Thiết kế máy: gói ôn nước rút

Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 12 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.

Bài mới Quay lại môn học

Trong cửa sổ in, hãy chọn “Lưu dưới dạng PDF” để giữ một bản trên thiết bị của bạn.

1Công thức và phương pháp

Bánh răng và hệ bánh răng

Bánh răng ăn khớp: n₁·N₁ = n₂·N₂
Mômen xoắn: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Công suất: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Hệ bánh răng ghép: tỉ số truyền tổng = tích các tỉ số truyền từng cấp

Xoắn của trục

Ứng suất tiếp: τ = T·r/J
Trục đặc: J = πd⁴/32
Trục rỗng: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Góc xoắn: φ = TL/(GJ)
Công suất: P = T·ω = 2πnT/60

Phương pháp

Tìm mômen quán tính độc cực: J = πd⁴/32 cho trục đặc.
Ứng suất tiếp ở bề mặt: τ = T·r/J, với r là bán kính ngoài.
Góc xoắn: φ = TL/(GJ) theo radian.
Nếu cho công suất, hãy tìm mômen xoắn trước bằng P = T·ω, ω = 2πn/60.

Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất

Tâm: C = (σ_x + σ_y)/2
Bán kính: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Ứng suất chính: σ_1,2 = C ± R
Phương chính: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Mặt phẳng nghiêng: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Phương pháp

Tính tâm của vòng tròn Mohr: C = (σx + σy)/2.
Tính bán kính: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Các ứng suất chính là C ± R và ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng là R.
Các góc trên vòng tròn gấp đôi các góc trên phần tử: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Ứng suất và biến dạng dọc trục

Ứng suất pháp: σ = F/A
Biến dạng: ε = ΔL/L
Định luật Hooke: σ = E·ε
Độ giãn dài: ΔL = FL/(EA)
Biến dạng nhiệt: ε_T = α·ΔT

Mất ổn định cột

Tải Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Hệ số chiều dài tính toán: K = 1 khớp–khớp, 0,5 ngàm–ngàm, 0,7 ngàm–khớp, 2 ngàm–tự do
Ứng suất tới hạn: σ_cr = P_cr/A
Độ mảnh: λ = KL/r, r = √(I/A)

Dao động cơ học

Tần số riêng: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Từ độ võng tĩnh: ω_n = √(g/δ_st)
Cản tới hạn: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Hệ số cản: ζ = c/c_c
Tần số có cản: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Giảm lượng logarit: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Lò xo song song: k = k₁ + k₂
Lò xo nối tiếp: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Bài tập

1.Bánh răng và hệ bánh răngTrung bình

Một puli 160 mm ở 1500 vòng/phút dẫn động một puli 315 mm bằng dây đai với độ trượt 2 %. Tìm tốc độ n₂ của puli bị dẫn.

n₁ = 1500 rpmd₁ = 160 mmd₂ = 315 mms = 2 %

n₂ = rpm

2.Bánh răng và hệ bánh răngKhó

Trong một bộ bánh răng hành tinh, bánh răng mặt trời có 16 răng và mỗi bánh răng hành tinh có 20 răng. Cần dẫn hành tinh được giữ cố định và bánh mặt trời được dẫn động ở 1500 rpm. Tìm tốc độ n_r của vành răng ngoài (độ lớn).

N_s = 16N_p = 20n_s = 1500 rpm

n_r = rpm

3.Xoắn của trụcTrung bình

Một trục rỗng thép (đường kính ngoài 75 mm, đường kính trong 53 mm, chiều dài 3 m) được ngàm một đầu và bị xoắn bởi mô-men xoắn 400 N·m ở đầu kia. Tìm góc xoắn φ theo độ.

T = 400 N·md_o = 75 mmd_i = 53 mmL = 3 mG = 80 GPa

φ = °

4.Xoắn của trụcKhó

Một trục đặc phải truyền 30 kW ở 3000 rpm mà ứng suất tiếp không vượt quá 50 MPa. Tìm đường kính nhỏ nhất d thỏa mãn.

P = 30 kWN = 3000 rpmτ_allow = 50 MPa

d = mm

5.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suấtTrung bình

Một điểm trong chi tiết chịu tải có σₓ = −10 MPa, σᵧ = −70 MPa và τₓᵧ = 40 MPa (kéo là dương). Tìm góc θ_p từ trục x đến phương của ứng suất chính lớn nhất, trong khoảng −90° đến 90°.

