Thiết kế máy: gói ôn nước rút

Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 12 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.

Bài mới Quay lại môn học

Trong cửa sổ in, hãy chọn “Lưu dưới dạng PDF” để giữ một bản trên thiết bị của bạn.

1Công thức và phương pháp

Bánh răng và hệ bánh răng

Bánh răng ăn khớp: n₁·N₁ = n₂·N₂
Mômen xoắn: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Công suất: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Hệ bánh răng ghép: tỉ số truyền tổng = tích các tỉ số truyền từng cấp

Xoắn của trục

Ứng suất tiếp: τ = T·r/J
Trục đặc: J = πd⁴/32
Trục rỗng: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Góc xoắn: φ = TL/(GJ)
Công suất: P = T·ω = 2πnT/60

Phương pháp

Tìm mômen quán tính độc cực: J = πd⁴/32 cho trục đặc.
Ứng suất tiếp ở bề mặt: τ = T·r/J, với r là bán kính ngoài.
Góc xoắn: φ = TL/(GJ) theo radian.
Nếu cho công suất, hãy tìm mômen xoắn trước bằng P = T·ω, ω = 2πn/60.

Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất

Tâm: C = (σ_x + σ_y)/2
Bán kính: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Ứng suất chính: σ_1,2 = C ± R
Phương chính: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Mặt phẳng nghiêng: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Phương pháp

Tính tâm của vòng tròn Mohr: C = (σx + σy)/2.
Tính bán kính: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Các ứng suất chính là C ± R và ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng là R.
Các góc trên vòng tròn gấp đôi các góc trên phần tử: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Ứng suất và biến dạng dọc trục

Ứng suất pháp: σ = F/A
Biến dạng: ε = ΔL/L
Định luật Hooke: σ = E·ε
Độ giãn dài: ΔL = FL/(EA)
Biến dạng nhiệt: ε_T = α·ΔT

Mất ổn định cột

Tải Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Hệ số chiều dài tính toán: K = 1 khớp–khớp, 0,5 ngàm–ngàm, 0,7 ngàm–khớp, 2 ngàm–tự do
Ứng suất tới hạn: σ_cr = P_cr/A
Độ mảnh: λ = KL/r, r = √(I/A)

Dao động cơ học

Tần số riêng: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Từ độ võng tĩnh: ω_n = √(g/δ_st)
Cản tới hạn: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Hệ số cản: ζ = c/c_c
Tần số có cản: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Giảm lượng logarit: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Lò xo song song: k = k₁ + k₂
Lò xo nối tiếp: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Bài tập

1.Bánh răng và hệ bánh răngTrung bình

Một động cơ 1,1 kW ở 1450 rpm dẫn động một trục vít 2 đầu mối. Bánh vít có 50 răng và bộ truyền có hiệu suất 80%. Tìm mô-men đầu ra T_w trên trục bánh vít.

z = 2N_w = 50n = 1450 rpmP = 1,1 kWη = 80%

T_w = N·m

2.Bánh răng và hệ bánh răngKhó

Một dây đai hở nối puli 200 mm và puli 400 mm có tâm cách nhau 500 mm. Tìm góc ôm θ trên puli nhỏ hơn, theo độ.

d₁ = 200 mmd₂ = 400 mmC = 500 mm

θ = °

3.Xoắn của trụcTrung bình

Một trục đặc đồng thau được ngàm vào tường và bị xoắn bởi mômen xoắn T ở đầu tự do. Tìm góc xoắn φ của đầu tự do, theo độ.

T = 200 N·md = 25 mmL = 2,5 mG = 39 GPa

φ = °

4.Xoắn của trụcKhó

Một trục đặc đồng thau đường kính 40 mm được ngàm vào các tường cứng ở cả hai đầu A và B. Một mô-men xoắn 750 N·m đặt tại C, cách A 3 m và cách B 1,5 m. Tìm ứng suất cắt lớn nhất τ_max trong trục.

d = 40 mmT₀ = 750 N·ma = 3 mb = 1,5 m

τ_max = MPa

5.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suấtTrung bình

Một điểm trong chi tiết chịu tải có σₓ = −80 MPa, σᵧ = 90 MPa và τₓᵧ = −20 MPa (kéo là dương). Tìm ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng τ_max.

