Thiết kế máy: gói ôn nước rút

Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 12 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.

Bài mới Quay lại môn học

Trong cửa sổ in, hãy chọn “Lưu dưới dạng PDF” để giữ một bản trên thiết bị của bạn.

1Công thức và phương pháp

Bánh răng và hệ bánh răng

Bánh răng ăn khớp: n₁·N₁ = n₂·N₂
Mômen xoắn: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Công suất: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Hệ bánh răng ghép: tỉ số truyền tổng = tích các tỉ số truyền từng cấp

Xoắn của trục

Ứng suất tiếp: τ = T·r/J
Trục đặc: J = πd⁴/32
Trục rỗng: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Góc xoắn: φ = TL/(GJ)
Công suất: P = T·ω = 2πnT/60

Phương pháp

Tìm mômen quán tính độc cực: J = πd⁴/32 cho trục đặc.
Ứng suất tiếp ở bề mặt: τ = T·r/J, với r là bán kính ngoài.
Góc xoắn: φ = TL/(GJ) theo radian.
Nếu cho công suất, hãy tìm mômen xoắn trước bằng P = T·ω, ω = 2πn/60.

Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất

Tâm: C = (σ_x + σ_y)/2
Bán kính: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Ứng suất chính: σ_1,2 = C ± R
Phương chính: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Mặt phẳng nghiêng: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Phương pháp

Tính tâm của vòng tròn Mohr: C = (σx + σy)/2.
Tính bán kính: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Các ứng suất chính là C ± R và ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng là R.
Các góc trên vòng tròn gấp đôi các góc trên phần tử: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Ứng suất và biến dạng dọc trục

Ứng suất pháp: σ = F/A
Biến dạng: ε = ΔL/L
Định luật Hooke: σ = E·ε
Độ giãn dài: ΔL = FL/(EA)
Biến dạng nhiệt: ε_T = α·ΔT

Mất ổn định cột

Tải Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Hệ số chiều dài tính toán: K = 1 khớp–khớp, 0,5 ngàm–ngàm, 0,7 ngàm–khớp, 2 ngàm–tự do
Ứng suất tới hạn: σ_cr = P_cr/A
Độ mảnh: λ = KL/r, r = √(I/A)

Dao động cơ học

Tần số riêng: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Từ độ võng tĩnh: ω_n = √(g/δ_st)
Cản tới hạn: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Hệ số cản: ζ = c/c_c
Tần số có cản: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Giảm lượng logarit: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Lò xo song song: k = k₁ + k₂
Lò xo nối tiếp: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Bài tập

1.Bánh răng và hệ bánh răngTrung bình

Một động cơ 7,5 kW chạy ở 1450 rpm dẫn động một bánh răng nhỏ có 16 răng, ăn khớp với một bánh răng có 30 răng. Cặp bánh răng có hiệu suất 95%. Tìm mômen xoắn ra T₂ trên trục bánh răng.

P = 7,5 kWn₁ = 1450 rpmN₁ = 16N₂ = 30η = 95%

T₂ = N·m

2.Bánh răng và hệ bánh răngKhó

Một dây đai hở nối puli 120 mm và puli 500 mm có tâm cách nhau 600 mm. Tìm góc ôm θ trên puli nhỏ hơn, theo độ.

d₁ = 120 mmd₂ = 500 mmC = 600 mm

θ = °

3.Xoắn của trụcTrung bình

Một trục đặc đồng thau có bậc được ngàm tại A. Đoạn AB có đường kính 50 mm và chiều dài 1 m; đoạn BC có đường kính 30 mm và chiều dài 1,2 m. Một mô-men xoắn 100 N·m tác dụng tại đầu tự do C. Tìm góc xoắn φ_C của đầu C, theo độ.

T = 100 N·md₁ = 50 mm, L₁ = 1 md₂ = 30 mm, L₂ = 1,2 mG = 39 GPa

φ_C = °

4.Xoắn của trụcKhó

Một trục rỗng truyền 50 kW ở 750 rpm. Tìm ứng suất tiếp lớn nhất τ_max trong trục.

