Thiết kế máy: gói ôn nước rút

Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 12 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.

Bài mới Quay lại môn học

Trong cửa sổ in, hãy chọn “Lưu dưới dạng PDF” để giữ một bản trên thiết bị của bạn.

1Công thức và phương pháp

Bánh răng và hệ bánh răng

Bánh răng ăn khớp: n₁·N₁ = n₂·N₂
Mômen xoắn: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Công suất: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Hệ bánh răng ghép: tỉ số truyền tổng = tích các tỉ số truyền từng cấp

Xoắn của trục

Ứng suất tiếp: τ = T·r/J
Trục đặc: J = πd⁴/32
Trục rỗng: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Góc xoắn: φ = TL/(GJ)
Công suất: P = T·ω = 2πnT/60

Phương pháp

Tìm mômen quán tính độc cực: J = πd⁴/32 cho trục đặc.
Ứng suất tiếp ở bề mặt: τ = T·r/J, với r là bán kính ngoài.
Góc xoắn: φ = TL/(GJ) theo radian.
Nếu cho công suất, hãy tìm mômen xoắn trước bằng P = T·ω, ω = 2πn/60.

Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất

Tâm: C = (σ_x + σ_y)/2
Bán kính: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Ứng suất chính: σ_1,2 = C ± R
Phương chính: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Mặt phẳng nghiêng: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Phương pháp

Tính tâm của vòng tròn Mohr: C = (σx + σy)/2.
Tính bán kính: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Các ứng suất chính là C ± R và ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng là R.
Các góc trên vòng tròn gấp đôi các góc trên phần tử: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Ứng suất và biến dạng dọc trục

Ứng suất pháp: σ = F/A
Biến dạng: ε = ΔL/L
Định luật Hooke: σ = E·ε
Độ giãn dài: ΔL = FL/(EA)
Biến dạng nhiệt: ε_T = α·ΔT

Mất ổn định cột

Tải Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Hệ số chiều dài tính toán: K = 1 khớp–khớp, 0,5 ngàm–ngàm, 0,7 ngàm–khớp, 2 ngàm–tự do
Ứng suất tới hạn: σ_cr = P_cr/A
Độ mảnh: λ = KL/r, r = √(I/A)

Dao động cơ học

Tần số riêng: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Từ độ võng tĩnh: ω_n = √(g/δ_st)
Cản tới hạn: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Hệ số cản: ζ = c/c_c
Tần số có cản: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Giảm lượng logarit: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Lò xo song song: k = k₁ + k₂
Lò xo nối tiếp: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Bài tập

1.Bánh răng và hệ bánh răngTrung bình

Một động cơ 1,5 kW chạy ở 1500 rpm dẫn động một bánh răng nhỏ có 25 răng, ăn khớp với một bánh răng có 80 răng. Cặp bánh răng có hiệu suất 97%. Tìm mômen xoắn T₁ trên trục động cơ.

P = 1,5 kWn₁ = 1500 rpmN₁ = 25N₂ = 80η = 97%

T₁ = N·m

2.Bánh răng và hệ bánh răngKhó

Một dây đai hở nối puli dẫn 125 mm ở 720 vòng/phút với puli 315 mm; tâm cách nhau 600 mm. Hệ số ma sát là 0,25 và lực căng nhánh căng không được vượt quá 1200 N. Tìm công suất lớn nhất P mà dây đai có thể truyền mà không trượt, theo kW (bỏ qua hiệu ứng ly tâm).

d₁ = 125 mmn₁ = 720 rpmd₂ = 315 mmC = 600 mmμ = 0,25T₁ = 1200 N

P = kW

3.Xoắn của trụcTrung bình

Một trục rỗng phải chịu mô-men xoắn 400 N·m. Đường kính trong của nó bằng 0,6 lần đường kính ngoài, và ứng suất cắt không được vượt quá 50 MPa. Tìm đường kính ngoài nhỏ nhất d_o.

T = 400 N·md_i/d_o = 0,6τ_allow = 50 MPa

d_o = mm

4.Xoắn của trụcKhó

Một trục rỗng truyền 5 kW ở 500 rpm. Tìm ứng suất tiếp lớn nhất τ_max trong trục.

