Thiết kế máy: gói ôn nước rút

Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 12 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.

Bài mớiQuay lại môn học

Trong cửa sổ in, hãy chọn “Lưu dưới dạng PDF” để giữ một bản trên thiết bị của bạn.

1Công thức và phương pháp

Bánh răng và hệ bánh răng

Bánh răng ăn khớp
n1·N1 = n2·N2
Mômen xoắn
T2 = T1·(N2/N1)·η
Công suất
P = T·ω, ω = 2π·n/60
Hệ bánh răng ghép
tỉ số truyền tổng = tích các tỉ số truyền từng cấp

Xoắn của trục

Ứng suất tiếp
τ = T·r/J
Trục đặc
J = πd⁴/32
Trục rỗng
J = π(D⁴ − d⁴)/32
Góc xoắn
φ = TL/(GJ)
Công suất
P = T·ω = 2πnT/60

Phương pháp

  1. Tìm mômen quán tính độc cực: J = πd⁴/32 cho trục đặc.
  2. Ứng suất tiếp ở bề mặt: τ = T·r/J, với r là bán kính ngoài.
  3. Góc xoắn: φ = TL/(GJ) theo radian.
  4. Nếu cho công suất, hãy tìm mômen xoắn trước bằng P = T·ω, ω = 2πn/60.

Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất

Tâm
C = (σx + σy)/2
Bán kính
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
Ứng suất chính
σ1,2 = C ± R
Phương chính
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
Mặt phẳng nghiêng
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

Phương pháp

  1. Tính tâm của vòng tròn Mohr: C = (σx + σy)/2.
  2. Tính bán kính: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
  3. Các ứng suất chính là C ± R và ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng là R.
  4. Các góc trên vòng tròn gấp đôi các góc trên phần tử: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Ứng suất và biến dạng dọc trục

Ứng suất pháp
σ = F/A
Biến dạng
ε = ΔL/L
Định luật Hooke
σ = E·ε
Độ giãn dài
ΔL = FL/(EA)
Biến dạng nhiệt
εT = α·ΔT

Mất ổn định cột

Tải Euler
Pcr = π²EI/(KL)²
Hệ số chiều dài tính toán
K = 1 khớp–khớp, 0,5 ngàm–ngàm, 0,7 ngàm–khớp, 2 ngàm–tự do
Ứng suất tới hạn
σcr = Pcr/A
Độ mảnh
λ = KL/r, r = √(I/A)

Dao động cơ học

Tần số riêng
ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
Từ độ võng tĩnh
ωn = √(g/δst)
Cản tới hạn
cc = 2√(km) = 2mωn
Hệ số cản
ζ = c/cc
Tần số có cản
ωd = ωn√(1 − ζ²)
Giảm lượng logarit
δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Lò xo song song
k = k1 + k2
Lò xo nối tiếp
1/k = 1/k1 + 1/k2

2Bài tập

1.Bánh răng và hệ bánh răngTrung bình
N1​ = 18N2​ = 50

Một động cơ 4 kW chạy ở 1500 rpm dẫn động một bánh răng nhỏ có 18 răng, ăn khớp với một bánh răng có 50 răng. Cặp bánh răng có hiệu suất 98%. Tìm mômen xoắn T1 trên trục động cơ.

P = 4 kWn1 = 1500 rpmN1 = 18N2 = 50η = 98%
T1 = N·m
2.Bánh răng và hệ bánh răngKhó
A = 15B = 48C = 20D = 80

Trong một hệ bánh răng ghép, bánh răng A (15 răng) trên trục vào quay 960 rpm dẫn động bánh răng B (48 răng). Bánh răng C (20 răng) được cố định trên cùng trục với B và dẫn động bánh răng D (80 răng) trên trục ra. Tìm tốc độ ra nout.

nin = 960 rpmA = 15B = 48C = 20D = 80
nout = rpm
3.Xoắn của trụcTrung bình
do​ = 50, di​ = 38 mmT = 750 N·mL = 2,5 m

Một trục rỗng thép (đường kính ngoài 50 mm, đường kính trong 38 mm, chiều dài 2,5 m) được ngàm một đầu và bị xoắn bởi mô-men xoắn 750 N·m ở đầu kia. Tìm góc xoắn φ theo độ.

T = 750 N·mdo = 50 mmdi = 38 mmL = 2,5 mG = 80 GPa
φ = °
4.Xoắn của trụcKhó
do​ = ?100 kW, 3000 rpm

Một trục rỗng phải truyền 100 kW ở 3000 rpm. Đường kính trong của nó bằng 0,7 lần đường kính ngoài, và ứng suất cắt không được vượt quá 60 MPa. Tìm đường kính ngoài nhỏ nhất do.

