Thiết kế máy: gói ôn nước rút

Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 12 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.

Bài mới Quay lại môn học

Trong cửa sổ in, hãy chọn “Lưu dưới dạng PDF” để giữ một bản trên thiết bị của bạn.

1Công thức và phương pháp

Bánh răng và hệ bánh răng

Bánh răng ăn khớp: n₁·N₁ = n₂·N₂
Mômen xoắn: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Công suất: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Hệ bánh răng ghép: tỉ số truyền tổng = tích các tỉ số truyền từng cấp

Xoắn của trục

Ứng suất tiếp: τ = T·r/J
Trục đặc: J = πd⁴/32
Trục rỗng: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Góc xoắn: φ = TL/(GJ)
Công suất: P = T·ω = 2πnT/60

Phương pháp

Tìm mômen quán tính độc cực: J = πd⁴/32 cho trục đặc.
Ứng suất tiếp ở bề mặt: τ = T·r/J, với r là bán kính ngoài.
Góc xoắn: φ = TL/(GJ) theo radian.
Nếu cho công suất, hãy tìm mômen xoắn trước bằng P = T·ω, ω = 2πn/60.

Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất

Tâm: C = (σ_x + σ_y)/2
Bán kính: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Ứng suất chính: σ_1,2 = C ± R
Phương chính: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Mặt phẳng nghiêng: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Phương pháp

Tính tâm của vòng tròn Mohr: C = (σx + σy)/2.
Tính bán kính: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Các ứng suất chính là C ± R và ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng là R.
Các góc trên vòng tròn gấp đôi các góc trên phần tử: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Ứng suất và biến dạng dọc trục

Ứng suất pháp: σ = F/A
Biến dạng: ε = ΔL/L
Định luật Hooke: σ = E·ε
Độ giãn dài: ΔL = FL/(EA)
Biến dạng nhiệt: ε_T = α·ΔT

Mất ổn định cột

Tải Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Hệ số chiều dài tính toán: K = 1 khớp–khớp, 0,5 ngàm–ngàm, 0,7 ngàm–khớp, 2 ngàm–tự do
Ứng suất tới hạn: σ_cr = P_cr/A
Độ mảnh: λ = KL/r, r = √(I/A)

Dao động cơ học

Tần số riêng: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Từ độ võng tĩnh: ω_n = √(g/δ_st)
Cản tới hạn: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Hệ số cản: ζ = c/c_c
Tần số có cản: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Giảm lượng logarit: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Lò xo song song: k = k₁ + k₂
Lò xo nối tiếp: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Bài tập

1.Bánh răng và hệ bánh răngTrung bình

Một puli 160 mm ở 960 vòng/phút dẫn động một puli 300 mm bằng dây đai với độ trượt 3 %. Tìm tốc độ n₂ của puli bị dẫn.

n₁ = 960 rpmd₁ = 160 mmd₂ = 300 mms = 3 %

n₂ = rpm

2.Bánh răng và hệ bánh răngKhó

Một dây đai hở nối puli 80 mm và puli 450 mm có tâm cách nhau 800 mm. Tìm góc ôm θ trên puli nhỏ hơn, theo độ.

d₁ = 80 mmd₂ = 450 mmC = 800 mm

θ = °

3.Xoắn của trụcTrung bình

Một trục rỗng nhôm (đường kính ngoài 80 mm, đường kính trong 40 mm, chiều dài 0,8 m) được ngàm một đầu và bị xoắn bởi mô-men xoắn 1000 N·m ở đầu kia. Tìm góc xoắn φ theo độ.

T = 1000 N·md_o = 80 mmd_i = 40 mmL = 0,8 mG = 26 GPa

φ = °

4.Xoắn của trụcKhó

Một trục đặc phải truyền 5 kW ở 1800 rpm mà ứng suất tiếp không vượt quá 40 MPa. Tìm đường kính nhỏ nhất d thỏa mãn.