P = 5 kWN = 500 rpmd_o = 50 mmd_i = 30 mm

τ_max = MPa

5.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suấtTrung bình

Một điểm có σₓ = −10 MPa, σᵧ = −10 MPa và τₓᵧ = −40 MPa (kéo là dương). Phân tố được xoay 45° cùng chiều kim đồng hồ. Tìm ứng suất pháp σ_y′ trên các mặt của phân tố đã xoay vuông góc với trục y′ sau khi xoay.

σ_x = −10 MPaσ_y = −10 MPaτ_xy = −40 MPaθ = -45°

σ_y′ = MPa

6.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suấtKhó

Một bể hình trụ thành mỏng có đường kính trong 400 mm và chiều dày thành 10 mm chứa khí ở áp suất dư 1 MPa. Nó được làm từ tấm thép hàn theo một đường hàn xoắn ốc nghiêng 50° so với trục của hình trụ. Tìm độ lớn của ứng suất cắt |τ_n| tác dụng dọc theo đường hàn.

D = 400 mmt = 10 mmp = 1 MPaα = 50°

|τ_n| = MPa

7.Ứng suất và biến dạng dọc trụcTrung bình

Một thanh gồm một đoạn thép (đường kính 30 mm, chiều dài 600 mm, E = 200 GPa) nối đầu với đầu với một đoạn làm bằng đồng (đường kính 50 mm, chiều dài 500 mm, E = 120 GPa). Nó được ngàm một đầu và bị kéo ở đầu kia. Tìm tải dọc trục P làm nó giãn tổng cộng 0,3 mm.

đoạn 1: thép, Ø30 mm, 600 mm, E = 200 GPađoạn 2: đồng, Ø50 mm, 500 mm, E = 120 GPaδ = 0,3 mm

P = kN

8.Ứng suất và biến dạng dọc trụcKhó

Thanh bậc được ngàm vào tường và chịu tải ở đầu tự do. Tìm ứng suất pháp lớn nhất σ_max trong thanh.

P = 65 kNđoạn 1: Ø25 mm, 1,5 m, đồng thau (E = 100 GPa)đoạn 2: Ø12 mm, 2 m, đồng thau (E = 100 GPa)

σ_max = MPa

9.Mất ổn định cộtTrung bình

Một cột dài L làm bằng thép được ngàm ở chân và khớp ở đỉnh. Dùng công thức Euler, tìm tải trọng oằn tới hạn P_cr của nó.

L = 1,5 mE = 200 GPa (thép)d = 40 mm

P_cr = kN

10.Mất ổn định cộtKhó

Một cột tròn đặc dài L làm bằng thép được ngàm cả hai đầu. Nó phải chịu 150 kN với hệ số an toàn 3 chống oằn. Tìm đường kính nhỏ nhất d.

P = 150 kNn = 3L = 6 mE = 200 GPa (thép)

d = mm

11.Dao động cơ họcTrung bình

Một vật 12 kg được đỡ bởi một lò xo có độ cứng 50 kN/m và một bộ cản nhớt có hệ số cản 930 N·s/m. Tìm hệ số cản ζ.

m = 12 kgk = 50 kN/mc = 930 N·s/m

ζ =

12.Dao động cơ họcKhó

Một vật 40 kg treo vào lò xo k₃ = 100 kN/m. Đầu trên của k₃ được gắn vào một thanh cứng treo bằng hai lò xo đặt cạnh nhau, k₁ = 20 kN/m và k₂ = 15 kN/m; thanh giữ nằm ngang. Bỏ qua lực cản và khối lượng của các lò xo và thanh. Tìm tần số riêng f_n của dao động thẳng đứng theo Hz.

m = 40 kgk₁ = 20 kN/mk₂ = 15 kN/mk₃ = 100 kN/m

f_n = Hz

3Dung dịch

1.Bánh răng và hệ bánh răng

Đáp số: T₁ = 9,549 N·m

Hệ bánh răng: các bánh răng ăn khớp có cùng tốc độ tại răng, nên n₁·N₁ = n₂·N₂: bánh răng có ít răng hơn quay nhanh hơn. Các bánh răng trên cùng một trục quay cùng tốc độ. Công suất được truyền đi (trừ tổn thất), nên mômen xoắn tăng khi tốc độ giảm: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, và P = T·ω với ω = 2π·n/60.

