơi ứng suất uốn là kéo và lớn nhất, hãy tìm ứng suất cắt lớn nhất trong mặt phẳng τmax.

d = 20 mmM = 200 N·mT = 250 N·m
τmax = MPa
7.Ứng suất và biến dạng dọc trụcTrung bình
Ø 30 mmThép3 mP = 35 kN

Tìm biến dạng dọc trục ε trong thanh thép, tính bằng microstrain (µε = 10⁻⁶).

P = 35 kNd = 30 mmL = 3 mE = 200 GPa
ε = µε
8.Ứng suất và biến dạng dọc trụcKhó
Ø 35 mmThép2 mØ 20 mmNhôm1 mP = 55 kN

Thanh bậc được ngàm vào tường và chịu tải ở đầu tự do. Tìm tổng độ giãn dài δ.

P = 55 kNđoạn 1: Ø35 mm, 2 m, thép (E = 200 GPa)đoạn 2: Ø20 mm, 1 m, nhôm (E = 70 GPa)
δ = mm
9.Mất ổn định cộtTrung bình
PL = 3 m25 × 80 mmmặt cắt ngang

Một cột dài L làm bằng thép được hai đầu khớp. Dùng công thức Euler, tìm tải trọng oằn tới hạn Pcr của nó.

L = 3 mE = 200 GPa (thép)b × h = 25 × 80 mm
Pcr = kN
10.Mất ổn định cộtKhó
PL = 1,5 md = 50 mmmặt cắt ngang

Một cột dài L làm bằng thép được hai đầu khớp. Tìm độ mảnh của nó và ứng suất oằn tới hạn σcr theo công thức Euler.

L = 1,5 mE = 200 GPa (thép)d = 50 mm
σcr = MPa
11.Dao động cơ họcTrung bình
k = 25 kN/mζ = 0,35m = 50 kg

Một vật 50 kg trên lò xo có độ cứng 25 kN/m có bộ cản nhớt cho hệ số cản 0,35. Tìm tần số riêng có cản fd của dao động tự do theo Hz.

m = 50 kgk = 25 kN/mζ = 0,35
fd = Hz
12.Dao động cơ họcKhó
k1​ = 20k2​ = 12k3​ = 25m = 25 kg

Một vật 25 kg treo vào lò xo k₃ = 25 kN/m. Đầu trên của k₃ được gắn vào một thanh cứng treo bằng hai lò xo đặt cạnh nhau, k₁ = 20 kN/m và k₂ = 12 kN/m; thanh giữ nằm ngang. Bỏ qua lực cản và khối lượng của các lò xo và thanh. Tìm tần số riêng fn của dao động thẳng đứng theo Hz.

m = 25 kgk1 = 20 kN/mk2 = 12 kN/mk3 = 25 kN/m
fn = Hz

3Dung dịch

1.Bánh răng và hệ bánh răng

Đáp số: Ft = 552,6 N

Gear geometry: the module m sets the tooth size. A gear with N teeth has a pitch diameter d = m·N, two meshing gears have the same module, and their centre distance is a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2. The pitch-line speed is v = π·d·n/60, and the tangential tooth force follows from the torque: Ft = 2T/d.

Mô-men trên bánh răng nhỏ

ω = 2π·1440/60 = 150,8 rad/s
T = P/ω = 3000/150,8 = 19,89 N·m

Đường kính vòng chia

d = m·N = 4·18 = 72 mm

Lực vòng

Ft = 2T/d = 2·19,89/0,072 = 552,6 N

Đáp số

Ft = 552,6 N
2.Bánh răng và hệ bánh răng

Đáp số: nout = 160 rpm

Hệ bánh răng: các bánh răng ăn khớp có cùng tốc độ tại răng, nên n₁·N₁ = n₂·N₂: bánh răng có ít răng hơn quay nhanh hơn. Các bánh răng trên cùng một trục quay cùng tốc độ. Công suất được truyền đi (trừ tổn thất), nên mômen xoắn tăng khi tốc độ giảm: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, và P = T·ω với ω = 2π·n/60.