P = 100 kWN = 3000 rpmdi/do = 0,7τallow = 60 MPa
do = mm
5.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suấtTrung bình
σx​ = 130σy​ = 50τxy​ = 30MPa

Một điểm có σₓ = 130 MPa, σᵧ = 50 MPa và τₓᵧ = 30 MPa (kéo là dương). Tìm góc θs, trong khoảng từ −90° đến 90°, từ trục x đến pháp tuyến của mặt có ứng suất cắt đạt giá trị dương lớn nhất +R (ứng suất cắt dương cùng chiều với τₓᵧ).

σx = 130 MPaσy = 50 MPaτxy = 30 MPa
θs = °
6.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suấtKhó
σx​ = −50σy​ = 110τxy​ = −10MPa

Một điểm trong chi tiết chịu tải có σₓ = −50 MPa, σᵧ = 110 MPa và τₓᵧ = −10 MPa (kéo là dương). Tìm ứng suất pháp σθ trên một mặt có pháp tuyến xoay 30° theo chiều kim đồng hồ so với trục x.

σx = −50 MPaσy = 110 MPaτxy = −10 MPaθ = -30°
σθ = MPa
7.Ứng suất và biến dạng dọc trụcTrung bình
Ø 30 mmĐồng thau1,5 mP = 105 kN

Tìm biến dạng dọc trục ε trong thanh đồng thau, tính bằng microstrain (µε = 10⁻⁶).

P = 105 kNd = 30 mmL = 1,5 mE = 100 GPa
ε = µε
8.Ứng suất và biến dạng dọc trụcKhó
Ø 40 mmThép1,5 mØ 12 mmNhôm1 mP = 20 kN

Thanh bậc được ngàm vào tường và chịu tải ở đầu tự do. Tìm tổng độ giãn dài δ.

P = 20 kNđoạn 1: Ø40 mm, 1,5 m, thép (E = 200 GPa)đoạn 2: Ø12 mm, 1 m, nhôm (E = 70 GPa)
δ = mm
9.Mất ổn định cộtTrung bình
PL = 2,5 m30 × 50 mmmặt cắt ngang

Một cột dài L làm bằng thép được ngàm cả hai đầu. Dùng công thức Euler, tìm tải trọng oằn tới hạn Pcr của nó.

L = 2,5 mE = 200 GPa (thép)b × h = 30 × 50 mm
Pcr = kN
10.Mất ổn định cộtKhó
P = 65 kNL = 1,5 md = ?mặt cắt ngang

Một cột tròn đặc dài L làm bằng thép được ngàm ở chân và khớp ở đỉnh. Nó phải chịu 65 kN với hệ số an toàn 3 chống oằn. Tìm đường kính nhỏ nhất d.

P = 65 kNn = 3L = 1,5 mE = 200 GPa (thép)
d = mm
11.Dao động cơ họcTrung bình
tx50 mm2 chu kỳ10,9 mm

Trong một thí nghiệm dao động tự do của hệ vật–lò xo có cản, một đỉnh độ dời 50 mm được theo sau 2 chu kỳ sau bởi đỉnh 10,9 mm. Tìm hệ số cản ζ.

x0 = 50 mmx2 = 10,9 mmn = 2
ζ =
12.Dao động cơ họcKhó
k1​ = 12k2​ = 50m = 5 kg

Một vật 5 kg treo vào hai lò xo nối đầu với đầu (nối tiếp): lò xo trên có k₁ = 12 kN/m và lò xo dưới có k₂ = 50 kN/m. Tìm độ cứng tương đương keq của hệ lò xo theo kN/m.

m = 5 kgk1 = 12 kN/mk2 = 50 kN/m
keq = kN/m

3Dung dịch

1.Bánh răng và hệ bánh răng

Đáp số: T1 = 25,46 N·m

Hệ bánh răng: các bánh răng ăn khớp có cùng tốc độ tại răng, nên n₁·N₁ = n₂·N₂: bánh răng có ít răng hơn quay nhanh hơn. Các bánh răng trên cùng một trục quay cùng tốc độ. Công suất được truyền đi (trừ tổn thất), nên mômen xoắn tăng khi tốc độ giảm: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, và P = T·ω với ω = 2π·n/60.

Mômen xoắn động cơ

ω₁ = 2π·1500/60 = 157,1 rad/s
T1 = P/ω₁ = 4000/157,1 = 25,46 N·m

Đáp số

T1 = 25,46 N·m
2.Bánh răng và hệ bánh răng

Đáp số: nout = 75 rpm

Hệ bánh răng: các bánh răng ăn khớp có cùng tốc độ tại răng, nên n₁·N₁ = n₂·N₂: bánh răng có ít răng hơn quay nhanh hơn. Các bánh răng trên cùng một trục quay cùng tốc độ. Công suất được truyền đi (trừ tổn thất), nên mômen xoắn tăng khi tốc độ giảm: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, và P = T·ω với ω = 2π·n/60.