Mômen xoắn động cơ

ω₁ = 2π·1500/60 = 157,1 rad/s

T₁ = P/ω₁ = 1500/157,1 = 9,549 N·m

Đáp số

T₁ = 9,549 N·m

2.Bánh răng và hệ bánh răng

Đáp số: P = 2,863 kW

Truyền động đai: khi không trượt, cả hai puli có cùng tốc độ mép v = π·d·n/60, nên n₁·d₁ = n₂·d₂ và tỉ số tốc độ là d₂/d₁. Độ trượt s làm puli bị dẫn chậm hơn một chút: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). Công suất truyền là P = (T₁ − T₂)·v, với T₁ là lực căng ở nhánh căng và T₂ ở nhánh chùng. Ma sát giới hạn tỉ số các lực căng: T₁/T₂ = e^μθ, trong đó θ là góc ôm tính theo radian trên puli nhỏ hơn; với đai hở θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) với khoảng cách tâm C.

Góc ôm

θ = 2,824 rad

Lực căng nhánh chùng

e^μθ = e^0,7059 = 2,026, T₂ = 1200/2,026 = 592,4 N

Công suất

P = (1200 − 592,4)·4,712 = 2,863 kW

Đáp số

P = 2,863 kW

3.Xoắn của trục

Đáp số: d_o = 36,04 mm

Xoắn thanh tròn: ứng suất tiếp tăng tuyến tính từ không ở tâm đến τ_max = T·r/J ở bề mặt, với J = πd⁴/32 cho trục đặc và J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 cho trục rỗng. Góc xoắn là φ = TL/(GJ) tính bằng radian. Công suất và mômen xoắn liên hệ với nhau qua P = T·ω.

Đường kính ngoài từ ứng suất cho phép

T = 400 N·m = 400000 N·mm

1 − k⁴ = 1 − 0,6⁴ = 0,8704

d_o = ∛(16T/(π·τ_allow·(1 − k⁴))) = ∛(16·400000/(π·50·0,8704)) = 36,04 mm

d_i = 0,6·36,04 = 21,62 mm

Đáp số

d_o = 36,04 mm

Một trục đặc sẽ cần d = 34,41 mm; trục rỗng lớn hơn một chút nhưng nhẹ hơn nhiều.

4.Xoắn của trục

Đáp số: τ_max = 4,47 MPa

Mômen xoắn

ω = 2πN/60 = 2π·500/60 = 52,36 rad/s

T = P/ω = 5000/52,36 = 95,49 N·m

Mômen quán tính độc cực của mặt cắt

J = π(50⁴ − 30⁴)/32 = 534071 mm⁴

Ứng suất tiếp lớn nhất

τ_max = T·(d_o/2)/J = 95493·25/534071 = 4,47 MPa

Đáp số

τ_max = 4,47 MPa

5.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất

Đáp số: σ_y′ = −50 MPa

Biến đổi ứng suất phẳng: trên một mặt xoay góc θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Vòng tròn Mohr cho thấy tất cả các mặt cùng lúc: tâm của nó ở C = (σₓ + σᵧ)/2 và bán kính là R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Các ứng suất chính là C ± R, và ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng là R.

Phương trình biến đổi cho mặt y′

σ_y′ = −10 − 0·0 − (−40)·(−1) = −50 MPa

Kiểm tra

Tổng các ứng suất pháp không thay đổi khi xoay.

σ_x′ = 30 MPa, σ_x′ + σ_y′ = −20 = σ_x + σ_y

Đáp số

σ_y′ = −50 MPa

6.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất

Đáp số: |τ_n| = 4,924 MPa

Các ứng suất trong thành

r = 400/2 = 200 mm

σ_h = pr/t = 1·200/10 = 20 MPa

σ_a = pr/(2t) = 10 MPa

Biến đổi sang đường hàn

Lấy x dọc theo trục (σ_a) và y theo chiều vòng (σ_h). Pháp tuyến của đường hàn tạo góc 90° − α với trục.

|τ_n| = (20 − 10)·sin 50°·cos 50° = 4,924 MPa

Đáp số

|τ_n| = 4,924 MPa

7.Ứng suất và biến dạng dọc trục

Đáp số: P = 47,12 kN

Hai vật liệu: khi nối tiếp (cái này sau cái kia) mỗi đoạn chịu cùng một lực và các độ giãn dài cộng lại: δ = P·Σ L/(E·A). Khi song song (cạnh nhau giữa các tấm cứng) cả hai phần co lại cùng một lượng, nên biến dạng của chúng bằng nhau: phần cứng hơn nhận phần tải lớn hơn, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, và σ_i = E_i·ε. Một thanh bị giữ giữa hai vách cứng với tải đặt tại chỗ nối là siêu tĩnh: hai đoạn chia tải theo tỉ lệ độ cứng k = EA/L của chúng.

