Thiết kế máy: gói ôn nước rút

Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 12 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.

Bài mới Quay lại môn học

Trong cửa sổ in, hãy chọn “Lưu dưới dạng PDF” để giữ một bản trên thiết bị của bạn.

1Công thức và phương pháp

Bánh răng và hệ bánh răng

Bánh răng ăn khớp: n₁·N₁ = n₂·N₂
Mômen xoắn: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Công suất: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Hệ bánh răng ghép: tỉ số truyền tổng = tích các tỉ số truyền từng cấp

Xoắn của trục

Ứng suất tiếp: τ = T·r/J
Trục đặc: J = πd⁴/32
Trục rỗng: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Góc xoắn: φ = TL/(GJ)
Công suất: P = T·ω = 2πnT/60

Phương pháp

Tìm mômen quán tính độc cực: J = πd⁴/32 cho trục đặc.
Ứng suất tiếp ở bề mặt: τ = T·r/J, với r là bán kính ngoài.
Góc xoắn: φ = TL/(GJ) theo radian.
Nếu cho công suất, hãy tìm mômen xoắn trước bằng P = T·ω, ω = 2πn/60.

Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất

Tâm: C = (σ_x + σ_y)/2
Bán kính: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Ứng suất chính: σ_1,2 = C ± R
Phương chính: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Mặt phẳng nghiêng: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Phương pháp

Tính tâm của vòng tròn Mohr: C = (σx + σy)/2.
Tính bán kính: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Các ứng suất chính là C ± R và ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng là R.
Các góc trên vòng tròn gấp đôi các góc trên phần tử: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Ứng suất và biến dạng dọc trục

Ứng suất pháp: σ = F/A
Biến dạng: ε = ΔL/L
Định luật Hooke: σ = E·ε
Độ giãn dài: ΔL = FL/(EA)
Biến dạng nhiệt: ε_T = α·ΔT

Mất ổn định cột

Tải Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Hệ số chiều dài tính toán: K = 1 khớp–khớp, 0,5 ngàm–ngàm, 0,7 ngàm–khớp, 2 ngàm–tự do
Ứng suất tới hạn: σ_cr = P_cr/A
Độ mảnh: λ = KL/r, r = √(I/A)

Dao động cơ học

Tần số riêng: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Từ độ võng tĩnh: ω_n = √(g/δ_st)
Cản tới hạn: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Hệ số cản: ζ = c/c_c
Tần số có cản: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Giảm lượng logarit: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Lò xo song song: k = k₁ + k₂
Lò xo nối tiếp: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Bài tập

1.Bánh răng và hệ bánh răngTrung bình

Hai trục song song cách nhau 225 mm. Chúng phải được nối bằng một cặp bánh răng trụ răng thẳng có mô-đun 2,5 mm và tỉ số giảm tốc 5 : 1. Bánh răng lớn phải có bao nhiêu răng N₂?

a = 225 mmm = 2,5 mmi = 5

N₂ =

2.Bánh răng và hệ bánh răngKhó

Trong một hệ bánh răng ghép, bánh răng A (15 răng) trên trục vào quay 1500 rpm dẫn động bánh răng B (24 răng). Bánh răng C (48 răng) được cố định trên cùng trục với B và dẫn động bánh răng D (72 răng) trên trục ra. Tìm tốc độ ra n_out.

n_in = 1500 rpmA = 15B = 24C = 48D = 72

n_out = rpm

3.Xoắn của trụcTrung bình

Một trục đồng thau đặc dài 1 m chịu mô-men xoắn 100 N·m. Góc xoắn giữa hai đầu không được vượt quá 1°. Tìm đường kính nhỏ nhất d đáp ứng giới hạn này.

T = 100 N·mL = 1 mG = 39 GPaφ_allow = 1°

d = mm

4.Xoắn của trụcKhó

Một trục đặc phải truyền 100 kW ở 1000 rpm mà ứng suất tiếp không vượt quá 80 MPa. Tìm đường kính nhỏ nhất d thỏa mãn.

