Thiết kế máy: gói ôn nước rút

Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 12 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.

Bài mớiQuay lại môn học

Trong cửa sổ in, hãy chọn “Lưu dưới dạng PDF” để giữ một bản trên thiết bị của bạn.

1Công thức và phương pháp

Bánh răng và hệ bánh răng

Bánh răng ăn khớp
n1·N1 = n2·N2
Mômen xoắn
T2 = T1·(N2/N1)·η
Công suất
P = T·ω, ω = 2π·n/60
Hệ bánh răng ghép
tỉ số truyền tổng = tích các tỉ số truyền từng cấp

Xoắn của trục

Ứng suất tiếp
τ = T·r/J
Trục đặc
J = πd⁴/32
Trục rỗng
J = π(D⁴ − d⁴)/32
Góc xoắn
φ = TL/(GJ)
Công suất
P = T·ω = 2πnT/60

Phương pháp

  1. Tìm mômen quán tính độc cực: J = πd⁴/32 cho trục đặc.
  2. Ứng suất tiếp ở bề mặt: τ = T·r/J, với r là bán kính ngoài.
  3. Góc xoắn: φ = TL/(GJ) theo radian.
  4. Nếu cho công suất, hãy tìm mômen xoắn trước bằng P = T·ω, ω = 2πn/60.

Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất

Tâm
C = (σx + σy)/2
Bán kính
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
Ứng suất chính
σ1,2 = C ± R
Phương chính
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
Mặt phẳng nghiêng
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

Phương pháp

  1. Tính tâm của vòng tròn Mohr: C = (σx + σy)/2.
  2. Tính bán kính: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
  3. Các ứng suất chính là C ± R và ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng là R.
  4. Các góc trên vòng tròn gấp đôi các góc trên phần tử: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Ứng suất và biến dạng dọc trục

Ứng suất pháp
σ = F/A
Biến dạng
ε = ΔL/L
Định luật Hooke
σ = E·ε
Độ giãn dài
ΔL = FL/(EA)
Biến dạng nhiệt
εT = α·ΔT

Mất ổn định cột

Tải Euler
Pcr = π²EI/(KL)²
Hệ số chiều dài tính toán
K = 1 khớp–khớp, 0,5 ngàm–ngàm, 0,7 ngàm–khớp, 2 ngàm–tự do
Ứng suất tới hạn
σcr = Pcr/A
Độ mảnh
λ = KL/r, r = √(I/A)

Dao động cơ học

Tần số riêng
ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
Từ độ võng tĩnh
ωn = √(g/δst)
Cản tới hạn
cc = 2√(km) = 2mωn
Hệ số cản
ζ = c/cc
Tần số có cản
ωd = ωn√(1 − ζ²)
Giảm lượng logarit
δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Lò xo song song
k = k1 + k2
Lò xo nối tiếp
1/k = 1/k1 + 1/k2

2Bài tập

1.Bánh răng và hệ bánh răngTrung bình
N1​ = 16, m = 5 mm

Một động cơ 7,5 kW quay ở 1450 rpm dẫn động một bánh răng nhỏ có 16 răng và mô-đun 5 mm. Tìm lực vòng Ft trên các răng của bánh răng nhỏ.

P = 7,5 kWn = 1450 rpmN1 = 16m = 5 mm
Ft = N
2.Bánh răng và hệ bánh răngKhó
Ns​ = 15vành răng cố địnhNp​ = 24nc​ = ?

Trong một bộ bánh răng hành tinh, bánh răng mặt trời có 15 răng và mỗi bánh răng hành tinh có 24 răng. Vành răng ngoài được giữ cố định và bánh mặt trời được dẫn động ở 1440 rpm. Tìm tốc độ nc của cần dẫn hành tinh.

Ns = 15Np = 24ns = 1440 rpm
nc = rpm
3.Xoắn của trụcTrung bình
d = 10 mmT = 20 N·m300 mmφ = 8,98°

Trong một thí nghiệm xoắn, một mẫu đặc đường kính 10 mm bị xoắn bởi mô-men xoắn 20 N·m. Hai đầu của một đoạn đo dài 300 mm quay 8,98° so với nhau (vật liệu vẫn còn đàn hồi). Tìm mô-đun cắt G của vật liệu.