Diện tích

A₁ = 706,9 mm², A₂ = 1963 mm²

Các độ mềm

L₁/(E₁A₁) = 600/(200000·706,9) = 4,244 × 10⁻⁶ mm/N

L₂/(E₂A₂) = 500/(120000·1963) = 2,122 × 10⁻⁶ mm/N

Tải

P = 0,3/6,366 × 10⁻⁶ = 47124 N = 47,12 kN

Đáp số

P = 47,12 kN

8.Ứng suất và biến dạng dọc trục

Đáp số: σ_max = 574,7 MPa

Cấu kiện chịu tải dọc trục: mỗi đoạn lăng trụ tuân theo δ = PL/(AE). Với các cấu kiện nối tiếp, độ giãn dài cộng lại.

Cùng một lực trong cả hai đoạn

Đầu tự do chịu lực P, nên mọi mặt cắt của thanh đều chịu cùng một lực dọc trục P. Chỉ có diện tích và vật liệu thay đổi.

A₁ = π·25²/4 = 490,9 mm², A₂ = π·12²/4 = 113,1 mm²

σ₁ = 132,4 MPa

σ₂ = 574,7 MPa

Ứng suất lớn nhất

Đoạn mảnh hơn có diện tích nhỏ hơn, nên chịu ứng suất lớn hơn.

σ_max = 574,7 MPa

Đáp số

σ_max = 574,7 MPa

9.Mất ổn định cột

Đáp số: P_cr = 225 kN

Mất ổn định Euler: một cột mảnh mất ổn định tại P_cr = π²EI/(KL)², trong đó KL là chiều dài tính toán: K = 1 cho khớp–khớp, 2 cho ngàm–tự do, 0,7 cho ngàm–khớp và 0,5 cho ngàm–ngàm. Cột oằn quanh trục có I nhỏ nhất. Công thức đúng với cột mảnh, có ứng suất tới hạn thấp hơn ứng suất chảy.

Mômen quán tính nhỏ nhất của mặt cắt

Mặt cắt tròn có cùng I đối với mọi trục.

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

Chiều dài tính toán

KL = 0,7·1500 = 1050 mm

Tải trọng tới hạn

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·125664/1050² = 224989 N = 225 kN

Đáp số

P_cr = 225 kN

10.Mất ổn định cột

Đáp số: d = 80,41 mm

Tải trọng tới hạn yêu cầu

P_cr = n·P = 3·150000 = 450000 N

KL = 0,5·6000 = 3000 mm

Giải tìm đường kính

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·450000·3000²/(π³·200000))^(1/4) = 80,41 mm

Đáp số

d = 80,41 mm

Kiểm tra: độ mảnh KL/r là 149,2, nên cột là mảnh và công thức Euler áp dụng được.

11.Dao động cơ học

Đáp số: ζ = 0,6003

Dao động tự do của hệ vật–lò xo: tần số riêng không cản là ω_n = √(k/m) theo rad/s, và f_n = ω_n/(2π) theo Hz. Một bộ cản nhớt c cho hệ số cản ζ = c/c_c, với cản tới hạn c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Hệ cản dưới tới hạn (ζ < 1) dao động ở ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Các lò xo song song cộng lại, k = k₁ + k₂; các lò xo nối tiếp cộng theo nghịch đảo, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Cản tới hạn

c_c = 2·√(k·m) = 2·√(50000·12) = 1549 N·s/m

Hệ số cản

ζ = c/c_c = 930/1549 = 0,6003

Đáp số

ζ = 0,6003

ζ < 1, nên hệ cản dưới tới hạn và dao động khi tắt dần.

12.Dao động cơ học

Đáp số: f_n = 4,052 Hz

Độ cứng tương đương

Chỉ k₁ và k₂ song song. Cặp đó nối tiếp với k₃, nên gộp chúng theo nghịch đảo.

k₁₂ = 20 + 15 = 35 kN/m

k_eq = 35·100/(35 + 100) = 25,93 kN/m

Tần số riêng

ω_n = √(25926/40) = 25,46 rad/s

f_n = 25,46/(2π) = 4,052 Hz

Đáp số

f_n = 4,052 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design