σ_x = −80 MPaσ_y = 90 MPaτ_xy = −20 MPa

τ_max = MPa

6.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suấtKhó

Một điểm trong chi tiết chịu tải có σₓ = 160 MPa, σᵧ = −70 MPa và τₓᵧ = −40 MPa (kéo là dương). Tìm ứng suất pháp σ_θ trên một mặt có pháp tuyến xoay 20° theo chiều kim đồng hồ so với trục x.

σ_x = 160 MPaσ_y = −70 MPaτ_xy = −40 MPaθ = -20°

σ_θ = MPa

7.Ứng suất và biến dạng dọc trụcTrung bình

Một thanh thép (đường kính 40 mm, E = 200 GPa) nằm trong một ống làm bằng đồng thau (đường kính ngoài 80 mm, đường kính trong 60 mm, E = 100 GPa). Cả hai dài 400 mm và bị nén cùng nhau giữa các tấm cứng bởi 250 kN. Tìm độ co ngắn δ.

P = 250 kNthanh: Ø40 mm, E = 200 GPaống: Ø80/Ø60 mm, E = 100 GPaL = 400 mm

δ = mm

8.Ứng suất và biến dạng dọc trụcKhó

Một thanh thép (đường kính 20 mm, E = 200 GPa, ứng suất cho phép 200 MPa) nằm trong một ống làm bằng đồng thanh (đường kính ngoài 80 mm, đường kính trong 60 mm, E = 110 GPa, ứng suất cho phép 50 MPa). Chúng bị nén cùng nhau giữa các tấm cứng. Tìm tải lớn nhất P_max.

thanh: Ø20 mm, E = 200 GPa, σ_allow = 200 MPaống: Ø80/Ø60 mm, E = 110 GPa, σ_allow = 50 MPa

P_max = kN

9.Mất ổn định cộtTrung bình

Một cột dài L làm bằng nhôm được ngàm cả hai đầu. Dùng công thức Euler, tìm tải trọng oằn tới hạn P_cr của nó.

L = 3 mE = 70 GPa (nhôm)b × h = 25 × 100 mm

P_cr = kN

10.Mất ổn định cộtKhó

Một cột tròn đặc dài L làm bằng nhôm được ngàm ở chân và khớp ở đỉnh. Nó phải chịu 100 kN với hệ số an toàn 2,5 chống oằn. Tìm đường kính nhỏ nhất d.

P = 100 kNn = 2,5L = 3 mE = 70 GPa (nhôm)

d = mm

11.Dao động cơ họcTrung bình

Trong một thí nghiệm dao động tự do của hệ vật–lò xo có cản, một đỉnh độ dời 15 mm được theo sau 4 chu kỳ sau bởi đỉnh 1,2 mm. Tìm hệ số cản ζ.

x₀ = 15 mmx₄ = 1,2 mmn = 4

ζ =

12.Dao động cơ họcKhó

Một vật 20 kg treo vào hai lò xo nối đầu với đầu (nối tiếp): lò xo trên có k₁ = 60 kN/m và lò xo dưới có k₂ = 15 kN/m. Bỏ qua cản và khối lượng của các lò xo. Tìm tần số riêng f_n của dao động thẳng đứng theo Hz.

m = 20 kgk₁ = 60 kN/mk₂ = 15 kN/m

f_n = Hz

3Dung dịch

1.Bánh răng và hệ bánh răng

Đáp số: T_w = 144,9 N·m

Gear trains: meshing gears have the same speed at the teeth, so n₁·N₁ = n₂·N₂: the gear with fewer teeth turns faster. Gears on one shaft turn at the same speed. Power is passed on (minus losses), so torque goes up when speed goes down: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, and P = T·ω with ω = 2π·n/60.

