Bánh răng và hệ bánh răng
- Bánh răng ăn khớp
- n1·N1 = n2·N2
- Mômen xoắn
- T2 = T1·(N2/N1)·η
- Công suất
- P = T·ω, ω = 2π·n/60
- Hệ bánh răng ghép
- tỉ số truyền tổng = tích các tỉ số truyền từng cấp
Thiết kế máy: gói ôn nước rút
Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 12 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.
1Công thức và phương pháp
Xoắn của trục
- Ứng suất tiếp
- τ = T·r/J
- Trục đặc
- J = πd⁴/32
- Trục rỗng
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- Góc xoắn
- φ = TL/(GJ)
- Công suất
- P = T·ω = 2πnT/60
Phương pháp
- Tìm mômen quán tính độc cực: J = πd⁴/32 cho trục đặc.
- Ứng suất tiếp ở bề mặt: τ = T·r/J, với r là bán kính ngoài.
- Góc xoắn: φ = TL/(GJ) theo radian.
- Nếu cho công suất, hãy tìm mômen xoắn trước bằng P = T·ω, ω = 2πn/60.
Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất
- Tâm
- C = (σx + σy)/2
- Bán kính
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- Ứng suất chính
- σ1,2 = C ± R
- Phương chính
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- Mặt phẳng nghiêng
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
Phương pháp
- Tính tâm của vòng tròn Mohr: C = (σx + σy)/2.
- Tính bán kính: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
- Các ứng suất chính là C ± R và ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng là R.
- Các góc trên vòng tròn gấp đôi các góc trên phần tử: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).
Ứng suất và biến dạng dọc trục
- Ứng suất pháp
- σ = F/A
- Biến dạng
- ε = ΔL/L
- Định luật Hooke
- σ = E·ε
- Độ giãn dài
- ΔL = FL/(EA)
- Biến dạng nhiệt
- εT = α·ΔT
Mất ổn định cột
- Tải Euler
- Pcr = π²EI/(KL)²
- Hệ số chiều dài tính toán
- K = 1 khớp–khớp, 0,5 ngàm–ngàm, 0,7 ngàm–khớp, 2 ngàm–tự do
- Ứng suất tới hạn
- σcr = Pcr/A
- Độ mảnh
- λ = KL/r, r = √(I/A)
Dao động cơ học
- Tần số riêng
- ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
- Từ độ võng tĩnh
- ωn = √(g/δst)
- Cản tới hạn
- cc = 2√(km) = 2mωn
- Hệ số cản
- ζ = c/cc
- Tần số có cản
- ωd = ωn√(1 − ζ²)
- Giảm lượng logarit
- δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
- Lò xo song song
- k = k1 + k2
- Lò xo nối tiếp
- 1/k = 1/k1 + 1/k2
2Bài tập
1.Bánh răng và hệ bánh răngTrung bình
Một puli 80 mm ở 2880 vòng/phút dẫn động một puli 250 mm bằng dây đai với độ trượt 1 %. Tìm tốc độ n2 của puli bị dẫn.
n1 = 2880 rpmd1 = 80 mmd2 = 250 mms = 1 %
n2 = rpm
2.Bánh răng và hệ bánh răngKhó
Một động cơ 1,5 kW ở 2900 rpm dẫn động bánh răng A (32 răng), ăn khớp với bánh răng B (60 răng). Bánh răng C (25 răng) trên cùng trục với B dẫn động bánh răng D (48 răng) trên trục ra. Mỗi cặp ăn khớp có hiệu suất 95%. Tìm mô-men đầu ra Tout.
P = 1,5 kWnin = 2900 rpmA = 32B = 60C = 25D = 48ηmesh = 95%
Tout = N·m
3.Xoắn của trụcTrung bình
Một trục đặc nhôm được ngàm vào tường và bị xoắn bởi mômen xoắn T ở đầu tự do. Tìm góc xoắn φ của đầu tự do, theo độ.
T = 1000 N·md = 50 mmL = 1,5 mG = 26 GPa
φ = °
4.Xoắn của trụcKhó
Một trục đặc nhôm đường kính 40 mm được ngàm tại A. Một mô-men xoắn 200 N·m tác dụng tại B, cách A 1,5 m, và một mô-men xoắn 250 N·m cùng chiều tác dụng tại đầu tự do C, cách thêm 1 m. Tìm độ lớn của góc xoắn φC của đầu C, theo độ.
d = 40 mmTB = 200 N·mTC = 250 N·mAB = 1,5 mBC = 1 mG = 26 GPa
φC = °
5.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suấtTrung bình
Một điểm trong chi tiết chịu tải có σₓ = 120 MPa, σᵧ = 110 MPa và τₓᵧ = −10 MPa (kéo là dương). Tìm góc θp từ trục x đến phương của ứng suất chính lớn nhất, trong khoảng −90° đến 90°.
