Bánh răng và hệ bánh răng
- Bánh răng ăn khớp
- n1·N1 = n2·N2
- Mômen xoắn
- T2 = T1·(N2/N1)·η
- Công suất
- P = T·ω, ω = 2π·n/60
- Hệ bánh răng ghép
- tỉ số truyền tổng = tích các tỉ số truyền từng cấp
Thiết kế máy: gói ôn nước rút
Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 12 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.
1Công thức và phương pháp
Xoắn của trục
- Ứng suất tiếp
- τ = T·r/J
- Trục đặc
- J = πd⁴/32
- Trục rỗng
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- Góc xoắn
- φ = TL/(GJ)
- Công suất
- P = T·ω = 2πnT/60
Phương pháp
- Tìm mômen quán tính độc cực: J = πd⁴/32 cho trục đặc.
- Ứng suất tiếp ở bề mặt: τ = T·r/J, với r là bán kính ngoài.
- Góc xoắn: φ = TL/(GJ) theo radian.
- Nếu cho công suất, hãy tìm mômen xoắn trước bằng P = T·ω, ω = 2πn/60.
Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất
- Tâm
- C = (σx + σy)/2
- Bán kính
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- Ứng suất chính
- σ1,2 = C ± R
- Phương chính
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- Mặt phẳng nghiêng
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
Phương pháp
- Tính tâm của vòng tròn Mohr: C = (σx + σy)/2.
- Tính bán kính: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
- Các ứng suất chính là C ± R và ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng là R.
- Các góc trên vòng tròn gấp đôi các góc trên phần tử: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).
Ứng suất và biến dạng dọc trục
- Ứng suất pháp
- σ = F/A
- Biến dạng
- ε = ΔL/L
- Định luật Hooke
- σ = E·ε
- Độ giãn dài
- ΔL = FL/(EA)
- Biến dạng nhiệt
- εT = α·ΔT
Mất ổn định cột
- Tải Euler
- Pcr = π²EI/(KL)²
- Hệ số chiều dài tính toán
- K = 1 khớp–khớp, 0,5 ngàm–ngàm, 0,7 ngàm–khớp, 2 ngàm–tự do
- Ứng suất tới hạn
- σcr = Pcr/A
- Độ mảnh
- λ = KL/r, r = √(I/A)
Dao động cơ học
- Tần số riêng
- ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
- Từ độ võng tĩnh
- ωn = √(g/δst)
- Cản tới hạn
- cc = 2√(km) = 2mωn
- Hệ số cản
- ζ = c/cc
- Tần số có cản
- ωd = ωn√(1 − ζ²)
- Giảm lượng logarit
- δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
- Lò xo song song
- k = k1 + k2
- Lò xo nối tiếp
- 1/k = 1/k1 + 1/k2
2Bài tập
1.Bánh răng và hệ bánh răngTrung bình
Một trục vít 2 đầu mối quay ở 2900 rpm và dẫn động một bánh vít có 80 răng. Tìm tốc độ nw của bánh vít.
z = 2Nw = 80n = 2900 rpm
nw = rpm
2.Bánh răng và hệ bánh răngKhó
Trong một hệ bánh răng ghép, bánh răng A (12 răng) trên trục vào quay 1440 rpm dẫn động bánh răng B (36 răng). Bánh răng C (16 răng) được cố định trên cùng trục với B và dẫn động bánh răng D (45 răng) trên trục ra. Tìm tốc độ ra nout.
nin = 1440 rpmA = 12B = 36C = 16D = 45
nout = rpm
3.Xoắn của trụcTrung bình
Một trục đặc nhôm được ngàm vào tường và bị xoắn bởi mômen xoắn T ở đầu tự do. Tìm góc xoắn φ của đầu tự do, theo độ.
T = 750 N·md = 50 mmL = 2 mG = 26 GPa
φ = °
4.Xoắn của trụcKhó
Một trục đặc đồng thau đường kính 50 mm được ngàm vào các tường cứng ở cả hai đầu A và B. Một mô-men xoắn 1500 N·m đặt tại C, cách A 0,5 m và cách B 3 m. Tìm ứng suất cắt lớn nhất τmax trong trục.
d = 50 mmT0 = 1500 N·ma = 0,5 mb = 3 m
τmax = MPa
5.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suấtTrung bình
Một điểm trong chi tiết chịu tải có σₓ = 100 MPa, σᵧ = −30 MPa và τₓᵧ = 30 MPa (kéo là dương). Tìm ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng τmax.
