Thiết kế máy: gói ôn nước rút

Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 12 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.

Bài mới Quay lại môn học

Trong cửa sổ in, hãy chọn “Lưu dưới dạng PDF” để giữ một bản trên thiết bị của bạn.

1Công thức và phương pháp

Bánh răng và hệ bánh răng

Bánh răng ăn khớp: n₁·N₁ = n₂·N₂
Mômen xoắn: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Công suất: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Hệ bánh răng ghép: tỉ số truyền tổng = tích các tỉ số truyền từng cấp

Xoắn của trục

Ứng suất tiếp: τ = T·r/J
Trục đặc: J = πd⁴/32
Trục rỗng: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Góc xoắn: φ = TL/(GJ)
Công suất: P = T·ω = 2πnT/60

Phương pháp

Tìm mômen quán tính độc cực: J = πd⁴/32 cho trục đặc.
Ứng suất tiếp ở bề mặt: τ = T·r/J, với r là bán kính ngoài.
Góc xoắn: φ = TL/(GJ) theo radian.
Nếu cho công suất, hãy tìm mômen xoắn trước bằng P = T·ω, ω = 2πn/60.

Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất

Tâm: C = (σ_x + σ_y)/2
Bán kính: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Ứng suất chính: σ_1,2 = C ± R
Phương chính: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Mặt phẳng nghiêng: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Phương pháp

Tính tâm của vòng tròn Mohr: C = (σx + σy)/2.
Tính bán kính: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Các ứng suất chính là C ± R và ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng là R.
Các góc trên vòng tròn gấp đôi các góc trên phần tử: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Ứng suất và biến dạng dọc trục

Ứng suất pháp: σ = F/A
Biến dạng: ε = ΔL/L
Định luật Hooke: σ = E·ε
Độ giãn dài: ΔL = FL/(EA)
Biến dạng nhiệt: ε_T = α·ΔT

Mất ổn định cột

Tải Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Hệ số chiều dài tính toán: K = 1 khớp–khớp, 0,5 ngàm–ngàm, 0,7 ngàm–khớp, 2 ngàm–tự do
Ứng suất tới hạn: σ_cr = P_cr/A
Độ mảnh: λ = KL/r, r = √(I/A)

Dao động cơ học

Tần số riêng: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Từ độ võng tĩnh: ω_n = √(g/δ_st)
Cản tới hạn: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Hệ số cản: ζ = c/c_c
Tần số có cản: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Giảm lượng logarit: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Lò xo song song: k = k₁ + k₂
Lò xo nối tiếp: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Bài tập

1.Bánh răng và hệ bánh răngTrung bình

Hai trục song song cách nhau 126 mm. Chúng phải được nối bằng một cặp bánh răng trụ răng thẳng có mô-đun 4 mm và tỉ số giảm tốc 2,5 : 1. Bánh răng nhỏ phải có bao nhiêu răng N₁?

a = 126 mmm = 4 mmi = 2,5

N₁ =

2.Bánh răng và hệ bánh răngKhó

Trong một bộ bánh răng hành tinh, bánh răng mặt trời có 20 răng và mỗi bánh răng hành tinh có 15 răng. Vành răng ngoài được giữ cố định và bánh mặt trời được dẫn động ở 1200 rpm. Tìm tốc độ n_c của cần dẫn hành tinh.

N_s = 20N_p = 15n_s = 1200 rpm

n_c = rpm

3.Xoắn của trụcTrung bình

Một trục đặc nhôm có bậc được ngàm tại A. Đoạn AB có đường kính 75 mm và chiều dài 1,5 m; đoạn BC có đường kính 60 mm và chiều dài 1,5 m. Một mô-men xoắn 750 N·m tác dụng tại đầu tự do C. Tìm ứng suất cắt lớn nhất τ_max trong trục.

T = 750 N·md₁ = 75 mm, L₁ = 1,5 md₂ = 60 mm, L₂ = 1,5 m

τ_max = MPa

4.Xoắn của trụcKhó

Một trục rỗng truyền 5 kW ở 300 rpm. Tìm ứng suất tiếp lớn nhất τ_max trong trục.

