Bánh răng và hệ bánh răng
- Bánh răng ăn khớp
- n1·N1 = n2·N2
- Mômen xoắn
- T2 = T1·(N2/N1)·η
- Công suất
- P = T·ω, ω = 2π·n/60
- Hệ bánh răng ghép
- tỉ số truyền tổng = tích các tỉ số truyền từng cấp
Thiết kế máy: gói ôn nước rút
Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 12 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.
1Công thức và phương pháp
Xoắn của trục
- Ứng suất tiếp
- τ = T·r/J
- Trục đặc
- J = πd⁴/32
- Trục rỗng
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- Góc xoắn
- φ = TL/(GJ)
- Công suất
- P = T·ω = 2πnT/60
Phương pháp
- Tìm mômen quán tính độc cực: J = πd⁴/32 cho trục đặc.
- Ứng suất tiếp ở bề mặt: τ = T·r/J, với r là bán kính ngoài.
- Góc xoắn: φ = TL/(GJ) theo radian.
- Nếu cho công suất, hãy tìm mômen xoắn trước bằng P = T·ω, ω = 2πn/60.
Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất
- Tâm
- C = (σx + σy)/2
- Bán kính
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- Ứng suất chính
- σ1,2 = C ± R
- Phương chính
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- Mặt phẳng nghiêng
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
Phương pháp
- Tính tâm của vòng tròn Mohr: C = (σx + σy)/2.
- Tính bán kính: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
- Các ứng suất chính là C ± R và ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng là R.
- Các góc trên vòng tròn gấp đôi các góc trên phần tử: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).
Ứng suất và biến dạng dọc trục
- Ứng suất pháp
- σ = F/A
- Biến dạng
- ε = ΔL/L
- Định luật Hooke
- σ = E·ε
- Độ giãn dài
- ΔL = FL/(EA)
- Biến dạng nhiệt
- εT = α·ΔT
Mất ổn định cột
- Tải Euler
- Pcr = π²EI/(KL)²
- Hệ số chiều dài tính toán
- K = 1 khớp–khớp, 0,5 ngàm–ngàm, 0,7 ngàm–khớp, 2 ngàm–tự do
- Ứng suất tới hạn
- σcr = Pcr/A
- Độ mảnh
- λ = KL/r, r = √(I/A)
Dao động cơ học
- Tần số riêng
- ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
- Từ độ võng tĩnh
- ωn = √(g/δst)
- Cản tới hạn
- cc = 2√(km) = 2mωn
- Hệ số cản
- ζ = c/cc
- Tần số có cản
- ωd = ωn√(1 − ζ²)
- Giảm lượng logarit
- δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
- Lò xo song song
- k = k1 + k2
- Lò xo nối tiếp
- 1/k = 1/k1 + 1/k2
2Bài tập
1.Bánh răng và hệ bánh răngTrung bình
Một động cơ 2,2 kW chạy ở 1440 rpm dẫn động một bánh răng nhỏ có 25 răng, ăn khớp với một bánh răng có 48 răng. Cặp bánh răng có hiệu suất 97%. Tìm mômen xoắn T1 trên trục động cơ.
P = 2,2 kWn1 = 1440 rpmN1 = 25N2 = 48η = 97%
T1 = N·m
2.Bánh răng và hệ bánh răngKhó
Trong một hệ bánh răng ghép, bánh răng A (12 răng) trên trục vào quay 1440 rpm dẫn động bánh răng B (50 răng). Bánh răng C (15 răng) được cố định trên cùng trục với B và dẫn động bánh răng D (18 răng) trên trục ra. Tìm tốc độ ra nout.
nin = 1440 rpmA = 12B = 50C = 15D = 18
nout = rpm
3.Xoắn của trụcTrung bình
Một trục đặc nhôm được ngàm vào tường và bị xoắn bởi mômen xoắn T ở đầu tự do. Tìm góc xoắn φ của đầu tự do, theo độ.
T = 500 N·md = 30 mmL = 1 mG = 26 GPa
φ = °
4.Xoắn của trụcKhó
Một trục đặc phải truyền 15 kW ở 1000 rpm mà ứng suất tiếp không vượt quá 80 MPa. Tìm đường kính nhỏ nhất d thỏa mãn.
P = 15 kWN = 1000 rpmτallow = 80 MPa
d = mm
5.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suấtTrung bình
Một điểm trong chi tiết chịu tải có σₓ = 60 MPa, σᵧ = −80 MPa và τₓᵧ = 30 MPa (kéo là dương). Tìm góc θp từ trục x đến phương của ứng suất chính lớn nhất, trong khoảng −90° đến 90°.