σx = 100 MPaσy = −30 MPaτxy = 30 MPa
τmax = MPa
6.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suấtKhó
Một điểm trong chi tiết chịu tải có σₓ = 0 MPa, σᵧ = 40 MPa và τₓᵧ = 30 MPa (kéo là dương). Tìm ứng suất pháp σθ trên một mặt có pháp tuyến xoay 45° theo chiều kim đồng hồ so với trục x.
σx = 0 MPaσy = 40 MPaτxy = 30 MPaθ = -45°
σθ = MPa
7.Ứng suất và biến dạng dọc trụcTrung bình
Tìm biến dạng dọc trục ε trong thanh đồng thau, tính bằng microstrain (µε = 10⁻⁶).
P = 100 kNd = 16 mmL = 2,5 mE = 100 GPa
ε = µε
8.Ứng suất và biến dạng dọc trụcKhó
Thanh bậc được ngàm vào tường và chịu tải ở đầu tự do. Tìm tổng độ giãn dài δ.
P = 50 kNđoạn 1: Ø25 mm, 2 m, thép (E = 200 GPa)đoạn 2: Ø12 mm, 2 m, nhôm (E = 70 GPa)
δ = mm
9.Mất ổn định cộtTrung bình
Một cột dài L làm bằng nhôm được ngàm ở chân và tự do ở đỉnh. Dùng công thức Euler, tìm tải trọng oằn tới hạn Pcr của nó.
L = 1,5 mE = 70 GPa (nhôm)d = 40 mm
Pcr = kN
10.Mất ổn định cộtKhó
Một cột tròn đặc dài L làm bằng thép được hai đầu khớp. Nó phải chịu 75 kN với hệ số an toàn 2 chống oằn. Tìm đường kính nhỏ nhất d.
P = 75 kNn = 2L = 4 mE = 200 GPa (thép)
d = mm
11.Dao động cơ họcTrung bình
Trong một thí nghiệm dao động tự do của hệ vật–lò xo có cản, một đỉnh độ dời 20 mm được theo sau 2 chu kỳ sau bởi đỉnh 10,7 mm. Tìm hệ số cản ζ.
x0 = 20 mmx2 = 10,7 mmn = 2
ζ =
12.Dao động cơ họcKhó
Một vật 5 kg treo vào hai lò xo nối đầu với đầu (nối tiếp): lò xo trên có k₁ = 60 kN/m và lò xo dưới có k₂ = 80 kN/m. Bỏ qua cản và khối lượng của các lò xo. Tìm tần số riêng fn của dao động thẳng đứng theo Hz.
m = 5 kgk1 = 60 kN/mk2 = 80 kN/m
fn = Hz
3Dung dịch
1.Bánh răng và hệ bánh răng
Đáp số: nw = 72,5 rpm
Gear trains: meshing gears have the same speed at the teeth, so n₁·N₁ = n₂·N₂: the gear with fewer teeth turns faster. Gears on one shaft turn at the same speed. Power is passed on (minus losses), so torque goes up when speed goes down: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, and P = T·ω with ω = 2π·n/60.
Tốc độ bánh vít
nw = n·z/Nw = 2900·2/80 = 72,5 rpm
Đáp số
nw = 72,5 rpm
2.Bánh răng và hệ bánh răng
Đáp số: nout = 170,7 rpm
Hệ bánh răng: các bánh răng ăn khớp có cùng tốc độ tại răng, nên n₁·N₁ = n₂·N₂: bánh răng có ít răng hơn quay nhanh hơn. Các bánh răng trên cùng một trục quay cùng tốc độ. Công suất được truyền đi (trừ tổn thất), nên mômen xoắn tăng khi tốc độ giảm: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, và P = T·ω với ω = 2π·n/60.
