Thiết kế máy: gói ôn nước rút

Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 12 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.

Bài mới Quay lại môn học

Trong cửa sổ in, hãy chọn “Lưu dưới dạng PDF” để giữ một bản trên thiết bị của bạn.

1Công thức và phương pháp

Bánh răng và hệ bánh răng

Bánh răng ăn khớp: n₁·N₁ = n₂·N₂
Mômen xoắn: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Công suất: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Hệ bánh răng ghép: tỉ số truyền tổng = tích các tỉ số truyền từng cấp

Xoắn của trục

Ứng suất tiếp: τ = T·r/J
Trục đặc: J = πd⁴/32
Trục rỗng: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Góc xoắn: φ = TL/(GJ)
Công suất: P = T·ω = 2πnT/60

Phương pháp

Tìm mômen quán tính độc cực: J = πd⁴/32 cho trục đặc.
Ứng suất tiếp ở bề mặt: τ = T·r/J, với r là bán kính ngoài.
Góc xoắn: φ = TL/(GJ) theo radian.
Nếu cho công suất, hãy tìm mômen xoắn trước bằng P = T·ω, ω = 2πn/60.

Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất

Tâm: C = (σ_x + σ_y)/2
Bán kính: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Ứng suất chính: σ_1,2 = C ± R
Phương chính: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Mặt phẳng nghiêng: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Phương pháp

Tính tâm của vòng tròn Mohr: C = (σx + σy)/2.
Tính bán kính: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Các ứng suất chính là C ± R và ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng là R.
Các góc trên vòng tròn gấp đôi các góc trên phần tử: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Ứng suất và biến dạng dọc trục

Ứng suất pháp: σ = F/A
Biến dạng: ε = ΔL/L
Định luật Hooke: σ = E·ε
Độ giãn dài: ΔL = FL/(EA)
Biến dạng nhiệt: ε_T = α·ΔT

Mất ổn định cột

Tải Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Hệ số chiều dài tính toán: K = 1 khớp–khớp, 0,5 ngàm–ngàm, 0,7 ngàm–khớp, 2 ngàm–tự do
Ứng suất tới hạn: σ_cr = P_cr/A
Độ mảnh: λ = KL/r, r = √(I/A)

Dao động cơ học

Tần số riêng: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Từ độ võng tĩnh: ω_n = √(g/δ_st)
Cản tới hạn: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Hệ số cản: ζ = c/c_c
Tần số có cản: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Giảm lượng logarit: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Lò xo song song: k = k₁ + k₂
Lò xo nối tiếp: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Bài tập

1.Bánh răng và hệ bánh răngTrung bình

Một puli 160 mm ở 1450 vòng/phút dẫn động một puli 500 mm bằng dây đai với độ trượt 3 %. Tìm tốc độ n₂ của puli bị dẫn.

n₁ = 1450 rpmd₁ = 160 mmd₂ = 500 mms = 3 %

n₂ = rpm

2.Bánh răng và hệ bánh răngKhó

Một dây đai hở nối puli dẫn 100 mm ở 1500 vòng/phút với puli 300 mm; tâm cách nhau 800 mm. Hệ số ma sát là 0,25 và lực căng nhánh căng không được vượt quá 600 N. Tìm công suất lớn nhất P mà dây đai có thể truyền mà không trượt, theo kW (bỏ qua hiệu ứng ly tâm).

d₁ = 100 mmn₁ = 1500 rpmd₂ = 300 mmC = 800 mmμ = 0,25T₁ = 600 N

P = kW

3.Xoắn của trụcTrung bình

Một trục đặc nhôm được ngàm vào tường và bị xoắn bởi mômen xoắn T ở đầu tự do. Tìm góc xoắn φ của đầu tự do, theo độ.

T = 400 N·md = 50 mmL = 3 mG = 26 GPa

φ = °

4.Xoắn của trụcKhó

Một trục rỗng phải truyền 100 kW ở 750 rpm. Đường kính trong của nó bằng 0,6 lần đường kính ngoài, và ứng suất cắt không được vượt quá 80 MPa. Tìm đường kính ngoài nhỏ nhất d_o.

