Thiết kế máy: gói ôn nước rút

Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 12 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.

Bài mớiQuay lại môn học

Trong cửa sổ in, hãy chọn “Lưu dưới dạng PDF” để giữ một bản trên thiết bị của bạn.

1Công thức và phương pháp

Bánh răng và hệ bánh răng

Bánh răng ăn khớp
n1·N1 = n2·N2
Mômen xoắn
T2 = T1·(N2/N1)·η
Công suất
P = T·ω, ω = 2π·n/60
Hệ bánh răng ghép
tỉ số truyền tổng = tích các tỉ số truyền từng cấp

Xoắn của trục

Ứng suất tiếp
τ = T·r/J
Trục đặc
J = πd⁴/32
Trục rỗng
J = π(D⁴ − d⁴)/32
Góc xoắn
φ = TL/(GJ)
Công suất
P = T·ω = 2πnT/60

Phương pháp

  1. Tìm mômen quán tính độc cực: J = πd⁴/32 cho trục đặc.
  2. Ứng suất tiếp ở bề mặt: τ = T·r/J, với r là bán kính ngoài.
  3. Góc xoắn: φ = TL/(GJ) theo radian.
  4. Nếu cho công suất, hãy tìm mômen xoắn trước bằng P = T·ω, ω = 2πn/60.

Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất

Tâm
C = (σx + σy)/2
Bán kính
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
Ứng suất chính
σ1,2 = C ± R
Phương chính
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
Mặt phẳng nghiêng
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

Phương pháp

  1. Tính tâm của vòng tròn Mohr: C = (σx + σy)/2.
  2. Tính bán kính: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
  3. Các ứng suất chính là C ± R và ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng là R.
  4. Các góc trên vòng tròn gấp đôi các góc trên phần tử: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Ứng suất và biến dạng dọc trục

Ứng suất pháp
σ = F/A
Biến dạng
ε = ΔL/L
Định luật Hooke
σ = E·ε
Độ giãn dài
ΔL = FL/(EA)
Biến dạng nhiệt
εT = α·ΔT

Mất ổn định cột

Tải Euler
Pcr = π²EI/(KL)²
Hệ số chiều dài tính toán
K = 1 khớp–khớp, 0,5 ngàm–ngàm, 0,7 ngàm–khớp, 2 ngàm–tự do
Ứng suất tới hạn
σcr = Pcr/A
Độ mảnh
λ = KL/r, r = √(I/A)

Dao động cơ học

Tần số riêng
ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
Từ độ võng tĩnh
ωn = √(g/δst)
Cản tới hạn
cc = 2√(km) = 2mωn
Hệ số cản
ζ = c/cc
Tần số có cản
ωd = ωn√(1 − ζ²)
Giảm lượng logarit
δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Lò xo song song
k = k1 + k2
Lò xo nối tiếp
1/k = 1/k1 + 1/k2

2Bài tập

1.Bánh răng và hệ bánh răngTrung bình
N1​ = 12N2​ = 72

Một động cơ 2,2 kW chạy ở 1440 rpm dẫn động một bánh răng nhỏ có 12 răng, ăn khớp với một bánh răng có 72 răng. Cặp bánh răng có hiệu suất 98%. Tìm mômen xoắn ra T2 trên trục bánh răng.

P = 2,2 kWn1 = 1440 rpmN1 = 12N2 = 72η = 98%
T2 = N·m
2.Bánh răng và hệ bánh răngKhó
A = 16B = 25C = 15D = 18

Một động cơ 15 kW ở 960 rpm dẫn động bánh răng A (16 răng), ăn khớp với bánh răng B (25 răng). Bánh răng C (15 răng) trên cùng trục với B dẫn động bánh răng D (18 răng) trên trục ra. Mỗi cặp ăn khớp có hiệu suất 97%. Tìm mô-men đầu ra Tout.

P = 15 kWnin = 960 rpmA = 16B = 25C = 15D = 18ηmesh = 97%
Tout = N·m
3.Xoắn của trụcTrung bình
T = 400 N·md = 40 mmL = 2,5 mφ = ?

Một trục đặc nhôm được ngàm vào tường và bị xoắn bởi mômen xoắn T ở đầu tự do. Tìm góc xoắn φ của đầu tự do, theo độ.

T = 400 N·md = 40 mmL = 2,5 mG = 26 GPa
φ = °
4.Xoắn của trụcKhó
Tdo​ = 75 mm, di​ = 45 mm

Một trục rỗng truyền 50 kW ở 1000 rpm. Tìm ứng suất tiếp lớn nhất τmax trong trục.

