Thiết kế máy: gói ôn nước rút

Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 12 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.

Bài mớiQuay lại môn học

Trong cửa sổ in, hãy chọn “Lưu dưới dạng PDF” để giữ một bản trên thiết bị của bạn.

1Công thức và phương pháp

Bánh răng và hệ bánh răng

Bánh răng ăn khớp
n1·N1 = n2·N2
Mômen xoắn
T2 = T1·(N2/N1)·η
Công suất
P = T·ω, ω = 2π·n/60
Hệ bánh răng ghép
tỉ số truyền tổng = tích các tỉ số truyền từng cấp

Xoắn của trục

Ứng suất tiếp
τ = T·r/J
Trục đặc
J = πd⁴/32
Trục rỗng
J = π(D⁴ − d⁴)/32
Góc xoắn
φ = TL/(GJ)
Công suất
P = T·ω = 2πnT/60

Phương pháp

  1. Tìm mômen quán tính độc cực: J = πd⁴/32 cho trục đặc.
  2. Ứng suất tiếp ở bề mặt: τ = T·r/J, với r là bán kính ngoài.
  3. Góc xoắn: φ = TL/(GJ) theo radian.
  4. Nếu cho công suất, hãy tìm mômen xoắn trước bằng P = T·ω, ω = 2πn/60.

Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất

Tâm
C = (σx + σy)/2
Bán kính
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
Ứng suất chính
σ1,2 = C ± R
Phương chính
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
Mặt phẳng nghiêng
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

Phương pháp

  1. Tính tâm của vòng tròn Mohr: C = (σx + σy)/2.
  2. Tính bán kính: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
  3. Các ứng suất chính là C ± R và ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng là R.
  4. Các góc trên vòng tròn gấp đôi các góc trên phần tử: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Ứng suất và biến dạng dọc trục

Ứng suất pháp
σ = F/A
Biến dạng
ε = ΔL/L
Định luật Hooke
σ = E·ε
Độ giãn dài
ΔL = FL/(EA)
Biến dạng nhiệt
εT = α·ΔT

Mất ổn định cột

Tải Euler
Pcr = π²EI/(KL)²
Hệ số chiều dài tính toán
K = 1 khớp–khớp, 0,5 ngàm–ngàm, 0,7 ngàm–khớp, 2 ngàm–tự do
Ứng suất tới hạn
σcr = Pcr/A
Độ mảnh
λ = KL/r, r = √(I/A)

Dao động cơ học

Tần số riêng
ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
Từ độ võng tĩnh
ωn = √(g/δst)
Cản tới hạn
cc = 2√(km) = 2mωn
Hệ số cản
ζ = c/cc
Tần số có cản
ωd = ωn√(1 − ζ²)
Giảm lượng logarit
δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Lò xo song song
k = k1 + k2
Lò xo nối tiếp
1/k = 1/k1 + 1/k2

2Bài tập

1.Bánh răng và hệ bánh răngTrung bình
N1​ = 24N2​ = 45

Một động cơ 1,1 kW chạy ở 1440 rpm dẫn động một bánh răng nhỏ có 24 răng, ăn khớp với một bánh răng có 45 răng. Cặp bánh răng có hiệu suất 97%. Tìm mômen xoắn T1 trên trục động cơ.

P = 1,1 kWn1 = 1440 rpmN1 = 24N2 = 45η = 97%
T1 = N·m
2.Bánh răng và hệ bánh răngKhó
Ns​ = 30vành răng cố địnhNp​ = 18nc​ = ?

Trong một bộ bánh răng hành tinh, bánh răng mặt trời có 30 răng và mỗi bánh răng hành tinh có 18 răng. Vành răng ngoài được giữ cố định và bánh mặt trời được dẫn động ở 3000 rpm. Tìm tốc độ nc của cần dẫn hành tinh.

Ns = 30Np = 18ns = 3000 rpm
nc = rpm
3.Xoắn của trụcTrung bình
T = 400 N·md = 30 mmL = 2 mφ = ?

Một trục đặc đồng thau được ngàm vào tường và bị xoắn bởi mômen xoắn T ở đầu tự do. Tìm góc xoắn φ của đầu tự do, theo độ.

T = 400 N·md = 30 mmL = 2 mG = 39 GPa
φ = °
4.Xoắn của trụcKhó
Td = ?

Một trục đặc phải truyền 50 kW ở 1450 rpm mà ứng suất tiếp không vượt quá 60 MPa. Tìm đường kính nhỏ nhất d thỏa mãn.