P = 100 kWN = 750 rpmd_i/d_o = 0,6τ_allow = 80 MPa

d_o = mm

5.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suấtTrung bình

Một điểm trong một tấm mỏng ở trạng thái ứng suất phẳng: σₓ = −50 MPa, σᵧ = 80 MPa và τₓᵧ = 20 MPa, với σ_z = 0. Tìm ứng suất cắt lớn nhất tuyệt đối τ_abs tại điểm đó (xét mọi mặt trong không gian ba chiều).

σ_x = −50 MPaσ_y = 80 MPaτ_xy = 20 MPaσ_z = 0

τ_abs = MPa

6.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suấtKhó

Một điểm trong chi tiết chịu tải có σₓ = −50 MPa, σᵧ = 70 MPa và τₓᵧ = 60 MPa (kéo là dương). Tìm ứng suất pháp σ_θ trên một mặt có pháp tuyến xoay 60° ngược chiều kim đồng hồ so với trục x.

σ_x = −50 MPaσ_y = 70 MPaτ_xy = 60 MPaθ = 60°

σ_θ = MPa

7.Ứng suất và biến dạng dọc trụcTrung bình

Tìm độ giãn dài δ của thanh đồng thau dưới tải trọng dọc trục.

P = 15 kNd = 20 mmL = 3 mE = 100 GPa

δ = mm

8.Ứng suất và biến dạng dọc trụcKhó

Thanh bậc được ngàm vào tường và chịu tải ở đầu tự do. Tìm ứng suất pháp lớn nhất σ_max trong thanh.

P = 105 kNđoạn 1: Ø25 mm, 1 m, nhôm (E = 70 GPa)đoạn 2: Ø16 mm, 1,5 m, đồng thau (E = 100 GPa)

σ_max = MPa

9.Mất ổn định cộtTrung bình

Một cột dài L làm bằng thép được ngàm ở chân và tự do ở đỉnh. Dùng công thức Euler, tìm tải trọng oằn tới hạn P_cr của nó.

L = 3 mE = 200 GPa (thép)b × h = 30 × 50 mm

P_cr = kN

10.Mất ổn định cộtKhó

Một cột tròn đặc dài L làm bằng nhôm được ngàm ở chân và khớp ở đỉnh. Nó phải chịu 5 kN với hệ số an toàn 2,5 chống oằn. Tìm đường kính nhỏ nhất d.

P = 5 kNn = 2,5L = 1,5 mE = 70 GPa (nhôm)

d = mm

11.Dao động cơ họcTrung bình

Một vật 80 kg được đỡ bởi một lò xo có độ cứng 12 kN/m và một bộ cản nhớt có hệ số cản 780 N·s/m. Tìm hệ số cản ζ.

m = 80 kgk = 12 kN/mc = 780 N·s/m

ζ =

12.Dao động cơ họcKhó

Một vật 25 kg treo vào hai lò xo đặt cạnh nhau (song song), có độ cứng k₁ = 12 kN/m và k₂ = 20 kN/m. Vật giữ nằm ngang. Tìm độ cứng tương đương k_eq của hệ lò xo theo kN/m.

m = 25 kgk₁ = 12 kN/mk₂ = 20 kN/m

k_eq = kN/m

3Dung dịch

1.Bánh răng và hệ bánh răng

Đáp số: n₂ = 450,1 rpm

Truyền động đai: khi không trượt, cả hai puli có cùng tốc độ mép v = π·d·n/60, nên n₁·d₁ = n₂·d₂ và tỉ số tốc độ là d₂/d₁. Độ trượt s làm puli bị dẫn chậm hơn một chút: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). Công suất truyền là P = (T₁ − T₂)·v, với T₁ là lực căng ở nhánh căng và T₂ ở nhánh chùng. Ma sát giới hạn tỉ số các lực căng: T₁/T₂ = e^μθ, trong đó θ là góc ôm tính theo radian trên puli nhỏ hơn; với đai hở θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) với khoảng cách tâm C.