Cấp thứ nhất

nB = 960·16/48 = 320 rpm = nC

Cấp thứ hai

nout = 320·18/36 = 160 rpm

Đáp số

nout = 160 rpm

tỉ số truyền tổng = 6 : 1

3.Xoắn của trục

Đáp số: φ = 2,873 °

Xoắn thanh tròn: ứng suất tiếp tăng tuyến tính từ không ở tâm đến τmax = T·r/J ở bề mặt, với J = πd⁴/32 cho trục đặc và J = π(do⁴ − di⁴)/32 cho trục rỗng. Góc xoắn là φ = TL/(GJ) tính bằng radian. Công suất và mômen xoắn liên hệ với nhau qua P = T·ω.

Mômen quán tính độc cực của mặt cắt

J = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴

Góc xoắn

φ = TL/(GJ) = 1000·1000·1200/(39000·613592) = 0,05015 rad
φ = 0,05015·180/π = 2,873°

Đáp số

φ = 2,873°
4.Xoắn của trục

Đáp số: d = 43,28 mm

Xoắn thanh tròn: ứng suất tiếp tăng tuyến tính từ không ở tâm đến τmax = T·r/J ở bề mặt, với J = πd⁴/32 cho trục đặc và J = π(do⁴ − di⁴)/32 cho trục rỗng. Góc xoắn là φ = TL/(GJ) tính bằng radian. Công suất và mômen xoắn liên hệ với nhau qua P = T·ω.

Mômen xoắn

ω = 2πN/60 = 2π·1000/60 = 104,7 rad/s
T = P/ω = 100000/104,7 = 954,9 N·m

Đường kính từ ứng suất cho phép

d = ∛(16T/(π·τallow)) = ∛(16·954930/(π·60)) = 43,28 mm

Đáp số

d = 43,28 mm

Trong thực tế bạn sẽ làm tròn lên kích thước tiêu chuẩn kế tiếp.

5.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất

Đáp số: τxy = 33,54 MPa

Biến đổi ứng suất phẳng: trên một mặt xoay góc θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Vòng tròn Mohr cho thấy tất cả các mặt cùng lúc: tâm của nó ở C = (σₓ + σᵧ)/2 và bán kính là R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Các ứng suất chính là C ± R, và ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng là R.

Bán kính cần thiết

C = (−40 + (−60))/2 = −50 MPa
R = σ1 − C = −15 − (−50) = 35 MPa
στxyCσ1​σ2​

Ứng suất tiếp

τxy = √(R² − ((σₓ − σᵧ)/2)²) = √(35² − 10²) = 33,54 MPa

Đáp số

τxy = 33,54 MPa
6.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất

Đáp số: τmax = 203,8 MPa

Biến đổi ứng suất phẳng: trên một mặt xoay góc θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Vòng tròn Mohr cho thấy tất cả các mặt cùng lúc: tâm của nó ở C = (σₓ + σᵧ)/2 và bán kính là R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Các ứng suất chính là C ± R, và ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng là R.

Các ứng suất tại bề mặt

σ = 32M/(πd³) = 32·200000/(π·20³) = 254,6 MPa
τ = 16T/(πd³) = 16·250000/(π·20³) = 159,2 MPa
στxyCτmax​

Vòng tròn Mohr

C = σ/2 = 127,3 MPa
R = √(127,3² + 159,2²) = 203,8 MPa

Đáp số

τmax = 203,8 MPa
7.Ứng suất và biến dạng dọc trục

Đáp số: ε = 247,6 µε

Định luật Hooke: trong giới hạn đàn hồi σ = E·ε. Kết hợp với σ = P/A và ε = δ/L ta được δ = PL/(AE).

Ứng suất

A = π·30²/4 = 706,9 mm²
σ = P/A = 35·1000/706,9 = 49,51 MPa

Biến dạng (định luật Hooke)

E for thép = 200 GPa = 200000 MPa.

ε = σ/E = 49,51/200000 = 0,0002476 = 247,6 µε

Đáp số

ε = 247,6 µε
8.Ứng suất và biến dạng dọc trục

Đáp số: δ = 3,073 mm

Cấu kiện chịu tải dọc trục: mỗi đoạn lăng trụ tuân theo δ = PL/(AE). Với các cấu kiện nối tiếp, độ giãn dài cộng lại.

Cùng một lực trong cả hai đoạn

Đầu tự do chịu lực P, nên mọi mặt cắt của thanh đều chịu cùng một lực dọc trục P. Chỉ có diện tích và vật liệu thay đổi.