P = 50 kWN = 1450 rpmτallow = 60 MPa
d = mm
5.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suấtTrung bình
σx​ = 10σy​ = 90τxy​ = 20MPa

Một điểm có σₓ = 10 MPa, σᵧ = 90 MPa và τₓᵧ = 20 MPa (kéo là dương). Tìm góc θs, trong khoảng từ −90° đến 90°, từ trục x đến pháp tuyến của mặt có ứng suất cắt đạt giá trị dương lớn nhất +R (ứng suất cắt dương cùng chiều với τₓᵧ).

σx = 10 MPaσy = 90 MPaτxy = 20 MPa
θs = °
6.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suấtKhó
σx​ = −80σy​ = 110τxy​ = −60MPa

Một điểm trong một tấm mỏng ở trạng thái ứng suất phẳng: σₓ = −80 MPa, σᵧ = 110 MPa và τₓᵧ = −60 MPa (σz = 0). Vật liệu có giới hạn chảy 460 MPa. Tìm hệ số an toàn n chống chảy theo tiêu chuẩn Tresca (ứng suất cắt lớn nhất).

σx = −80 MPaσy = 110 MPaτxy = −60 MPaσY = 460 MPa
n =
7.Ứng suất và biến dạng dọc trụcTrung bình
Ø 16 mmThép0,5 mP = 95 kN

Tìm độ giãn dài δ của thanh thép dưới tải trọng dọc trục.

P = 95 kNd = 16 mmL = 0,5 mE = 200 GPa
δ = mm
8.Ứng suất và biến dạng dọc trụcKhó
Ø 25 mmĐồng thau0,5 mØ 16 mmNhôm1 mP = 25 kN

Thanh bậc được ngàm vào tường và chịu tải ở đầu tự do. Tìm ứng suất pháp lớn nhất σmax trong thanh.

P = 25 kNđoạn 1: Ø25 mm, 0,5 m, đồng thau (E = 100 GPa)đoạn 2: Ø16 mm, 1 m, nhôm (E = 70 GPa)
σmax = MPa
9.Mất ổn định cộtTrung bình
PL = 5 m20 × 40 mmmặt cắt ngang

Một cột dài L làm bằng thép được ngàm cả hai đầu. Dùng công thức Euler, tìm tải trọng oằn tới hạn Pcr của nó.

L = 5 mE = 200 GPa (thép)b × h = 20 × 40 mm
Pcr = kN
10.Mất ổn định cộtKhó
PL = 1 md = 20 mmmặt cắt ngang

Một cột dài L làm bằng thép được ngàm cả hai đầu. Tìm độ mảnh của nó và ứng suất oằn tới hạn σcr theo công thức Euler.

L = 1 mE = 200 GPa (thép)d = 20 mm
σcr = MPa
11.Dao động cơ họcTrung bình
k = 15 kN/mc = 170 N·s/mm = 8 kg

Một vật 8 kg được đỡ bởi một lò xo có độ cứng 15 kN/m và một bộ cản nhớt có hệ số cản 170 N·s/m. Tìm hệ số cản ζ.

m = 8 kgk = 15 kN/mc = 170 N·s/m
ζ =
12.Dao động cơ họcKhó
k1​ = 15k2​ = 60m = 10 kg

Một vật 10 kg treo vào hai lò xo nối đầu với đầu (nối tiếp): lò xo trên có k₁ = 15 kN/m và lò xo dưới có k₂ = 60 kN/m. Tìm độ cứng tương đương keq của hệ lò xo theo kN/m.

m = 10 kgk1 = 15 kN/mk2 = 60 kN/m
keq = kN/m

3Dung dịch

1.Bánh răng và hệ bánh răng

Đáp số: T1 = 7,295 N·m

Hệ bánh răng: các bánh răng ăn khớp có cùng tốc độ tại răng, nên n₁·N₁ = n₂·N₂: bánh răng có ít răng hơn quay nhanh hơn. Các bánh răng trên cùng một trục quay cùng tốc độ. Công suất được truyền đi (trừ tổn thất), nên mômen xoắn tăng khi tốc độ giảm: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, và P = T·ω với ω = 2π·n/60.

Mômen xoắn động cơ

ω₁ = 2π·1440/60 = 150,8 rad/s
T1 = P/ω₁ = 1100/150,8 = 7,295 N·m

Đáp số

T1 = 7,295 N·m
2.Bánh răng và hệ bánh răng

Đáp số: nc = 937,5 rpm

Bộ bánh răng hành tinh: tốc độ của bánh mặt trời, vành răng và cần dẫn liên hệ với nhau bởi phương trình Willis (ns − nc)/(nr − nc) = −Nr/Ns: nhìn từ cần dẫn, bộ truyền là một hệ bánh răng thông thường với các bánh hành tinh là bánh trung gian. Giữ cố định một phần tử biến bộ truyền thành bộ giảm tốc có một tỉ số truyền.

