Bánh răng và hệ bánh răng
- Bánh răng ăn khớp
- n1·N1 = n2·N2
- Mômen xoắn
- T2 = T1·(N2/N1)·η
- Công suất
- P = T·ω, ω = 2π·n/60
- Hệ bánh răng ghép
- tỉ số truyền tổng = tích các tỉ số truyền từng cấp
Thiết kế máy: gói ôn nước rút
Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 12 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.
1Công thức và phương pháp
Xoắn của trục
- Ứng suất tiếp
- τ = T·r/J
- Trục đặc
- J = πd⁴/32
- Trục rỗng
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- Góc xoắn
- φ = TL/(GJ)
- Công suất
- P = T·ω = 2πnT/60
Phương pháp
- Tìm mômen quán tính độc cực: J = πd⁴/32 cho trục đặc.
- Ứng suất tiếp ở bề mặt: τ = T·r/J, với r là bán kính ngoài.
- Góc xoắn: φ = TL/(GJ) theo radian.
- Nếu cho công suất, hãy tìm mômen xoắn trước bằng P = T·ω, ω = 2πn/60.
Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất
- Tâm
- C = (σx + σy)/2
- Bán kính
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- Ứng suất chính
- σ1,2 = C ± R
- Phương chính
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- Mặt phẳng nghiêng
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
Phương pháp
- Tính tâm của vòng tròn Mohr: C = (σx + σy)/2.
- Tính bán kính: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
- Các ứng suất chính là C ± R và ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng là R.
- Các góc trên vòng tròn gấp đôi các góc trên phần tử: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).
Ứng suất và biến dạng dọc trục
- Ứng suất pháp
- σ = F/A
- Biến dạng
- ε = ΔL/L
- Định luật Hooke
- σ = E·ε
- Độ giãn dài
- ΔL = FL/(EA)
- Biến dạng nhiệt
- εT = α·ΔT
Mất ổn định cột
- Tải Euler
- Pcr = π²EI/(KL)²
- Hệ số chiều dài tính toán
- K = 1 khớp–khớp, 0,5 ngàm–ngàm, 0,7 ngàm–khớp, 2 ngàm–tự do
- Ứng suất tới hạn
- σcr = Pcr/A
- Độ mảnh
- λ = KL/r, r = √(I/A)
Dao động cơ học
- Tần số riêng
- ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
- Từ độ võng tĩnh
- ωn = √(g/δst)
- Cản tới hạn
- cc = 2√(km) = 2mωn
- Hệ số cản
- ζ = c/cc
- Tần số có cản
- ωd = ωn√(1 − ζ²)
- Giảm lượng logarit
- δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
- Lò xo song song
- k = k1 + k2
- Lò xo nối tiếp
- 1/k = 1/k1 + 1/k2
2Bài tập
1.Bánh răng và hệ bánh răngTrung bình
Một động cơ 5,5 kW quay ở 1450 rpm dẫn động một bánh răng nhỏ có 20 răng và mô-đun 4 mm. Tìm lực vòng Ft trên các răng của bánh răng nhỏ.
P = 5,5 kWn = 1450 rpmN1 = 20m = 4 mm
Ft = N
2.Bánh răng và hệ bánh răngKhó
Trong một hệ bánh răng ghép, bánh răng A (32 răng) trên trục vào quay 2900 rpm dẫn động bánh răng B (50 răng). Bánh răng C (12 răng) được cố định trên cùng trục với B và dẫn động bánh răng D (30 răng) trên trục ra. Tìm tốc độ ra nout.
nin = 2900 rpmA = 32B = 50C = 12D = 30
nout = rpm
3.Xoắn của trụcTrung bình
Một trục rỗng thép (đường kính ngoài 40 mm, đường kính trong 24 mm, chiều dài 2,5 m) được ngàm một đầu và bị xoắn bởi mô-men xoắn 400 N·m ở đầu kia. Tìm góc xoắn φ theo độ.
T = 400 N·mdo = 40 mmdi = 24 mmL = 2,5 mG = 80 GPa
φ = °
4.Xoắn của trụcKhó
Một trục rỗng truyền 75 kW ở 1800 rpm. Tìm ứng suất tiếp lớn nhất τmax trong trục.