Cấp thứ nhất
nB = 1440·12/36 = 480 rpm = nC
Cấp thứ hai
nout = 480·16/45 = 170,7 rpm
Đáp số
nout = 170,7 rpm
tỉ số truyền tổng = 8,437 : 1
3.Xoắn của trục
Đáp số: φ = 5,387 °
Xoắn thanh tròn: ứng suất tiếp tăng tuyến tính từ không ở tâm đến τmax = T·r/J ở bề mặt, với J = πd⁴/32 cho trục đặc và J = π(do⁴ − di⁴)/32 cho trục rỗng. Góc xoắn là φ = TL/(GJ) tính bằng radian. Công suất và mômen xoắn liên hệ với nhau qua P = T·ω.
Mômen quán tính độc cực của mặt cắt
J = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴
Góc xoắn
φ = TL/(GJ) = 750·1000·2000/(26000·613592) = 0,09402 rad
φ = 0,09402·180/π = 5,387°
Đáp số
φ = 5,387°
4.Xoắn của trục
Đáp số: τmax = 52,38 MPa
Xoắn thanh tròn: ứng suất tiếp tăng tuyến tính từ không ở tâm đến τmax = T·r/J ở bề mặt, với J = πd⁴/32 cho trục đặc và J = π(do⁴ − di⁴)/32 cho trục rỗng. Góc xoắn là φ = TL/(GJ) tính bằng radian. Công suất và mômen xoắn liên hệ với nhau qua P = T·ω. Khi cả hai đầu bị ngàm, tĩnh học chỉ cho TA + TB = T₀; phương trình thứ hai là điều kiện tương thích (góc xoắn của hai phần bằng nhau tại tiết diện chịu tải).
Cân bằng và tương thích
TA + TB = 1500
TA·a = TB·b
TA = 1500·3/3,5 = 1286 N·m
TB = 1500·0,5/3,5 = 214,3 N·m
Ứng suất tiếp lớn nhất
Mô-men xoắn lớn hơn trong hai mô-men quyết định (cùng đường kính).
τmax = 16·1,286 × 10⁶/(π·50³) = 52,38 MPa
Đáp số
τmax = 52,38 MPa
5.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất
Đáp số: τmax = 71,59 MPa
Biến đổi ứng suất phẳng: trên một mặt xoay góc θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Vòng tròn Mohr cho thấy tất cả các mặt cùng lúc: tâm của nó ở C = (σₓ + σᵧ)/2 và bán kính là R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Các ứng suất chính là C ± R, và ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng là R.
Bán kính vòng tròn Mohr
τmax = R = √(((100 − −30)/2)² + 30²) = 71,59 MPa
Đáp số
τmax = 71,59 MPa
6.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất
Đáp số: σθ = −10 MPa
Biến đổi ứng suất phẳng: trên một mặt xoay góc θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Vòng tròn Mohr cho thấy tất cả các mặt cùng lúc: tâm của nó ở C = (σₓ + σᵧ)/2 và bán kính là R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Các ứng suất chính là C ± R, và ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng là R.
Phương trình biến đổi
σθ = 20 + −20·0 + 30·−1 = −10 MPa
Đáp số
σθ = −10 MPa
7.Ứng suất và biến dạng dọc trục
Đáp số: ε = 4974 µε
Định luật Hooke: trong giới hạn đàn hồi σ = E·ε. Kết hợp với σ = P/A và ε = δ/L ta được δ = PL/(AE).
Ứng suất
A = π·16²/4 = 201,1 mm²
σ = P/A = 100·1000/201,1 = 497,4 MPa
Biến dạng (định luật Hooke)
E for đồng thau = 100 GPa = 100000 MPa.
ε = σ/E = 497,4/100000 = 0,004974 = 4974 µε
Đáp số
ε = 4974 µε
8.Ứng suất và biến dạng dọc trục
Đáp số: δ = 13,65 mm
Cấu kiện chịu tải dọc trục: mỗi đoạn lăng trụ tuân theo δ = PL/(AE). Với các cấu kiện nối tiếp, độ giãn dài cộng lại.
Cùng một lực trong cả hai đoạn
Đầu tự do chịu lực P, nên mọi mặt cắt của thanh đều chịu cùng một lực dọc trục P. Chỉ có diện tích và vật liệu thay đổi.
