Bánh răng và hệ bánh răng
- Bánh răng ăn khớp
- n1·N1 = n2·N2
- Mômen xoắn
- T2 = T1·(N2/N1)·η
- Công suất
- P = T·ω, ω = 2π·n/60
- Hệ bánh răng ghép
- tỉ số truyền tổng = tích các tỉ số truyền từng cấp
Thiết kế máy: gói ôn nước rút
Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 12 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.
1Công thức và phương pháp
Xoắn của trục
- Ứng suất tiếp
- τ = T·r/J
- Trục đặc
- J = πd⁴/32
- Trục rỗng
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- Góc xoắn
- φ = TL/(GJ)
- Công suất
- P = T·ω = 2πnT/60
Phương pháp
- Tìm mômen quán tính độc cực: J = πd⁴/32 cho trục đặc.
- Ứng suất tiếp ở bề mặt: τ = T·r/J, với r là bán kính ngoài.
- Góc xoắn: φ = TL/(GJ) theo radian.
- Nếu cho công suất, hãy tìm mômen xoắn trước bằng P = T·ω, ω = 2πn/60.
Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất
- Tâm
- C = (σx + σy)/2
- Bán kính
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- Ứng suất chính
- σ1,2 = C ± R
- Phương chính
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- Mặt phẳng nghiêng
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
Phương pháp
- Tính tâm của vòng tròn Mohr: C = (σx + σy)/2.
- Tính bán kính: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
- Các ứng suất chính là C ± R và ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng là R.
- Các góc trên vòng tròn gấp đôi các góc trên phần tử: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).
Ứng suất và biến dạng dọc trục
- Ứng suất pháp
- σ = F/A
- Biến dạng
- ε = ΔL/L
- Định luật Hooke
- σ = E·ε
- Độ giãn dài
- ΔL = FL/(EA)
- Biến dạng nhiệt
- εT = α·ΔT
Mất ổn định cột
- Tải Euler
- Pcr = π²EI/(KL)²
- Hệ số chiều dài tính toán
- K = 1 khớp–khớp, 0,5 ngàm–ngàm, 0,7 ngàm–khớp, 2 ngàm–tự do
- Ứng suất tới hạn
- σcr = Pcr/A
- Độ mảnh
- λ = KL/r, r = √(I/A)
Dao động cơ học
- Tần số riêng
- ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
- Từ độ võng tĩnh
- ωn = √(g/δst)
- Cản tới hạn
- cc = 2√(km) = 2mωn
- Hệ số cản
- ζ = c/cc
- Tần số có cản
- ωd = ωn√(1 − ζ²)
- Giảm lượng logarit
- δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
- Lò xo song song
- k = k1 + k2
- Lò xo nối tiếp
- 1/k = 1/k1 + 1/k2
2Bài tập
1.Bánh răng và hệ bánh răngTrung bình
Một động cơ 15 kW chạy ở 1500 rpm dẫn động một bánh răng nhỏ có 15 răng, ăn khớp với một bánh răng có 48 răng. Cặp bánh răng có hiệu suất 97%. Tìm mômen xoắn T1 trên trục động cơ.
P = 15 kWn1 = 1500 rpmN1 = 15N2 = 48η = 97%
T1 = N·m
2.Bánh răng và hệ bánh răngKhó
Trong một hệ bánh răng ghép, bánh răng A (24 răng) trên trục vào quay ở 1450 rpm và dẫn động bánh răng B (50 răng). Bánh răng C (15 răng) được gắn cố định trên cùng trục với B và dẫn động bánh răng D trên trục ra. Trục ra phải quay ở 261 rpm. Bánh răng D phải có bao nhiêu răng ND?
nin = 1450 rpmA = 24B = 50C = 15nout = 261 rpm
ND =
3.Xoắn của trụcTrung bình
Một trục rỗng đồng thau (đường kính ngoài 75 mm, đường kính trong 53 mm, chiều dài 1 m) được ngàm một đầu và bị xoắn bởi mô-men xoắn 2000 N·m ở đầu kia. Tìm góc xoắn φ theo độ.
T = 2000 N·mdo = 75 mmdi = 53 mmL = 1 mG = 39 GPa
φ = °
4.Xoắn của trụcKhó
Một trục đặc phải truyền 10 kW ở 500 rpm mà ứng suất tiếp không vượt quá 60 MPa. Tìm đường kính nhỏ nhất d thỏa mãn.