Cấp thứ nhất

nB = 960·15/48 = 300 rpm = nC

Cấp thứ hai

nout = 300·20/80 = 75 rpm

Đáp số

nout = 75 rpm

tỉ số truyền tổng = 12,8 : 1

3.Xoắn của trục

Đáp số: φ = 3,284 °

Xoắn thanh tròn: ứng suất tiếp tăng tuyến tính từ không ở tâm đến τmax = T·r/J ở bề mặt, với J = πd⁴/32 cho trục đặc và J = π(do⁴ − di⁴)/32 cho trục rỗng. Góc xoắn là φ = TL/(GJ) tính bằng radian. Công suất và mômen xoắn liên hệ với nhau qua P = T·ω.

Mômen quán tính độc cực của mặt cắt

J = π(50⁴ − 38⁴)/32 = 408885 mm⁴

Góc xoắn

T = 750 N·m = 750000 N·mm
L = 2,5 m = 2500 mm
G = 80 GPa = 80000 MPa
φ = TL/(GJ) = 750000·2500/(80000·408885) = 0,05732 rad
φ = 0,05732·180/π = 3,284°

Đáp số

φ = 3,284°
4.Xoắn của trục

Đáp số: do = 32,88 mm

Xoắn thanh tròn: ứng suất tiếp tăng tuyến tính từ không ở tâm đến τmax = T·r/J ở bề mặt, với J = πd⁴/32 cho trục đặc và J = π(do⁴ − di⁴)/32 cho trục rỗng. Góc xoắn là φ = TL/(GJ) tính bằng radian. Công suất và mômen xoắn liên hệ với nhau qua P = T·ω.

Mômen xoắn

ω = 2πN/60 = 2π·3000/60 = 314,2 rad/s
T = P/ω = 100000/314,2 = 318,3 N·m

Đường kính ngoài từ ứng suất cho phép

T = 318,3 N·m = 318310 N·mm
1 − k⁴ = 1 − 0,7⁴ = 0,7599
do = ∛(16T/(π·τallow·(1 − k⁴))) = ∛(16·318310/(π·60·0,7599)) = 32,88 mm
di = 0,7·32,88 = 23,02 mm

Đáp số

do = 32,88 mm

Một trục đặc sẽ cần d = 30,01 mm; trục rỗng lớn hơn một chút nhưng nhẹ hơn nhiều.

5.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất

Đáp số: θs = −26,57 °

Biến đổi ứng suất phẳng: trên một mặt xoay góc θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Vòng tròn Mohr cho thấy tất cả các mặt cùng lúc: tâm của nó ở C = (σₓ + σᵧ)/2 và bán kính là R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Các ứng suất chính là C ± R, và ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng là R.

στxyCτmax​

Góc trên vòng tròn

Trên vòng tròn Mohr, điểm trên cùng (+R) lệch 90° so với điểm chính σ₁; trên phân tố đó là 45°.

cos 2θs = 30/50 = 0,6, sin 2θs = −40/50 = −0,8
2θs = atan2(−40, 30) = −53,13°

Góc trên phần tử

θs = −26,57°
kiểm tra: θs − θp = −26,57 − 18,43 = −45°

Đáp số

θs = −26,57°

Góc dương là ngược chiều kim đồng hồ.

6.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất

Đáp số: σθ = −1,34 MPa

Biến đổi ứng suất phẳng: trên một mặt xoay góc θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Vòng tròn Mohr cho thấy tất cả các mặt cùng lúc: tâm của nó ở C = (σₓ + σᵧ)/2 và bán kính là R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Các ứng suất chính là C ± R, và ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng là R.

Phương trình biến đổi

σθ = 30 + −80·0,5 + −10·−0,866 = −1,34 MPa

Đáp số

σθ = −1,34 MPa
7.Ứng suất và biến dạng dọc trục

Đáp số: ε = 1485 µε

Định luật Hooke: trong giới hạn đàn hồi σ = E·ε. Kết hợp với σ = P/A và ε = δ/L ta được δ = PL/(AE).

Ứng suất

A = π·30²/4 = 706,9 mm²
σ = P/A = 105·1000/706,9 = 148,5 MPa

Biến dạng (định luật Hooke)

E for đồng thau = 100 GPa = 100000 MPa.