σ_x = −10 MPaσ_y = −70 MPaτ_xy = 40 MPa

θ_p = °

6.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suấtKhó

Một điểm trong một tấm mỏng ở trạng thái ứng suất phẳng: σₓ = −60 MPa, σᵧ = 40 MPa và τₓᵧ = 30 MPa (σ_z = 0). Vật liệu có giới hạn chảy 275 MPa. Tìm hệ số an toàn n chống chảy theo tiêu chuẩn von Mises (năng lượng biến dạng hình dạng).

σ_x = −60 MPaσ_y = 40 MPaτ_xy = 30 MPaσ_Y = 275 MPa

n =

7.Ứng suất và biến dạng dọc trụcTrung bình

Tìm biến dạng dọc trục ε trong thanh đồng thau, tính bằng microstrain (µε = 10⁻⁶).

P = 50 kNd = 25 mmL = 1 mE = 100 GPa

ε = µε

8.Ứng suất và biến dạng dọc trụcKhó

Một đoạn thép (đường kính 20 mm, chiều dài 400 mm, E = 200 GPa) và một đoạn làm bằng đồng thau (đường kính 60 mm, chiều dài 400 mm, E = 100 GPa) được nối đầu với đầu và ngàm giữa hai vách cứng. Một tải dọc trục 40 kN tác dụng tại chỗ nối, hướng về phía đoạn 2. Tìm độ lớn ứng suất σ₂ trong đoạn 2.

đoạn 1: thép, Ø20 mm, 400 mm, E = 200 GPađoạn 2: đồng thau, Ø60 mm, 400 mm, E = 100 GPaP = 40 kN

σ₂ = MPa

9.Mất ổn định cộtTrung bình

Một cột dài L làm bằng thép được hai đầu khớp. Dùng công thức Euler, tìm tải trọng oằn tới hạn P_cr của nó.

L = 1,5 mE = 200 GPa (thép)b × h = 25 × 50 mm

P_cr = kN

10.Mất ổn định cộtKhó

Một cột tròn đặc dài L làm bằng nhôm được ngàm ở chân và khớp ở đỉnh. Nó phải chịu 40 kN với hệ số an toàn 2,5 chống oằn. Tìm đường kính nhỏ nhất d.

P = 40 kNn = 2,5L = 6 mE = 70 GPa (nhôm)

d = mm

11.Dao động cơ họcTrung bình

Một vật 5 kg trên lò xo có độ cứng 15 kN/m có bộ cản nhớt cho hệ số cản 0,6. Tìm tần số riêng có cản f_d của dao động tự do theo Hz.

m = 5 kgk = 15 kN/mζ = 0,6

f_d = Hz

12.Dao động cơ họcKhó

Một vật 40 kg treo vào lò xo k₃ = 100 kN/m. Đầu trên của k₃ được gắn vào một thanh cứng treo bằng hai lò xo đặt cạnh nhau, k₁ = 30 kN/m và k₂ = 30 kN/m; thanh giữ nằm ngang. Bỏ qua lực cản và khối lượng của các lò xo và thanh. Tìm tần số riêng f_n của dao động thẳng đứng theo Hz.

m = 40 kgk₁ = 30 kN/mk₂ = 30 kN/mk₃ = 100 kN/m

f_n = Hz

3Dung dịch

1.Bánh răng và hệ bánh răng

Đáp số: n₂ = 746,7 rpm

Truyền động đai: khi không trượt, cả hai puli có cùng tốc độ mép v = π·d·n/60, nên n₁·d₁ = n₂·d₂ và tỉ số tốc độ là d₂/d₁. Độ trượt s làm puli bị dẫn chậm hơn một chút: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). Công suất truyền là P = (T₁ − T₂)·v, với T₁ là lực căng ở nhánh căng và T₂ ở nhánh chùng. Ma sát giới hạn tỉ số các lực căng: T₁/T₂ = e^μθ, trong đó θ là góc ôm tính theo radian trên puli nhỏ hơn; với đai hở θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) với khoảng cách tâm C.

