Thiết kế máy: gói ôn nước rút

Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 12 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.

Bài mới Quay lại môn học

Trong cửa sổ in, hãy chọn “Lưu dưới dạng PDF” để giữ một bản trên thiết bị của bạn.

1Công thức và phương pháp

Bánh răng và hệ bánh răng

Bánh răng ăn khớp: n₁·N₁ = n₂·N₂
Mômen xoắn: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Công suất: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Hệ bánh răng ghép: tỉ số truyền tổng = tích các tỉ số truyền từng cấp

Xoắn của trục

Ứng suất tiếp: τ = T·r/J
Trục đặc: J = πd⁴/32
Trục rỗng: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Góc xoắn: φ = TL/(GJ)
Công suất: P = T·ω = 2πnT/60

Phương pháp

Tìm mômen quán tính độc cực: J = πd⁴/32 cho trục đặc.
Ứng suất tiếp ở bề mặt: τ = T·r/J, với r là bán kính ngoài.
Góc xoắn: φ = TL/(GJ) theo radian.
Nếu cho công suất, hãy tìm mômen xoắn trước bằng P = T·ω, ω = 2πn/60.

Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất

Tâm: C = (σ_x + σ_y)/2
Bán kính: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Ứng suất chính: σ_1,2 = C ± R
Phương chính: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Mặt phẳng nghiêng: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Phương pháp

Tính tâm của vòng tròn Mohr: C = (σx + σy)/2.
Tính bán kính: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Các ứng suất chính là C ± R và ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng là R.
Các góc trên vòng tròn gấp đôi các góc trên phần tử: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Ứng suất và biến dạng dọc trục

Ứng suất pháp: σ = F/A
Biến dạng: ε = ΔL/L
Định luật Hooke: σ = E·ε
Độ giãn dài: ΔL = FL/(EA)
Biến dạng nhiệt: ε_T = α·ΔT

Mất ổn định cột

Tải Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Hệ số chiều dài tính toán: K = 1 khớp–khớp, 0,5 ngàm–ngàm, 0,7 ngàm–khớp, 2 ngàm–tự do
Ứng suất tới hạn: σ_cr = P_cr/A
Độ mảnh: λ = KL/r, r = √(I/A)

Dao động cơ học

Tần số riêng: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Từ độ võng tĩnh: ω_n = √(g/δ_st)
Cản tới hạn: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Hệ số cản: ζ = c/c_c
Tần số có cản: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Giảm lượng logarit: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Lò xo song song: k = k₁ + k₂
Lò xo nối tiếp: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Bài tập

1.Bánh răng và hệ bánh răngTrung bình

Một động cơ 1,1 kW ở 2900 rpm dẫn động một trục vít 2 đầu mối. Bánh vít có 30 răng và bộ truyền có hiệu suất 75%. Tìm mô-men đầu ra T_w trên trục bánh vít.

z = 2N_w = 30n = 2900 rpmP = 1,1 kWη = 75%

T_w = N·m

2.Bánh răng và hệ bánh răngKhó

Một dây đai hở nối puli 120 mm và puli 450 mm có tâm cách nhau 1000 mm. Tìm góc ôm θ trên puli nhỏ hơn, theo độ.

d₁ = 120 mmd₂ = 450 mmC = 1000 mm

θ = °

3.Xoắn của trụcTrung bình

Một trục nhôm đặc dài 2 m chịu mô-men xoắn 200 N·m. Góc xoắn giữa hai đầu không được vượt quá 1°. Tìm đường kính nhỏ nhất d đáp ứng giới hạn này.

T = 200 N·mL = 2 mG = 26 GPaφ_allow = 1°

d = mm

4.Xoắn của trụcKhó

Một trục rỗng truyền 5 kW ở 300 rpm. Tìm ứng suất tiếp lớn nhất τ_max trong trục.

P = 5 kWN = 300 rpmd_o = 50 mmd_i = 30 mm

τ_max = MPa

5.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suấtTrung bình

Một điểm có σₓ = −10 MPa, σᵧ = −40 MPa và τₓᵧ = 30 MPa (kéo là dương). Phân tố được xoay 40° ngược chiều kim đồng hồ. Tìm ứng suất pháp σ_y′ trên các mặt của phân tố đã xoay vuông góc với trục y′ sau khi xoay.

