Thiết kế máy: gói ôn nước rút

Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 12 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.

Bài mới Quay lại môn học

Trong cửa sổ in, hãy chọn “Lưu dưới dạng PDF” để giữ một bản trên thiết bị của bạn.

1Công thức và phương pháp

Bánh răng và hệ bánh răng

Bánh răng ăn khớp: n₁·N₁ = n₂·N₂
Mômen xoắn: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Công suất: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Hệ bánh răng ghép: tỉ số truyền tổng = tích các tỉ số truyền từng cấp

Xoắn của trục

Ứng suất tiếp: τ = T·r/J
Trục đặc: J = πd⁴/32
Trục rỗng: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Góc xoắn: φ = TL/(GJ)
Công suất: P = T·ω = 2πnT/60

Phương pháp

Tìm mômen quán tính độc cực: J = πd⁴/32 cho trục đặc.
Ứng suất tiếp ở bề mặt: τ = T·r/J, với r là bán kính ngoài.
Góc xoắn: φ = TL/(GJ) theo radian.
Nếu cho công suất, hãy tìm mômen xoắn trước bằng P = T·ω, ω = 2πn/60.

Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất

Tâm: C = (σ_x + σ_y)/2
Bán kính: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Ứng suất chính: σ_1,2 = C ± R
Phương chính: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Mặt phẳng nghiêng: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Phương pháp

Tính tâm của vòng tròn Mohr: C = (σx + σy)/2.
Tính bán kính: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Các ứng suất chính là C ± R và ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng là R.
Các góc trên vòng tròn gấp đôi các góc trên phần tử: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Ứng suất và biến dạng dọc trục

Ứng suất pháp: σ = F/A
Biến dạng: ε = ΔL/L
Định luật Hooke: σ = E·ε
Độ giãn dài: ΔL = FL/(EA)
Biến dạng nhiệt: ε_T = α·ΔT

Mất ổn định cột

Tải Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Hệ số chiều dài tính toán: K = 1 khớp–khớp, 0,5 ngàm–ngàm, 0,7 ngàm–khớp, 2 ngàm–tự do
Ứng suất tới hạn: σ_cr = P_cr/A
Độ mảnh: λ = KL/r, r = √(I/A)

Dao động cơ học

Tần số riêng: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Từ độ võng tĩnh: ω_n = √(g/δ_st)
Cản tới hạn: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Hệ số cản: ζ = c/c_c
Tần số có cản: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Giảm lượng logarit: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Lò xo song song: k = k₁ + k₂
Lò xo nối tiếp: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Bài tập

1.Bánh răng và hệ bánh răngTrung bình

Hai trục song song cách nhau 90 mm. Chúng phải được nối bằng một cặp bánh răng trụ răng thẳng có mô-đun 1,5 mm và tỉ số giảm tốc 5 : 1. Bánh răng lớn phải có bao nhiêu răng N₂?

a = 90 mmm = 1,5 mmi = 5

N₂ =

2.Bánh răng và hệ bánh răngKhó

Trong một hệ bánh răng ghép, bánh răng A (12 răng) trên trục vào quay ở 1500 rpm và dẫn động bánh răng B (15 răng). Bánh răng C (16 răng) được gắn cố định trên cùng trục với B và dẫn động bánh răng D trên trục ra. Trục ra phải quay ở 240 rpm. Bánh răng D phải có bao nhiêu răng N_D?

n_in = 1500 rpmA = 12B = 15C = 16n_out = 240 rpm

N_D =

3.Xoắn của trụcTrung bình

Một trục đặc đồng thau được ngàm vào tường và bị xoắn bởi mômen xoắn T ở đầu tự do. Tìm góc xoắn φ của đầu tự do, theo độ.

T = 250 N·md = 40 mmL = 0,5 mG = 39 GPa

φ = °

4.Xoắn của trụcKhó

Một trục rỗng truyền 5 kW ở 1500 rpm. Tìm ứng suất tiếp lớn nhất τ_max trong trục.

P = 5 kWN = 1500 rpmd_o = 40 mmd_i = 28 mm

τ_max = MPa

5.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suấtTrung bình

Một điểm có σₓ = 80 MPa, σᵧ = 10 MPa và τₓᵧ = 60 MPa (kéo là dương). Phân tố được xoay 60° ngược chiều kim đồng hồ. Tìm ứng suất pháp σ_y′ trên các mặt của phân tố đã xoay vuông góc với trục y′ sau khi xoay.

σ_x = 80 MPaσ_y = 10 MPaτ_xy = 60 MPaθ = 60°

σ_y′ = MPa

6.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suấtKhó

Một điểm trong chi tiết chịu tải có σₓ = 0 MPa, σᵧ = 80 MPa và τₓᵧ = 40 MPa (kéo là dương). Tìm ứng suất pháp σ_θ trên một mặt có pháp tuyến xoay 15° ngược chiều kim đồng hồ so với trục x.