P = 50 kWN = 1000 rpmdo = 75 mmdi = 45 mm
τmax = MPa
5.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suấtTrung bình
σx​ = 90σy​ = 60τxy​ = −50MPa

Một điểm trong chi tiết chịu tải có σₓ = 90 MPa, σᵧ = 60 MPa và τₓᵧ = −50 MPa (kéo là dương). Tìm ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng τmax.

σx = 90 MPaσy = 60 MPaτxy = −50 MPa
τmax = MPa
6.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suấtKhó
σx​ = 40σy​ = −50τxy​ = 10MPa

Một điểm trong chi tiết chịu tải có σₓ = 40 MPa, σᵧ = −50 MPa và τₓᵧ = 10 MPa (kéo là dương). Tìm ứng suất pháp σθ trên một mặt có pháp tuyến xoay 40° ngược chiều kim đồng hồ so với trục x.

σx = 40 MPaσy = −50 MPaτxy = 10 MPaθ = 40°
σθ = MPa
7.Ứng suất và biến dạng dọc trụcTrung bình
Ø 25 mmNhôm2 mP = 35 kN

Tìm độ giãn dài δ của thanh nhôm dưới tải trọng dọc trục.

P = 35 kNd = 25 mmL = 2 mE = 70 GPa
δ = mm
8.Ứng suất và biến dạng dọc trụcKhó
Ø 30 mmĐồng thau2 mØ 20 mmĐồng0,5 mP = 75 kN

Thanh bậc được ngàm vào tường và chịu tải ở đầu tự do. Tìm tổng độ giãn dài δ.

P = 75 kNđoạn 1: Ø30 mm, 2 m, đồng thau (E = 100 GPa)đoạn 2: Ø20 mm, 0,5 m, đồng (E = 117 GPa)
δ = mm
9.Mất ổn định cộtTrung bình
PL = 6 m40 × 100 mmmặt cắt ngang

Một cột dài L làm bằng thép được hai đầu khớp. Dùng công thức Euler, tìm tải trọng oằn tới hạn Pcr của nó.

L = 6 mE = 200 GPa (thép)b × h = 40 × 100 mm
Pcr = kN
10.Mất ổn định cộtKhó
P = 135 kNL = 1 md = ?mặt cắt ngang

Một cột tròn đặc dài L làm bằng thép được ngàm ở chân và tự do ở đỉnh. Nó phải chịu 135 kN với hệ số an toàn 2 chống oằn. Tìm đường kính nhỏ nhất d.

P = 135 kNn = 2L = 1 mE = 200 GPa (thép)
d = mm
11.Dao động cơ họcTrung bình
k = 20 kN/mζ = 0,5m = 40 kg

Một vật 40 kg trên lò xo có độ cứng 20 kN/m có bộ cản nhớt cho hệ số cản 0,5. Tìm tần số riêng có cản fd của dao động tự do theo Hz.

m = 40 kgk = 20 kN/mζ = 0,5
fd = Hz
12.Dao động cơ họcKhó
k1​ = 12k2​ = 15k3​ = 12m = 50 kg

Một vật 50 kg treo vào lò xo k₃ = 12 kN/m. Đầu trên của k₃ được gắn vào một thanh cứng treo bằng hai lò xo đặt cạnh nhau, k₁ = 12 kN/m và k₂ = 15 kN/m; thanh giữ nằm ngang. Bỏ qua lực cản và khối lượng của các lò xo và thanh. Tìm tần số riêng fn của dao động thẳng đứng theo Hz.

m = 50 kgk1 = 12 kN/mk2 = 15 kN/mk3 = 12 kN/m
fn = Hz

3Dung dịch

1.Bánh răng và hệ bánh răng

Đáp số: T2 = 85,78 N·m

Hệ bánh răng: các bánh răng ăn khớp có cùng tốc độ tại răng, nên n₁·N₁ = n₂·N₂: bánh răng có ít răng hơn quay nhanh hơn. Các bánh răng trên cùng một trục quay cùng tốc độ. Công suất được truyền đi (trừ tổn thất), nên mômen xoắn tăng khi tốc độ giảm: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, và P = T·ω với ω = 2π·n/60.