P = 100 kWN = 1000 rpmτ_allow = 80 MPa

d = mm

5.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suấtTrung bình

Một điểm có σₓ = 160 MPa, σᵧ = 40 MPa và τₓᵧ = −20 MPa (kéo là dương). Phân tố được xoay 30° cùng chiều kim đồng hồ. Tìm ứng suất pháp σ_y′ trên các mặt của phân tố đã xoay vuông góc với trục y′ sau khi xoay.

σ_x = 160 MPaσ_y = 40 MPaτ_xy = −20 MPaθ = -30°

σ_y′ = MPa

6.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suấtKhó

Một điểm trong chi tiết chịu tải có σₓ = 110 MPa, σᵧ = 10 MPa và τₓᵧ = −60 MPa (kéo là dương). Tìm ứng suất pháp σ_θ trên một mặt có pháp tuyến xoay 45° theo chiều kim đồng hồ so với trục x.

σ_x = 110 MPaσ_y = 10 MPaτ_xy = −60 MPaθ = -45°

σ_θ = MPa

7.Ứng suất và biến dạng dọc trụcTrung bình

Một thanh gồm một đoạn thép (đường kính 25 mm, chiều dài 400 mm, E = 200 GPa) nối đầu với đầu với một đoạn làm bằng đồng (đường kính 30 mm, chiều dài 200 mm, E = 120 GPa). Nó được ngàm một đầu và bị kéo ở đầu kia. Tìm tải dọc trục P làm nó giãn tổng cộng 0,4 mm.

đoạn 1: thép, Ø25 mm, 400 mm, E = 200 GPađoạn 2: đồng, Ø30 mm, 200 mm, E = 120 GPaδ = 0,4 mm

P = kN

8.Ứng suất và biến dạng dọc trụcKhó

Một thanh thép (đường kính 25 mm, E = 200 GPa, ứng suất cho phép 150 MPa) nằm trong một ống làm bằng đồng (đường kính ngoài 120 mm, đường kính trong 70 mm, E = 120 GPa, ứng suất cho phép 70 MPa). Chúng bị nén cùng nhau giữa các tấm cứng. Tìm tải lớn nhất P_max.

thanh: Ø25 mm, E = 200 GPa, σ_allow = 150 MPaống: Ø120/Ø70 mm, E = 120 GPa, σ_allow = 70 MPa

P_max = kN

9.Mất ổn định cộtTrung bình

Một cột dài L làm bằng nhôm được ngàm ở chân và khớp ở đỉnh. Dùng công thức Euler, tìm tải trọng oằn tới hạn P_cr của nó.

L = 4 mE = 70 GPa (nhôm)b × h = 50 × 60 mm

P_cr = kN

10.Mất ổn định cộtKhó

Một cột dài L làm bằng thép được ngàm ở chân và khớp ở đỉnh. Tìm độ mảnh của nó và ứng suất oằn tới hạn σ_cr theo công thức Euler.

L = 2,5 mE = 200 GPa (thép)d = 50 mm

σ_cr = MPa

11.Dao động cơ họcTrung bình

Một vật 50 kg trên lò xo có độ cứng 50 kN/m có bộ cản nhớt cho hệ số cản 0,35. Tìm tần số riêng có cản f_d của dao động tự do theo Hz.

m = 50 kgk = 50 kN/mζ = 0,35

f_d = Hz

12.Dao động cơ họcKhó

Một vật 10 kg treo vào lò xo k₃ = 50 kN/m. Đầu trên của k₃ được gắn vào một thanh cứng treo bằng hai lò xo đặt cạnh nhau, k₁ = 15 kN/m và k₂ = 10 kN/m; thanh giữ nằm ngang. Bỏ qua lực cản và khối lượng của các lò xo và thanh. Tìm tần số riêng f_n của dao động thẳng đứng theo Hz.

m = 10 kgk₁ = 15 kN/mk₂ = 10 kN/mk₃ = 50 kN/m

f_n = Hz

3Dung dịch

1.Bánh răng và hệ bánh răng

Đáp số: N₂ = 150

Gear geometry: the module m sets the tooth size. A gear with N teeth has a pitch diameter d = m·N, two meshing gears have the same module, and their centre distance is a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2. The pitch-line speed is v = π·d·n/60, and the tangential tooth force follows from the torque: F_t = 2T/d.

