Thiết kế máy: gói ôn nước rút

Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 12 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.

Bài mới Quay lại môn học

Trong cửa sổ in, hãy chọn “Lưu dưới dạng PDF” để giữ một bản trên thiết bị của bạn.

1Công thức và phương pháp

Bánh răng và hệ bánh răng

Bánh răng ăn khớp: n₁·N₁ = n₂·N₂
Mômen xoắn: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Công suất: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Hệ bánh răng ghép: tỉ số truyền tổng = tích các tỉ số truyền từng cấp

Xoắn của trục

Ứng suất tiếp: τ = T·r/J
Trục đặc: J = πd⁴/32
Trục rỗng: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Góc xoắn: φ = TL/(GJ)
Công suất: P = T·ω = 2πnT/60

Phương pháp

Tìm mômen quán tính độc cực: J = πd⁴/32 cho trục đặc.
Ứng suất tiếp ở bề mặt: τ = T·r/J, với r là bán kính ngoài.
Góc xoắn: φ = TL/(GJ) theo radian.
Nếu cho công suất, hãy tìm mômen xoắn trước bằng P = T·ω, ω = 2πn/60.

Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất

Tâm: C = (σ_x + σ_y)/2
Bán kính: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Ứng suất chính: σ_1,2 = C ± R
Phương chính: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Mặt phẳng nghiêng: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Phương pháp

Tính tâm của vòng tròn Mohr: C = (σx + σy)/2.
Tính bán kính: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Các ứng suất chính là C ± R và ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng là R.
Các góc trên vòng tròn gấp đôi các góc trên phần tử: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Ứng suất và biến dạng dọc trục

Ứng suất pháp: σ = F/A
Biến dạng: ε = ΔL/L
Định luật Hooke: σ = E·ε
Độ giãn dài: ΔL = FL/(EA)
Biến dạng nhiệt: ε_T = α·ΔT

Mất ổn định cột

Tải Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Hệ số chiều dài tính toán: K = 1 khớp–khớp, 0,5 ngàm–ngàm, 0,7 ngàm–khớp, 2 ngàm–tự do
Ứng suất tới hạn: σ_cr = P_cr/A
Độ mảnh: λ = KL/r, r = √(I/A)

Dao động cơ học

Tần số riêng: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Từ độ võng tĩnh: ω_n = √(g/δ_st)
Cản tới hạn: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Hệ số cản: ζ = c/c_c
Tần số có cản: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Giảm lượng logarit: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Lò xo song song: k = k₁ + k₂
Lò xo nối tiếp: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Bài tập

1.Bánh răng và hệ bánh răngTrung bình

Hai trục song song cách nhau 270 mm. Chúng phải được nối bằng một cặp bánh răng trụ răng thẳng có mô-đun 4 mm và tỉ số giảm tốc 3,5 : 1. Bánh răng nhỏ phải có bao nhiêu răng N₁?

a = 270 mmm = 4 mmi = 3,5

N₁ =

2.Bánh răng và hệ bánh răngKhó

Trong một hệ bánh răng ghép, bánh răng A (32 răng) trên trục vào quay 3000 rpm dẫn động bánh răng B (60 răng). Bánh răng C (15 răng) được cố định trên cùng trục với B và dẫn động bánh răng D (40 răng) trên trục ra. Tìm tốc độ ra n_out.

n_in = 3000 rpmA = 32B = 60C = 15D = 40

n_out = rpm

3.Xoắn của trụcTrung bình

Một trục đặc đồng thau được ngàm vào tường và bị xoắn bởi mômen xoắn T ở đầu tự do. Tìm góc xoắn φ của đầu tự do, theo độ.

T = 750 N·md = 30 mmL = 0,5 mG = 39 GPa

φ = °

4.Xoắn của trụcKhó

Một trục đặc nhôm đường kính 50 mm được ngàm tại A. Một mô-men xoắn 750 N·m tác dụng tại B, cách A 2,5 m, và một mô-men xoắn 250 N·m cùng chiều tác dụng tại đầu tự do C, cách thêm 1,5 m. Tìm độ lớn của góc xoắn φ_C của đầu C, theo độ.

d = 50 mmT_B = 750 N·mT_C = 250 N·mAB = 2,5 mBC = 1,5 mG = 26 GPa

φ_C = °

5.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suấtTrung bình

Một điểm trong một tấm mỏng ở trạng thái ứng suất phẳng: σₓ = 30 MPa, σᵧ = 40 MPa và τₓᵧ = −20 MPa, với σ_z = 0. Tìm ứng suất cắt lớn nhất tuyệt đối τ_abs tại điểm đó (xét mọi mặt trong không gian ba chiều).