P = 10 kWN = 500 rpmτallow = 60 MPa
d = mm
5.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suấtTrung bình
Một điểm trong chi tiết chịu tải có σₓ = 160 MPa, σᵧ = −20 MPa và τₓᵧ = −20 MPa (kéo là dương). Tìm góc θp từ trục x đến phương của ứng suất chính lớn nhất, trong khoảng −90° đến 90°.
σx = 160 MPaσy = −20 MPaτxy = −20 MPa
θp = °
6.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suấtKhó
Một bể hình trụ thành mỏng có đường kính trong 800 mm và chiều dày thành 8 mm chứa khí ở áp suất dư 1,2 MPa. Nó được làm từ tấm thép hàn theo một đường hàn xoắn ốc nghiêng 35° so với trục của hình trụ. Tìm ứng suất pháp σn tác dụng vuông góc với đường hàn.
D = 800 mmt = 8 mmp = 1,2 MPaα = 35°
σn = MPa
7.Ứng suất và biến dạng dọc trụcTrung bình
Tìm biến dạng dọc trục ε trong thanh đồng thau, tính bằng microstrain (µε = 10⁻⁶).
P = 60 kNd = 10 mmL = 1,5 mE = 100 GPa
ε = µε
8.Ứng suất và biến dạng dọc trụcKhó
Một đoạn thép (đường kính 30 mm, chiều dài 500 mm, E = 200 GPa) và một đoạn làm bằng đồng thau (đường kính 50 mm, chiều dài 400 mm, E = 100 GPa) được nối đầu với đầu và ngàm giữa hai vách cứng. Một tải dọc trục 30 kN tác dụng tại chỗ nối, hướng về phía đoạn 2. Tìm độ lớn ứng suất σ2 trong đoạn 2.
đoạn 1: thép, Ø30 mm, 500 mm, E = 200 GPađoạn 2: đồng thau, Ø50 mm, 400 mm, E = 100 GPaP = 30 kN
σ2 = MPa
9.Mất ổn định cộtTrung bình
Một cột dài L làm bằng thép được hai đầu khớp. Dùng công thức Euler, tìm tải trọng oằn tới hạn Pcr của nó.
L = 1,5 mE = 200 GPa (thép)d = 30 mm
Pcr = kN
10.Mất ổn định cộtKhó
Một cột dài L làm bằng thép được ngàm ở chân và tự do ở đỉnh. Tìm độ mảnh của nó và ứng suất oằn tới hạn σcr theo công thức Euler.
L = 1 mE = 200 GPa (thép)d = 50 mm
σcr = MPa
11.Dao động cơ họcTrung bình
Một vật 50 kg trên lò xo có độ cứng 10 kN/m có bộ cản nhớt cho hệ số cản 0,7. Tìm tần số riêng có cản fd của dao động tự do theo Hz.
m = 50 kgk = 10 kN/mζ = 0,7
fd = Hz
12.Dao động cơ họcKhó
Một vật 10 kg treo vào hai lò xo nối đầu với đầu (nối tiếp): lò xo trên có k₁ = 30 kN/m và lò xo dưới có k₂ = 20 kN/m. Tìm độ cứng tương đương keq của hệ lò xo theo kN/m.
m = 10 kgk1 = 30 kN/mk2 = 20 kN/m
keq = kN/m
3Dung dịch
1.Bánh răng và hệ bánh răng
Đáp số: T1 = 95,49 N·m
Hệ bánh răng: các bánh răng ăn khớp có cùng tốc độ tại răng, nên n₁·N₁ = n₂·N₂: bánh răng có ít răng hơn quay nhanh hơn. Các bánh răng trên cùng một trục quay cùng tốc độ. Công suất được truyền đi (trừ tổn thất), nên mômen xoắn tăng khi tốc độ giảm: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, và P = T·ω với ω = 2π·n/60.
Mômen xoắn động cơ
ω₁ = 2π·1500/60 = 157,1 rad/s
T1 = P/ω₁ = 15000/157,1 = 95,49 N·m
Đáp số
T1 = 95,49 N·m
2.Bánh răng và hệ bánh răng
Đáp số: ND = 40
Gear trains: meshing gears have the same speed at the teeth, so n₁·N₁ = n₂·N₂: the gear with fewer teeth turns faster. Gears on one shaft turn at the same speed. Power is passed on (minus losses), so torque goes up when speed goes down: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, and P = T·ω with ω = 2π·n/60.