σ_x = −10 MPaσ_y = −40 MPaτ_xy = 30 MPaθ = 40°

σ_y′ = MPa

6.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suấtKhó

Một điểm trong một tấm mỏng ở trạng thái ứng suất phẳng: σₓ = −10 MPa, σᵧ = −10 MPa và τₓᵧ = 20 MPa (σ_z = 0). Vật liệu có giới hạn chảy 355 MPa. Tìm hệ số an toàn n chống chảy theo tiêu chuẩn von Mises (năng lượng biến dạng hình dạng).

σ_x = −10 MPaσ_y = −10 MPaτ_xy = 20 MPaσ_Y = 355 MPa

n =

7.Ứng suất và biến dạng dọc trụcTrung bình

Tìm độ giãn dài δ của thanh thép dưới tải trọng dọc trục.

P = 100 kNd = 30 mmL = 3 mE = 200 GPa

δ = mm

8.Ứng suất và biến dạng dọc trụcKhó

Một thanh thép (đường kính 40 mm, E = 200 GPa, ứng suất cho phép 200 MPa) nằm trong một ống làm bằng nhôm (đường kính ngoài 100 mm, đường kính trong 50 mm, E = 70 GPa, ứng suất cho phép 100 MPa). Chúng bị nén cùng nhau giữa các tấm cứng. Tìm tải lớn nhất P_max.

thanh: Ø40 mm, E = 200 GPa, σ_allow = 200 MPaống: Ø100/Ø50 mm, E = 70 GPa, σ_allow = 100 MPa

P_max = kN

9.Mất ổn định cộtTrung bình

Một cột dài L làm bằng nhôm được ngàm ở chân và khớp ở đỉnh. Dùng công thức Euler, tìm tải trọng oằn tới hạn P_cr của nó.

L = 1 mE = 70 GPa (nhôm)d = 25 mm

P_cr = kN

10.Mất ổn định cộtKhó

Một cột tròn đặc dài L làm bằng thép được ngàm ở chân và tự do ở đỉnh. Nó phải chịu 55 kN với hệ số an toàn 2 chống oằn. Tìm đường kính nhỏ nhất d.

P = 55 kNn = 2L = 2,5 mE = 200 GPa (thép)

d = mm

11.Dao động cơ họcTrung bình

Một vật 80 kg trên lò xo có độ cứng 50 kN/m có bộ cản nhớt cho hệ số cản 0,3. Tìm tần số riêng có cản f_d của dao động tự do theo Hz.

m = 80 kgk = 50 kN/mζ = 0,3

f_d = Hz

12.Dao động cơ họcKhó

Một vật 100 kg treo vào lò xo k₃ = 50 kN/m. Đầu trên của k₃ được gắn vào một thanh cứng treo bằng hai lò xo đặt cạnh nhau, k₁ = 50 kN/m và k₂ = 80 kN/m; thanh giữ nằm ngang. Bỏ qua lực cản và khối lượng của các lò xo và thanh. Tìm tần số riêng f_n của dao động thẳng đứng theo Hz.

m = 100 kgk₁ = 50 kN/mk₂ = 80 kN/mk₃ = 50 kN/m

f_n = Hz

3Dung dịch

1.Bánh răng và hệ bánh răng

Đáp số: T_w = 40,75 N·m

Gear trains: meshing gears have the same speed at the teeth, so n₁·N₁ = n₂·N₂: the gear with fewer teeth turns faster. Gears on one shaft turn at the same speed. Power is passed on (minus losses), so torque goes up when speed goes down: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, and P = T·ω with ω = 2π·n/60.