σ_x = 30 MPaσ_y = 40 MPaτ_xy = −20 MPaσ_z = 0

τ_abs = MPa

6.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suấtKhó

Một điểm trong một tấm mỏng ở trạng thái ứng suất phẳng: σₓ = 60 MPa, σᵧ = 120 MPa và τₓᵧ = −30 MPa (σ_z = 0). Vật liệu có giới hạn chảy 300 MPa. Tìm hệ số an toàn n chống chảy theo tiêu chuẩn von Mises (năng lượng biến dạng hình dạng).

σ_x = 60 MPaσ_y = 120 MPaτ_xy = −30 MPaσ_Y = 300 MPa

n =

7.Ứng suất và biến dạng dọc trụcTrung bình

Tìm biến dạng dọc trục ε trong thanh thép, tính bằng microstrain (µε = 10⁻⁶).

P = 115 kNd = 30 mmL = 3 mE = 200 GPa

ε = µε

8.Ứng suất và biến dạng dọc trụcKhó

Thanh bậc được ngàm vào tường và chịu tải ở đầu tự do. Tìm ứng suất pháp lớn nhất σ_max trong thanh.

P = 90 kNđoạn 1: Ø40 mm, 1,5 m, đồng thau (E = 100 GPa)đoạn 2: Ø12 mm, 2 m, đồng thau (E = 100 GPa)

σ_max = MPa

9.Mất ổn định cộtTrung bình

Một cột dài L làm bằng thép được ngàm ở chân và tự do ở đỉnh. Dùng công thức Euler, tìm tải trọng oằn tới hạn P_cr của nó.

L = 6 mE = 200 GPa (thép)d = 60 mm

P_cr = kN

10.Mất ổn định cộtKhó

Một cột tròn đặc dài L làm bằng nhôm được ngàm ở chân và khớp ở đỉnh. Nó phải chịu 20 kN với hệ số an toàn 3 chống oằn. Tìm đường kính nhỏ nhất d.

P = 20 kNn = 3L = 2 mE = 70 GPa (nhôm)

d = mm

11.Dao động cơ họcTrung bình

Một vật 12 kg được đỡ bởi một lò xo có độ cứng 50 kN/m và một bộ cản nhớt có hệ số cản 930 N·s/m. Tìm hệ số cản ζ.

m = 12 kgk = 50 kN/mc = 930 N·s/m

ζ =

12.Dao động cơ họcKhó

Một vật 10 kg treo vào hai lò xo nối đầu với đầu (nối tiếp): lò xo trên có k₁ = 15 kN/m và lò xo dưới có k₂ = 60 kN/m. Bỏ qua cản và khối lượng của các lò xo. Tìm tần số riêng f_n của dao động thẳng đứng theo Hz.

m = 10 kgk₁ = 15 kN/mk₂ = 60 kN/m

f_n = Hz

3Dung dịch

1.Bánh răng và hệ bánh răng

Đáp số: N₁ = 30

Gear geometry: the module m sets the tooth size. A gear with N teeth has a pitch diameter d = m·N, two meshing gears have the same module, and their centre distance is a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2. The pitch-line speed is v = π·d·n/60, and the tangential tooth force follows from the torque: F_t = 2T/d.

Tổng số răng

N₁ + N₂ = 2a/m = 2·270/4 = 135

Chia theo tỉ số

N₁ = 135/(1 + 3,5) = 30

Đáp số

N₁ = 30

2.Bánh răng và hệ bánh răng

Đáp số: n_out = 600 rpm

Hệ bánh răng: các bánh răng ăn khớp có cùng tốc độ tại răng, nên n₁·N₁ = n₂·N₂: bánh răng có ít răng hơn quay nhanh hơn. Các bánh răng trên cùng một trục quay cùng tốc độ. Công suất được truyền đi (trừ tổn thất), nên mômen xoắn tăng khi tốc độ giảm: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, và P = T·ω với ω = 2π·n/60.