Mômen xoắn động cơ

ω₁ = 2π·1440/60 = 150,8 rad/s
T1 = P/ω₁ = 2200/150,8 = 14,59 N·m

Mômen xoắn ra

T2 = 14,59·72/12·0,98 = 85,78 N·m

Đáp số

T2 = 85,78 N·m
2.Bánh răng và hệ bánh răng

Đáp số: Tout = 263,2 N·m

Gear trains: meshing gears have the same speed at the teeth, so n₁·N₁ = n₂·N₂: the gear with fewer teeth turns faster. Gears on one shaft turn at the same speed. Power is passed on (minus losses), so torque goes up when speed goes down: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, and P = T·ω with ω = 2π·n/60.

Tốc độ ra

nout = 960·(16/25)·(15/18) = 512 rpm
ωout = 2π·512/60 = 53,62 rad/s

Công suất và mô-men đầu ra

Pout = 15000·0,97² = 14114 W
Tout = Pout/ωout = 14114/53,62 = 263,2 N·m

Đáp số

Tout = 263,2 N·m
3.Xoắn của trục

Đáp số: φ = 8,768 °

Xoắn thanh tròn: ứng suất tiếp tăng tuyến tính từ không ở tâm đến τmax = T·r/J ở bề mặt, với J = πd⁴/32 cho trục đặc và J = π(do⁴ − di⁴)/32 cho trục rỗng. Góc xoắn là φ = TL/(GJ) tính bằng radian. Công suất và mômen xoắn liên hệ với nhau qua P = T·ω.

Mômen quán tính độc cực của mặt cắt

J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴

Góc xoắn

φ = TL/(GJ) = 400·1000·2500/(26000·251327) = 0,153 rad
φ = 0,153·180/π = 8,768°

Đáp số

φ = 8,768°
4.Xoắn của trục

Đáp số: τmax = 6,622 MPa

Xoắn thanh tròn: ứng suất tiếp tăng tuyến tính từ không ở tâm đến τmax = T·r/J ở bề mặt, với J = πd⁴/32 cho trục đặc và J = π(do⁴ − di⁴)/32 cho trục rỗng. Góc xoắn là φ = TL/(GJ) tính bằng radian. Công suất và mômen xoắn liên hệ với nhau qua P = T·ω.

Mômen xoắn

ω = 2πN/60 = 2π·1000/60 = 104,7 rad/s
T = P/ω = 50000/104,7 = 477,5 N·m

Mômen quán tính độc cực của mặt cắt

J = π(75⁴ − 45⁴)/32 = 2,704 × 10⁶ mm⁴

Ứng suất tiếp lớn nhất

τmax = T·(do/2)/J = 477465·37,5/2,704 × 10⁶ = 6,622 MPa

Đáp số

τmax = 6,622 MPa
5.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất

Đáp số: τmax = 52,2 MPa

Biến đổi ứng suất phẳng: trên một mặt xoay góc θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Vòng tròn Mohr cho thấy tất cả các mặt cùng lúc: tâm của nó ở C = (σₓ + σᵧ)/2 và bán kính là R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Các ứng suất chính là C ± R, và ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng là R.

στxyCτmax​

Bán kính vòng tròn Mohr

τmax = R = √(((90 − 60)/2)² + −50²) = 52,2 MPa

Đáp số

τmax = 52,2 MPa
6.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất

Đáp số: σθ = 12,66 MPa

Biến đổi ứng suất phẳng: trên một mặt xoay góc θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Vòng tròn Mohr cho thấy tất cả các mặt cùng lúc: tâm của nó ở C = (σₓ + σᵧ)/2 và bán kính là R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Các ứng suất chính là C ± R, và ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng là R.

Phương trình biến đổi

σθ = −5 + 45·0,1736 + 10·0,9848 = 12,66 MPa

Đáp số

σθ = 12,66 MPa
7.Ứng suất và biến dạng dọc trục

Đáp số: δ = 2,037 mm

Định luật Hooke: trong giới hạn đàn hồi σ = E·ε. Kết hợp với σ = P/A và ε = δ/L ta được δ = PL/(AE).

Ứng suất

A = π·25²/4 = 490,9 mm²
σ = P/A = 35·1000/490,9 = 71,3 MPa

Biến dạng (định luật Hooke)

E for nhôm = 70 GPa = 70000 MPa.

ε = σ/E = 71,3/70000 = 0,001019 = 1019 µε

Độ giãn dài

δ = ε·L = 0,001019·2000 mm = 2,037 mm

Đáp số

δ = 2,037 mm
8.Ứng suất và biến dạng dọc trục

Đáp số: δ = 3,142 mm

Cấu kiện chịu tải dọc trục: mỗi đoạn lăng trụ tuân theo δ = PL/(AE). Với các cấu kiện nối tiếp, độ giãn dài cộng lại.