Tốc độ của trục trung gian
nB = nC = 1450·24/50 = 696 rpm
Số răng của bánh răng D
ND = C·nC/nout = 15·696/261 = 40
Đáp số
ND = 40
3.Xoắn của trục
Đáp số: φ = 1,26 °
Xoắn thanh tròn: ứng suất tiếp tăng tuyến tính từ không ở tâm đến τmax = T·r/J ở bề mặt, với J = πd⁴/32 cho trục đặc và J = π(do⁴ − di⁴)/32 cho trục rỗng. Góc xoắn là φ = TL/(GJ) tính bằng radian. Công suất và mômen xoắn liên hệ với nhau qua P = T·ω.
Mômen quán tính độc cực của mặt cắt
J = π(75⁴ − 53⁴)/32 = 2,332 × 10⁶ mm⁴
Góc xoắn
T = 2000 N·m = 2 × 10⁶ N·mm
L = 1 m = 1000 mm
G = 39 GPa = 39000 MPa
φ = TL/(GJ) = 2 × 10⁶·1000/(39000·2,332 × 10⁶) = 0,02199 rad
φ = 0,02199·180/π = 1,26°
Đáp số
φ = 1,26°
4.Xoắn của trục
Đáp số: d = 25,31 mm
Xoắn thanh tròn: ứng suất tiếp tăng tuyến tính từ không ở tâm đến τmax = T·r/J ở bề mặt, với J = πd⁴/32 cho trục đặc và J = π(do⁴ − di⁴)/32 cho trục rỗng. Góc xoắn là φ = TL/(GJ) tính bằng radian. Công suất và mômen xoắn liên hệ với nhau qua P = T·ω.
Mômen xoắn
ω = 2πN/60 = 2π·500/60 = 52,36 rad/s
T = P/ω = 10000/52,36 = 191 N·m
Đường kính từ ứng suất cho phép
d = ∛(16T/(π·τallow)) = ∛(16·190986/(π·60)) = 25,31 mm
Đáp số
d = 25,31 mm
Trong thực tế bạn sẽ làm tròn lên kích thước tiêu chuẩn kế tiếp.
5.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất
Đáp số: θp = −6,264 °
Biến đổi ứng suất phẳng: trên một mặt xoay góc θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Vòng tròn Mohr cho thấy tất cả các mặt cùng lúc: tâm của nó ở C = (σₓ + σᵧ)/2 và bán kính là R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Các ứng suất chính là C ± R, và ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng là R.
Góc trên vòng tròn
Điểm x nằm ở góc 2θp so với trục σ trên vòng tròn Mohr; góc phần tư suy ra từ dấu của σₓ − σᵧ và τₓᵧ.
2θp = atan2(2·−20, 160 − −20) = −12,53°
Góc trên phần tử
θp = −6,264°
Đáp số
θp = −6,264°
Góc dương là ngược chiều kim đồng hồ.
6.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất
Đáp số: σn = 50,13 MPa
Biến đổi ứng suất phẳng: trên một mặt xoay góc θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Vòng tròn Mohr cho thấy tất cả các mặt cùng lúc: tâm của nó ở C = (σₓ + σᵧ)/2 và bán kính là R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Các ứng suất chính là C ± R, và ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng là R. Hình trụ thành mỏng: ứng suất vòng σh = pr/t và ứng suất dọc trục σa = pr/(2t); đó là các ứng suất chính trong thành.
Các ứng suất trong thành
r = 800/2 = 400 mm
σh = pr/t = 1,2·400/8 = 60 MPa
σa = pr/(2t) = 30 MPa
Biến đổi sang đường hàn
Lấy x dọc theo trục (σa) và y theo chiều vòng (σh). Pháp tuyến của đường hàn tạo góc 90° − α với trục.
σn = 30·sin²35° + 60·cos²35° = 50,13 MPa
Đáp số
σn = 50,13 MPa
7.Ứng suất và biến dạng dọc trục
Đáp số: ε = 7639 µε
Định luật Hooke: trong giới hạn đàn hồi σ = E·ε. Kết hợp với σ = P/A và ε = δ/L ta được δ = PL/(AE).
Ứng suất
A = π·10²/4 = 78,54 mm²
σ = P/A = 60·1000/78,54 = 763,9 MPa
Biến dạng (định luật Hooke)
E for đồng thau = 100 GPa = 100000 MPa.