Số răng của vành răng

Nr = Ns + 2·Np = 30 + 2·18 = 66

Phương trình Willis khi vành răng cố định

Đặt nr = 0 và giải tìm tốc độ cần dẫn.

(3000 − nc)/(0 − nc) = −66/30
nc = ns·Ns/(Ns + Nr) = 3000·30/96 = 937,5 rpm

Đáp số

nc = 937,5 rpm

Cần dẫn quay cùng chiều với bánh mặt trời.

3.Xoắn của trục

Đáp số: φ = 14,78 °

Xoắn thanh tròn: ứng suất tiếp tăng tuyến tính từ không ở tâm đến τmax = T·r/J ở bề mặt, với J = πd⁴/32 cho trục đặc và J = π(do⁴ − di⁴)/32 cho trục rỗng. Góc xoắn là φ = TL/(GJ) tính bằng radian. Công suất và mômen xoắn liên hệ với nhau qua P = T·ω.

Mômen quán tính độc cực của mặt cắt

J = π·30⁴/32 = 79522 mm⁴

Góc xoắn

φ = TL/(GJ) = 400·1000·2000/(39000·79522) = 0,258 rad
φ = 0,258·180/π = 14,78°

Đáp số

φ = 14,78°
4.Xoắn của trục

Đáp số: d = 30,35 mm

Xoắn thanh tròn: ứng suất tiếp tăng tuyến tính từ không ở tâm đến τmax = T·r/J ở bề mặt, với J = πd⁴/32 cho trục đặc và J = π(do⁴ − di⁴)/32 cho trục rỗng. Góc xoắn là φ = TL/(GJ) tính bằng radian. Công suất và mômen xoắn liên hệ với nhau qua P = T·ω.

Mômen xoắn

ω = 2πN/60 = 2π·1450/60 = 151,8 rad/s
T = P/ω = 50000/151,8 = 329,3 N·m

Đường kính từ ứng suất cho phép

d = ∛(16T/(π·τallow)) = ∛(16·329286/(π·60)) = 30,35 mm

Đáp số

d = 30,35 mm

Trong thực tế bạn sẽ làm tròn lên kích thước tiêu chuẩn kế tiếp.

5.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất

Đáp số: θs = 31,72 °

Biến đổi ứng suất phẳng: trên một mặt xoay góc θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Vòng tròn Mohr cho thấy tất cả các mặt cùng lúc: tâm của nó ở C = (σₓ + σᵧ)/2 và bán kính là R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Các ứng suất chính là C ± R, và ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng là R.

στxyCτmax​

Góc trên vòng tròn

Trên vòng tròn Mohr, điểm trên cùng (+R) lệch 90° so với điểm chính σ₁; trên phân tố đó là 45°.

cos 2θs = 20/44,72 = 0,4472, sin 2θs = −(−40)/44,72 = 0,8944
2θs = atan2(40, 20) = 63,43°

Góc trên phần tử

θs = 31,72°
kiểm tra: θs − θp = 31,72 − 76,72 = −45°

Đáp số

θs = 31,72°

Góc dương là ngược chiều kim đồng hồ.

6.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất

Đáp số: n = 2,047

Biến đổi ứng suất phẳng: trên một mặt xoay góc θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Vòng tròn Mohr cho thấy tất cả các mặt cùng lúc: tâm của nó ở C = (σₓ + σᵧ)/2 và bán kính là R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Các ứng suất chính là C ± R, và ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng là R. Tiêu chuẩn chảy: von Mises dự đoán vật liệu chảy khi σvM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) đạt σY; Tresca khi ứng suất cắt lớn nhất tuyệt đối đạt σY/2.

στxyCσ1​σ2​

Ứng suất chính

C = 15 MPa, R = 112,4 MPa
σ1 = 127,4 MPa, σ2 = −97,36 MPa, σ3 = 0

Tresca

σmax − σmin = 224,7 MPa
n = 460/224,7 = 2,047

Đáp số

n = 2,047

n > 1 nghĩa là điểm không bị chảy; Tresca thận trọng hơn von Mises một chút.

7.Ứng suất và biến dạng dọc trục

Đáp số: δ = 1,181 mm

Định luật Hooke: trong giới hạn đàn hồi σ = E·ε. Kết hợp với σ = P/A và ε = δ/L ta được δ = PL/(AE).

Ứng suất

A = π·16²/4 = 201,1 mm²
σ = P/A = 95·1000/201,1 = 472,5 MPa

Biến dạng (định luật Hooke)

E for thép = 200 GPa = 200000 MPa.