Cấp thứ nhất

n_B = 3000·32/60 = 1600 rpm = n_C

Cấp thứ hai

n_out = 1600·15/40 = 600 rpm

Đáp số

n_out = 600 rpm

tỉ số truyền tổng = 5 : 1

3.Xoắn của trục

Đáp số: φ = 6,928 °

Xoắn thanh tròn: ứng suất tiếp tăng tuyến tính từ không ở tâm đến τ_max = T·r/J ở bề mặt, với J = πd⁴/32 cho trục đặc và J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 cho trục rỗng. Góc xoắn là φ = TL/(GJ) tính bằng radian. Công suất và mômen xoắn liên hệ với nhau qua P = T·ω.

Mômen quán tính độc cực của mặt cắt

J = π·30⁴/32 = 79522 mm⁴

Góc xoắn

φ = TL/(GJ) = 750·1000·500/(39000·79522) = 0,1209 rad

φ = 0,1209·180/π = 6,928°

Đáp số

φ = 6,928°

4.Xoắn của trục

Đáp số: φ_C = 10,33 °

Các mô-men xoắn nội lực

Chiều của T_C được lấy là dương.

T_BC = T_C = 250 N·m

T_AB = T_C + T_B = 250 + 750 = 1000 N·m

Góc xoắn của từng đoạn

J = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴

G = 26 GPa = 26000 MPa

φ_AB = 1 × 10⁶·2500/(26000·613592) = 0,1567 rad

φ_BC = 250000·1500/(26000·613592) = 0,02351 rad

Góc xoắn của đầu C

φ_C = 0,1567 + 0,02351 = 0,1802 rad → |φ_C| = 10,33°

Đáp số

φ_C = 10,33°

5.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất

Đáp số: τ_abs = 27,81 MPa

Biến đổi ứng suất phẳng: trên một mặt xoay góc θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Vòng tròn Mohr cho thấy tất cả các mặt cùng lúc: tâm của nó ở C = (σₓ + σᵧ)/2 và bán kính là R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Các ứng suất chính là C ± R, và ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng là R. Trong không gian ba chiều, ứng suất cắt lớn nhất tuyệt đối là (σ_max − σ_min)/2 trên cả ba ứng suất chính; trong ứng suất phẳng, ứng suất thứ ba bằng không.

Các ứng suất chính trong mặt phẳng

C = 35 MPa, R = √((−5)² + (−20)²) = 20,62 MPa

σ₁ = 55,62 MPa, σ₂ = 14,38 MPa, σ_z = 0

Vòng tròn lớn nhất trong ba vòng tròn

τ = max(|σ₁ − σ₂|, |σ₁|, |σ₂|)/2 = max(41,23, 55,62, 14,38)/2 = 27,81 MPa

Đáp số

τ_abs = 27,81 MPa

Ở đây vòng tròn ngoài mặt phẳng quyết định: giá trị lớn nhất tuyệt đối lớn hơn giá trị lớn nhất trong mặt phẳng R.

6.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất

Đáp số: n = 2,582

Biến đổi ứng suất phẳng: trên một mặt xoay góc θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Vòng tròn Mohr cho thấy tất cả các mặt cùng lúc: tâm của nó ở C = (σₓ + σᵧ)/2 và bán kính là R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Các ứng suất chính là C ± R, và ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng là R. Tiêu chuẩn chảy: von Mises dự đoán vật liệu chảy khi σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) đạt σ_Y; Tresca khi ứng suất cắt lớn nhất tuyệt đối đạt σ_Y/2.

Ứng suất chính

C = 90 MPa, R = 42,43 MPa

σ₁ = 132,4 MPa, σ₂ = 47,57 MPa, σ₃ = 0

Von Mises

σ_vM = √(132,4² − 132,4·47,57 + 47,57²) = 116,2 MPa

n = 300/116,2 = 2,582

Đáp số

n = 2,582

n > 1 nghĩa là điểm không bị chảy; Tresca thận trọng hơn von Mises một chút.