P = 5 kWN = 300 rpmd_o = 40 mmd_i = 24 mm

τ_max = MPa

5.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suấtTrung bình

Một điểm trong chi tiết chịu tải có σₓ = −50 MPa, σᵧ = 20 MPa và τₓᵧ = 20 MPa (kéo là dương). Tìm ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng τ_max.

σ_x = −50 MPaσ_y = 20 MPaτ_xy = 20 MPa

τ_max = MPa

6.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suấtKhó

Một điểm trong một tấm mỏng ở trạng thái ứng suất phẳng: σₓ = −30 MPa, σᵧ = −10 MPa và τₓᵧ = 30 MPa (σ_z = 0). Vật liệu có giới hạn chảy 250 MPa. Tìm hệ số an toàn n chống chảy theo tiêu chuẩn von Mises (năng lượng biến dạng hình dạng).

σ_x = −30 MPaσ_y = −10 MPaτ_xy = 30 MPaσ_Y = 250 MPa

n =

7.Ứng suất và biến dạng dọc trụcTrung bình

Một thanh gồm một đoạn thép (đường kính 25 mm, chiều dài 400 mm, E = 200 GPa) nối đầu với đầu với một đoạn làm bằng đồng thanh (đường kính 30 mm, chiều dài 500 mm, E = 110 GPa). Nó được ngàm một đầu và bị kéo ở đầu kia. Tìm tải dọc trục P làm nó giãn tổng cộng 0,25 mm.

đoạn 1: thép, Ø25 mm, 400 mm, E = 200 GPađoạn 2: đồng thanh, Ø30 mm, 500 mm, E = 110 GPaδ = 0,25 mm

P = kN

8.Ứng suất và biến dạng dọc trụcKhó

Một đoạn thép (đường kính 25 mm, chiều dài 300 mm, E = 200 GPa) và một đoạn làm bằng đồng thanh (đường kính 60 mm, chiều dài 500 mm, E = 110 GPa) được nối đầu với đầu và ngàm giữa hai vách cứng. Một tải dọc trục 20 kN tác dụng tại chỗ nối, hướng về phía đoạn 2. Tìm độ lớn ứng suất σ₂ trong đoạn 2.

đoạn 1: thép, Ø25 mm, 300 mm, E = 200 GPađoạn 2: đồng thanh, Ø60 mm, 500 mm, E = 110 GPaP = 20 kN

σ₂ = MPa

9.Mất ổn định cộtTrung bình

Một cột dài L làm bằng thép được hai đầu khớp. Dùng công thức Euler, tìm tải trọng oằn tới hạn P_cr của nó.

L = 2 mE = 200 GPa (thép)d = 50 mm

P_cr = kN

10.Mất ổn định cộtKhó

Một cột tròn đặc dài L làm bằng nhôm được ngàm ở chân và tự do ở đỉnh. Nó phải chịu 75 kN với hệ số an toàn 2 chống oằn. Tìm đường kính nhỏ nhất d.

P = 75 kNn = 2L = 3 mE = 70 GPa (nhôm)

d = mm

11.Dao động cơ họcTrung bình

Một vật 2 kg được đỡ bởi một lò xo có độ cứng 40 kN/m và một bộ cản nhớt có hệ số cản 50 N·s/m. Tìm hệ số cản ζ.

m = 2 kgk = 40 kN/mc = 50 N·s/m

ζ =

12.Dao động cơ họcKhó

Một vật 20 kg treo vào hai lò xo đặt cạnh nhau (song song), có độ cứng k₁ = 5 kN/m và k₂ = 10 kN/m. Vật giữ nằm ngang. Tìm độ cứng tương đương k_eq của hệ lò xo theo kN/m.

m = 20 kgk₁ = 5 kN/mk₂ = 10 kN/m

k_eq = kN/m

3Dung dịch

1.Bánh răng và hệ bánh răng

Đáp số: N₁ = 18

Gear geometry: the module m sets the tooth size. A gear with N teeth has a pitch diameter d = m·N, two meshing gears have the same module, and their centre distance is a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2. The pitch-line speed is v = π·d·n/60, and the tangential tooth force follows from the torque: F_t = 2T/d.

