Bánh răng và hệ bánh răng
- Bánh răng ăn khớp
- n1·N1 = n2·N2
- Mômen xoắn
- T2 = T1·(N2/N1)·η
- Công suất
- P = T·ω, ω = 2π·n/60
- Hệ bánh răng ghép
- tỉ số truyền tổng = tích các tỉ số truyền từng cấp
Thiết kế máy: gói ôn nước rút
Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 12 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.
1Công thức và phương pháp
Xoắn của trục
- Ứng suất tiếp
- τ = T·r/J
- Trục đặc
- J = πd⁴/32
- Trục rỗng
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- Góc xoắn
- φ = TL/(GJ)
- Công suất
- P = T·ω = 2πnT/60
Phương pháp
- Tìm mômen quán tính độc cực: J = πd⁴/32 cho trục đặc.
- Ứng suất tiếp ở bề mặt: τ = T·r/J, với r là bán kính ngoài.
- Góc xoắn: φ = TL/(GJ) theo radian.
- Nếu cho công suất, hãy tìm mômen xoắn trước bằng P = T·ω, ω = 2πn/60.
Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất
- Tâm
- C = (σx + σy)/2
- Bán kính
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- Ứng suất chính
- σ1,2 = C ± R
- Phương chính
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- Mặt phẳng nghiêng
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
Phương pháp
- Tính tâm của vòng tròn Mohr: C = (σx + σy)/2.
- Tính bán kính: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
- Các ứng suất chính là C ± R và ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng là R.
- Các góc trên vòng tròn gấp đôi các góc trên phần tử: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).
Ứng suất và biến dạng dọc trục
- Ứng suất pháp
- σ = F/A
- Biến dạng
- ε = ΔL/L
- Định luật Hooke
- σ = E·ε
- Độ giãn dài
- ΔL = FL/(EA)
- Biến dạng nhiệt
- εT = α·ΔT
Mất ổn định cột
- Tải Euler
- Pcr = π²EI/(KL)²
- Hệ số chiều dài tính toán
- K = 1 khớp–khớp, 0,5 ngàm–ngàm, 0,7 ngàm–khớp, 2 ngàm–tự do
- Ứng suất tới hạn
- σcr = Pcr/A
- Độ mảnh
- λ = KL/r, r = √(I/A)
Dao động cơ học
- Tần số riêng
- ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
- Từ độ võng tĩnh
- ωn = √(g/δst)
- Cản tới hạn
- cc = 2√(km) = 2mωn
- Hệ số cản
- ζ = c/cc
- Tần số có cản
- ωd = ωn√(1 − ζ²)
- Giảm lượng logarit
- δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
- Lò xo song song
- k = k1 + k2
- Lò xo nối tiếp
- 1/k = 1/k1 + 1/k2
2Bài tập
1.Bánh răng và hệ bánh răngTrung bình
Một dây đai chạy trên puli dẫn 160 mm ở 960 vòng/phút. Lực căng là 400 N ở nhánh căng và 80 N ở nhánh chùng. Tìm công suất P truyền đi, theo kW.
d1 = 160 mmn1 = 960 rpmT1 = 400 NT2 = 80 N
P = kW
2.Bánh răng và hệ bánh răngKhó
Trong một hệ bánh răng ghép, bánh răng A (30 răng) trên trục vào quay 960 rpm dẫn động bánh răng B (36 răng). Bánh răng C (15 răng) được cố định trên cùng trục với B và dẫn động bánh răng D (25 răng) trên trục ra. Tìm tốc độ ra nout.
nin = 960 rpmA = 30B = 36C = 15D = 25
nout = rpm
3.Xoắn của trụcTrung bình
Một trục đặc nhôm được ngàm vào tường và bị xoắn bởi mômen xoắn T ở đầu tự do. Tìm góc xoắn φ của đầu tự do, theo độ.
T = 400 N·md = 40 mmL = 2 mG = 26 GPa
φ = °
4.Xoắn của trụcKhó
Một trục đặc đồng thau đường kính 40 mm được ngàm vào các tường cứng ở cả hai đầu A và B. Một mô-men xoắn 2000 N·m đặt tại C, cách A 1,5 m và cách B 0,8 m. Tìm góc quay φC của tiết diện C, theo độ.
d = 40 mmT0 = 2000 N·ma = 1,5 mb = 0,8 mG = 39 GPa
φC = °
5.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suấtTrung bình
Một điểm trong chi tiết chịu tải có σₓ = −40 MPa, σᵧ = 100 MPa và τₓᵧ = −40 MPa (kéo là dương). Tìm góc θp từ trục x đến phương của ứng suất chính lớn nhất, trong khoảng −90° đến 90°.