A1 = π·35²/4 = 962,1 mm², A2 = π·20²/4 = 314,2 mm²
σ1 = 57,17 MPa
σ2 = 175,1 MPa

Cộng độ giãn dài của các đoạn

δ1 = σ1L1/E1 = 57,17·2000/200000 = 0,5717 mm
δ2 = σ2L2/E2 = 175,1·1000/70000 = 2,501 mm
δ = δ1 + δ2 = 3,073 mm

Đáp số

δ = 3,073 mm
9.Mất ổn định cột

Đáp số: Pcr = 22,85 kN

Mất ổn định Euler: một cột mảnh mất ổn định tại Pcr = π²EI/(KL)², trong đó KL là chiều dài tính toán: K = 1 cho khớp–khớp, 2 cho ngàm–tự do, 0,7 cho ngàm–khớp và 0,5 cho ngàm–ngàm. Cột oằn quanh trục có I nhỏ nhất. Công thức đúng với cột mảnh, có ứng suất tới hạn thấp hơn ứng suất chảy.

Mômen quán tính nhỏ nhất của mặt cắt

Hình chữ nhật oằn quanh trục yếu, dùng kích thước nhỏ hơn lập phương.

Imin = h·b³/12 = 80·25³/12 = 104167 mm⁴

Chiều dài tính toán

KL = 1·3000 = 3000 mm

Tải trọng tới hạn

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·104167/3000² = 22846 N = 22,85 kN

Đáp số

Pcr = 22,85 kN
10.Mất ổn định cột

Đáp số: σcr = 137,1 MPa

Mất ổn định Euler: một cột mảnh mất ổn định tại Pcr = π²EI/(KL)², trong đó KL là chiều dài tính toán: K = 1 cho khớp–khớp, 2 cho ngàm–tự do, 0,7 cho ngàm–khớp và 0,5 cho ngàm–ngàm. Cột oằn quanh trục có I nhỏ nhất. Công thức đúng với cột mảnh, có ứng suất tới hạn thấp hơn ứng suất chảy.

Mômen quán tính nhỏ nhất của mặt cắt

Mặt cắt tròn có cùng I đối với mọi trục.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

Bán kính quán tính và độ mảnh

A = 1963 mm²
r = √(I/A) = √(306796/1963) = 12,5 mm
KL = 1·1500 = 1500 mm
KL/r = 1500/12,5 = 120

Ứng suất tới hạn

σcr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/120² = 137,1 MPa

Đáp số

σcr = 137,1 MPa
11.Dao động cơ học

Đáp số: fd = 3,334 Hz

Dao động tự do của hệ vật–lò xo: tần số riêng không cản là ωn = √(k/m) theo rad/s, và fn = ωn/(2π) theo Hz. Một bộ cản nhớt c cho hệ số cản ζ = c/cc, với cản tới hạn cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Hệ cản dưới tới hạn (ζ < 1) dao động ở ωd = ωn·√(1 − ζ²). Các lò xo song song cộng lại, k = k₁ + k₂; các lò xo nối tiếp cộng theo nghịch đảo, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Tần số riêng không cản

ωn = √(25000/50) = 22,36 rad/s
fn = 22,36/(2π) = 3,559 Hz

Tần số riêng có cản

fd = fn·√(1 − ζ²) = 3,559·√(1 − 0,35²) = 3,334 Hz

Đáp số

fd = 3,334 Hz
12.Dao động cơ học

Đáp số: fn = 3,771 Hz

Dao động tự do của hệ vật–lò xo: tần số riêng không cản là ωn = √(k/m) theo rad/s, và fn = ωn/(2π) theo Hz. Một bộ cản nhớt c cho hệ số cản ζ = c/cc, với cản tới hạn cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Hệ cản dưới tới hạn (ζ < 1) dao động ở ωd = ωn·√(1 − ζ²). Các lò xo song song cộng lại, k = k₁ + k₂; các lò xo nối tiếp cộng theo nghịch đảo, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Độ cứng tương đương

Chỉ k1 và k2 song song. Cặp đó nối tiếp với k3, nên gộp chúng theo nghịch đảo.

k12 = 20 + 12 = 32 kN/m
keq = 32·25/(32 + 25) = 14,04 kN/m

Tần số riêng

ωn = √(14035/25) = 23,69 rad/s
fn = 23,69/(2π) = 3,771 Hz

Đáp số

fn = 3,771 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design