Tổng số răng

N₁ + N₂ = 2a/m = 2·225/2,5 = 180

Chia theo tỉ số

N₁ = 180/(1 + 5) = 30

N₂ = 5·30 = 150

Đáp số

N₂ = 150

2.Bánh răng và hệ bánh răng

Đáp số: n_out = 625 rpm

Hệ bánh răng: các bánh răng ăn khớp có cùng tốc độ tại răng, nên n₁·N₁ = n₂·N₂: bánh răng có ít răng hơn quay nhanh hơn. Các bánh răng trên cùng một trục quay cùng tốc độ. Công suất được truyền đi (trừ tổn thất), nên mômen xoắn tăng khi tốc độ giảm: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, và P = T·ω với ω = 2π·n/60.

Cấp thứ nhất

n_B = 1500·15/24 = 937,5 rpm = n_C

Cấp thứ hai

n_out = 937,5·48/72 = 625 rpm

Đáp số

n_out = 625 rpm

tỉ số truyền tổng = 2,4 : 1

3.Xoắn của trục

Đáp số: d = 34,98 mm

Xoắn thanh tròn: ứng suất tiếp tăng tuyến tính từ không ở tâm đến τ_max = T·r/J ở bề mặt, với J = πd⁴/32 cho trục đặc và J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 cho trục rỗng. Góc xoắn là φ = TL/(GJ) tính bằng radian. Công suất và mômen xoắn liên hệ với nhau qua P = T·ω.

Mô-men quán tính độc cực cần thiết

T = 100 N·m = 100000 N·mm

L = 1 m = 1000 mm

G = 39 GPa = 39000 MPa

φ = 1·π/180 = 0,01745 rad

J = TL/(Gφ) = 100000·1000/(39000·0,01745) = 146912 mm⁴

Đường kính

d = (32J/π)^1/4 = 34,98 mm

Đáp số

d = 34,98 mm

Trong thực tế bạn sẽ làm tròn lên kích thước tiêu chuẩn kế tiếp.

4.Xoắn của trục

Đáp số: d = 39,32 mm

Mômen xoắn

ω = 2πN/60 = 2π·1000/60 = 104,7 rad/s

T = P/ω = 100000/104,7 = 954,9 N·m

Đường kính từ ứng suất cho phép

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·954930/(π·80)) = 39,32 mm

Đáp số

d = 39,32 mm

Trong thực tế bạn sẽ làm tròn lên kích thước tiêu chuẩn kế tiếp.

5.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất

Đáp số: σ_y′ = 52,68 MPa

Biến đổi ứng suất phẳng: trên một mặt xoay góc θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Vòng tròn Mohr cho thấy tất cả các mặt cùng lúc: tâm của nó ở C = (σₓ + σᵧ)/2 và bán kính là R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Các ứng suất chính là C ± R, và ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng là R.

Phương trình biến đổi cho mặt y′

σ_y′ = 100 − 60·0,5 − (−20)·(−0,866) = 52,68 MPa

Kiểm tra

Tổng các ứng suất pháp không thay đổi khi xoay.

σ_x′ = 147,3 MPa, σ_x′ + σ_y′ = 200 = σ_x + σ_y

Đáp số

σ_y′ = 52,68 MPa

6.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất

Đáp số: σ_θ = 120 MPa

Phương trình biến đổi

σ_θ = 60 + 50·0 + −60·−1 = 120 MPa

Đáp số

σ_θ = 120 MPa

7.Ứng suất và biến dạng dọc trục

Đáp số: P = 62,19 kN

Hai vật liệu: khi nối tiếp (cái này sau cái kia) mỗi đoạn chịu cùng một lực và các độ giãn dài cộng lại: δ = P·Σ L/(E·A). Khi song song (cạnh nhau giữa các tấm cứng) cả hai phần co lại cùng một lượng, nên biến dạng của chúng bằng nhau: phần cứng hơn nhận phần tải lớn hơn, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, và σ_i = E_i·ε. Một thanh bị giữ giữa hai vách cứng với tải đặt tại chỗ nối là siêu tĩnh: hai đoạn chia tải theo tỉ lệ độ cứng k = EA/L của chúng.