Tổng số răng

N₁ + N₂ = 2a/m = 2·126/4 = 63

Chia theo tỉ số

N₁ = 63/(1 + 2,5) = 18

Đáp số

N₁ = 18

2.Bánh răng và hệ bánh răng

Đáp số: n_c = 342,9 rpm

Bộ bánh răng hành tinh: tốc độ của bánh mặt trời, vành răng và cần dẫn liên hệ với nhau bởi phương trình Willis (n_s − n_c)/(n_r − n_c) = −N_r/N_s: nhìn từ cần dẫn, bộ truyền là một hệ bánh răng thông thường với các bánh hành tinh là bánh trung gian. Giữ cố định một phần tử biến bộ truyền thành bộ giảm tốc có một tỉ số truyền.

Số răng của vành răng

N_r = N_s + 2·N_p = 20 + 2·15 = 50

Phương trình Willis khi vành răng cố định

Đặt n_r = 0 và giải tìm tốc độ cần dẫn.

(1200 − n_c)/(0 − n_c) = −50/20

n_c = n_s·N_s/(N_s + N_r) = 1200·20/70 = 342,9 rpm

Đáp số

n_c = 342,9 rpm

Cần dẫn quay cùng chiều với bánh mặt trời.

3.Xoắn của trục

Đáp số: τ_max = 17,68 MPa

Xoắn thanh tròn: ứng suất tiếp tăng tuyến tính từ không ở tâm đến τ_max = T·r/J ở bề mặt, với J = πd⁴/32 cho trục đặc và J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 cho trục rỗng. Góc xoắn là φ = TL/(GJ) tính bằng radian. Công suất và mômen xoắn liên hệ với nhau qua P = T·ω.

Ứng suất trong từng đoạn

T = 750 N·m = 750000 N·mm

τ_AB = 16·750000/(π·75³) = 9,054 MPa

τ_BC = 16·750000/(π·60³) = 17,68 MPa

Đáp số

τ_max = 17,68 MPa

4.Xoắn của trục

Đáp số: τ_max = 14,55 MPa

Mômen xoắn

ω = 2πN/60 = 2π·300/60 = 31,42 rad/s

T = P/ω = 5000/31,42 = 159,2 N·m

Mômen quán tính độc cực của mặt cắt

J = π(40⁴ − 24⁴)/32 = 218755 mm⁴

Ứng suất tiếp lớn nhất

τ_max = T·(d_o/2)/J = 159155·20/218755 = 14,55 MPa

Đáp số

τ_max = 14,55 MPa

5.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất

Đáp số: τ_max = 40,31 MPa

Bán kính vòng tròn Mohr

τ_max = R = √(((−50 − 20)/2)² + 20²) = 40,31 MPa

Đáp số

τ_max = 40,31 MPa

6.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất

Đáp số: n = 4,287

Biến đổi ứng suất phẳng: trên một mặt xoay góc θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Vòng tròn Mohr cho thấy tất cả các mặt cùng lúc: tâm của nó ở C = (σₓ + σᵧ)/2 và bán kính là R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Các ứng suất chính là C ± R, và ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng là R. Tiêu chuẩn chảy: von Mises dự đoán vật liệu chảy khi σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) đạt σ_Y; Tresca khi ứng suất cắt lớn nhất tuyệt đối đạt σ_Y/2.

Ứng suất chính

C = −20 MPa, R = 31,62 MPa

σ₁ = 11,62 MPa, σ₂ = −51,62 MPa, σ₃ = 0

Von Mises

σ_vM = √(11,62² − 11,62·(−51,62) + (−51,62)²) = 58,31 MPa

n = 250/58,31 = 4,287

Đáp số

n = 4,287

n > 1 nghĩa là điểm không bị chảy; Tresca thận trọng hơn von Mises một chút.