σx = 120 MPaσy = 110 MPaτxy = −10 MPa
θp = °
6.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suấtKhó
Một điểm trong chi tiết chịu tải có σₓ = −50 MPa, σᵧ = 20 MPa và τₓᵧ = 10 MPa (kéo là dương). Tìm ứng suất tiếp τθ trên một mặt có pháp tuyến xoay 45° ngược chiều kim đồng hồ so với trục x (dương cùng chiều với τₓᵧ).
σx = −50 MPaσy = 20 MPaτxy = 10 MPaθ = 45°
τθ = MPa
7.Ứng suất và biến dạng dọc trụcTrung bình
Tìm độ giãn dài δ của thanh thép dưới tải trọng dọc trục.
P = 50 kNd = 20 mmL = 1 mE = 200 GPa
δ = mm
8.Ứng suất và biến dạng dọc trụcKhó
Thanh bậc được ngàm vào tường và chịu tải ở đầu tự do. Tìm tổng độ giãn dài δ.
P = 75 kNđoạn 1: Ø30 mm, 2 m, thép (E = 200 GPa)đoạn 2: Ø20 mm, 0,5 m, nhôm (E = 70 GPa)
δ = mm
9.Mất ổn định cộtTrung bình
Một cột dài L làm bằng nhôm được ngàm ở chân và khớp ở đỉnh. Dùng công thức Euler, tìm tải trọng oằn tới hạn Pcr của nó.
L = 2,5 mE = 70 GPa (nhôm)b × h = 40 × 100 mm
Pcr = kN
10.Mất ổn định cộtKhó
Một cột tròn đặc dài L làm bằng thép được ngàm cả hai đầu. Nó phải chịu 80 kN với hệ số an toàn 2,5 chống oằn. Tìm đường kính nhỏ nhất d.
P = 80 kNn = 2,5L = 3 mE = 200 GPa (thép)
d = mm
11.Dao động cơ họcTrung bình
Trong một thí nghiệm dao động tự do của hệ vật–lò xo có cản, một đỉnh độ dời 20 mm được theo sau 2 chu kỳ sau bởi đỉnh 7,3 mm. Tìm hệ số cản ζ.
x0 = 20 mmx2 = 7,3 mmn = 2
ζ =
12.Dao động cơ họcKhó
Một vật 40 kg treo vào hai lò xo nối đầu với đầu (nối tiếp): lò xo trên có k₁ = 15 kN/m và lò xo dưới có k₂ = 20 kN/m. Bỏ qua cản và khối lượng của các lò xo. Tìm tần số riêng fn của dao động thẳng đứng theo Hz.
m = 40 kgk1 = 15 kN/mk2 = 20 kN/m
fn = Hz
3Dung dịch
1.Bánh răng và hệ bánh răng
Đáp số: n2 = 912,4 rpm
Truyền động đai: khi không trượt, cả hai puli có cùng tốc độ mép v = π·d·n/60, nên n₁·d₁ = n₂·d₂ và tỉ số tốc độ là d₂/d₁. Độ trượt s làm puli bị dẫn chậm hơn một chút: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). Công suất truyền là P = (T₁ − T₂)·v, với T₁ là lực căng ở nhánh căng và T₂ ở nhánh chùng. Ma sát giới hạn tỉ số các lực căng: T₁/T₂ = eμθ, trong đó θ là góc ôm tính theo radian trên puli nhỏ hơn; với đai hở θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) với khoảng cách tâm C.
Tốc độ khi không trượt
2880·80/250 = 921,6 rpm
Khi có trượt
n2 = 921,6·0,99 = 912,4 rpm
Đáp số
n2 = 912,4 rpm
2.Bánh răng và hệ bánh răng
Đáp số: Tout = 16,05 N·m
Hệ bánh răng: các bánh răng ăn khớp có cùng tốc độ tại răng, nên n₁·N₁ = n₂·N₂: bánh răng có ít răng hơn quay nhanh hơn. Các bánh răng trên cùng một trục quay cùng tốc độ. Công suất được truyền đi (trừ tổn thất), nên mômen xoắn tăng khi tốc độ giảm: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, và P = T·ω với ω = 2π·n/60.