P = 75 kWN = 1800 rpmdo = 60 mmdi = 42 mm
τmax = MPa
5.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suấtTrung bình
Một điểm có σₓ = 140 MPa, σᵧ = −80 MPa và τₓᵧ = −40 MPa (kéo là dương). Phân tố được xoay 50° ngược chiều kim đồng hồ. Tìm ứng suất pháp σy′ trên các mặt của phân tố đã xoay vuông góc với trục y′ sau khi xoay.
σx = 140 MPaσy = −80 MPaτxy = −40 MPaθ = 50°
σy′ = MPa
6.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suấtKhó
Một điểm trong một tấm mỏng ở trạng thái ứng suất phẳng: σₓ = 120 MPa, σᵧ = 100 MPa và τₓᵧ = −50 MPa (σz = 0). Vật liệu có giới hạn chảy 460 MPa. Tìm hệ số an toàn n chống chảy theo tiêu chuẩn von Mises (năng lượng biến dạng hình dạng).
σx = 120 MPaσy = 100 MPaτxy = −50 MPaσY = 460 MPa
n =
7.Ứng suất và biến dạng dọc trụcTrung bình
Tìm độ giãn dài δ của thanh thép dưới tải trọng dọc trục.
P = 25 kNd = 12 mmL = 0,5 mE = 200 GPa
δ = mm
8.Ứng suất và biến dạng dọc trụcKhó
Thanh bậc được ngàm vào tường và chịu tải ở đầu tự do. Tìm ứng suất pháp lớn nhất σmax trong thanh.
P = 105 kNđoạn 1: Ø30 mm, 2 m, đồng thau (E = 100 GPa)đoạn 2: Ø12 mm, 1 m, nhôm (E = 70 GPa)
σmax = MPa
9.Mất ổn định cộtTrung bình
Một cột dài L làm bằng thép được ngàm cả hai đầu. Dùng công thức Euler, tìm tải trọng oằn tới hạn Pcr của nó.
L = 5 mE = 200 GPa (thép)d = 25 mm
Pcr = kN
10.Mất ổn định cộtKhó
Một cột tròn đặc dài L làm bằng nhôm được ngàm cả hai đầu. Nó phải chịu 110 kN với hệ số an toàn 3 chống oằn. Tìm đường kính nhỏ nhất d.
P = 110 kNn = 3L = 5 mE = 70 GPa (nhôm)
d = mm
11.Dao động cơ họcTrung bình
Trong một thí nghiệm dao động tự do của hệ vật–lò xo có cản, một đỉnh độ dời 15 mm được theo sau 4 chu kỳ sau bởi đỉnh 3,3 mm. Tìm hệ số cản ζ.
x0 = 15 mmx4 = 3,3 mmn = 4
ζ =
12.Dao động cơ họcKhó
Một vật 20 kg treo vào hai lò xo đặt cạnh nhau (song song), có độ cứng k₁ = 60 kN/m và k₂ = 100 kN/m. Vật giữ nằm ngang. Tìm độ cứng tương đương keq của hệ lò xo theo kN/m.
m = 20 kgk1 = 60 kN/mk2 = 100 kN/m
keq = kN/m
3Dung dịch
1.Bánh răng và hệ bánh răng
Đáp số: Ft = 905,5 N
Gear geometry: the module m sets the tooth size. A gear with N teeth has a pitch diameter d = m·N, two meshing gears have the same module, and their centre distance is a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2. The pitch-line speed is v = π·d·n/60, and the tangential tooth force follows from the torque: Ft = 2T/d.
Mô-men trên bánh răng nhỏ
ω = 2π·1450/60 = 151,8 rad/s
T = P/ω = 5500/151,8 = 36,22 N·m
Đường kính vòng chia
d = m·N = 4·20 = 80 mm
Lực vòng
Ft = 2T/d = 2·36,22/0,08 = 905,5 N
Đáp số
Ft = 905,5 N
2.Bánh răng và hệ bánh răng
Đáp số: nout = 742,4 rpm
Hệ bánh răng: các bánh răng ăn khớp có cùng tốc độ tại răng, nên n₁·N₁ = n₂·N₂: bánh răng có ít răng hơn quay nhanh hơn. Các bánh răng trên cùng một trục quay cùng tốc độ. Công suất được truyền đi (trừ tổn thất), nên mômen xoắn tăng khi tốc độ giảm: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, và P = T·ω với ω = 2π·n/60.