Tốc độ khi không trượt

1500·160/315 = 761,9 rpm

Khi có trượt

n₂ = 761,9·0,98 = 746,7 rpm

Đáp số

n₂ = 746,7 rpm

2.Bánh răng và hệ bánh răng

Đáp số: n_r = 428,6 rpm

Bộ bánh răng hành tinh: tốc độ của bánh mặt trời, vành răng và cần dẫn liên hệ với nhau bởi phương trình Willis (n_s − n_c)/(n_r − n_c) = −N_r/N_s: nhìn từ cần dẫn, bộ truyền là một hệ bánh răng thông thường với các bánh hành tinh là bánh trung gian. Giữ cố định một phần tử biến bộ truyền thành bộ giảm tốc có một tỉ số truyền.

Số răng của vành răng

N_r = N_s + 2·N_p = 16 + 2·20 = 56

Phương trình Willis khi cần dẫn cố định

Với n_c = 0, bánh mặt trời dẫn động vành răng qua các bánh hành tinh, đóng vai trò bánh trung gian.

n_r = −n_s·N_s/N_r = −1500·16/56 = −428,6 rpm

|n_r| = 428,6 rpm

Đáp số

n_r = 428,6 rpm

Vành răng quay ngược chiều với bánh mặt trời.

3.Xoắn của trục

Đáp số: φ = 0,3686 °

Xoắn thanh tròn: ứng suất tiếp tăng tuyến tính từ không ở tâm đến τ_max = T·r/J ở bề mặt, với J = πd⁴/32 cho trục đặc và J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 cho trục rỗng. Góc xoắn là φ = TL/(GJ) tính bằng radian. Công suất và mômen xoắn liên hệ với nhau qua P = T·ω.

Mômen quán tính độc cực của mặt cắt

J = π(75⁴ − 53⁴)/32 = 2,332 × 10⁶ mm⁴

Góc xoắn

T = 400 N·m = 400000 N·mm

L = 3 m = 3000 mm

G = 80 GPa = 80000 MPa

φ = TL/(GJ) = 400000·3000/(80000·2,332 × 10⁶) = 0,006433 rad

φ = 0,006433·180/π = 0,3686°

Đáp số

φ = 0,3686°

4.Xoắn của trục

Đáp số: d = 21,35 mm

Mômen xoắn

ω = 2πN/60 = 2π·3000/60 = 314,2 rad/s

T = P/ω = 30000/314,2 = 95,49 N·m

Đường kính từ ứng suất cho phép

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·95493/(π·50)) = 21,35 mm

Đáp số

d = 21,35 mm

Trong thực tế bạn sẽ làm tròn lên kích thước tiêu chuẩn kế tiếp.

5.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất

Đáp số: θ_p = 26,57 °

Góc trên vòng tròn

Điểm x nằm ở góc 2θp so với trục σ trên vòng tròn Mohr; góc phần tư suy ra từ dấu của σₓ − σᵧ và τₓᵧ.

2θ_p = atan2(2·40, −10 − −70) = 53,13°

Góc trên phần tử

θ_p = 26,57°

Đáp số

θ_p = 26,57°

Góc dương là ngược chiều kim đồng hồ.

6.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất

Đáp số: n = 2,71

Biến đổi ứng suất phẳng: trên một mặt xoay góc θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Vòng tròn Mohr cho thấy tất cả các mặt cùng lúc: tâm của nó ở C = (σₓ + σᵧ)/2 và bán kính là R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Các ứng suất chính là C ± R, và ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng là R. Tiêu chuẩn chảy: von Mises dự đoán vật liệu chảy khi σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) đạt σ_Y; Tresca khi ứng suất cắt lớn nhất tuyệt đối đạt σ_Y/2.

Ứng suất chính

C = −10 MPa, R = 58,31 MPa

σ₁ = 48,31 MPa, σ₂ = −68,31 MPa, σ₃ = 0

Von Mises

σ_vM = √(48,31² − 48,31·(−68,31) + (−68,31)²) = 101,5 MPa

n = 275/101,5 = 2,71

Đáp số

n = 2,71

n > 1 nghĩa là điểm không bị chảy; Tresca thận trọng hơn von Mises một chút.

7.Ứng suất và biến dạng dọc trục

Đáp số: ε = 1019 µε

Định luật Hooke: trong giới hạn đàn hồi σ = E·ε. Kết hợp với σ = P/A và ε = δ/L ta được δ = PL/(AE).