Tốc độ ra
nout = 2900·(32/60)·(25/48) = 805,6 rpm
ωout = 2π·805,6/60 = 84,36 rad/s
Công suất và mô-men đầu ra
Pout = 1500·0,95² = 1354 W
Tout = Pout/ωout = 1354/84,36 = 16,05 N·m
Đáp số
Tout = 16,05 N·m
3.Xoắn của trục
Đáp số: φ = 5,387 °
Xoắn thanh tròn: ứng suất tiếp tăng tuyến tính từ không ở tâm đến τmax = T·r/J ở bề mặt, với J = πd⁴/32 cho trục đặc và J = π(do⁴ − di⁴)/32 cho trục rỗng. Góc xoắn là φ = TL/(GJ) tính bằng radian. Công suất và mômen xoắn liên hệ với nhau qua P = T·ω.
Mômen quán tính độc cực của mặt cắt
J = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴
Góc xoắn
φ = TL/(GJ) = 1000·1000·1500/(26000·613592) = 0,09402 rad
φ = 0,09402·180/π = 5,387°
Đáp số
φ = 5,387°
4.Xoắn của trục
Đáp số: φC = 8,111 °
Xoắn thanh tròn: ứng suất tiếp tăng tuyến tính từ không ở tâm đến τmax = T·r/J ở bề mặt, với J = πd⁴/32 cho trục đặc và J = π(do⁴ − di⁴)/32 cho trục rỗng. Góc xoắn là φ = TL/(GJ) tính bằng radian. Công suất và mômen xoắn liên hệ với nhau qua P = T·ω.
Các mô-men xoắn nội lực
Chiều của TC được lấy là dương.
TBC = TC = 250 N·m
TAB = TC + TB = 250 + 200 = 450 N·m
Góc xoắn của từng đoạn
J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴
G = 26 GPa = 26000 MPa
φAB = 450000·1500/(26000·251327) = 0,1033 rad
φBC = 250000·1000/(26000·251327) = 0,03826 rad
Góc xoắn của đầu C
φC = 0,1033 + 0,03826 = 0,1416 rad → |φC| = 8,111°
Đáp số
φC = 8,111°
5.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất
Đáp số: θp = −31,72 °
Biến đổi ứng suất phẳng: trên một mặt xoay góc θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Vòng tròn Mohr cho thấy tất cả các mặt cùng lúc: tâm của nó ở C = (σₓ + σᵧ)/2 và bán kính là R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Các ứng suất chính là C ± R, và ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng là R.
Góc trên vòng tròn
Điểm x nằm ở góc 2θp so với trục σ trên vòng tròn Mohr; góc phần tư suy ra từ dấu của σₓ − σᵧ và τₓᵧ.
2θp = atan2(2·−10, 120 − 110) = −63,43°
Góc trên phần tử
θp = −31,72°
Đáp số
θp = −31,72°
Góc dương là ngược chiều kim đồng hồ.
6.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất
Đáp số: τθ = 35 MPa
Biến đổi ứng suất phẳng: trên một mặt xoay góc θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Vòng tròn Mohr cho thấy tất cả các mặt cùng lúc: tâm của nó ở C = (σₓ + σᵧ)/2 và bán kính là R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Các ứng suất chính là C ± R, và ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng là R.
Phương trình biến đổi
τθ = −−35·1 + 10·0 = 35 MPa
Đáp số
τθ = 35 MPa
7.Ứng suất và biến dạng dọc trục
Đáp số: δ = 0,7958 mm
Định luật Hooke: trong giới hạn đàn hồi σ = E·ε. Kết hợp với σ = P/A và ε = δ/L ta được δ = PL/(AE).
Ứng suất
A = π·20²/4 = 314,2 mm²
σ = P/A = 50·1000/314,2 = 159,2 MPa
Biến dạng (định luật Hooke)
E for thép = 200 GPa = 200000 MPa.
ε = σ/E = 159,2/200000 = 0,0007958 = 795,8 µε
Độ giãn dài
δ = ε·L = 0,0007958·1000 mm = 0,7958 mm
Đáp số
δ = 0,7958 mm
8.Ứng suất và biến dạng dọc trục
Đáp số: δ = 2,766 mm
Cấu kiện chịu tải dọc trục: mỗi đoạn lăng trụ tuân theo δ = PL/(AE). Với các cấu kiện nối tiếp, độ giãn dài cộng lại.