Tốc độ bánh vít

n_w = n·z/N_w = 1450·2/50 = 58 rpm

Mômen xoắn ra

ω_w = 2π·58/60 = 6,074 rad/s

T_w = η·P/ω_w = 0,8·1100/6,074 = 144,9 N·m

Đáp số

T_w = 144,9 N·m

2.Bánh răng và hệ bánh răng

Đáp số: θ = 156,9 °

Truyền động đai: khi không trượt, cả hai puli có cùng tốc độ mép v = π·d·n/60, nên n₁·d₁ = n₂·d₂ và tỉ số tốc độ là d₂/d₁. Độ trượt s làm puli bị dẫn chậm hơn một chút: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). Công suất truyền là P = (T₁ − T₂)·v, với T₁ là lực căng ở nhánh căng và T₂ ở nhánh chùng. Ma sát giới hạn tỉ số các lực căng: T₁/T₂ = e^μθ, trong đó θ là góc ôm tính theo radian trên puli nhỏ hơn; với đai hở θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) với khoảng cách tâm C.

Góc của dây đai

asin(0,2) = 11,54°

Góc ôm

θ = 180 − 2·11,54 = 156,9°

Đáp số

θ = 156,9°

3.Xoắn của trục

Đáp số: φ = 19,15 °

Mômen quán tính độc cực của mặt cắt

J = π·25⁴/32 = 38350 mm⁴

Góc xoắn

φ = TL/(GJ) = 200·1000·2500/(39000·38350) = 0,3343 rad

φ = 0,3343·180/π = 19,15°

Đáp số

φ = 19,15°

4.Xoắn của trục

Đáp số: τ_max = 39,79 MPa

Xoắn thanh tròn: ứng suất tiếp tăng tuyến tính từ không ở tâm đến τ_max = T·r/J ở bề mặt, với J = πd⁴/32 cho trục đặc và J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 cho trục rỗng. Góc xoắn là φ = TL/(GJ) tính bằng radian. Công suất và mômen xoắn liên hệ với nhau qua P = T·ω. Khi cả hai đầu bị ngàm, tĩnh học chỉ cho T_A + T_B = T₀; phương trình thứ hai là điều kiện tương thích (góc xoắn của hai phần bằng nhau tại tiết diện chịu tải).

Cân bằng và tương thích

T_A + T_B = 750

T_A·a = T_B·b

T_A = 750·1,5/4,5 = 250 N·m

T_B = 750·3/4,5 = 500 N·m

Ứng suất tiếp lớn nhất

Mô-men xoắn lớn hơn trong hai mô-men quyết định (cùng đường kính).

τ_max = 16·500000/(π·40³) = 39,79 MPa

Đáp số

τ_max = 39,79 MPa

5.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất

Đáp số: τ_max = 87,32 MPa

Biến đổi ứng suất phẳng: trên một mặt xoay góc θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Vòng tròn Mohr cho thấy tất cả các mặt cùng lúc: tâm của nó ở C = (σₓ + σᵧ)/2 và bán kính là R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Các ứng suất chính là C ± R, và ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng là R.

Bán kính vòng tròn Mohr

τ_max = R = √(((−80 − 90)/2)² + −20²) = 87,32 MPa

Đáp số

τ_max = 87,32 MPa

6.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất

Đáp số: σ_θ = 158,8 MPa

Phương trình biến đổi

σ_θ = 45 + 115·0,766 + −40·−0,6428 = 158,8 MPa

Đáp số

σ_θ = 158,8 MPa

7.Ứng suất và biến dạng dọc trục

Đáp số: δ = 0,2122 mm

Hai vật liệu: khi nối tiếp (cái này sau cái kia) mỗi đoạn chịu cùng một lực và các độ giãn dài cộng lại: δ = P·Σ L/(E·A). Khi song song (cạnh nhau giữa các tấm cứng) cả hai phần co lại cùng một lượng, nên biến dạng của chúng bằng nhau: phần cứng hơn nhận phần tải lớn hơn, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, và σ_i = E_i·ε. Một thanh bị giữ giữa hai vách cứng với tải đặt tại chỗ nối là siêu tĩnh: hai đoạn chia tải theo tỉ lệ độ cứng k = EA/L của chúng.