σx = −40 MPaσy = 100 MPaτxy = −40 MPa
θp = °
6.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suấtKhó
Một điểm trong chi tiết chịu tải có σₓ = 90 MPa, σᵧ = 80 MPa và τₓᵧ = 50 MPa (kéo là dương). Tìm ứng suất tiếp τθ trên một mặt có pháp tuyến xoay 40° ngược chiều kim đồng hồ so với trục x (dương cùng chiều với τₓᵧ).
σx = 90 MPaσy = 80 MPaτxy = 50 MPaθ = 40°
τθ = MPa
7.Ứng suất và biến dạng dọc trụcTrung bình
Tìm biến dạng dọc trục ε trong thanh nhôm, tính bằng microstrain (µε = 10⁻⁶).
P = 30 kNd = 20 mmL = 2,5 mE = 70 GPa
ε = µε
8.Ứng suất và biến dạng dọc trụcKhó
Thanh bậc được ngàm vào tường và chịu tải ở đầu tự do. Tìm tổng độ giãn dài δ.
P = 105 kNđoạn 1: Ø30 mm, 1,5 m, thép (E = 200 GPa)đoạn 2: Ø20 mm, 2 m, đồng thau (E = 100 GPa)
δ = mm
9.Mất ổn định cộtTrung bình
Một cột dài L làm bằng nhôm được ngàm ở chân và khớp ở đỉnh. Dùng công thức Euler, tìm tải trọng oằn tới hạn Pcr của nó.
L = 2 mE = 70 GPa (nhôm)b × h = 25 × 60 mm
Pcr = kN
10.Mất ổn định cộtKhó
Một cột tròn đặc dài L làm bằng nhôm được ngàm ở chân và khớp ở đỉnh. Nó phải chịu 15 kN với hệ số an toàn 2,5 chống oằn. Tìm đường kính nhỏ nhất d.
P = 15 kNn = 2,5L = 2 mE = 70 GPa (nhôm)
d = mm
11.Dao động cơ họcTrung bình
Trong một thí nghiệm dao động tự do của hệ vật–lò xo có cản, một đỉnh độ dời 12 mm được theo sau 3 chu kỳ sau bởi đỉnh 4,7 mm. Tìm hệ số cản ζ.
x0 = 12 mmx3 = 4,7 mmn = 3
ζ =
12.Dao động cơ họcKhó
Một vật 25 kg treo vào lò xo k₃ = 40 kN/m. Đầu trên của k₃ được gắn vào một thanh cứng treo bằng hai lò xo đặt cạnh nhau, k₁ = 40 kN/m và k₂ = 100 kN/m; thanh giữ nằm ngang. Bỏ qua lực cản và khối lượng của các lò xo và thanh. Tìm tần số riêng fn của dao động thẳng đứng theo Hz.
m = 25 kgk1 = 40 kN/mk2 = 100 kN/mk3 = 40 kN/m
fn = Hz
3Dung dịch
1.Bánh răng và hệ bánh răng
Đáp số: P = 2,574 kW
Truyền động đai: khi không trượt, cả hai puli có cùng tốc độ mép v = π·d·n/60, nên n₁·d₁ = n₂·d₂ và tỉ số tốc độ là d₂/d₁. Độ trượt s làm puli bị dẫn chậm hơn một chút: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). Công suất truyền là P = (T₁ − T₂)·v, với T₁ là lực căng ở nhánh căng và T₂ ở nhánh chùng. Ma sát giới hạn tỉ số các lực căng: T₁/T₂ = eμθ, trong đó θ là góc ôm tính theo radian trên puli nhỏ hơn; với đai hở θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) với khoảng cách tâm C.
Tốc độ dây đai
v = 8,042 m/s
Công suất
P = (400 − 80)·8,042 = 2574 W = 2,574 kW
Đáp số
P = 2,574 kW
2.Bánh răng và hệ bánh răng
Đáp số: nout = 480 rpm
Hệ bánh răng: các bánh răng ăn khớp có cùng tốc độ tại răng, nên n₁·N₁ = n₂·N₂: bánh răng có ít răng hơn quay nhanh hơn. Các bánh răng trên cùng một trục quay cùng tốc độ. Công suất được truyền đi (trừ tổn thất), nên mômen xoắn tăng khi tốc độ giảm: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, và P = T·ω với ω = 2π·n/60.