Ứng suất

A = π·25²/4 = 490,9 mm²

σ = P/A = 50·1000/490,9 = 101,9 MPa

Biến dạng (định luật Hooke)

E for đồng thau = 100 GPa = 100000 MPa.

ε = σ/E = 101,9/100000 = 0,001019 = 1019 µε

Đáp số

ε = 1019 µε

8.Ứng suất và biến dạng dọc trục

Đáp số: σ₂ = 11,57 MPa

Hai vật liệu: khi nối tiếp (cái này sau cái kia) mỗi đoạn chịu cùng một lực và các độ giãn dài cộng lại: δ = P·Σ L/(E·A). Khi song song (cạnh nhau giữa các tấm cứng) cả hai phần co lại cùng một lượng, nên biến dạng của chúng bằng nhau: phần cứng hơn nhận phần tải lớn hơn, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, và σ_i = E_i·ε. Một thanh bị giữ giữa hai vách cứng với tải đặt tại chỗ nối là siêu tĩnh: hai đoạn chia tải theo tỉ lệ độ cứng k = EA/L của chúng.

Các độ cứng

k₁ = 200000·314,2/400 = 157080 N/mm

k₂ = 100000·2827/400 = 706858 N/mm

Phần của đoạn 2

F₂ = 40000·706858/863938 = 32727 N

Ứng suất

σ₂ = 32727/2827 = 11,57 MPa (nén)

Đáp số

σ₂ = 11,57 MPa

9.Mất ổn định cột

Đáp số: P_cr = 57,12 kN

Mất ổn định Euler: một cột mảnh mất ổn định tại P_cr = π²EI/(KL)², trong đó KL là chiều dài tính toán: K = 1 cho khớp–khớp, 2 cho ngàm–tự do, 0,7 cho ngàm–khớp và 0,5 cho ngàm–ngàm. Cột oằn quanh trục có I nhỏ nhất. Công thức đúng với cột mảnh, có ứng suất tới hạn thấp hơn ứng suất chảy.

Mômen quán tính nhỏ nhất của mặt cắt

Hình chữ nhật oằn quanh trục yếu, dùng kích thước nhỏ hơn lập phương.

I_min = h·b³/12 = 50·25³/12 = 65104 mm⁴

Chiều dài tính toán

KL = 1·1500 = 1500 mm

Tải trọng tới hạn

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·65104/1500² = 57116 N = 57,12 kN

Đáp số

P_cr = 57,12 kN

10.Mất ổn định cột

Đáp số: d = 84,92 mm

Tải trọng tới hạn yêu cầu

P_cr = n·P = 2,5·40000 = 100000 N

KL = 0,7·6000 = 4200 mm

Giải tìm đường kính

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·100000·4200²/(π³·70000))^(1/4) = 84,92 mm

Đáp số

d = 84,92 mm

Kiểm tra: độ mảnh KL/r là 197,8, nên cột là mảnh và công thức Euler áp dụng được.

11.Dao động cơ học

Đáp số: f_d = 6,974 Hz

Dao động tự do của hệ vật–lò xo: tần số riêng không cản là ω_n = √(k/m) theo rad/s, và f_n = ω_n/(2π) theo Hz. Một bộ cản nhớt c cho hệ số cản ζ = c/c_c, với cản tới hạn c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Hệ cản dưới tới hạn (ζ < 1) dao động ở ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Các lò xo song song cộng lại, k = k₁ + k₂; các lò xo nối tiếp cộng theo nghịch đảo, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Tần số riêng không cản

ω_n = √(15000/5) = 54,77 rad/s

f_n = 54,77/(2π) = 8,717 Hz

Tần số riêng có cản

f_d = f_n·√(1 − ζ²) = 8,717·√(1 − 0,6²) = 6,974 Hz

Đáp số

f_d = 6,974 Hz

12.Dao động cơ học

Đáp số: f_n = 4,873 Hz

Độ cứng tương đương

Chỉ k₁ và k₂ song song. Cặp đó nối tiếp với k₃, nên gộp chúng theo nghịch đảo.

k₁₂ = 30 + 30 = 60 kN/m

k_eq = 60·100/(60 + 100) = 37,5 kN/m

Tần số riêng

ω_n = √(37500/40) = 30,62 rad/s

f_n = 30,62/(2π) = 4,873 Hz

Đáp số

f_n = 4,873 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design