ε = σ/E = 472,5/200000 = 0,002362 = 2362 µε

Độ giãn dài

δ = ε·L = 0,002362·500 mm = 1,181 mm

Đáp số

δ = 1,181 mm
8.Ứng suất và biến dạng dọc trục

Đáp số: σmax = 124,3 MPa

Cấu kiện chịu tải dọc trục: mỗi đoạn lăng trụ tuân theo δ = PL/(AE). Với các cấu kiện nối tiếp, độ giãn dài cộng lại.

Cùng một lực trong cả hai đoạn

Đầu tự do chịu lực P, nên mọi mặt cắt của thanh đều chịu cùng một lực dọc trục P. Chỉ có diện tích và vật liệu thay đổi.

A1 = π·25²/4 = 490,9 mm², A2 = π·16²/4 = 201,1 mm²
σ1 = 50,93 MPa
σ2 = 124,3 MPa

Ứng suất lớn nhất

Đoạn mảnh hơn có diện tích nhỏ hơn, nên chịu ứng suất lớn hơn.

σmax = 124,3 MPa

Đáp số

σmax = 124,3 MPa
9.Mất ổn định cột

Đáp số: Pcr = 8,422 kN

Mất ổn định Euler: một cột mảnh mất ổn định tại Pcr = π²EI/(KL)², trong đó KL là chiều dài tính toán: K = 1 cho khớp–khớp, 2 cho ngàm–tự do, 0,7 cho ngàm–khớp và 0,5 cho ngàm–ngàm. Cột oằn quanh trục có I nhỏ nhất. Công thức đúng với cột mảnh, có ứng suất tới hạn thấp hơn ứng suất chảy.

Mômen quán tính nhỏ nhất của mặt cắt

Hình chữ nhật oằn quanh trục yếu, dùng kích thước nhỏ hơn lập phương.

Imin = h·b³/12 = 40·20³/12 = 26667 mm⁴

Chiều dài tính toán

KL = 0,5·5000 = 2500 mm

Tải trọng tới hạn

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·26667/2500² = 8422 N = 8,422 kN

Đáp số

Pcr = 8,422 kN
10.Mất ổn định cột

Đáp số: σcr = 197,4 MPa

Mất ổn định Euler: một cột mảnh mất ổn định tại Pcr = π²EI/(KL)², trong đó KL là chiều dài tính toán: K = 1 cho khớp–khớp, 2 cho ngàm–tự do, 0,7 cho ngàm–khớp và 0,5 cho ngàm–ngàm. Cột oằn quanh trục có I nhỏ nhất. Công thức đúng với cột mảnh, có ứng suất tới hạn thấp hơn ứng suất chảy.

Mômen quán tính nhỏ nhất của mặt cắt

Mặt cắt tròn có cùng I đối với mọi trục.

I = πd⁴/64 = π·20⁴/64 = 7854 mm⁴

Bán kính quán tính và độ mảnh

A = 314,2 mm²
r = √(I/A) = √(7854/314,2) = 5 mm
KL = 0,5·1000 = 500 mm
KL/r = 500/5 = 100

Ứng suất tới hạn

σcr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/100² = 197,4 MPa

Đáp số

σcr = 197,4 MPa
11.Dao động cơ học

Đáp số: ζ = 0,2454

Dao động tự do của hệ vật–lò xo: tần số riêng không cản là ωn = √(k/m) theo rad/s, và fn = ωn/(2π) theo Hz. Một bộ cản nhớt c cho hệ số cản ζ = c/cc, với cản tới hạn cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Hệ cản dưới tới hạn (ζ < 1) dao động ở ωd = ωn·√(1 − ζ²). Các lò xo song song cộng lại, k = k₁ + k₂; các lò xo nối tiếp cộng theo nghịch đảo, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Cản tới hạn

cc = 2·√(k·m) = 2·√(15000·8) = 692,8 N·s/m

Hệ số cản

ζ = c/cc = 170/692,8 = 0,2454

Đáp số

ζ = 0,2454

ζ < 1, nên hệ cản dưới tới hạn và dao động khi tắt dần.

12.Dao động cơ học

Đáp số: keq = 12 kN/m

Dao động tự do của hệ vật–lò xo: tần số riêng không cản là ωn = √(k/m) theo rad/s, và fn = ωn/(2π) theo Hz. Một bộ cản nhớt c cho hệ số cản ζ = c/cc, với cản tới hạn cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Hệ cản dưới tới hạn (ζ < 1) dao động ở ωd = ωn·√(1 − ζ²). Các lò xo song song cộng lại, k = k₁ + k₂; các lò xo nối tiếp cộng theo nghịch đảo, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Độ cứng tương đương

Các lò xo nối tiếp chịu cùng một lực và cộng độ võng, nên chúng gộp theo nghịch đảo: 1/k = 1/k1 + 1/k2.

1/keq = 1/15 + 1/60 → keq = 15·60/(15 + 60) = 12 kN/m

Đáp số

keq = 12 kN/m

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design