σx = 60 MPaσy = −80 MPaτxy = 30 MPa
θp = °
6.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suấtKhó
Một điểm trong chi tiết chịu tải có σₓ = −30 MPa, σᵧ = 0 MPa và τₓᵧ = −50 MPa (kéo là dương). Tìm ứng suất pháp σθ trên một mặt có pháp tuyến xoay 50° ngược chiều kim đồng hồ so với trục x.
σx = −30 MPaσy = 0 MPaτxy = −50 MPaθ = 50°
σθ = MPa
7.Ứng suất và biến dạng dọc trụcTrung bình
Tìm độ giãn dài δ của thanh nhôm dưới tải trọng dọc trục.
P = 30 kNd = 16 mmL = 2 mE = 70 GPa
δ = mm
8.Ứng suất và biến dạng dọc trụcKhó
Một thanh thép (đường kính 20 mm, E = 200 GPa, ứng suất cho phép 120 MPa) nằm trong một ống làm bằng nhôm (đường kính ngoài 120 mm, đường kính trong 60 mm, E = 70 GPa, ứng suất cho phép 80 MPa). Chúng bị nén cùng nhau giữa các tấm cứng. Tìm tải lớn nhất Pmax.
thanh: Ø20 mm, E = 200 GPa, σallow = 120 MPaống: Ø120/Ø60 mm, E = 70 GPa, σallow = 80 MPa
Pmax = kN
9.Mất ổn định cộtTrung bình
Một cột dài L làm bằng thép được ngàm ở chân và tự do ở đỉnh. Dùng công thức Euler, tìm tải trọng oằn tới hạn Pcr của nó.
L = 5 mE = 200 GPa (thép)d = 40 mm
Pcr = kN
10.Mất ổn định cộtKhó
Một cột dài L làm bằng nhôm được ngàm ở chân và khớp ở đỉnh. Tìm độ mảnh của nó và ứng suất oằn tới hạn σcr theo công thức Euler.
L = 1,5 mE = 70 GPa (nhôm)d = 20 mm
σcr = MPa
11.Dao động cơ họcTrung bình
Trong một thí nghiệm dao động tự do của hệ vật–lò xo có cản, một đỉnh độ dời 12 mm được theo sau 2 chu kỳ sau bởi đỉnh 3,4 mm. Tìm hệ số cản ζ.
x0 = 12 mmx2 = 3,4 mmn = 2
ζ =
12.Dao động cơ họcKhó
Một vật 50 kg treo vào hai lò xo đặt cạnh nhau (song song), có độ cứng k₁ = 20 kN/m và k₂ = 100 kN/m. Vật giữ nằm ngang. Bỏ qua cản và khối lượng của các lò xo. Tìm tần số riêng fn của dao động thẳng đứng theo Hz.
m = 50 kgk1 = 20 kN/mk2 = 100 kN/m
fn = Hz
3Dung dịch
1.Bánh răng và hệ bánh răng
Đáp số: T1 = 14,59 N·m
Hệ bánh răng: các bánh răng ăn khớp có cùng tốc độ tại răng, nên n₁·N₁ = n₂·N₂: bánh răng có ít răng hơn quay nhanh hơn. Các bánh răng trên cùng một trục quay cùng tốc độ. Công suất được truyền đi (trừ tổn thất), nên mômen xoắn tăng khi tốc độ giảm: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, và P = T·ω với ω = 2π·n/60.
Mômen xoắn động cơ
ω₁ = 2π·1440/60 = 150,8 rad/s
T1 = P/ω₁ = 2200/150,8 = 14,59 N·m
Đáp số
T1 = 14,59 N·m
2.Bánh răng và hệ bánh răng
Đáp số: nout = 288 rpm
Hệ bánh răng: các bánh răng ăn khớp có cùng tốc độ tại răng, nên n₁·N₁ = n₂·N₂: bánh răng có ít răng hơn quay nhanh hơn. Các bánh răng trên cùng một trục quay cùng tốc độ. Công suất được truyền đi (trừ tổn thất), nên mômen xoắn tăng khi tốc độ giảm: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, và P = T·ω với ω = 2π·n/60.