Cấp thứ nhất
nB = 960·30/36 = 800 rpm = nC
Cấp thứ hai
nout = 800·15/25 = 480 rpm
Đáp số
nout = 480 rpm
tỉ số truyền tổng = 2 : 1
3.Xoắn của trục
Đáp số: φ = 7,015 °
Xoắn thanh tròn: ứng suất tiếp tăng tuyến tính từ không ở tâm đến τmax = T·r/J ở bề mặt, với J = πd⁴/32 cho trục đặc và J = π(do⁴ − di⁴)/32 cho trục rỗng. Góc xoắn là φ = TL/(GJ) tính bằng radian. Công suất và mômen xoắn liên hệ với nhau qua P = T·ω.
Mômen quán tính độc cực của mặt cắt
J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴
Góc xoắn
φ = TL/(GJ) = 400·1000·2000/(26000·251327) = 0,1224 rad
φ = 0,1224·180/π = 7,015°
Đáp số
φ = 7,015°
4.Xoắn của trục
Đáp số: φC = 6,1 °
Xoắn thanh tròn: ứng suất tiếp tăng tuyến tính từ không ở tâm đến τmax = T·r/J ở bề mặt, với J = πd⁴/32 cho trục đặc và J = π(do⁴ − di⁴)/32 cho trục rỗng. Góc xoắn là φ = TL/(GJ) tính bằng radian. Công suất và mômen xoắn liên hệ với nhau qua P = T·ω. Khi cả hai đầu bị ngàm, tĩnh học chỉ cho TA + TB = T₀; phương trình thứ hai là điều kiện tương thích (góc xoắn của hai phần bằng nhau tại tiết diện chịu tải).
Cân bằng và tương thích
TA + TB = 2000
TA·a = TB·b
TA = 2000·0,8/2,3 = 695,7 N·m
TB = 2000·1,5/2,3 = 1304 N·m
Góc quay của C
Dùng đoạn AC: nó được ngàm tại A và chịu TA.
J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴
G = 39 GPa = 39000 MPa
φC = TA·a/(GJ) = 695652·1500/(39000·251327) = 0,1065 rad = 6,1°
Đáp số
φC = 6,1°
5.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất
Đáp số: θp = −75,13 °
Biến đổi ứng suất phẳng: trên một mặt xoay góc θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Vòng tròn Mohr cho thấy tất cả các mặt cùng lúc: tâm của nó ở C = (σₓ + σᵧ)/2 và bán kính là R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Các ứng suất chính là C ± R, và ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng là R.
Góc trên vòng tròn
Điểm x nằm ở góc 2θp so với trục σ trên vòng tròn Mohr; góc phần tư suy ra từ dấu của σₓ − σᵧ và τₓᵧ.
2θp = atan2(2·−40, −40 − 100) = −150,3°
Góc trên phần tử
θp = −75,13°
Đáp số
θp = −75,13°
Góc dương là ngược chiều kim đồng hồ.
6.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất
Đáp số: τθ = 3,758 MPa
Biến đổi ứng suất phẳng: trên một mặt xoay góc θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Vòng tròn Mohr cho thấy tất cả các mặt cùng lúc: tâm của nó ở C = (σₓ + σᵧ)/2 và bán kính là R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Các ứng suất chính là C ± R, và ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng là R.
Phương trình biến đổi
τθ = −5·0,9848 + 50·0,1736 = 3,758 MPa
Đáp số
τθ = 3,758 MPa
7.Ứng suất và biến dạng dọc trục
Đáp số: ε = 1364 µε
Định luật Hooke: trong giới hạn đàn hồi σ = E·ε. Kết hợp với σ = P/A và ε = δ/L ta được δ = PL/(AE).
Ứng suất
A = π·20²/4 = 314,2 mm²
σ = P/A = 30·1000/314,2 = 95,49 MPa
Biến dạng (định luật Hooke)
E for nhôm = 70 GPa = 70000 MPa.
ε = σ/E = 95,49/70000 = 0,001364 = 1364 µε
Đáp số
ε = 1364 µε
8.Ứng suất và biến dạng dọc trục
Đáp số: δ = 7,799 mm
Cấu kiện chịu tải dọc trục: mỗi đoạn lăng trụ tuân theo δ = PL/(AE). Với các cấu kiện nối tiếp, độ giãn dài cộng lại.