Cấp thứ nhất
nB = 2900·32/50 = 1856 rpm = nC
Cấp thứ hai
nout = 1856·12/30 = 742,4 rpm
Đáp số
nout = 742,4 rpm
tỉ số truyền tổng = 3,906 : 1
3.Xoắn của trục
Đáp số: φ = 3,274 °
Xoắn thanh tròn: ứng suất tiếp tăng tuyến tính từ không ở tâm đến τmax = T·r/J ở bề mặt, với J = πd⁴/32 cho trục đặc và J = π(do⁴ − di⁴)/32 cho trục rỗng. Góc xoắn là φ = TL/(GJ) tính bằng radian. Công suất và mômen xoắn liên hệ với nhau qua P = T·ω.
Mômen quán tính độc cực của mặt cắt
J = π(40⁴ − 24⁴)/32 = 218755 mm⁴
Góc xoắn
T = 400 N·m = 400000 N·mm
L = 2,5 m = 2500 mm
G = 80 GPa = 80000 MPa
φ = TL/(GJ) = 400000·2500/(80000·218755) = 0,05714 rad
φ = 0,05714·180/π = 3,274°
Đáp số
φ = 3,274°
4.Xoắn của trục
Đáp số: τmax = 12,35 MPa
Xoắn thanh tròn: ứng suất tiếp tăng tuyến tính từ không ở tâm đến τmax = T·r/J ở bề mặt, với J = πd⁴/32 cho trục đặc và J = π(do⁴ − di⁴)/32 cho trục rỗng. Góc xoắn là φ = TL/(GJ) tính bằng radian. Công suất và mômen xoắn liên hệ với nhau qua P = T·ω.
Mômen xoắn
ω = 2πN/60 = 2π·1800/60 = 188,5 rad/s
T = P/ω = 75000/188,5 = 397,9 N·m
Mômen quán tính độc cực của mặt cắt
J = π(60⁴ − 42⁴)/32 = 966855 mm⁴
Ứng suất tiếp lớn nhất
τmax = T·(do/2)/J = 397887·30/966855 = 12,35 MPa
Đáp số
τmax = 12,35 MPa
5.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất
Đáp số: σy′ = 88,49 MPa
Biến đổi ứng suất phẳng: trên một mặt xoay góc θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Vòng tròn Mohr cho thấy tất cả các mặt cùng lúc: tâm của nó ở C = (σₓ + σᵧ)/2 và bán kính là R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Các ứng suất chính là C ± R, và ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng là R.
Phương trình biến đổi cho mặt y′
σy′ = 30 − 110·(−0,1736) − (−40)·0,9848 = 88,49 MPa
Kiểm tra
Tổng các ứng suất pháp không thay đổi khi xoay.
σx′ = −28,49 MPa, σx′ + σy′ = 60 = σx + σy
Đáp số
σy′ = 88,49 MPa
6.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất
Đáp số: n = 3,261
Biến đổi ứng suất phẳng: trên một mặt xoay góc θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Vòng tròn Mohr cho thấy tất cả các mặt cùng lúc: tâm của nó ở C = (σₓ + σᵧ)/2 và bán kính là R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Các ứng suất chính là C ± R, và ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng là R. Tiêu chuẩn chảy: von Mises dự đoán vật liệu chảy khi σvM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) đạt σY; Tresca khi ứng suất cắt lớn nhất tuyệt đối đạt σY/2.
Ứng suất chính
C = 110 MPa, R = 50,99 MPa
σ1 = 161 MPa, σ2 = 59,01 MPa, σ3 = 0
Von Mises
σvM = √(161² − 161·59,01 + 59,01²) = 141,1 MPa
n = 460/141,1 = 3,261
Đáp số
n = 3,261
n > 1 nghĩa là điểm không bị chảy; Tresca thận trọng hơn von Mises một chút.
7.Ứng suất và biến dạng dọc trục
Đáp số: δ = 0,5526 mm
Định luật Hooke: trong giới hạn đàn hồi σ = E·ε. Kết hợp với σ = P/A và ε = δ/L ta được δ = PL/(AE).
Ứng suất
A = π·12²/4 = 113,1 mm²
σ = P/A = 25·1000/113,1 = 221 MPa
Biến dạng (định luật Hooke)
E for thép = 200 GPa = 200000 MPa.