Tốc độ khi không trượt

1450·160/500 = 464 rpm

Khi có trượt

n₂ = 464·0,97 = 450,1 rpm

Đáp số

n₂ = 450,1 rpm

2.Bánh răng và hệ bánh răng

Đáp số: P = 2,425 kW

Góc ôm

θ = 2,891 rad

Lực căng nhánh chùng

e^μθ = e^0,7227 = 2,06, T₂ = 600/2,06 = 291,3 N

Công suất

P = (600 − 291,3)·7,854 = 2,425 kW

Đáp số

P = 2,425 kW

3.Xoắn của trục

Đáp số: φ = 4,31 °

Xoắn thanh tròn: ứng suất tiếp tăng tuyến tính từ không ở tâm đến τ_max = T·r/J ở bề mặt, với J = πd⁴/32 cho trục đặc và J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 cho trục rỗng. Góc xoắn là φ = TL/(GJ) tính bằng radian. Công suất và mômen xoắn liên hệ với nhau qua P = T·ω.

Mômen quán tính độc cực của mặt cắt

J = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴

Góc xoắn

φ = TL/(GJ) = 400·1000·3000/(26000·613592) = 0,07522 rad

φ = 0,07522·180/π = 4,31°

Đáp số

φ = 4,31°

4.Xoắn của trục

Đáp số: d_o = 45,33 mm

Mômen xoắn

ω = 2πN/60 = 2π·750/60 = 78,54 rad/s

T = P/ω = 100000/78,54 = 1273 N·m

Đường kính ngoài từ ứng suất cho phép

T = 1273 N·m = 1,273 × 10⁶ N·mm

1 − k⁴ = 1 − 0,6⁴ = 0,8704

d_o = ∛(16T/(π·τ_allow·(1 − k⁴))) = ∛(16·1,273 × 10⁶/(π·80·0,8704)) = 45,33 mm

d_i = 0,6·45,33 = 27,2 mm

Đáp số

d_o = 45,33 mm

Một trục đặc sẽ cần d = 43,28 mm; trục rỗng lớn hơn một chút nhưng nhẹ hơn nhiều.

5.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất

Đáp số: τ_abs = 68,01 MPa

Biến đổi ứng suất phẳng: trên một mặt xoay góc θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Vòng tròn Mohr cho thấy tất cả các mặt cùng lúc: tâm của nó ở C = (σₓ + σᵧ)/2 và bán kính là R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Các ứng suất chính là C ± R, và ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng là R. Trong không gian ba chiều, ứng suất cắt lớn nhất tuyệt đối là (σ_max − σ_min)/2 trên cả ba ứng suất chính; trong ứng suất phẳng, ứng suất thứ ba bằng không.

Các ứng suất chính trong mặt phẳng

C = 15 MPa, R = √((−65)² + 20²) = 68,01 MPa

σ₁ = 83,01 MPa, σ₂ = −53,01 MPa, σ_z = 0

Vòng tròn lớn nhất trong ba vòng tròn

τ = max(|σ₁ − σ₂|, |σ₁|, |σ₂|)/2 = max(136, 83,01, 53,01)/2 = 68,01 MPa

Đáp số

τ_abs = 68,01 MPa

Ở đây σ₁ và σ₂ trái dấu, nên giá trị lớn nhất trong mặt phẳng R cũng là giá trị lớn nhất tuyệt đối.

6.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất

Đáp số: σ_θ = 91,96 MPa

Phương trình biến đổi

σ_θ = 10 + −60·−0,5 + 60·0,866 = 91,96 MPa

Đáp số

σ_θ = 91,96 MPa

7.Ứng suất và biến dạng dọc trục

Đáp số: δ = 1,432 mm

Định luật Hooke: trong giới hạn đàn hồi σ = E·ε. Kết hợp với σ = P/A và ε = δ/L ta được δ = PL/(AE).