P = 50 kWN = 750 rpmd_o = 60 mmd_i = 48 mm

τ_max = MPa

5.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suấtTrung bình

Một điểm trong chi tiết chịu tải có σₓ = 140 MPa, σᵧ = −60 MPa và τₓᵧ = −60 MPa (kéo là dương). Tìm ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng τ_max.

σ_x = 140 MPaσ_y = −60 MPaτ_xy = −60 MPa

τ_max = MPa

6.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suấtKhó

Một điểm trong chi tiết chịu tải có σₓ = 80 MPa, σᵧ = −40 MPa và τₓᵧ = −60 MPa (kéo là dương). Tìm ứng suất pháp σ_θ trên một mặt có pháp tuyến xoay 15° ngược chiều kim đồng hồ so với trục x.

σ_x = 80 MPaσ_y = −40 MPaτ_xy = −60 MPaθ = 15°

σ_θ = MPa

7.Ứng suất và biến dạng dọc trụcTrung bình

Một thanh thép (đường kính 25 mm, E = 200 GPa) nằm trong một ống làm bằng đồng thau (đường kính ngoài 120 mm, đường kính trong 60 mm, E = 100 GPa). Cả hai dài 500 mm và bị nén cùng nhau giữa các tấm cứng bởi 150 kN. Tìm độ co ngắn δ.

P = 150 kNthanh: Ø25 mm, E = 200 GPaống: Ø120/Ø60 mm, E = 100 GPaL = 500 mm

δ = mm

8.Ứng suất và biến dạng dọc trụcKhó

Một đoạn thép (đường kính 40 mm, chiều dài 600 mm, E = 200 GPa) và một đoạn làm bằng nhôm (đường kính 40 mm, chiều dài 400 mm, E = 70 GPa) được nối đầu với đầu và ngàm giữa hai vách cứng. Một tải dọc trục 80 kN tác dụng tại chỗ nối, hướng về phía đoạn 2. Tìm độ lớn ứng suất σ₂ trong đoạn 2.

đoạn 1: thép, Ø40 mm, 600 mm, E = 200 GPađoạn 2: nhôm, Ø40 mm, 400 mm, E = 70 GPaP = 80 kN

σ₂ = MPa

9.Mất ổn định cộtTrung bình

Một cột dài L làm bằng thép được ngàm ở chân và khớp ở đỉnh. Dùng công thức Euler, tìm tải trọng oằn tới hạn P_cr của nó.

L = 2 mE = 200 GPa (thép)b × h = 20 × 50 mm

P_cr = kN

10.Mất ổn định cộtKhó

Một cột dài L làm bằng thép được ngàm ở chân và khớp ở đỉnh. Tìm độ mảnh của nó và ứng suất oằn tới hạn σ_cr theo công thức Euler.

L = 4 mE = 200 GPa (thép)d = 25 mm

σ_cr = MPa

11.Dao động cơ họcTrung bình

Trong một thí nghiệm dao động tự do của hệ vật–lò xo có cản, một đỉnh độ dời 10 mm được theo sau một chu kỳ sau bởi đỉnh 4,7 mm. Tìm hệ số cản ζ.

x₀ = 10 mmx₁ = 4,7 mmn = 1

ζ =

12.Dao động cơ họcKhó

Một vật 40 kg treo vào lò xo k₃ = 40 kN/m. Đầu trên của k₃ được gắn vào một thanh cứng treo bằng hai lò xo đặt cạnh nhau, k₁ = 100 kN/m và k₂ = 50 kN/m; thanh giữ nằm ngang. Bỏ qua lực cản và khối lượng của các lò xo và thanh. Tìm tần số riêng f_n của dao động thẳng đứng theo Hz.

m = 40 kgk₁ = 100 kN/mk₂ = 50 kN/mk₃ = 40 kN/m

f_n = Hz

3Dung dịch

1.Bánh răng và hệ bánh răng

Đáp số: T₂ = 87,98 N·m

Hệ bánh răng: các bánh răng ăn khớp có cùng tốc độ tại răng, nên n₁·N₁ = n₂·N₂: bánh răng có ít răng hơn quay nhanh hơn. Các bánh răng trên cùng một trục quay cùng tốc độ. Công suất được truyền đi (trừ tổn thất), nên mômen xoắn tăng khi tốc độ giảm: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, và P = T·ω với ω = 2π·n/60.