A1 = π·25²/4 = 490,9 mm², A2 = π·12²/4 = 113,1 mm²
σ1 = 101,9 MPa
σ2 = 442,1 MPa
Cộng độ giãn dài của các đoạn
δ1 = σ1L1/E1 = 101,9·2000/200000 = 1,019 mm
δ2 = σ2L2/E2 = 442,1·2000/70000 = 12,63 mm
δ = δ1 + δ2 = 13,65 mm
Đáp số
δ = 13,65 mm
9.Mất ổn định cột
Đáp số: Pcr = 9,646 kN
Mất ổn định Euler: một cột mảnh mất ổn định tại Pcr = π²EI/(KL)², trong đó KL là chiều dài tính toán: K = 1 cho khớp–khớp, 2 cho ngàm–tự do, 0,7 cho ngàm–khớp và 0,5 cho ngàm–ngàm. Cột oằn quanh trục có I nhỏ nhất. Công thức đúng với cột mảnh, có ứng suất tới hạn thấp hơn ứng suất chảy.
Mômen quán tính nhỏ nhất của mặt cắt
Mặt cắt tròn có cùng I đối với mọi trục.
I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴
Chiều dài tính toán
KL = 2·1500 = 3000 mm
Tải trọng tới hạn
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·125664/3000² = 9646 N = 9,646 kN
Đáp số
Pcr = 9,646 kN
10.Mất ổn định cột
Đáp số: d = 70,55 mm
Mất ổn định Euler: một cột mảnh mất ổn định tại Pcr = π²EI/(KL)², trong đó KL là chiều dài tính toán: K = 1 cho khớp–khớp, 2 cho ngàm–tự do, 0,7 cho ngàm–khớp và 0,5 cho ngàm–ngàm. Cột oằn quanh trục có I nhỏ nhất. Công thức đúng với cột mảnh, có ứng suất tới hạn thấp hơn ứng suất chảy.
Tải trọng tới hạn yêu cầu
Pcr = n·P = 2·75000 = 150000 N
KL = 1·4000 = 4000 mm
Giải tìm đường kính
d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·150000·4000²/(π³·200000))^(1/4) = 70,55 mm
Đáp số
d = 70,55 mm
Kiểm tra: độ mảnh KL/r là 226,8, nên cột là mảnh và công thức Euler áp dụng được.
11.Dao động cơ học
Đáp số: ζ = 0,04971
Dao động tự do của hệ vật–lò xo: tần số riêng không cản là ωn = √(k/m) theo rad/s, và fn = ωn/(2π) theo Hz. Một bộ cản nhớt c cho hệ số cản ζ = c/cc, với cản tới hạn cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Hệ cản dưới tới hạn (ζ < 1) dao động ở ωd = ωn·√(1 − ζ²). Các lò xo song song cộng lại, k = k₁ + k₂; các lò xo nối tiếp cộng theo nghịch đảo, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Giảm lượng logarit
δ = (1/2)·ln(20/10,7) = 0,3127
Hệ số cản
ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0,3127/√(39,48 + 0,09781) = 0,04971
Đáp số
ζ = 0,04971
12.Dao động cơ học
Đáp số: fn = 13,18 Hz
Dao động tự do của hệ vật–lò xo: tần số riêng không cản là ωn = √(k/m) theo rad/s, và fn = ωn/(2π) theo Hz. Một bộ cản nhớt c cho hệ số cản ζ = c/cc, với cản tới hạn cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Hệ cản dưới tới hạn (ζ < 1) dao động ở ωd = ωn·√(1 − ζ²). Các lò xo song song cộng lại, k = k₁ + k₂; các lò xo nối tiếp cộng theo nghịch đảo, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Độ cứng tương đương
Các lò xo nối tiếp chịu cùng một lực và cộng độ võng, nên chúng gộp theo nghịch đảo: 1/k = 1/k1 + 1/k2.
1/keq = 1/60 + 1/80 → keq = 60·80/(60 + 80) = 34,29 kN/m
Tần số riêng
ωn = √(34286/5) = 82,81 rad/s
fn = 82,81/(2π) = 13,18 Hz
Đáp số
fn = 13,18 Hz
ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design