Ứng suất

A = π·20²/4 = 314,2 mm²

σ = P/A = 15·1000/314,2 = 47,75 MPa

Biến dạng (định luật Hooke)

E for đồng thau = 100 GPa = 100000 MPa.

ε = σ/E = 47,75/100000 = 0,0004775 = 477,5 µε

Độ giãn dài

δ = ε·L = 0,0004775·3000 mm = 1,432 mm

Đáp số

δ = 1,432 mm

8.Ứng suất và biến dạng dọc trục

Đáp số: σ_max = 522,2 MPa

Cấu kiện chịu tải dọc trục: mỗi đoạn lăng trụ tuân theo δ = PL/(AE). Với các cấu kiện nối tiếp, độ giãn dài cộng lại.

Cùng một lực trong cả hai đoạn

Đầu tự do chịu lực P, nên mọi mặt cắt của thanh đều chịu cùng một lực dọc trục P. Chỉ có diện tích và vật liệu thay đổi.

A₁ = π·25²/4 = 490,9 mm², A₂ = π·16²/4 = 201,1 mm²

σ₁ = 213,9 MPa

σ₂ = 522,2 MPa

Ứng suất lớn nhất

Đoạn mảnh hơn có diện tích nhỏ hơn, nên chịu ứng suất lớn hơn.

σ_max = 522,2 MPa

Đáp số

σ_max = 522,2 MPa

9.Mất ổn định cột

Đáp số: P_cr = 6,169 kN

Mất ổn định Euler: một cột mảnh mất ổn định tại P_cr = π²EI/(KL)², trong đó KL là chiều dài tính toán: K = 1 cho khớp–khớp, 2 cho ngàm–tự do, 0,7 cho ngàm–khớp và 0,5 cho ngàm–ngàm. Cột oằn quanh trục có I nhỏ nhất. Công thức đúng với cột mảnh, có ứng suất tới hạn thấp hơn ứng suất chảy.

Mômen quán tính nhỏ nhất của mặt cắt

Hình chữ nhật oằn quanh trục yếu, dùng kích thước nhỏ hơn lập phương.

I_min = h·b³/12 = 50·30³/12 = 112500 mm⁴

Chiều dài tính toán

KL = 2·3000 = 6000 mm

Tải trọng tới hạn

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·112500/6000² = 6169 N = 6,169 kN

Đáp số

P_cr = 6,169 kN

10.Mất ổn định cột

Đáp số: d = 25,25 mm

Tải trọng tới hạn yêu cầu

P_cr = n·P = 2,5·5000 = 12500 N

KL = 0,7·1500 = 1050 mm

Giải tìm đường kính

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·12500·1050²/(π³·70000))^(1/4) = 25,25 mm

Đáp số

d = 25,25 mm

Kiểm tra: độ mảnh KL/r là 166,3, nên cột là mảnh và công thức Euler áp dụng được.

11.Dao động cơ học

Đáp số: ζ = 0,398

Dao động tự do của hệ vật–lò xo: tần số riêng không cản là ω_n = √(k/m) theo rad/s, và f_n = ω_n/(2π) theo Hz. Một bộ cản nhớt c cho hệ số cản ζ = c/c_c, với cản tới hạn c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Hệ cản dưới tới hạn (ζ < 1) dao động ở ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Các lò xo song song cộng lại, k = k₁ + k₂; các lò xo nối tiếp cộng theo nghịch đảo, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Cản tới hạn

c_c = 2·√(k·m) = 2·√(12000·80) = 1960 N·s/m

Hệ số cản

ζ = c/c_c = 780/1960 = 0,398

Đáp số

ζ = 0,398

ζ < 1, nên hệ cản dưới tới hạn và dao động khi tắt dần.

12.Dao động cơ học

Đáp số: k_eq = 32 kN/m

Độ cứng tương đương

Các lò xo đặt cạnh nhau có chung độ võng và cộng các lực, nên độ cứng đơn giản cộng lại: k = k₁ + k₂.

k_eq = 12 + 20 = 32 kN/m

Đáp số

k_eq = 32 kN/m

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design