Diện tích

A₁ = 490,9 mm², A₂ = 706,9 mm²

Các độ mềm

L₁/(E₁A₁) = 400/(200000·490,9) = 4,074 × 10⁻⁶ mm/N

L₂/(E₂A₂) = 200/(120000·706,9) = 2,358 × 10⁻⁶ mm/N

Tải

P = 0,4/6,432 × 10⁻⁶ = 62187 N = 62,19 kN

Đáp số

P = 62,19 kN

8.Ứng suất và biến dạng dọc trục

Đáp số: P_max = 579,6 kN

Diện tích

A_r = π·25²/4 = 490,9 mm²

A_t = π(120² − 70²)/4 = 7461 mm²

Độ cứng dọc trục kết hợp

ΣEA = 200·10³·490,9 + 120·10³·7461 = 9,935 × 10⁸ N

Biến dạng quyết định

ε = min(0,00075, 0,0005833) = 0,0005833 (đồng)

Tải lớn nhất

P_max = 0,0005833·9,935 × 10⁸ = 579558 N = 579,6 kN

Đáp số

P_max = 579,6 kN

9.Mất ổn định cột

Đáp số: P_cr = 55,08 kN

Mất ổn định Euler: một cột mảnh mất ổn định tại P_cr = π²EI/(KL)², trong đó KL là chiều dài tính toán: K = 1 cho khớp–khớp, 2 cho ngàm–tự do, 0,7 cho ngàm–khớp và 0,5 cho ngàm–ngàm. Cột oằn quanh trục có I nhỏ nhất. Công thức đúng với cột mảnh, có ứng suất tới hạn thấp hơn ứng suất chảy.

Mômen quán tính nhỏ nhất của mặt cắt

Hình chữ nhật oằn quanh trục yếu, dùng kích thước nhỏ hơn lập phương.

I_min = h·b³/12 = 60·50³/12 = 625000 mm⁴

Chiều dài tính toán

KL = 0,7·4000 = 2800 mm

Tải trọng tới hạn

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·625000/2800² = 55076 N = 55,08 kN

Đáp số

P_cr = 55,08 kN

10.Mất ổn định cột

Đáp số: σ_cr = 100,7 MPa

Mômen quán tính nhỏ nhất của mặt cắt

Mặt cắt tròn có cùng I đối với mọi trục.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

Bán kính quán tính và độ mảnh

A = 1963 mm²

r = √(I/A) = √(306796/1963) = 12,5 mm

KL = 0,7·2500 = 1750 mm

KL/r = 1750/12,5 = 140

Ứng suất tới hạn

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/140² = 100,7 MPa

Đáp số

σ_cr = 100,7 MPa

11.Dao động cơ học

Đáp số: f_d = 4,715 Hz

Dao động tự do của hệ vật–lò xo: tần số riêng không cản là ω_n = √(k/m) theo rad/s, và f_n = ω_n/(2π) theo Hz. Một bộ cản nhớt c cho hệ số cản ζ = c/c_c, với cản tới hạn c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Hệ cản dưới tới hạn (ζ < 1) dao động ở ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Các lò xo song song cộng lại, k = k₁ + k₂; các lò xo nối tiếp cộng theo nghịch đảo, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Tần số riêng không cản

ω_n = √(50000/50) = 31,62 rad/s

f_n = 31,62/(2π) = 5,033 Hz

Tần số riêng có cản

f_d = f_n·√(1 − ζ²) = 5,033·√(1 − 0,35²) = 4,715 Hz

Đáp số

f_d = 4,715 Hz

12.Dao động cơ học

Đáp số: f_n = 6,497 Hz

Độ cứng tương đương

Chỉ k₁ và k₂ song song. Cặp đó nối tiếp với k₃, nên gộp chúng theo nghịch đảo.

k₁₂ = 15 + 10 = 25 kN/m

k_eq = 25·50/(25 + 50) = 16,67 kN/m

Tần số riêng

ω_n = √(16667/10) = 40,82 rad/s

f_n = 40,82/(2π) = 6,497 Hz

Đáp số

f_n = 6,497 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design