Cấp thứ nhất
nB = 1440·12/50 = 345,6 rpm = nC
Cấp thứ hai
nout = 345,6·15/18 = 288 rpm
Đáp số
nout = 288 rpm
tỉ số truyền tổng = 5 : 1
3.Xoắn của trục
Đáp số: φ = 13,86 °
Xoắn thanh tròn: ứng suất tiếp tăng tuyến tính từ không ở tâm đến τmax = T·r/J ở bề mặt, với J = πd⁴/32 cho trục đặc và J = π(do⁴ − di⁴)/32 cho trục rỗng. Góc xoắn là φ = TL/(GJ) tính bằng radian. Công suất và mômen xoắn liên hệ với nhau qua P = T·ω.
Mômen quán tính độc cực của mặt cắt
J = π·30⁴/32 = 79522 mm⁴
Góc xoắn
φ = TL/(GJ) = 500·1000·1000/(26000·79522) = 0,2418 rad
φ = 0,2418·180/π = 13,86°
Đáp số
φ = 13,86°
4.Xoắn của trục
Đáp số: d = 20,89 mm
Xoắn thanh tròn: ứng suất tiếp tăng tuyến tính từ không ở tâm đến τmax = T·r/J ở bề mặt, với J = πd⁴/32 cho trục đặc và J = π(do⁴ − di⁴)/32 cho trục rỗng. Góc xoắn là φ = TL/(GJ) tính bằng radian. Công suất và mômen xoắn liên hệ với nhau qua P = T·ω.
Mômen xoắn
ω = 2πN/60 = 2π·1000/60 = 104,7 rad/s
T = P/ω = 15000/104,7 = 143,2 N·m
Đường kính từ ứng suất cho phép
d = ∛(16T/(π·τallow)) = ∛(16·143239/(π·80)) = 20,89 mm
Đáp số
d = 20,89 mm
Trong thực tế bạn sẽ làm tròn lên kích thước tiêu chuẩn kế tiếp.
5.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất
Đáp số: θp = 11,6 °
Biến đổi ứng suất phẳng: trên một mặt xoay góc θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Vòng tròn Mohr cho thấy tất cả các mặt cùng lúc: tâm của nó ở C = (σₓ + σᵧ)/2 và bán kính là R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Các ứng suất chính là C ± R, và ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng là R.
Góc trên vòng tròn
Điểm x nằm ở góc 2θp so với trục σ trên vòng tròn Mohr; góc phần tư suy ra từ dấu của σₓ − σᵧ và τₓᵧ.
2θp = atan2(2·30, 60 − −80) = 23,2°
Góc trên phần tử
θp = 11,6°
Đáp số
θp = 11,6°
Góc dương là ngược chiều kim đồng hồ.
6.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất
Đáp số: σθ = −61,64 MPa
Biến đổi ứng suất phẳng: trên một mặt xoay góc θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Vòng tròn Mohr cho thấy tất cả các mặt cùng lúc: tâm của nó ở C = (σₓ + σᵧ)/2 và bán kính là R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Các ứng suất chính là C ± R, và ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng là R.
Phương trình biến đổi
σθ = −15 + −15·−0,1736 + −50·0,9848 = −61,64 MPa
Đáp số
σθ = −61,64 MPa
7.Ứng suất và biến dạng dọc trục
Đáp số: δ = 4,263 mm
Định luật Hooke: trong giới hạn đàn hồi σ = E·ε. Kết hợp với σ = P/A và ε = δ/L ta được δ = PL/(AE).
Ứng suất
A = π·16²/4 = 201,1 mm²
σ = P/A = 30·1000/201,1 = 149,2 MPa
Biến dạng (định luật Hooke)
E for nhôm = 70 GPa = 70000 MPa.
ε = σ/E = 149,2/70000 = 0,002132 = 2132 µε
Độ giãn dài
δ = ε·L = 0,002132·2000 mm = 4,263 mm
Đáp số
δ = 4,263 mm
8.Ứng suất và biến dạng dọc trục
Đáp số: Pmax = 394 kN
Hai vật liệu: khi nối tiếp (cái này sau cái kia) mỗi đoạn chịu cùng một lực và các độ giãn dài cộng lại: δ = P·Σ L/(E·A). Khi song song (cạnh nhau giữa các tấm cứng) cả hai phần co lại cùng một lượng, nên biến dạng của chúng bằng nhau: phần cứng hơn nhận phần tải lớn hơn, Pi = P·EiAi/ΣEA, và σi = Ei·ε. Một thanh bị giữ giữa hai vách cứng với tải đặt tại chỗ nối là siêu tĩnh: hai đoạn chia tải theo tỉ lệ độ cứng k = EA/L của chúng.