Tốc độ bánh vít

n_w = n·z/N_w = 2900·2/30 = 193,3 rpm

Mômen xoắn ra

ω_w = 2π·193,3/60 = 20,25 rad/s

T_w = η·P/ω_w = 0,75·1100/20,25 = 40,75 N·m

Đáp số

T_w = 40,75 N·m

2.Bánh răng và hệ bánh răng

Đáp số: θ = 161 °

Truyền động đai: khi không trượt, cả hai puli có cùng tốc độ mép v = π·d·n/60, nên n₁·d₁ = n₂·d₂ và tỉ số tốc độ là d₂/d₁. Độ trượt s làm puli bị dẫn chậm hơn một chút: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). Công suất truyền là P = (T₁ − T₂)·v, với T₁ là lực căng ở nhánh căng và T₂ ở nhánh chùng. Ma sát giới hạn tỉ số các lực căng: T₁/T₂ = e^μθ, trong đó θ là góc ôm tính theo radian trên puli nhỏ hơn; với đai hở θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) với khoảng cách tâm C.

Góc của dây đai

asin(0,165) = 9,497°

Góc ôm

θ = 180 − 2·9,497 = 161°

Đáp số

θ = 161°

3.Xoắn của trục

Đáp số: d = 54,74 mm

Xoắn thanh tròn: ứng suất tiếp tăng tuyến tính từ không ở tâm đến τ_max = T·r/J ở bề mặt, với J = πd⁴/32 cho trục đặc và J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 cho trục rỗng. Góc xoắn là φ = TL/(GJ) tính bằng radian. Công suất và mômen xoắn liên hệ với nhau qua P = T·ω.

Mô-men quán tính độc cực cần thiết

T = 200 N·m = 200000 N·mm

L = 2 m = 2000 mm

G = 26 GPa = 26000 MPa

φ = 1·π/180 = 0,01745 rad

J = TL/(Gφ) = 200000·2000/(26000·0,01745) = 881474 mm⁴

Đường kính

d = (32J/π)^1/4 = 54,74 mm

Đáp số

d = 54,74 mm

Trong thực tế bạn sẽ làm tròn lên kích thước tiêu chuẩn kế tiếp.

4.Xoắn của trục

Đáp số: τ_max = 7,45 MPa

Mômen xoắn

ω = 2πN/60 = 2π·300/60 = 31,42 rad/s

T = P/ω = 5000/31,42 = 159,2 N·m

Mômen quán tính độc cực của mặt cắt

J = π(50⁴ − 30⁴)/32 = 534071 mm⁴

Ứng suất tiếp lớn nhất

τ_max = T·(d_o/2)/J = 159155·25/534071 = 7,45 MPa

Đáp số

τ_max = 7,45 MPa

5.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất

Đáp số: σ_y′ = −57,15 MPa

Phương trình biến đổi cho mặt y′

σ_y′ = −25 − 15·0,1736 − 30·0,9848 = −57,15 MPa

Kiểm tra

Tổng các ứng suất pháp không thay đổi khi xoay.

σ_x′ = 7,149 MPa, σ_x′ + σ_y′ = −50 = σ_x + σ_y

Đáp số

σ_y′ = −57,15 MPa

6.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất

Đáp số: n = 9,846

Biến đổi ứng suất phẳng: trên một mặt xoay góc θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Vòng tròn Mohr cho thấy tất cả các mặt cùng lúc: tâm của nó ở C = (σₓ + σᵧ)/2 và bán kính là R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Các ứng suất chính là C ± R, và ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng là R. Tiêu chuẩn chảy: von Mises dự đoán vật liệu chảy khi σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) đạt σ_Y; Tresca khi ứng suất cắt lớn nhất tuyệt đối đạt σ_Y/2.

Ứng suất chính

C = −10 MPa, R = 20 MPa

σ₁ = 10 MPa, σ₂ = −30 MPa, σ₃ = 0

Von Mises

σ_vM = √(10² − 10·(−30) + (−30)²) = 36,06 MPa

n = 355/36,06 = 9,846

Đáp số

n = 9,846

n > 1 nghĩa là điểm không bị chảy; Tresca thận trọng hơn von Mises một chút.

7.Ứng suất và biến dạng dọc trục

Đáp số: δ = 2,122 mm

Định luật Hooke: trong giới hạn đàn hồi σ = E·ε. Kết hợp với σ = P/A và ε = δ/L ta được δ = PL/(AE).

Ứng suất

A = π·30²/4 = 706,9 mm²

σ = P/A = 100·1000/706,9 = 141,5 MPa

Biến dạng (định luật Hooke)

E for thép = 200 GPa = 200000 MPa.