T = 20 N·md = 10 mmL = 300 mmφ = 8,98°
G = GPa
4.Xoắn của trụcKhó
d = 50 mmTB​ = 750 N·mTC​ = 1500 N·mABC1 m3 m

Một trục đặc đồng thau đường kính 50 mm được ngàm tại A. Một mô-men xoắn 750 N·m tác dụng tại B, cách A 1 m, và một mô-men xoắn 1500 N·m ngược chiều tác dụng tại đầu tự do C, cách thêm 3 m. Tìm ứng suất cắt lớn nhất τmax trong trục.

d = 50 mmTB = 750 N·mTC = 1500 N·mAB = 1 mBC = 3 m
τmax = MPa
5.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suấtTrung bình
σx​ = 130σy​ = −80τxy​ = 30MPa

Một điểm trong chi tiết chịu tải có σₓ = 130 MPa, σᵧ = −80 MPa và τₓᵧ = 30 MPa (kéo là dương). Tìm góc θp từ trục x đến phương của ứng suất chính lớn nhất, trong khoảng −90° đến 90°.

σx = 130 MPaσy = −80 MPaτxy = 30 MPa
θp = °
6.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suấtKhó
60°D = 500 mm, t = 12 mm, p = 1 MPap

Một bể hình trụ thành mỏng có đường kính trong 500 mm và chiều dày thành 12 mm chứa khí ở áp suất dư 1 MPa. Nó được làm từ tấm thép hàn theo một đường hàn xoắn ốc nghiêng 60° so với trục của hình trụ. Tìm ứng suất pháp σn tác dụng vuông góc với đường hàn.

D = 500 mmt = 12 mmp = 1 MPaα = 60°
σn = MPa
7.Ứng suất và biến dạng dọc trụcTrung bình
100 kNØ3070 GPaØ100/50500 mmδ = ?

Một thanh thép (đường kính 30 mm, E = 200 GPa) nằm trong một ống làm bằng nhôm (đường kính ngoài 100 mm, đường kính trong 50 mm, E = 70 GPa). Cả hai dài 500 mm và bị nén cùng nhau giữa các tấm cứng bởi 100 kN. Tìm độ co ngắn δ.

P = 100 kNthanh: Ø30 mm, E = 200 GPaống: Ø100/Ø50 mm, E = 70 GPaL = 500 mm
δ = mm
8.Ứng suất và biến dạng dọc trụcKhó
Ø 35 mmĐồng1 mØ 16 mmNhôm1,5 mP = 45 kN

Thanh bậc được ngàm vào tường và chịu tải ở đầu tự do. Tìm ứng suất pháp lớn nhất σmax trong thanh.

P = 45 kNđoạn 1: Ø35 mm, 1 m, đồng (E = 117 GPa)đoạn 2: Ø16 mm, 1,5 m, nhôm (E = 70 GPa)
σmax = MPa
9.Mất ổn định cộtTrung bình
PL = 2 md = 50 mmmặt cắt ngang

Một cột dài L làm bằng nhôm được ngàm ở chân và khớp ở đỉnh. Dùng công thức Euler, tìm tải trọng oằn tới hạn Pcr của nó.

L = 2 mE = 70 GPa (nhôm)d = 50 mm
Pcr = kN
10.Mất ổn định cộtKhó
PL = 4 md = 60 mmmặt cắt ngang

Một cột dài L làm bằng nhôm được ngàm cả hai đầu. Tìm độ mảnh của nó và ứng suất oằn tới hạn σcr theo công thức Euler.