P = 5 kWN = 1800 rpmτ_allow = 40 MPa

d = mm

5.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suấtTrung bình

Một điểm có σₓ = 100 MPa, σᵧ = −40 MPa và τₓᵧ = −40 MPa (kéo là dương). Tìm góc θ_s, trong khoảng từ −90° đến 90°, từ trục x đến pháp tuyến của mặt có ứng suất cắt đạt giá trị dương lớn nhất +R (ứng suất cắt dương cùng chiều với τₓᵧ).

σ_x = 100 MPaσ_y = −40 MPaτ_xy = −40 MPa

θ_s = °

6.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suấtKhó

Một trục đặc đường kính 50 mm chịu một mô-men uốn 750 N·m cùng với mô-men xoắn 1000 N·m. Tại bề mặt trên, nơi ứng suất uốn là kéo và lớn nhất, hãy tìm ứng suất cắt lớn nhất trong mặt phẳng τ_max.

d = 50 mmM = 750 N·mT = 1000 N·m

τ_max = MPa

7.Ứng suất và biến dạng dọc trụcTrung bình

Một thanh gồm một đoạn thép (đường kính 25 mm, chiều dài 500 mm, E = 200 GPa) nối đầu với đầu với một đoạn làm bằng nhôm (đường kính 30 mm, chiều dài 300 mm, E = 70 GPa). Nó được ngàm một đầu và bị kéo ở đầu kia. Tìm tải dọc trục P làm nó giãn tổng cộng 0,2 mm.

đoạn 1: thép, Ø25 mm, 500 mm, E = 200 GPađoạn 2: nhôm, Ø30 mm, 300 mm, E = 70 GPaδ = 0,2 mm

P = kN

8.Ứng suất và biến dạng dọc trụcKhó

Thanh bậc được ngàm vào tường và chịu tải ở đầu tự do. Tìm ứng suất pháp lớn nhất σ_max trong thanh.

P = 35 kNđoạn 1: Ø25 mm, 0,5 m, thép (E = 200 GPa)đoạn 2: Ø12 mm, 2 m, thép (E = 200 GPa)

σ_max = MPa

9.Mất ổn định cộtTrung bình

Một cột dài L làm bằng thép được hai đầu khớp. Dùng công thức Euler, tìm tải trọng oằn tới hạn P_cr của nó.

L = 6 mE = 200 GPa (thép)d = 50 mm

P_cr = kN

10.Mất ổn định cộtKhó

Một cột dài L làm bằng nhôm được ngàm cả hai đầu. Tìm độ mảnh của nó và ứng suất oằn tới hạn σ_cr theo công thức Euler.

L = 3 mE = 70 GPa (nhôm)d = 60 mm

σ_cr = MPa

11.Dao động cơ họcTrung bình

Một vật 12 kg được đỡ bởi một lò xo có độ cứng 80 kN/m và một bộ cản nhớt có hệ số cản 490 N·s/m. Tìm hệ số cản ζ.

m = 12 kgk = 80 kN/mc = 490 N·s/m

ζ =

12.Dao động cơ họcKhó

Một vật 40 kg treo vào hai lò xo nối đầu với đầu (nối tiếp): lò xo trên có k₁ = 15 kN/m và lò xo dưới có k₂ = 40 kN/m. Bỏ qua cản và khối lượng của các lò xo. Tìm tần số riêng f_n của dao động thẳng đứng theo Hz.

m = 40 kgk₁ = 15 kN/mk₂ = 40 kN/m

f_n = Hz

3Dung dịch

1.Bánh răng và hệ bánh răng

Đáp số: n₂ = 496,6 rpm

Truyền động đai: khi không trượt, cả hai puli có cùng tốc độ mép v = π·d·n/60, nên n₁·d₁ = n₂·d₂ và tỉ số tốc độ là d₂/d₁. Độ trượt s làm puli bị dẫn chậm hơn một chút: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). Công suất truyền là P = (T₁ − T₂)·v, với T₁ là lực căng ở nhánh căng và T₂ ở nhánh chùng. Ma sát giới hạn tỉ số các lực căng: T₁/T₂ = e^μθ, trong đó θ là góc ôm tính theo radian trên puli nhỏ hơn; với đai hở θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) với khoảng cách tâm C.