Cùng một lực trong cả hai đoạn
Đầu tự do chịu lực P, nên mọi mặt cắt của thanh đều chịu cùng một lực dọc trục P. Chỉ có diện tích và vật liệu thay đổi.
A1 = π·30²/4 = 706,9 mm², A2 = π·20²/4 = 314,2 mm²
σ1 = 106,1 MPa
σ2 = 238,7 MPa
Cộng độ giãn dài của các đoạn
δ1 = σ1L1/E1 = 106,1·2000/200000 = 1,061 mm
δ2 = σ2L2/E2 = 238,7·500/70000 = 1,705 mm
δ = δ1 + δ2 = 2,766 mm
Đáp số
δ = 2,766 mm
9.Mất ổn định cột
Đáp số: Pcr = 120,3 kN
Mất ổn định Euler: một cột mảnh mất ổn định tại Pcr = π²EI/(KL)², trong đó KL là chiều dài tính toán: K = 1 cho khớp–khớp, 2 cho ngàm–tự do, 0,7 cho ngàm–khớp và 0,5 cho ngàm–ngàm. Cột oằn quanh trục có I nhỏ nhất. Công thức đúng với cột mảnh, có ứng suất tới hạn thấp hơn ứng suất chảy.
Mômen quán tính nhỏ nhất của mặt cắt
Hình chữ nhật oằn quanh trục yếu, dùng kích thước nhỏ hơn lập phương.
Imin = h·b³/12 = 100·40³/12 = 533333 mm⁴
Chiều dài tính toán
KL = 0,7·2500 = 1750 mm
Tải trọng tới hạn
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·533333/1750² = 120315 N = 120,3 kN
Đáp số
Pcr = 120,3 kN
10.Mất ổn định cột
Đáp số: d = 46,42 mm
Mất ổn định Euler: một cột mảnh mất ổn định tại Pcr = π²EI/(KL)², trong đó KL là chiều dài tính toán: K = 1 cho khớp–khớp, 2 cho ngàm–tự do, 0,7 cho ngàm–khớp và 0,5 cho ngàm–ngàm. Cột oằn quanh trục có I nhỏ nhất. Công thức đúng với cột mảnh, có ứng suất tới hạn thấp hơn ứng suất chảy.
Tải trọng tới hạn yêu cầu
Pcr = n·P = 2,5·80000 = 200000 N
KL = 0,5·3000 = 1500 mm
Giải tìm đường kính
d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·200000·1500²/(π³·200000))^(1/4) = 46,42 mm
Đáp số
d = 46,42 mm
Kiểm tra: độ mảnh KL/r là 129,2, nên cột là mảnh và công thức Euler áp dụng được.
11.Dao động cơ học
Đáp số: ζ = 0,07995
Dao động tự do của hệ vật–lò xo: tần số riêng không cản là ωn = √(k/m) theo rad/s, và fn = ωn/(2π) theo Hz. Một bộ cản nhớt c cho hệ số cản ζ = c/cc, với cản tới hạn cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Hệ cản dưới tới hạn (ζ < 1) dao động ở ωd = ωn·√(1 − ζ²). Các lò xo song song cộng lại, k = k₁ + k₂; các lò xo nối tiếp cộng theo nghịch đảo, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Giảm lượng logarit
δ = (1/2)·ln(20/7,3) = 0,5039
Hệ số cản
ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0,5039/√(39,48 + 0,2539) = 0,07995
Đáp số
ζ = 0,07995
12.Dao động cơ học
Đáp số: fn = 2,33 Hz
Dao động tự do của hệ vật–lò xo: tần số riêng không cản là ωn = √(k/m) theo rad/s, và fn = ωn/(2π) theo Hz. Một bộ cản nhớt c cho hệ số cản ζ = c/cc, với cản tới hạn cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Hệ cản dưới tới hạn (ζ < 1) dao động ở ωd = ωn·√(1 − ζ²). Các lò xo song song cộng lại, k = k₁ + k₂; các lò xo nối tiếp cộng theo nghịch đảo, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Độ cứng tương đương
Các lò xo nối tiếp chịu cùng một lực và cộng độ võng, nên chúng gộp theo nghịch đảo: 1/k = 1/k1 + 1/k2.
1/keq = 1/15 + 1/20 → keq = 15·20/(15 + 20) = 8,571 kN/m
Tần số riêng
ωn = √(8571/40) = 14,64 rad/s
fn = 14,64/(2π) = 2,33 Hz
Đáp số
fn = 2,33 Hz
ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design