L = 4 mE = 70 GPa (nhôm)d = 60 mm
σcr = MPa
11.Dao động cơ họcTrung bình
tx10 mm1 chu kỳ7,3 mm

Trong một thí nghiệm dao động tự do của hệ vật–lò xo có cản, một đỉnh độ dời 10 mm được theo sau một chu kỳ sau bởi đỉnh 7,3 mm. Tìm hệ số cản ζ.

x0 = 10 mmx1 = 7,3 mmn = 1
ζ =
12.Dao động cơ họcKhó
k1​ = 80k2​ = 40m = 10 kg

Một vật 10 kg treo vào hai lò xo nối đầu với đầu (nối tiếp): lò xo trên có k₁ = 80 kN/m và lò xo dưới có k₂ = 40 kN/m. Bỏ qua cản và khối lượng của các lò xo. Tìm tần số riêng fn của dao động thẳng đứng theo Hz.

m = 10 kgk1 = 80 kN/mk2 = 40 kN/m
fn = Hz

3Dung dịch

1.Bánh răng và hệ bánh răng

Đáp số: Ft = 1235 N

Gear geometry: the module m sets the tooth size. A gear with N teeth has a pitch diameter d = m·N, two meshing gears have the same module, and their centre distance is a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2. The pitch-line speed is v = π·d·n/60, and the tangential tooth force follows from the torque: Ft = 2T/d.

Mô-men trên bánh răng nhỏ

ω = 2π·1450/60 = 151,8 rad/s
T = P/ω = 7500/151,8 = 49,39 N·m

Đường kính vòng chia

d = m·N = 5·16 = 80 mm

Lực vòng

Ft = 2T/d = 2·49,39/0,08 = 1235 N

Đáp số

Ft = 1235 N
2.Bánh răng và hệ bánh răng

Đáp số: nc = 276,9 rpm

Bộ bánh răng hành tinh: tốc độ của bánh mặt trời, vành răng và cần dẫn liên hệ với nhau bởi phương trình Willis (ns − nc)/(nr − nc) = −Nr/Ns: nhìn từ cần dẫn, bộ truyền là một hệ bánh răng thông thường với các bánh hành tinh là bánh trung gian. Giữ cố định một phần tử biến bộ truyền thành bộ giảm tốc có một tỉ số truyền.

Số răng của vành răng

Nr = Ns + 2·Np = 15 + 2·24 = 63

Phương trình Willis khi vành răng cố định

Đặt nr = 0 và giải tìm tốc độ cần dẫn.

(1440 − nc)/(0 − nc) = −63/15
nc = ns·Ns/(Ns + Nr) = 1440·15/78 = 276,9 rpm

Đáp số

nc = 276,9 rpm

Cần dẫn quay cùng chiều với bánh mặt trời.

3.Xoắn của trục

Đáp số: G = 38,99 GPa

Xoắn thanh tròn: ứng suất tiếp tăng tuyến tính từ không ở tâm đến τmax = T·r/J ở bề mặt, với J = πd⁴/32 cho trục đặc và J = π(do⁴ − di⁴)/32 cho trục rỗng. Góc xoắn là φ = TL/(GJ) tính bằng radian. Công suất và mômen xoắn liên hệ với nhau qua P = T·ω.

Mô-men quán tính độc cực và góc

J = π·10⁴/32 = 981,7 mm⁴
φ = 8,98·π/180 = 0,1567 rad

Mô đun trượt

T = 20 N·m = 20000 N·mm
G = TL/(Jφ) = 20000·300/(981,7·0,1567) = 38994 MPa
G = 38,99 GPa

Đáp số

G = 38,99 GPa

So sánh: thép ≈ 80 GPa, đồng thau ≈ 39 GPa, nhôm ≈ 26 GPa.

4.Xoắn của trục

Đáp số: τmax = 61,12 MPa

Xoắn thanh tròn: ứng suất tiếp tăng tuyến tính từ không ở tâm đến τmax = T·r/J ở bề mặt, với J = πd⁴/32 cho trục đặc và J = π(do⁴ − di⁴)/32 cho trục rỗng. Góc xoắn là φ = TL/(GJ) tính bằng radian. Công suất và mômen xoắn liên hệ với nhau qua P = T·ω.

Các mô-men xoắn nội lực

Chiều của TC được lấy là dương.