Tốc độ khi không trượt

960·160/300 = 512 rpm

Khi có trượt

n₂ = 512·0,97 = 496,6 rpm

Đáp số

n₂ = 496,6 rpm

2.Bánh răng và hệ bánh răng

Đáp số: θ = 153,3 °

Góc của dây đai

asin(0,2313) = 13,37°

Góc ôm

θ = 180 − 2·13,37 = 153,3°

Đáp số

θ = 153,3°

3.Xoắn của trục

Đáp số: φ = 0,4676 °

Xoắn thanh tròn: ứng suất tiếp tăng tuyến tính từ không ở tâm đến τ_max = T·r/J ở bề mặt, với J = πd⁴/32 cho trục đặc và J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 cho trục rỗng. Góc xoắn là φ = TL/(GJ) tính bằng radian. Công suất và mômen xoắn liên hệ với nhau qua P = T·ω.

Mômen quán tính độc cực của mặt cắt

J = π(80⁴ − 40⁴)/32 = 3,77 × 10⁶ mm⁴

Góc xoắn

T = 1000 N·m = 1 × 10⁶ N·mm

L = 0,8 m = 800 mm

G = 26 GPa = 26000 MPa

φ = TL/(GJ) = 1 × 10⁶·800/(26000·3,77 × 10⁶) = 0,008162 rad

φ = 0,008162·180/π = 0,4676°

Đáp số

φ = 0,4676°

4.Xoắn của trục

Đáp số: d = 15 mm

Mômen xoắn

ω = 2πN/60 = 2π·1800/60 = 188,5 rad/s

T = P/ω = 5000/188,5 = 26,53 N·m

Đường kính từ ứng suất cho phép

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·26526/(π·40)) = 15 mm

Đáp số

d = 15 mm

Trong thực tế bạn sẽ làm tròn lên kích thước tiêu chuẩn kế tiếp.

5.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất

Đáp số: θ_s = −59,87 °

Biến đổi ứng suất phẳng: trên một mặt xoay góc θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Vòng tròn Mohr cho thấy tất cả các mặt cùng lúc: tâm của nó ở C = (σₓ + σᵧ)/2 và bán kính là R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Các ứng suất chính là C ± R, và ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng là R.

Góc trên vòng tròn

Trên vòng tròn Mohr, điểm trên cùng (+R) lệch 90° so với điểm chính σ₁; trên phân tố đó là 45°.

cos 2θ_s = −40/80,62 = −0,4961, sin 2θ_s = −70/80,62 = −0,8682

2θ_s = atan2(−70, −40) = −119,7°

Góc trên phần tử

θ_s = −59,87°

kiểm tra: θ_s − θ_p = −59,87 − (−14,87) = −45°

Đáp số

θ_s = −59,87°

Góc dương là ngược chiều kim đồng hồ.

6.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất

Đáp số: τ_max = 50,93 MPa

Các ứng suất tại bề mặt

σ = 32M/(πd³) = 32·750000/(π·50³) = 61,12 MPa

τ = 16T/(πd³) = 16·1000000/(π·50³) = 40,74 MPa

Vòng tròn Mohr

C = σ/2 = 30,56 MPa

R = √(30,56² + 40,74²) = 50,93 MPa

Đáp số

τ_max = 50,93 MPa

7.Ứng suất và biến dạng dọc trục

Đáp số: P = 17,93 kN

Hai vật liệu: khi nối tiếp (cái này sau cái kia) mỗi đoạn chịu cùng một lực và các độ giãn dài cộng lại: δ = P·Σ L/(E·A). Khi song song (cạnh nhau giữa các tấm cứng) cả hai phần co lại cùng một lượng, nên biến dạng của chúng bằng nhau: phần cứng hơn nhận phần tải lớn hơn, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, và σ_i = E_i·ε. Một thanh bị giữ giữa hai vách cứng với tải đặt tại chỗ nối là siêu tĩnh: hai đoạn chia tải theo tỉ lệ độ cứng k = EA/L của chúng.