σ_x = 0 MPaσ_y = 80 MPaτ_xy = 40 MPaθ = 15°

σ_θ = MPa

7.Ứng suất và biến dạng dọc trụcTrung bình

Tìm biến dạng dọc trục ε trong thanh đồng thau, tính bằng microstrain (µε = 10⁻⁶).

P = 35 kNd = 30 mmL = 2,5 mE = 100 GPa

ε = µε

8.Ứng suất và biến dạng dọc trụcKhó

Thanh bậc được ngàm vào tường và chịu tải ở đầu tự do. Tìm tổng độ giãn dài δ.

P = 15 kNđoạn 1: Ø30 mm, 0,5 m, đồng (E = 117 GPa)đoạn 2: Ø12 mm, 2 m, nhôm (E = 70 GPa)

δ = mm

9.Mất ổn định cộtTrung bình

Một cột dài L làm bằng thép được ngàm ở chân và tự do ở đỉnh. Dùng công thức Euler, tìm tải trọng oằn tới hạn P_cr của nó.

L = 2,5 mE = 200 GPa (thép)d = 40 mm

P_cr = kN

10.Mất ổn định cộtKhó

Một cột dài L làm bằng thép được ngàm cả hai đầu. Tìm độ mảnh của nó và ứng suất oằn tới hạn σ_cr theo công thức Euler.

L = 1,5 mE = 200 GPa (thép)d = 20 mm

σ_cr = MPa

11.Dao động cơ họcTrung bình

Trong một thí nghiệm dao động tự do của hệ vật–lò xo có cản, một đỉnh độ dời 15 mm được theo sau một chu kỳ sau bởi đỉnh 9,1 mm. Tìm hệ số cản ζ.

x₀ = 15 mmx₁ = 9,1 mmn = 1

ζ =

12.Dao động cơ họcKhó

Một vật 20 kg treo vào hai lò xo nối đầu với đầu (nối tiếp): lò xo trên có k₁ = 12 kN/m và lò xo dưới có k₂ = 12 kN/m. Tìm độ cứng tương đương k_eq của hệ lò xo theo kN/m.

m = 20 kgk₁ = 12 kN/mk₂ = 12 kN/m

k_eq = kN/m

3Dung dịch

1.Bánh răng và hệ bánh răng

Đáp số: N₂ = 100

Gear geometry: the module m sets the tooth size. A gear with N teeth has a pitch diameter d = m·N, two meshing gears have the same module, and their centre distance is a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2. The pitch-line speed is v = π·d·n/60, and the tangential tooth force follows from the torque: F_t = 2T/d.

Tổng số răng

N₁ + N₂ = 2a/m = 2·90/1,5 = 120

Chia theo tỉ số

N₁ = 120/(1 + 5) = 20

N₂ = 5·20 = 100

Đáp số

N₂ = 100

2.Bánh răng và hệ bánh răng

Đáp số: N_D = 80

Gear trains: meshing gears have the same speed at the teeth, so n₁·N₁ = n₂·N₂: the gear with fewer teeth turns faster. Gears on one shaft turn at the same speed. Power is passed on (minus losses), so torque goes up when speed goes down: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, and P = T·ω with ω = 2π·n/60.

Tốc độ của trục trung gian

n_B = n_C = 1500·12/15 = 1200 rpm

Số răng của bánh răng D

N_D = C·n_C/n_out = 16·1200/240 = 80

Đáp số

N_D = 80

3.Xoắn của trục

Đáp số: φ = 0,7307 °

Xoắn thanh tròn: ứng suất tiếp tăng tuyến tính từ không ở tâm đến τ_max = T·r/J ở bề mặt, với J = πd⁴/32 cho trục đặc và J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 cho trục rỗng. Góc xoắn là φ = TL/(GJ) tính bằng radian. Công suất và mômen xoắn liên hệ với nhau qua P = T·ω.

Mômen quán tính độc cực của mặt cắt

J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴

Góc xoắn

φ = TL/(GJ) = 250·1000·500/(39000·251327) = 0,01275 rad

φ = 0,01275·180/π = 0,7307°

Đáp số

φ = 0,7307°

4.Xoắn của trục

Đáp số: τ_max = 3,333 MPa

Mômen xoắn

ω = 2πN/60 = 2π·1500/60 = 157,1 rad/s

T = P/ω = 5000/157,1 = 31,83 N·m

Mômen quán tính độc cực của mặt cắt

J = π(40⁴ − 28⁴)/32 = 190984 mm⁴

Ứng suất tiếp lớn nhất

τ_max = T·(d_o/2)/J = 31831·20/190984 = 3,333 MPa

Đáp số

τ_max = 3,333 MPa

5.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất

Đáp số: σ_y′ = 10,54 MPa

Biến đổi ứng suất phẳng: trên một mặt xoay góc θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Vòng tròn Mohr cho thấy tất cả các mặt cùng lúc: tâm của nó ở C = (σₓ + σᵧ)/2 và bán kính là R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Các ứng suất chính là C ± R, và ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng là R.