TBC = TC = 1500 N·m
TAB = TC − TB = 1500 − 750 = 750 N·m

Ứng suất tiếp lớn nhất

Đoạn có mô-men xoắn nội lực lớn nhất có ứng suất lớn nhất (cùng đường kính).

|T|max = 1500 N·m
τmax = 16·1,5 × 10⁶/(π·50³) = 61,12 MPa

Đáp số

τmax = 61,12 MPa
5.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất

Đáp số: θp = 7,973 °

Biến đổi ứng suất phẳng: trên một mặt xoay góc θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Vòng tròn Mohr cho thấy tất cả các mặt cùng lúc: tâm của nó ở C = (σₓ + σᵧ)/2 và bán kính là R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Các ứng suất chính là C ± R, và ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng là R.

στxyCσ1​σ2​

Góc trên vòng tròn

Điểm x nằm ở góc 2θp so với trục σ trên vòng tròn Mohr; góc phần tư suy ra từ dấu của σₓ − σᵧ và τₓᵧ.

2θp = atan2(2·30, 130 − −80) = 15,95°

Góc trên phần tử

θp = 7,973°

Đáp số

θp = 7,973°

Góc dương là ngược chiều kim đồng hồ.

6.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất

Đáp số: σn = 13,02 MPa

Biến đổi ứng suất phẳng: trên một mặt xoay góc θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Vòng tròn Mohr cho thấy tất cả các mặt cùng lúc: tâm của nó ở C = (σₓ + σᵧ)/2 và bán kính là R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Các ứng suất chính là C ± R, và ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng là R. Hình trụ thành mỏng: ứng suất vòng σh = pr/t và ứng suất dọc trục σa = pr/(2t); đó là các ứng suất chính trong thành.

Các ứng suất trong thành

r = 500/2 = 250 mm
σh = pr/t = 1·250/12 = 20,83 MPa
σa = pr/(2t) = 10,42 MPa

Biến đổi sang đường hàn

Lấy x dọc theo trục (σa) và y theo chiều vòng (σh). Pháp tuyến của đường hàn tạo góc 90° − α với trục.

σn = 10,42·sin²60° + 20,83·cos²60° = 13,02 MPa

Đáp số

σn = 13,02 MPa
7.Ứng suất và biến dạng dọc trục

Đáp số: δ = 0,0903 mm

Hai vật liệu: khi nối tiếp (cái này sau cái kia) mỗi đoạn chịu cùng một lực và các độ giãn dài cộng lại: δ = P·Σ L/(E·A). Khi song song (cạnh nhau giữa các tấm cứng) cả hai phần co lại cùng một lượng, nên biến dạng của chúng bằng nhau: phần cứng hơn nhận phần tải lớn hơn, Pi = P·EiAi/ΣEA, và σi = Ei·ε. Một thanh bị giữ giữa hai vách cứng với tải đặt tại chỗ nối là siêu tĩnh: hai đoạn chia tải theo tỉ lệ độ cứng k = EA/L của chúng.

Diện tích

Ar = π·30²/4 = 706,9 mm²
At = π(100² − 50²)/4 = 5890 mm²

Độ cứng dọc trục kết hợp

ΣEA = 200·10³·706,9 + 70·10³·5890 = 5,537 × 10⁸ N

Độ co ngắn

δ = 100000·500/5,537 × 10⁸ = 0,0903 mm

Đáp số

δ = 0,0903 mm
8.Ứng suất và biến dạng dọc trục

Đáp số: σmax = 223,8 MPa

Cấu kiện chịu tải dọc trục: mỗi đoạn lăng trụ tuân theo δ = PL/(AE). Với các cấu kiện nối tiếp, độ giãn dài cộng lại.

Cùng một lực trong cả hai đoạn

Đầu tự do chịu lực P, nên mọi mặt cắt của thanh đều chịu cùng một lực dọc trục P. Chỉ có diện tích và vật liệu thay đổi.