ε = σ/E = 763,9/100000 = 0,007639 = 7639 µε
Đáp số
ε = 7639 µε
8.Ứng suất và biến dạng dọc trục
Đáp số: σ2 = 9,695 MPa
Hai vật liệu: khi nối tiếp (cái này sau cái kia) mỗi đoạn chịu cùng một lực và các độ giãn dài cộng lại: δ = P·Σ L/(E·A). Khi song song (cạnh nhau giữa các tấm cứng) cả hai phần co lại cùng một lượng, nên biến dạng của chúng bằng nhau: phần cứng hơn nhận phần tải lớn hơn, Pi = P·EiAi/ΣEA, và σi = Ei·ε. Một thanh bị giữ giữa hai vách cứng với tải đặt tại chỗ nối là siêu tĩnh: hai đoạn chia tải theo tỉ lệ độ cứng k = EA/L của chúng.
Các độ cứng
k₁ = 200000·706,9/500 = 282743 N/mm
k₂ = 100000·1963/400 = 490874 N/mm
Phần của đoạn 2
F2 = 30000·490874/773617 = 19036 N
Ứng suất
σ2 = 19036/1963 = 9,695 MPa (nén)
Đáp số
σ2 = 9,695 MPa
9.Mất ổn định cột
Đáp số: Pcr = 34,88 kN
Mất ổn định Euler: một cột mảnh mất ổn định tại Pcr = π²EI/(KL)², trong đó KL là chiều dài tính toán: K = 1 cho khớp–khớp, 2 cho ngàm–tự do, 0,7 cho ngàm–khớp và 0,5 cho ngàm–ngàm. Cột oằn quanh trục có I nhỏ nhất. Công thức đúng với cột mảnh, có ứng suất tới hạn thấp hơn ứng suất chảy.
Mômen quán tính nhỏ nhất của mặt cắt
Mặt cắt tròn có cùng I đối với mọi trục.
I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴
Chiều dài tính toán
KL = 1·1500 = 1500 mm
Tải trọng tới hạn
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·39761/1500² = 34882 N = 34,88 kN
Đáp số
Pcr = 34,88 kN
10.Mất ổn định cột
Đáp số: σcr = 77,11 MPa
Mất ổn định Euler: một cột mảnh mất ổn định tại Pcr = π²EI/(KL)², trong đó KL là chiều dài tính toán: K = 1 cho khớp–khớp, 2 cho ngàm–tự do, 0,7 cho ngàm–khớp và 0,5 cho ngàm–ngàm. Cột oằn quanh trục có I nhỏ nhất. Công thức đúng với cột mảnh, có ứng suất tới hạn thấp hơn ứng suất chảy.
Mômen quán tính nhỏ nhất của mặt cắt
Mặt cắt tròn có cùng I đối với mọi trục.
I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴
Bán kính quán tính và độ mảnh
A = 1963 mm²
r = √(I/A) = √(306796/1963) = 12,5 mm
KL = 2·1000 = 2000 mm
KL/r = 2000/12,5 = 160
Ứng suất tới hạn
σcr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/160² = 77,11 MPa
Đáp số
σcr = 77,11 MPa
11.Dao động cơ học
Đáp số: fd = 1,607 Hz
Dao động tự do của hệ vật–lò xo: tần số riêng không cản là ωn = √(k/m) theo rad/s, và fn = ωn/(2π) theo Hz. Một bộ cản nhớt c cho hệ số cản ζ = c/cc, với cản tới hạn cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Hệ cản dưới tới hạn (ζ < 1) dao động ở ωd = ωn·√(1 − ζ²). Các lò xo song song cộng lại, k = k₁ + k₂; các lò xo nối tiếp cộng theo nghịch đảo, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Tần số riêng không cản
ωn = √(10000/50) = 14,14 rad/s
fn = 14,14/(2π) = 2,251 Hz
Tần số riêng có cản
fd = fn·√(1 − ζ²) = 2,251·√(1 − 0,7²) = 1,607 Hz
Đáp số
fd = 1,607 Hz
12.Dao động cơ học
Đáp số: keq = 12 kN/m
Dao động tự do của hệ vật–lò xo: tần số riêng không cản là ωn = √(k/m) theo rad/s, và fn = ωn/(2π) theo Hz. Một bộ cản nhớt c cho hệ số cản ζ = c/cc, với cản tới hạn cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Hệ cản dưới tới hạn (ζ < 1) dao động ở ωd = ωn·√(1 − ζ²). Các lò xo song song cộng lại, k = k₁ + k₂; các lò xo nối tiếp cộng theo nghịch đảo, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Độ cứng tương đương
Các lò xo nối tiếp chịu cùng một lực và cộng độ võng, nên chúng gộp theo nghịch đảo: 1/k = 1/k1 + 1/k2.
1/keq = 1/30 + 1/20 → keq = 30·20/(30 + 20) = 12 kN/m
Đáp số
keq = 12 kN/m
ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design