ε = σ/E = 148,5/100000 = 0,001485 = 1485 µε

Đáp số

ε = 1485 µε
8.Ứng suất và biến dạng dọc trục

Đáp số: δ = 2,646 mm

Cấu kiện chịu tải dọc trục: mỗi đoạn lăng trụ tuân theo δ = PL/(AE). Với các cấu kiện nối tiếp, độ giãn dài cộng lại.

Cùng một lực trong cả hai đoạn

Đầu tự do chịu lực P, nên mọi mặt cắt của thanh đều chịu cùng một lực dọc trục P. Chỉ có diện tích và vật liệu thay đổi.

A1 = π·40²/4 = 1257 mm², A2 = π·12²/4 = 113,1 mm²
σ1 = 15,92 MPa
σ2 = 176,8 MPa

Cộng độ giãn dài của các đoạn

δ1 = σ1L1/E1 = 15,92·1500/200000 = 0,1194 mm
δ2 = σ2L2/E2 = 176,8·1000/70000 = 2,526 mm
δ = δ1 + δ2 = 2,646 mm

Đáp số

δ = 2,646 mm
9.Mất ổn định cột

Đáp số: Pcr = 142,1 kN

Mất ổn định Euler: một cột mảnh mất ổn định tại Pcr = π²EI/(KL)², trong đó KL là chiều dài tính toán: K = 1 cho khớp–khớp, 2 cho ngàm–tự do, 0,7 cho ngàm–khớp và 0,5 cho ngàm–ngàm. Cột oằn quanh trục có I nhỏ nhất. Công thức đúng với cột mảnh, có ứng suất tới hạn thấp hơn ứng suất chảy.

Mômen quán tính nhỏ nhất của mặt cắt

Hình chữ nhật oằn quanh trục yếu, dùng kích thước nhỏ hơn lập phương.

Imin = h·b³/12 = 50·30³/12 = 112500 mm⁴

Chiều dài tính toán

KL = 0,5·2500 = 1250 mm

Tải trọng tới hạn

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·112500/1250² = 142122 N = 142,1 kN

Đáp số

Pcr = 142,1 kN
10.Mất ổn định cột

Đáp số: d = 38,59 mm

Mất ổn định Euler: một cột mảnh mất ổn định tại Pcr = π²EI/(KL)², trong đó KL là chiều dài tính toán: K = 1 cho khớp–khớp, 2 cho ngàm–tự do, 0,7 cho ngàm–khớp và 0,5 cho ngàm–ngàm. Cột oằn quanh trục có I nhỏ nhất. Công thức đúng với cột mảnh, có ứng suất tới hạn thấp hơn ứng suất chảy.

Tải trọng tới hạn yêu cầu

Pcr = n·P = 3·65000 = 195000 N
KL = 0,7·1500 = 1050 mm

Giải tìm đường kính

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·195000·1050²/(π³·200000))^(1/4) = 38,59 mm

Đáp số

d = 38,59 mm

Kiểm tra: độ mảnh KL/r là 108,8, nên cột là mảnh và công thức Euler áp dụng được.

11.Dao động cơ học

Đáp số: ζ = 0,1203

Dao động tự do của hệ vật–lò xo: tần số riêng không cản là ωn = √(k/m) theo rad/s, và fn = ωn/(2π) theo Hz. Một bộ cản nhớt c cho hệ số cản ζ = c/cc, với cản tới hạn cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Hệ cản dưới tới hạn (ζ < 1) dao động ở ωd = ωn·√(1 − ζ²). Các lò xo song song cộng lại, k = k₁ + k₂; các lò xo nối tiếp cộng theo nghịch đảo, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Giảm lượng logarit

δ = (1/2)·ln(50/10,9) = 0,7616

Hệ số cản

ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0,7616/√(39,48 + 0,5801) = 0,1203

Đáp số

ζ = 0,1203
12.Dao động cơ học

Đáp số: keq = 9,677 kN/m

Dao động tự do của hệ vật–lò xo: tần số riêng không cản là ωn = √(k/m) theo rad/s, và fn = ωn/(2π) theo Hz. Một bộ cản nhớt c cho hệ số cản ζ = c/cc, với cản tới hạn cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Hệ cản dưới tới hạn (ζ < 1) dao động ở ωd = ωn·√(1 − ζ²). Các lò xo song song cộng lại, k = k₁ + k₂; các lò xo nối tiếp cộng theo nghịch đảo, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Độ cứng tương đương

Các lò xo nối tiếp chịu cùng một lực và cộng độ võng, nên chúng gộp theo nghịch đảo: 1/k = 1/k1 + 1/k2.

1/keq = 1/12 + 1/50 → keq = 12·50/(12 + 50) = 9,677 kN/m

Đáp số

keq = 9,677 kN/m

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design