Cùng một lực trong cả hai đoạn

Đầu tự do chịu lực P, nên mọi mặt cắt của thanh đều chịu cùng một lực dọc trục P. Chỉ có diện tích và vật liệu thay đổi.

A1 = π·30²/4 = 706,9 mm², A2 = π·20²/4 = 314,2 mm²
σ1 = 106,1 MPa
σ2 = 238,7 MPa

Cộng độ giãn dài của các đoạn

δ1 = σ1L1/E1 = 106,1·2000/100000 = 2,122 mm
δ2 = σ2L2/E2 = 238,7·500/117000 = 1,02 mm
δ = δ1 + δ2 = 3,142 mm

Đáp số

δ = 3,142 mm
9.Mất ổn định cột

Đáp số: Pcr = 29,24 kN

Mất ổn định Euler: một cột mảnh mất ổn định tại Pcr = π²EI/(KL)², trong đó KL là chiều dài tính toán: K = 1 cho khớp–khớp, 2 cho ngàm–tự do, 0,7 cho ngàm–khớp và 0,5 cho ngàm–ngàm. Cột oằn quanh trục có I nhỏ nhất. Công thức đúng với cột mảnh, có ứng suất tới hạn thấp hơn ứng suất chảy.

Mômen quán tính nhỏ nhất của mặt cắt

Hình chữ nhật oằn quanh trục yếu, dùng kích thước nhỏ hơn lập phương.

Imin = h·b³/12 = 100·40³/12 = 533333 mm⁴

Chiều dài tính toán

KL = 1·6000 = 6000 mm

Tải trọng tới hạn

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·533333/6000² = 29243 N = 29,24 kN

Đáp số

Pcr = 29,24 kN
10.Mất ổn định cột

Đáp số: d = 57,78 mm

Mất ổn định Euler: một cột mảnh mất ổn định tại Pcr = π²EI/(KL)², trong đó KL là chiều dài tính toán: K = 1 cho khớp–khớp, 2 cho ngàm–tự do, 0,7 cho ngàm–khớp và 0,5 cho ngàm–ngàm. Cột oằn quanh trục có I nhỏ nhất. Công thức đúng với cột mảnh, có ứng suất tới hạn thấp hơn ứng suất chảy.

Tải trọng tới hạn yêu cầu

Pcr = n·P = 2·135000 = 270000 N
KL = 2·1000 = 2000 mm

Giải tìm đường kính

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·270000·2000²/(π³·200000))^(1/4) = 57,78 mm

Đáp số

d = 57,78 mm

Kiểm tra: độ mảnh KL/r là 138,5, nên cột là mảnh và công thức Euler áp dụng được.

11.Dao động cơ học

Đáp số: fd = 3,082 Hz

Dao động tự do của hệ vật–lò xo: tần số riêng không cản là ωn = √(k/m) theo rad/s, và fn = ωn/(2π) theo Hz. Một bộ cản nhớt c cho hệ số cản ζ = c/cc, với cản tới hạn cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Hệ cản dưới tới hạn (ζ < 1) dao động ở ωd = ωn·√(1 − ζ²). Các lò xo song song cộng lại, k = k₁ + k₂; các lò xo nối tiếp cộng theo nghịch đảo, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Tần số riêng không cản

ωn = √(20000/40) = 22,36 rad/s
fn = 22,36/(2π) = 3,559 Hz

Tần số riêng có cản

fd = fn·√(1 − ζ²) = 3,559·√(1 − 0,5²) = 3,082 Hz

Đáp số

fd = 3,082 Hz
12.Dao động cơ học

Đáp số: fn = 2,052 Hz

Dao động tự do của hệ vật–lò xo: tần số riêng không cản là ωn = √(k/m) theo rad/s, và fn = ωn/(2π) theo Hz. Một bộ cản nhớt c cho hệ số cản ζ = c/cc, với cản tới hạn cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Hệ cản dưới tới hạn (ζ < 1) dao động ở ωd = ωn·√(1 − ζ²). Các lò xo song song cộng lại, k = k₁ + k₂; các lò xo nối tiếp cộng theo nghịch đảo, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Độ cứng tương đương

Chỉ k1 và k2 song song. Cặp đó nối tiếp với k3, nên gộp chúng theo nghịch đảo.

k12 = 12 + 15 = 27 kN/m
keq = 27·12/(27 + 12) = 8,308 kN/m

Tần số riêng

ωn = √(8308/50) = 12,89 rad/s
fn = 12,89/(2π) = 2,052 Hz

Đáp số

fn = 2,052 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design