Cùng một lực trong cả hai đoạn
Đầu tự do chịu lực P, nên mọi mặt cắt của thanh đều chịu cùng một lực dọc trục P. Chỉ có diện tích và vật liệu thay đổi.
A1 = π·30²/4 = 706,9 mm², A2 = π·20²/4 = 314,2 mm²
σ1 = 148,5 MPa
σ2 = 334,2 MPa
Cộng độ giãn dài của các đoạn
δ1 = σ1L1/E1 = 148,5·1500/200000 = 1,114 mm
δ2 = σ2L2/E2 = 334,2·2000/100000 = 6,685 mm
δ = δ1 + δ2 = 7,799 mm
Đáp số
δ = 7,799 mm
9.Mất ổn định cột
Đáp số: Pcr = 27,54 kN
Mất ổn định Euler: một cột mảnh mất ổn định tại Pcr = π²EI/(KL)², trong đó KL là chiều dài tính toán: K = 1 cho khớp–khớp, 2 cho ngàm–tự do, 0,7 cho ngàm–khớp và 0,5 cho ngàm–ngàm. Cột oằn quanh trục có I nhỏ nhất. Công thức đúng với cột mảnh, có ứng suất tới hạn thấp hơn ứng suất chảy.
Mômen quán tính nhỏ nhất của mặt cắt
Hình chữ nhật oằn quanh trục yếu, dùng kích thước nhỏ hơn lập phương.
Imin = h·b³/12 = 60·25³/12 = 78125 mm⁴
Chiều dài tính toán
KL = 0,7·2000 = 1400 mm
Tải trọng tới hạn
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·78125/1400² = 27538 N = 27,54 kN
Đáp số
Pcr = 27,54 kN
10.Mất ổn định cột
Đáp số: d = 38,37 mm
Mất ổn định Euler: một cột mảnh mất ổn định tại Pcr = π²EI/(KL)², trong đó KL là chiều dài tính toán: K = 1 cho khớp–khớp, 2 cho ngàm–tự do, 0,7 cho ngàm–khớp và 0,5 cho ngàm–ngàm. Cột oằn quanh trục có I nhỏ nhất. Công thức đúng với cột mảnh, có ứng suất tới hạn thấp hơn ứng suất chảy.
Tải trọng tới hạn yêu cầu
Pcr = n·P = 2,5·15000 = 37500 N
KL = 0,7·2000 = 1400 mm
Giải tìm đường kính
d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·37500·1400²/(π³·70000))^(1/4) = 38,37 mm
Đáp số
d = 38,37 mm
Kiểm tra: độ mảnh KL/r là 146, nên cột là mảnh và công thức Euler áp dụng được.
11.Dao động cơ học
Đáp số: ζ = 0,04967
Dao động tự do của hệ vật–lò xo: tần số riêng không cản là ωn = √(k/m) theo rad/s, và fn = ωn/(2π) theo Hz. Một bộ cản nhớt c cho hệ số cản ζ = c/cc, với cản tới hạn cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Hệ cản dưới tới hạn (ζ < 1) dao động ở ωd = ωn·√(1 − ζ²). Các lò xo song song cộng lại, k = k₁ + k₂; các lò xo nối tiếp cộng theo nghịch đảo, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Giảm lượng logarit
δ = (1/3)·ln(12/4,7) = 0,3124
Hệ số cản
ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0,3124/√(39,48 + 0,09762) = 0,04967
Đáp số
ζ = 0,04967
12.Dao động cơ học
Đáp số: fn = 5,614 Hz
Dao động tự do của hệ vật–lò xo: tần số riêng không cản là ωn = √(k/m) theo rad/s, và fn = ωn/(2π) theo Hz. Một bộ cản nhớt c cho hệ số cản ζ = c/cc, với cản tới hạn cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Hệ cản dưới tới hạn (ζ < 1) dao động ở ωd = ωn·√(1 − ζ²). Các lò xo song song cộng lại, k = k₁ + k₂; các lò xo nối tiếp cộng theo nghịch đảo, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Độ cứng tương đương
Chỉ k1 và k2 song song. Cặp đó nối tiếp với k3, nên gộp chúng theo nghịch đảo.
k12 = 40 + 100 = 140 kN/m
keq = 140·40/(140 + 40) = 31,11 kN/m
Tần số riêng
ωn = √(31111/25) = 35,28 rad/s
fn = 35,28/(2π) = 5,614 Hz
Đáp số
fn = 5,614 Hz
ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design