ε = σ/E = 221/200000 = 0,001105 = 1105 µε
Độ giãn dài
δ = ε·L = 0,001105·500 mm = 0,5526 mm
Đáp số
δ = 0,5526 mm
8.Ứng suất và biến dạng dọc trục
Đáp số: σmax = 928,4 MPa
Cấu kiện chịu tải dọc trục: mỗi đoạn lăng trụ tuân theo δ = PL/(AE). Với các cấu kiện nối tiếp, độ giãn dài cộng lại.
Cùng một lực trong cả hai đoạn
Đầu tự do chịu lực P, nên mọi mặt cắt của thanh đều chịu cùng một lực dọc trục P. Chỉ có diện tích và vật liệu thay đổi.
A1 = π·30²/4 = 706,9 mm², A2 = π·12²/4 = 113,1 mm²
σ1 = 148,5 MPa
σ2 = 928,4 MPa
Ứng suất lớn nhất
Đoạn mảnh hơn có diện tích nhỏ hơn, nên chịu ứng suất lớn hơn.
σmax = 928,4 MPa
Đáp số
σmax = 928,4 MPa
9.Mất ổn định cột
Đáp số: Pcr = 6,056 kN
Mất ổn định Euler: một cột mảnh mất ổn định tại Pcr = π²EI/(KL)², trong đó KL là chiều dài tính toán: K = 1 cho khớp–khớp, 2 cho ngàm–tự do, 0,7 cho ngàm–khớp và 0,5 cho ngàm–ngàm. Cột oằn quanh trục có I nhỏ nhất. Công thức đúng với cột mảnh, có ứng suất tới hạn thấp hơn ứng suất chảy.
Mômen quán tính nhỏ nhất của mặt cắt
Mặt cắt tròn có cùng I đối với mọi trục.
I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴
Chiều dài tính toán
KL = 0,5·5000 = 2500 mm
Tải trọng tới hạn
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·19175/2500² = 6056 N = 6,056 kN
Đáp số
Pcr = 6,056 kN
10.Mất ổn định cột
Đáp số: d = 88,31 mm
Mất ổn định Euler: một cột mảnh mất ổn định tại Pcr = π²EI/(KL)², trong đó KL là chiều dài tính toán: K = 1 cho khớp–khớp, 2 cho ngàm–tự do, 0,7 cho ngàm–khớp và 0,5 cho ngàm–ngàm. Cột oằn quanh trục có I nhỏ nhất. Công thức đúng với cột mảnh, có ứng suất tới hạn thấp hơn ứng suất chảy.
Tải trọng tới hạn yêu cầu
Pcr = n·P = 3·110000 = 330000 N
KL = 0,5·5000 = 2500 mm
Giải tìm đường kính
d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·330000·2500²/(π³·70000))^(1/4) = 88,31 mm
Đáp số
d = 88,31 mm
Kiểm tra: độ mảnh KL/r là 113,2, nên cột là mảnh và công thức Euler áp dụng được.
11.Dao động cơ học
Đáp số: ζ = 0,06014
Dao động tự do của hệ vật–lò xo: tần số riêng không cản là ωn = √(k/m) theo rad/s, và fn = ωn/(2π) theo Hz. Một bộ cản nhớt c cho hệ số cản ζ = c/cc, với cản tới hạn cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Hệ cản dưới tới hạn (ζ < 1) dao động ở ωd = ωn·√(1 − ζ²). Các lò xo song song cộng lại, k = k₁ + k₂; các lò xo nối tiếp cộng theo nghịch đảo, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Giảm lượng logarit
δ = (1/4)·ln(15/3,3) = 0,3785
Hệ số cản
ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0,3785/√(39,48 + 0,1433) = 0,06014
Đáp số
ζ = 0,06014
12.Dao động cơ học
Đáp số: keq = 160 kN/m
Dao động tự do của hệ vật–lò xo: tần số riêng không cản là ωn = √(k/m) theo rad/s, và fn = ωn/(2π) theo Hz. Một bộ cản nhớt c cho hệ số cản ζ = c/cc, với cản tới hạn cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Hệ cản dưới tới hạn (ζ < 1) dao động ở ωd = ωn·√(1 − ζ²). Các lò xo song song cộng lại, k = k₁ + k₂; các lò xo nối tiếp cộng theo nghịch đảo, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Độ cứng tương đương
Các lò xo đặt cạnh nhau có chung độ võng và cộng các lực, nên độ cứng đơn giản cộng lại: k = k1 + k2.
keq = 60 + 100 = 160 kN/m
Đáp số
keq = 160 kN/m
ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design