ε = σ/E = 141,5/200000 = 0,0007074 = 707,4 µε

Độ giãn dài

δ = ε·L = 0,0007074·3000 mm = 2,122 mm

Đáp số

δ = 2,122 mm

8.Ứng suất và biến dạng dọc trục

Đáp số: P_max = 663,7 kN

Hai vật liệu: khi nối tiếp (cái này sau cái kia) mỗi đoạn chịu cùng một lực và các độ giãn dài cộng lại: δ = P·Σ L/(E·A). Khi song song (cạnh nhau giữa các tấm cứng) cả hai phần co lại cùng một lượng, nên biến dạng của chúng bằng nhau: phần cứng hơn nhận phần tải lớn hơn, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, và σ_i = E_i·ε. Một thanh bị giữ giữa hai vách cứng với tải đặt tại chỗ nối là siêu tĩnh: hai đoạn chia tải theo tỉ lệ độ cứng k = EA/L của chúng.

Diện tích

A_r = π·40²/4 = 1257 mm²

A_t = π(100² − 50²)/4 = 5890 mm²

Độ cứng dọc trục kết hợp

ΣEA = 200·10³·1257 + 70·10³·5890 = 6,637 × 10⁸ N

Biến dạng quyết định

ε = min(0,001, 0,001429) = 0,001 (thép)

Tải lớn nhất

P_max = 0,001·6,637 × 10⁸ = 663661 N = 663,7 kN

Đáp số

P_max = 663,7 kN

9.Mất ổn định cột

Đáp số: P_cr = 27,04 kN

Mất ổn định Euler: một cột mảnh mất ổn định tại P_cr = π²EI/(KL)², trong đó KL là chiều dài tính toán: K = 1 cho khớp–khớp, 2 cho ngàm–tự do, 0,7 cho ngàm–khớp và 0,5 cho ngàm–ngàm. Cột oằn quanh trục có I nhỏ nhất. Công thức đúng với cột mảnh, có ứng suất tới hạn thấp hơn ứng suất chảy.

Mômen quán tính nhỏ nhất của mặt cắt

Mặt cắt tròn có cùng I đối với mọi trục.

I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴

Chiều dài tính toán

KL = 0,7·1000 = 700 mm

Tải trọng tới hạn

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·19175/700² = 27035 N = 27,04 kN

Đáp số

P_cr = 27,04 kN

10.Mất ổn định cột

Đáp số: d = 72,99 mm

Tải trọng tới hạn yêu cầu

P_cr = n·P = 2·55000 = 110000 N

KL = 2·2500 = 5000 mm

Giải tìm đường kính

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·110000·5000²/(π³·200000))^(1/4) = 72,99 mm

Đáp số

d = 72,99 mm

Kiểm tra: độ mảnh KL/r là 274, nên cột là mảnh và công thức Euler áp dụng được.

11.Dao động cơ học

Đáp số: f_d = 3,796 Hz

Dao động tự do của hệ vật–lò xo: tần số riêng không cản là ω_n = √(k/m) theo rad/s, và f_n = ω_n/(2π) theo Hz. Một bộ cản nhớt c cho hệ số cản ζ = c/c_c, với cản tới hạn c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Hệ cản dưới tới hạn (ζ < 1) dao động ở ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Các lò xo song song cộng lại, k = k₁ + k₂; các lò xo nối tiếp cộng theo nghịch đảo, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Tần số riêng không cản

ω_n = √(50000/80) = 25 rad/s

f_n = 25/(2π) = 3,979 Hz

Tần số riêng có cản

f_d = f_n·√(1 − ζ²) = 3,979·√(1 − 0,3²) = 3,796 Hz

Đáp số

f_d = 3,796 Hz

12.Dao động cơ học

Đáp số: f_n = 3,024 Hz

Độ cứng tương đương

Chỉ k₁ và k₂ song song. Cặp đó nối tiếp với k₃, nên gộp chúng theo nghịch đảo.

k₁₂ = 50 + 80 = 130 kN/m

k_eq = 130·50/(130 + 50) = 36,11 kN/m

Tần số riêng

ω_n = √(36111/100) = 19 rad/s

f_n = 19/(2π) = 3,024 Hz

Đáp số

f_n = 3,024 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design