7.Ứng suất và biến dạng dọc trục

Đáp số: ε = 813,5 µε

Định luật Hooke: trong giới hạn đàn hồi σ = E·ε. Kết hợp với σ = P/A và ε = δ/L ta được δ = PL/(AE).

Ứng suất

A = π·30²/4 = 706,9 mm²

σ = P/A = 115·1000/706,9 = 162,7 MPa

Biến dạng (định luật Hooke)

E for thép = 200 GPa = 200000 MPa.

ε = σ/E = 162,7/200000 = 0,0008135 = 813,5 µε

Đáp số

ε = 813,5 µε

8.Ứng suất và biến dạng dọc trục

Đáp số: σ_max = 795,8 MPa

Cấu kiện chịu tải dọc trục: mỗi đoạn lăng trụ tuân theo δ = PL/(AE). Với các cấu kiện nối tiếp, độ giãn dài cộng lại.

Cùng một lực trong cả hai đoạn

Đầu tự do chịu lực P, nên mọi mặt cắt của thanh đều chịu cùng một lực dọc trục P. Chỉ có diện tích và vật liệu thay đổi.

A₁ = π·40²/4 = 1257 mm², A₂ = π·12²/4 = 113,1 mm²

σ₁ = 71,62 MPa

σ₂ = 795,8 MPa

Ứng suất lớn nhất

Đoạn mảnh hơn có diện tích nhỏ hơn, nên chịu ứng suất lớn hơn.

σ_max = 795,8 MPa

Đáp số

σ_max = 795,8 MPa

9.Mất ổn định cột

Đáp số: P_cr = 8,721 kN

Mất ổn định Euler: một cột mảnh mất ổn định tại P_cr = π²EI/(KL)², trong đó KL là chiều dài tính toán: K = 1 cho khớp–khớp, 2 cho ngàm–tự do, 0,7 cho ngàm–khớp và 0,5 cho ngàm–ngàm. Cột oằn quanh trục có I nhỏ nhất. Công thức đúng với cột mảnh, có ứng suất tới hạn thấp hơn ứng suất chảy.

Mômen quán tính nhỏ nhất của mặt cắt

Mặt cắt tròn có cùng I đối với mọi trục.

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

Chiều dài tính toán

KL = 2·6000 = 12000 mm

Tải trọng tới hạn

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·636173/12000² = 8721 N = 8,721 kN

Đáp số

P_cr = 8,721 kN

10.Mất ổn định cột

Đáp số: d = 43,15 mm

Tải trọng tới hạn yêu cầu

P_cr = n·P = 3·20000 = 60000 N

KL = 0,7·2000 = 1400 mm

Giải tìm đường kính

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·60000·1400²/(π³·70000))^(1/4) = 43,15 mm

Đáp số

d = 43,15 mm

Kiểm tra: độ mảnh KL/r là 129,8, nên cột là mảnh và công thức Euler áp dụng được.

11.Dao động cơ học

Đáp số: ζ = 0,6003

Dao động tự do của hệ vật–lò xo: tần số riêng không cản là ω_n = √(k/m) theo rad/s, và f_n = ω_n/(2π) theo Hz. Một bộ cản nhớt c cho hệ số cản ζ = c/c_c, với cản tới hạn c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Hệ cản dưới tới hạn (ζ < 1) dao động ở ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Các lò xo song song cộng lại, k = k₁ + k₂; các lò xo nối tiếp cộng theo nghịch đảo, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Cản tới hạn

c_c = 2·√(k·m) = 2·√(50000·12) = 1549 N·s/m

Hệ số cản

ζ = c/c_c = 930/1549 = 0,6003

Đáp số

ζ = 0,6003

ζ < 1, nên hệ cản dưới tới hạn và dao động khi tắt dần.

12.Dao động cơ học

Đáp số: f_n = 5,513 Hz

Độ cứng tương đương

Các lò xo nối tiếp chịu cùng một lực và cộng độ võng, nên chúng gộp theo nghịch đảo: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

1/k_eq = 1/15 + 1/60 → k_eq = 15·60/(15 + 60) = 12 kN/m

Tần số riêng

ω_n = √(12000/10) = 34,64 rad/s

f_n = 34,64/(2π) = 5,513 Hz

Đáp số

f_n = 5,513 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design