Diện tích
Ar = π·20²/4 = 314,2 mm²
At = π(120² − 60²)/4 = 8482 mm²
Độ cứng dọc trục kết hợp
ΣEA = 200·10³·314,2 + 70·10³·8482 = 6,566 × 10⁸ N
Biến dạng quyết định
ε = min(0,0006, 0,001143) = 0,0006 (thép)
Tải lớn nhất
Pmax = 0,0006·6,566 × 10⁸ = 393956 N = 394 kN
Đáp số
Pmax = 394 kN
9.Mất ổn định cột
Đáp số: Pcr = 2,481 kN
Mất ổn định Euler: một cột mảnh mất ổn định tại Pcr = π²EI/(KL)², trong đó KL là chiều dài tính toán: K = 1 cho khớp–khớp, 2 cho ngàm–tự do, 0,7 cho ngàm–khớp và 0,5 cho ngàm–ngàm. Cột oằn quanh trục có I nhỏ nhất. Công thức đúng với cột mảnh, có ứng suất tới hạn thấp hơn ứng suất chảy.
Mômen quán tính nhỏ nhất của mặt cắt
Mặt cắt tròn có cùng I đối với mọi trục.
I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴
Chiều dài tính toán
KL = 2·5000 = 10000 mm
Tải trọng tới hạn
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·125664/10000² = 2481 N = 2,481 kN
Đáp số
Pcr = 2,481 kN
10.Mất ổn định cột
Đáp số: σcr = 15,67 MPa
Mất ổn định Euler: một cột mảnh mất ổn định tại Pcr = π²EI/(KL)², trong đó KL là chiều dài tính toán: K = 1 cho khớp–khớp, 2 cho ngàm–tự do, 0,7 cho ngàm–khớp và 0,5 cho ngàm–ngàm. Cột oằn quanh trục có I nhỏ nhất. Công thức đúng với cột mảnh, có ứng suất tới hạn thấp hơn ứng suất chảy.
Mômen quán tính nhỏ nhất của mặt cắt
Mặt cắt tròn có cùng I đối với mọi trục.
I = πd⁴/64 = π·20⁴/64 = 7854 mm⁴
Bán kính quán tính và độ mảnh
A = 314,2 mm²
r = √(I/A) = √(7854/314,2) = 5 mm
KL = 0,7·1500 = 1050 mm
KL/r = 1050/5 = 210
Ứng suất tới hạn
σcr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/210² = 15,67 MPa
Đáp số
σcr = 15,67 MPa
11.Dao động cơ học
Đáp số: ζ = 0,09986
Dao động tự do của hệ vật–lò xo: tần số riêng không cản là ωn = √(k/m) theo rad/s, và fn = ωn/(2π) theo Hz. Một bộ cản nhớt c cho hệ số cản ζ = c/cc, với cản tới hạn cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Hệ cản dưới tới hạn (ζ < 1) dao động ở ωd = ωn·√(1 − ζ²). Các lò xo song song cộng lại, k = k₁ + k₂; các lò xo nối tiếp cộng theo nghịch đảo, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Giảm lượng logarit
δ = (1/2)·ln(12/3,4) = 0,6306
Hệ số cản
ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0,6306/√(39,48 + 0,3976) = 0,09986
Đáp số
ζ = 0,09986
12.Dao động cơ học
Đáp số: fn = 7,797 Hz
Dao động tự do của hệ vật–lò xo: tần số riêng không cản là ωn = √(k/m) theo rad/s, và fn = ωn/(2π) theo Hz. Một bộ cản nhớt c cho hệ số cản ζ = c/cc, với cản tới hạn cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Hệ cản dưới tới hạn (ζ < 1) dao động ở ωd = ωn·√(1 − ζ²). Các lò xo song song cộng lại, k = k₁ + k₂; các lò xo nối tiếp cộng theo nghịch đảo, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Độ cứng tương đương
Các lò xo đặt cạnh nhau có chung độ võng và cộng các lực, nên độ cứng đơn giản cộng lại: k = k1 + k2.
keq = 20 + 100 = 120 kN/m
Tần số riêng
ωn = √(120000/50) = 48,99 rad/s
fn = 48,99/(2π) = 7,797 Hz
Đáp số
fn = 7,797 Hz
ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design