7.Ứng suất và biến dạng dọc trục

Đáp số: P = 23,8 kN

Hai vật liệu: khi nối tiếp (cái này sau cái kia) mỗi đoạn chịu cùng một lực và các độ giãn dài cộng lại: δ = P·Σ L/(E·A). Khi song song (cạnh nhau giữa các tấm cứng) cả hai phần co lại cùng một lượng, nên biến dạng của chúng bằng nhau: phần cứng hơn nhận phần tải lớn hơn, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, và σ_i = E_i·ε. Một thanh bị giữ giữa hai vách cứng với tải đặt tại chỗ nối là siêu tĩnh: hai đoạn chia tải theo tỉ lệ độ cứng k = EA/L của chúng.

Diện tích

A₁ = 490,9 mm², A₂ = 706,9 mm²

Các độ mềm

L₁/(E₁A₁) = 400/(200000·490,9) = 4,074 × 10⁻⁶ mm/N

L₂/(E₂A₂) = 500/(110000·706,9) = 6,431 × 10⁻⁶ mm/N

Tải

P = 0,25/1,05 × 10⁻⁵ = 23798 N = 23,8 kN

Đáp số

P = 23,8 kN

8.Ứng suất và biến dạng dọc trục

Đáp số: σ₂ = 4,635 MPa

Các độ cứng

k₁ = 200000·490,9/300 = 327249 N/mm

k₂ = 110000·2827/500 = 622035 N/mm

Phần của đoạn 2

F₂ = 20000·622035/949285 = 13105 N

Ứng suất

σ₂ = 13105/2827 = 4,635 MPa (nén)

Đáp số

σ₂ = 4,635 MPa

9.Mất ổn định cột

Đáp số: P_cr = 151,4 kN

Mất ổn định Euler: một cột mảnh mất ổn định tại P_cr = π²EI/(KL)², trong đó KL là chiều dài tính toán: K = 1 cho khớp–khớp, 2 cho ngàm–tự do, 0,7 cho ngàm–khớp và 0,5 cho ngàm–ngàm. Cột oằn quanh trục có I nhỏ nhất. Công thức đúng với cột mảnh, có ứng suất tới hạn thấp hơn ứng suất chảy.

Mômen quán tính nhỏ nhất của mặt cắt

Mặt cắt tròn có cùng I đối với mọi trục.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

Chiều dài tính toán

KL = 1·2000 = 2000 mm

Tải trọng tới hạn

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·306796/2000² = 151398 N = 151,4 kN

Đáp số

P_cr = 151,4 kN

10.Mất ổn định cột

Đáp số: d = 112,3 mm

Tải trọng tới hạn yêu cầu

P_cr = n·P = 2·75000 = 150000 N

KL = 2·3000 = 6000 mm

Giải tìm đường kính

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·150000·6000²/(π³·70000))^(1/4) = 112,3 mm

Đáp số

d = 112,3 mm

Kiểm tra: độ mảnh KL/r là 213,7, nên cột là mảnh và công thức Euler áp dụng được.

11.Dao động cơ học

Đáp số: ζ = 0,08839

Dao động tự do của hệ vật–lò xo: tần số riêng không cản là ω_n = √(k/m) theo rad/s, và f_n = ω_n/(2π) theo Hz. Một bộ cản nhớt c cho hệ số cản ζ = c/c_c, với cản tới hạn c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Hệ cản dưới tới hạn (ζ < 1) dao động ở ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Các lò xo song song cộng lại, k = k₁ + k₂; các lò xo nối tiếp cộng theo nghịch đảo, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Cản tới hạn

c_c = 2·√(k·m) = 2·√(40000·2) = 565,7 N·s/m

Hệ số cản

ζ = c/c_c = 50/565,7 = 0,08839

Đáp số

ζ = 0,08839

ζ < 1, nên hệ cản dưới tới hạn và dao động khi tắt dần.

12.Dao động cơ học

Đáp số: k_eq = 15 kN/m

Độ cứng tương đương

Các lò xo đặt cạnh nhau có chung độ võng và cộng các lực, nên độ cứng đơn giản cộng lại: k = k₁ + k₂.

k_eq = 5 + 10 = 15 kN/m

Đáp số

k_eq = 15 kN/m

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design