Diện tích

A_r = π·40²/4 = 1257 mm²

A_t = π(80² − 60²)/4 = 2199 mm²

Độ cứng dọc trục kết hợp

ΣEA = 200·10³·1257 + 100·10³·2199 = 4,712 × 10⁸ N

Độ co ngắn

δ = 250000·400/4,712 × 10⁸ = 0,2122 mm

Đáp số

δ = 0,2122 mm

8.Ứng suất và biến dạng dọc trục

Đáp số: P_max = 138,5 kN

Diện tích

A_r = π·20²/4 = 314,2 mm²

A_t = π(80² − 60²)/4 = 2199 mm²

Độ cứng dọc trục kết hợp

ΣEA = 200·10³·314,2 + 110·10³·2199 = 3,047 × 10⁸ N

Biến dạng quyết định

ε = min(0,001, 0,0004545) = 0,0004545 (đồng thanh)

Tải lớn nhất

P_max = 0,0004545·3,047 × 10⁸ = 138516 N = 138,5 kN

Đáp số

P_max = 138,5 kN

9.Mất ổn định cột

Đáp số: P_cr = 39,98 kN

Mất ổn định Euler: một cột mảnh mất ổn định tại P_cr = π²EI/(KL)², trong đó KL là chiều dài tính toán: K = 1 cho khớp–khớp, 2 cho ngàm–tự do, 0,7 cho ngàm–khớp và 0,5 cho ngàm–ngàm. Cột oằn quanh trục có I nhỏ nhất. Công thức đúng với cột mảnh, có ứng suất tới hạn thấp hơn ứng suất chảy.

Mômen quán tính nhỏ nhất của mặt cắt

Hình chữ nhật oằn quanh trục yếu, dùng kích thước nhỏ hơn lập phương.

I_min = h·b³/12 = 100·25³/12 = 130208 mm⁴

Chiều dài tính toán

KL = 0,5·3000 = 1500 mm

Tải trọng tới hạn

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·130208/1500² = 39981 N = 39,98 kN

Đáp số

P_cr = 39,98 kN

10.Mất ổn định cột

Đáp số: d = 75,51 mm

Tải trọng tới hạn yêu cầu

P_cr = n·P = 2,5·100000 = 250000 N

KL = 0,7·3000 = 2100 mm

Giải tìm đường kính

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·250000·2100²/(π³·70000))^(1/4) = 75,51 mm

Đáp số

d = 75,51 mm

Kiểm tra: độ mảnh KL/r là 111,2, nên cột là mảnh và công thức Euler áp dụng được.

11.Dao động cơ học

Đáp số: ζ = 0,09999

Dao động tự do của hệ vật–lò xo: tần số riêng không cản là ω_n = √(k/m) theo rad/s, và f_n = ω_n/(2π) theo Hz. Một bộ cản nhớt c cho hệ số cản ζ = c/c_c, với cản tới hạn c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Hệ cản dưới tới hạn (ζ < 1) dao động ở ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Các lò xo song song cộng lại, k = k₁ + k₂; các lò xo nối tiếp cộng theo nghịch đảo, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Giảm lượng logarit

δ = (1/4)·ln(15/1,2) = 0,6314

Hệ số cản

ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0,6314/√(39,48 + 0,3987) = 0,09999

Đáp số

ζ = 0,09999

12.Dao động cơ học

Đáp số: f_n = 3,898 Hz

Độ cứng tương đương

Các lò xo nối tiếp chịu cùng một lực và cộng độ võng, nên chúng gộp theo nghịch đảo: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

1/k_eq = 1/60 + 1/15 → k_eq = 60·15/(60 + 15) = 12 kN/m

Tần số riêng

ω_n = √(12000/20) = 24,49 rad/s

f_n = 24,49/(2π) = 3,898 Hz

Đáp số

f_n = 3,898 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design