Phương trình biến đổi cho mặt y′

σ_y′ = 45 − 35·(−0,5) − 60·0,866 = 10,54 MPa

Kiểm tra

Tổng các ứng suất pháp không thay đổi khi xoay.

σ_x′ = 79,46 MPa, σ_x′ + σ_y′ = 90 = σ_x + σ_y

Đáp số

σ_y′ = 10,54 MPa

6.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất

Đáp số: σ_θ = 25,36 MPa

Phương trình biến đổi

σ_θ = 40 + −40·0,866 + 40·0,5 = 25,36 MPa

Đáp số

σ_θ = 25,36 MPa

7.Ứng suất và biến dạng dọc trục

Đáp số: ε = 495,1 µε

Định luật Hooke: trong giới hạn đàn hồi σ = E·ε. Kết hợp với σ = P/A và ε = δ/L ta được δ = PL/(AE).

Ứng suất

A = π·30²/4 = 706,9 mm²

σ = P/A = 35·1000/706,9 = 49,51 MPa

Biến dạng (định luật Hooke)

E for đồng thau = 100 GPa = 100000 MPa.

ε = σ/E = 49,51/100000 = 0,0004951 = 495,1 µε

Đáp số

ε = 495,1 µε

8.Ứng suất và biến dạng dọc trục

Đáp số: δ = 3,88 mm

Cấu kiện chịu tải dọc trục: mỗi đoạn lăng trụ tuân theo δ = PL/(AE). Với các cấu kiện nối tiếp, độ giãn dài cộng lại.

Cùng một lực trong cả hai đoạn

Đầu tự do chịu lực P, nên mọi mặt cắt của thanh đều chịu cùng một lực dọc trục P. Chỉ có diện tích và vật liệu thay đổi.

A₁ = π·30²/4 = 706,9 mm², A₂ = π·12²/4 = 113,1 mm²

σ₁ = 21,22 MPa

σ₂ = 132,6 MPa

Cộng độ giãn dài của các đoạn

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 21,22·500/117000 = 0,09069 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 132,6·2000/70000 = 3,789 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 3,88 mm

Đáp số

δ = 3,88 mm

9.Mất ổn định cột

Đáp số: P_cr = 9,922 kN

Mất ổn định Euler: một cột mảnh mất ổn định tại P_cr = π²EI/(KL)², trong đó KL là chiều dài tính toán: K = 1 cho khớp–khớp, 2 cho ngàm–tự do, 0,7 cho ngàm–khớp và 0,5 cho ngàm–ngàm. Cột oằn quanh trục có I nhỏ nhất. Công thức đúng với cột mảnh, có ứng suất tới hạn thấp hơn ứng suất chảy.

Mômen quán tính nhỏ nhất của mặt cắt

Mặt cắt tròn có cùng I đối với mọi trục.

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

Chiều dài tính toán

KL = 2·2500 = 5000 mm

Tải trọng tới hạn

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·125664/5000² = 9922 N = 9,922 kN

Đáp số

P_cr = 9,922 kN

10.Mất ổn định cột

Đáp số: σ_cr = 87,73 MPa

Mômen quán tính nhỏ nhất của mặt cắt

Mặt cắt tròn có cùng I đối với mọi trục.

I = πd⁴/64 = π·20⁴/64 = 7854 mm⁴

Bán kính quán tính và độ mảnh

A = 314,2 mm²

r = √(I/A) = √(7854/314,2) = 5 mm

KL = 0,5·1500 = 750 mm

KL/r = 750/5 = 150

Ứng suất tới hạn

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/150² = 87,73 MPa

Đáp số

σ_cr = 87,73 MPa

11.Dao động cơ học

Đáp số: ζ = 0,07929

Dao động tự do của hệ vật–lò xo: tần số riêng không cản là ω_n = √(k/m) theo rad/s, và f_n = ω_n/(2π) theo Hz. Một bộ cản nhớt c cho hệ số cản ζ = c/c_c, với cản tới hạn c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Hệ cản dưới tới hạn (ζ < 1) dao động ở ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Các lò xo song song cộng lại, k = k₁ + k₂; các lò xo nối tiếp cộng theo nghịch đảo, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Giảm lượng logarit

δ = (1/1)·ln(15/9,1) = 0,4998

Hệ số cản

ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0,4998/√(39,48 + 0,2498) = 0,07929

Đáp số

ζ = 0,07929

12.Dao động cơ học

Đáp số: k_eq = 6 kN/m

Độ cứng tương đương

Các lò xo nối tiếp chịu cùng một lực và cộng độ võng, nên chúng gộp theo nghịch đảo: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

1/k_eq = 1/12 + 1/12 → k_eq = 12·12/(12 + 12) = 6 kN/m

Đáp số

k_eq = 6 kN/m

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design