Mômen xoắn động cơ

ω₁ = 2π·1450/60 = 151,8 rad/s

T₁ = P/ω₁ = 7500/151,8 = 49,39 N·m

Mômen xoắn ra

T₂ = 49,39·30/16·0,95 = 87,98 N·m

Đáp số

T₂ = 87,98 N·m

2.Bánh răng và hệ bánh răng

Đáp số: θ = 143,1 °

Truyền động đai: khi không trượt, cả hai puli có cùng tốc độ mép v = π·d·n/60, nên n₁·d₁ = n₂·d₂ và tỉ số tốc độ là d₂/d₁. Độ trượt s làm puli bị dẫn chậm hơn một chút: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). Công suất truyền là P = (T₁ − T₂)·v, với T₁ là lực căng ở nhánh căng và T₂ ở nhánh chùng. Ma sát giới hạn tỉ số các lực căng: T₁/T₂ = e^μθ, trong đó θ là góc ôm tính theo radian trên puli nhỏ hơn; với đai hở θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) với khoảng cách tâm C.

Góc của dây đai

asin(0,3167) = 18,46°

Góc ôm

θ = 180 − 2·18,46 = 143,1°

Đáp số

θ = 143,1°

3.Xoắn của trục

Đáp số: φ_C = 2,456 °

Xoắn thanh tròn: ứng suất tiếp tăng tuyến tính từ không ở tâm đến τ_max = T·r/J ở bề mặt, với J = πd⁴/32 cho trục đặc và J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 cho trục rỗng. Góc xoắn là φ = TL/(GJ) tính bằng radian. Công suất và mômen xoắn liên hệ với nhau qua P = T·ω.

Các mô-men quán tính độc cực

J₁ = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴

J₂ = π·30⁴/32 = 79522 mm⁴

Góc xoắn của từng đoạn

T = 100 N·m = 100000 N·mm

G = 39 GPa = 39000 MPa

φ_AB = 100000·1000/(39000·613592) = 0,004179 rad

φ_BC = 100000·1200/(39000·79522) = 0,03869 rad

Tổng góc xoắn

φ_C = 0,004179 + 0,03869 = 0,04287 rad = 2,456°

Đáp số

φ_C = 2,456°

4.Xoắn của trục

Đáp số: τ_max = 25,42 MPa

Mômen xoắn

ω = 2πN/60 = 2π·750/60 = 78,54 rad/s

T = P/ω = 50000/78,54 = 636,6 N·m

Mômen quán tính độc cực của mặt cắt

J = π(60⁴ − 48⁴)/32 = 751193 mm⁴

Ứng suất tiếp lớn nhất

τ_max = T·(d_o/2)/J = 636620·30/751193 = 25,42 MPa

Đáp số

τ_max = 25,42 MPa

5.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất

Đáp số: τ_max = 116,6 MPa

Biến đổi ứng suất phẳng: trên một mặt xoay góc θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Vòng tròn Mohr cho thấy tất cả các mặt cùng lúc: tâm của nó ở C = (σₓ + σᵧ)/2 và bán kính là R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Các ứng suất chính là C ± R, và ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng là R.

Bán kính vòng tròn Mohr

τ_max = R = √(((140 − −60)/2)² + −60²) = 116,6 MPa

Đáp số

τ_max = 116,6 MPa

6.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất

Đáp số: σ_θ = 41,96 MPa

Phương trình biến đổi

σ_θ = 20 + 60·0,866 + −60·0,5 = 41,96 MPa

Đáp số

σ_θ = 41,96 MPa

7.Ứng suất và biến dạng dọc trục

Đáp số: δ = 0,07925 mm

Hai vật liệu: khi nối tiếp (cái này sau cái kia) mỗi đoạn chịu cùng một lực và các độ giãn dài cộng lại: δ = P·Σ L/(E·A). Khi song song (cạnh nhau giữa các tấm cứng) cả hai phần co lại cùng một lượng, nên biến dạng của chúng bằng nhau: phần cứng hơn nhận phần tải lớn hơn, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, và σ_i = E_i·ε. Một thanh bị giữ giữa hai vách cứng với tải đặt tại chỗ nối là siêu tĩnh: hai đoạn chia tải theo tỉ lệ độ cứng k = EA/L của chúng.