Diện tích

A₁ = 490,9 mm², A₂ = 706,9 mm²

Các độ mềm

L₁/(E₁A₁) = 500/(200000·490,9) = 5,093 × 10⁻⁶ mm/N

L₂/(E₂A₂) = 300/(70000·706,9) = 6,063 × 10⁻⁶ mm/N

Tải

P = 0,2/1,116 × 10⁻⁵ = 17928 N = 17,93 kN

Đáp số

P = 17,93 kN

8.Ứng suất và biến dạng dọc trục

Đáp số: σ_max = 309,5 MPa

Cấu kiện chịu tải dọc trục: mỗi đoạn lăng trụ tuân theo δ = PL/(AE). Với các cấu kiện nối tiếp, độ giãn dài cộng lại.

Cùng một lực trong cả hai đoạn

Đầu tự do chịu lực P, nên mọi mặt cắt của thanh đều chịu cùng một lực dọc trục P. Chỉ có diện tích và vật liệu thay đổi.

A₁ = π·25²/4 = 490,9 mm², A₂ = π·12²/4 = 113,1 mm²

σ₁ = 71,3 MPa

σ₂ = 309,5 MPa

Ứng suất lớn nhất

Đoạn mảnh hơn có diện tích nhỏ hơn, nên chịu ứng suất lớn hơn.

σ_max = 309,5 MPa

Đáp số

σ_max = 309,5 MPa

9.Mất ổn định cột

Đáp số: P_cr = 16,82 kN

Mất ổn định Euler: một cột mảnh mất ổn định tại P_cr = π²EI/(KL)², trong đó KL là chiều dài tính toán: K = 1 cho khớp–khớp, 2 cho ngàm–tự do, 0,7 cho ngàm–khớp và 0,5 cho ngàm–ngàm. Cột oằn quanh trục có I nhỏ nhất. Công thức đúng với cột mảnh, có ứng suất tới hạn thấp hơn ứng suất chảy.

Mômen quán tính nhỏ nhất của mặt cắt

Mặt cắt tròn có cùng I đối với mọi trục.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

Chiều dài tính toán

KL = 1·6000 = 6000 mm

Tải trọng tới hạn

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·306796/6000² = 16822 N = 16,82 kN

Đáp số

P_cr = 16,82 kN

10.Mất ổn định cột

Đáp số: σ_cr = 69,09 MPa

Mômen quán tính nhỏ nhất của mặt cắt

Mặt cắt tròn có cùng I đối với mọi trục.

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

Bán kính quán tính và độ mảnh

A = 2827 mm²

r = √(I/A) = √(636173/2827) = 15 mm

KL = 0,5·3000 = 1500 mm

KL/r = 1500/15 = 100

Ứng suất tới hạn

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/100² = 69,09 MPa

Đáp số

σ_cr = 69,09 MPa

11.Dao động cơ học

Đáp số: ζ = 0,2501

Dao động tự do của hệ vật–lò xo: tần số riêng không cản là ω_n = √(k/m) theo rad/s, và f_n = ω_n/(2π) theo Hz. Một bộ cản nhớt c cho hệ số cản ζ = c/c_c, với cản tới hạn c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Hệ cản dưới tới hạn (ζ < 1) dao động ở ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Các lò xo song song cộng lại, k = k₁ + k₂; các lò xo nối tiếp cộng theo nghịch đảo, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Cản tới hạn

c_c = 2·√(k·m) = 2·√(80000·12) = 1960 N·s/m

Hệ số cản

ζ = c/c_c = 490/1960 = 0,2501

Đáp số

ζ = 0,2501

ζ < 1, nên hệ cản dưới tới hạn và dao động khi tắt dần.

12.Dao động cơ học

Đáp số: f_n = 2,628 Hz

Độ cứng tương đương

Các lò xo nối tiếp chịu cùng một lực và cộng độ võng, nên chúng gộp theo nghịch đảo: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

1/k_eq = 1/15 + 1/40 → k_eq = 15·40/(15 + 40) = 10,91 kN/m

Tần số riêng

ω_n = √(10909/40) = 16,51 rad/s

f_n = 16,51/(2π) = 2,628 Hz

Đáp số

f_n = 2,628 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design