A1 = π·35²/4 = 962,1 mm², A2 = π·16²/4 = 201,1 mm²
σ1 = 46,77 MPa
σ2 = 223,8 MPa

Ứng suất lớn nhất

Đoạn mảnh hơn có diện tích nhỏ hơn, nên chịu ứng suất lớn hơn.

σmax = 223,8 MPa

Đáp số

σmax = 223,8 MPa
9.Mất ổn định cột

Đáp số: Pcr = 108,1 kN

Mất ổn định Euler: một cột mảnh mất ổn định tại Pcr = π²EI/(KL)², trong đó KL là chiều dài tính toán: K = 1 cho khớp–khớp, 2 cho ngàm–tự do, 0,7 cho ngàm–khớp và 0,5 cho ngàm–ngàm. Cột oằn quanh trục có I nhỏ nhất. Công thức đúng với cột mảnh, có ứng suất tới hạn thấp hơn ứng suất chảy.

Mômen quán tính nhỏ nhất của mặt cắt

Mặt cắt tròn có cùng I đối với mọi trục.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

Chiều dài tính toán

KL = 0,7·2000 = 1400 mm

Tải trọng tới hạn

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·306796/1400² = 108141 N = 108,1 kN

Đáp số

Pcr = 108,1 kN
10.Mất ổn định cột

Đáp số: σcr = 38,86 MPa

Mất ổn định Euler: một cột mảnh mất ổn định tại Pcr = π²EI/(KL)², trong đó KL là chiều dài tính toán: K = 1 cho khớp–khớp, 2 cho ngàm–tự do, 0,7 cho ngàm–khớp và 0,5 cho ngàm–ngàm. Cột oằn quanh trục có I nhỏ nhất. Công thức đúng với cột mảnh, có ứng suất tới hạn thấp hơn ứng suất chảy.

Mômen quán tính nhỏ nhất của mặt cắt

Mặt cắt tròn có cùng I đối với mọi trục.

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

Bán kính quán tính và độ mảnh

A = 2827 mm²
r = √(I/A) = √(636173/2827) = 15 mm
KL = 0,5·4000 = 2000 mm
KL/r = 2000/15 = 133,3

Ứng suất tới hạn

σcr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/133,3² = 38,86 MPa

Đáp số

σcr = 38,86 MPa
11.Dao động cơ học

Đáp số: ζ = 0,05003

Dao động tự do của hệ vật–lò xo: tần số riêng không cản là ωn = √(k/m) theo rad/s, và fn = ωn/(2π) theo Hz. Một bộ cản nhớt c cho hệ số cản ζ = c/cc, với cản tới hạn cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Hệ cản dưới tới hạn (ζ < 1) dao động ở ωd = ωn·√(1 − ζ²). Các lò xo song song cộng lại, k = k₁ + k₂; các lò xo nối tiếp cộng theo nghịch đảo, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Giảm lượng logarit

δ = (1/1)·ln(10/7,3) = 0,3147

Hệ số cản

ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0,3147/√(39,48 + 0,09904) = 0,05003

Đáp số

ζ = 0,05003
12.Dao động cơ học

Đáp số: fn = 8,219 Hz

Dao động tự do của hệ vật–lò xo: tần số riêng không cản là ωn = √(k/m) theo rad/s, và fn = ωn/(2π) theo Hz. Một bộ cản nhớt c cho hệ số cản ζ = c/cc, với cản tới hạn cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Hệ cản dưới tới hạn (ζ < 1) dao động ở ωd = ωn·√(1 − ζ²). Các lò xo song song cộng lại, k = k₁ + k₂; các lò xo nối tiếp cộng theo nghịch đảo, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Độ cứng tương đương

Các lò xo nối tiếp chịu cùng một lực và cộng độ võng, nên chúng gộp theo nghịch đảo: 1/k = 1/k1 + 1/k2.

1/keq = 1/80 + 1/40 → keq = 80·40/(80 + 40) = 26,67 kN/m

Tần số riêng

ωn = √(26667/10) = 51,64 rad/s
fn = 51,64/(2π) = 8,219 Hz

Đáp số

fn = 8,219 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design