Diện tích

A_r = π·25²/4 = 490,9 mm²

A_t = π(120² − 60²)/4 = 8482 mm²

Độ cứng dọc trục kết hợp

ΣEA = 200·10³·490,9 + 100·10³·8482 = 9,464 × 10⁸ N

Độ co ngắn

δ = 150000·500/9,464 × 10⁸ = 0,07925 mm

Đáp số

δ = 0,07925 mm

8.Ứng suất và biến dạng dọc trục

Đáp số: σ₂ = 21,92 MPa

Các độ cứng

k₁ = 200000·1257/600 = 418879 N/mm

k₂ = 70000·1257/400 = 219911 N/mm

Phần của đoạn 2

F₂ = 80000·219911/638791 = 27541 N

Ứng suất

σ₂ = 27541/1257 = 21,92 MPa (nén)

Đáp số

σ₂ = 21,92 MPa

9.Mất ổn định cột

Đáp số: P_cr = 33,57 kN

Mất ổn định Euler: một cột mảnh mất ổn định tại P_cr = π²EI/(KL)², trong đó KL là chiều dài tính toán: K = 1 cho khớp–khớp, 2 cho ngàm–tự do, 0,7 cho ngàm–khớp và 0,5 cho ngàm–ngàm. Cột oằn quanh trục có I nhỏ nhất. Công thức đúng với cột mảnh, có ứng suất tới hạn thấp hơn ứng suất chảy.

Mômen quán tính nhỏ nhất của mặt cắt

Hình chữ nhật oằn quanh trục yếu, dùng kích thước nhỏ hơn lập phương.

I_min = h·b³/12 = 50·20³/12 = 33333 mm⁴

Chiều dài tính toán

KL = 0,7·2000 = 1400 mm

Tải trọng tới hạn

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·33333/1400² = 33570 N = 33,57 kN

Đáp số

P_cr = 33,57 kN

10.Mất ổn định cột

Đáp số: σ_cr = 9,835 MPa

Mômen quán tính nhỏ nhất của mặt cắt

Mặt cắt tròn có cùng I đối với mọi trục.

I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴

Bán kính quán tính và độ mảnh

A = 490,9 mm²

r = √(I/A) = √(19175/490,9) = 6,25 mm

KL = 0,7·4000 = 2800 mm

KL/r = 2800/6,25 = 448

Ứng suất tới hạn

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/448² = 9,835 MPa

Đáp số

σ_cr = 9,835 MPa

11.Dao động cơ học

Đáp số: ζ = 0,1193

Dao động tự do của hệ vật–lò xo: tần số riêng không cản là ω_n = √(k/m) theo rad/s, và f_n = ω_n/(2π) theo Hz. Một bộ cản nhớt c cho hệ số cản ζ = c/c_c, với cản tới hạn c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Hệ cản dưới tới hạn (ζ < 1) dao động ở ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Các lò xo song song cộng lại, k = k₁ + k₂; các lò xo nối tiếp cộng theo nghịch đảo, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Giảm lượng logarit

δ = (1/1)·ln(10/4,7) = 0,755

Hệ số cản

ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0,755/√(39,48 + 0,5701) = 0,1193

Đáp số

ζ = 0,1193

12.Dao động cơ học

Đáp số: f_n = 4,472 Hz

Độ cứng tương đương

Chỉ k₁ và k₂ song song. Cặp đó nối tiếp với k₃, nên gộp chúng theo nghịch đảo.

k₁₂ = 100 + 50 = 150 kN/m

k_eq = 150·40/(150 + 40) = 31,58 kN/m

Tần số riêng

ω_n = √(31579/40) = 28,1 rad/s

f_n = 28,1/(2π) = 4,472 Hz

Đáp số

f_n = 4,472 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design