Thiết kế máy: gói ôn nước rút

Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 12 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.

Bài mớiQuay lại môn học

Trong cửa sổ in, hãy chọn “Lưu dưới dạng PDF” để giữ một bản trên thiết bị của bạn.

1Công thức và phương pháp

Bánh răng và hệ bánh răng

Bánh răng ăn khớp
n1·N1 = n2·N2
Mômen xoắn
T2 = T1·(N2/N1)·η
Công suất
P = T·ω, ω = 2π·n/60
Hệ bánh răng ghép
tỉ số truyền tổng = tích các tỉ số truyền từng cấp

Xoắn của trục

Ứng suất tiếp
τ = T·r/J
Trục đặc
J = πd⁴/32
Trục rỗng
J = π(D⁴ − d⁴)/32
Góc xoắn
φ = TL/(GJ)
Công suất
P = T·ω = 2πnT/60

Phương pháp

  1. Tìm mômen quán tính độc cực: J = πd⁴/32 cho trục đặc.
  2. Ứng suất tiếp ở bề mặt: τ = T·r/J, với r là bán kính ngoài.
  3. Góc xoắn: φ = TL/(GJ) theo radian.
  4. Nếu cho công suất, hãy tìm mômen xoắn trước bằng P = T·ω, ω = 2πn/60.

Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất

Tâm
C = (σx + σy)/2
Bán kính
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
Ứng suất chính
σ1,2 = C ± R
Phương chính
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
Mặt phẳng nghiêng
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

Phương pháp

  1. Tính tâm của vòng tròn Mohr: C = (σx + σy)/2.
  2. Tính bán kính: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
  3. Các ứng suất chính là C ± R và ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng là R.
  4. Các góc trên vòng tròn gấp đôi các góc trên phần tử: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Ứng suất và biến dạng dọc trục

Ứng suất pháp
σ = F/A
Biến dạng
ε = ΔL/L
Định luật Hooke
σ = E·ε
Độ giãn dài
ΔL = FL/(EA)
Biến dạng nhiệt
εT = α·ΔT

Mất ổn định cột

Tải Euler
Pcr = π²EI/(KL)²
Hệ số chiều dài tính toán
K = 1 khớp–khớp, 0,5 ngàm–ngàm, 0,7 ngàm–khớp, 2 ngàm–tự do
Ứng suất tới hạn
σcr = Pcr/A
Độ mảnh
λ = KL/r, r = √(I/A)

Dao động cơ học

Tần số riêng
ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
Từ độ võng tĩnh
ωn = √(g/δst)
Cản tới hạn
cc = 2√(km) = 2mωn
Hệ số cản
ζ = c/cc
Tần số có cản
ωd = ωn√(1 − ζ²)
Giảm lượng logarit
δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Lò xo song song
k = k1 + k2
Lò xo nối tiếp
1/k = 1/k1 + 1/k2

2Bài tập

1.Bánh răng và hệ bánh răngTrung bình
N1​ = 15N2​ = 50

Một động cơ 5,5 kW chạy ở 1500 rpm dẫn động một bánh răng nhỏ có 15 răng, ăn khớp với một bánh răng có 50 răng. Cặp bánh răng có hiệu suất 96%. Tìm mômen xoắn ra T2 trên trục bánh răng.

P = 5,5 kWn1 = 1500 rpmN1 = 15N2 = 50η = 96%
T2 = N·m
2.Bánh răng và hệ bánh răngKhó
A = 25B = 80C = 48D = 50

Trong một hệ bánh răng ghép, bánh răng A (25 răng) trên trục vào quay 1450 rpm dẫn động bánh răng B (80 răng). Bánh răng C (48 răng) được cố định trên cùng trục với B và dẫn động bánh răng D (50 răng) trên trục ra. Tìm tốc độ ra nout.

nin = 1450 rpmA = 25B = 80C = 48D = 50
nout = rpm
3.Xoắn của trụcTrung bình
d1​ = 25 mmd2​ = 20 mmT = 100 N·mABC2,5 m1,2 m

Một trục đặc đồng thau có bậc được ngàm tại A. Đoạn AB có đường kính 25 mm và chiều dài 2,5 m; đoạn BC có đường kính 20 mm và chiều dài 1,2 m. Một mô-men xoắn 100 N·m tác dụng tại đầu tự do C. Tìm góc xoắn φC của đầu C, theo độ.

T = 100 N·md1 = 25 mm, L1 = 2,5 md2 = 20 mm, L2 = 1,2 mG = 39 GPa
φC = °
4.Xoắn của trụcKhó
d = 50 mmTB​ = 100 N·mTC​ = 1000 N·mABC1,2 m2,5 m

Một trục đặc thép đường kính 50 mm được ngàm tại A. Một mô-men xoắn 100 N·m tác dụng tại B, cách A 1,2 m, và một mô-men xoắn 1000 N·m cùng chiều tác dụng tại đầu tự do C, cách thêm 2,5 m. Tìm độ lớn của góc xoắn φC của đầu C, theo độ.

d = 50 mmTB = 100 N·mTC = 1000 N·mAB = 1,2 mBC = 2,5 mG = 80 GPa
φC = °
5.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suấtTrung bình
σx​ = 70σy​ = −40MPaτxy​ = ?

Một điểm có σₓ = 70 MPa và σᵧ = −40 MPa. Ứng suất cắt τxy (độ lớn) có thể lớn đến mức nào trước khi ứng suất chính lớn nhất đạt 110 MPa?

σx = 70 MPaσy = −40 MPaσ1 = 110 MPa
τxy = MPa
6.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suấtKhó
σx​ = 90σy​ = −30τxy​ = −40MPa

Một điểm trong chi tiết chịu tải có σₓ = 90 MPa, σᵧ = −30 MPa và τₓᵧ = −40 MPa (kéo là dương). Tìm ứng suất tiếp τθ trên một mặt có pháp tuyến xoay 60° ngược chiều kim đồng hồ so với trục x (dương cùng chiều với τₓᵧ).

σx = 90 MPaσy = −30 MPaτxy = −40 MPaθ = 60°
τθ = MPa
7.Ứng suất và biến dạng dọc trụcTrung bình
Ø 20 mmThép1,5 mP = 20 kN

Tìm biến dạng dọc trục ε trong thanh thép, tính bằng microstrain (µε = 10⁻⁶).

P = 20 kNd = 20 mmL = 1,5 mE = 200 GPa
ε = µε
8.Ứng suất và biến dạng dọc trụcKhó
Ø 30 mmĐồng2 mØ 12 mmThép1,5 mP = 75 kN

Thanh bậc được ngàm vào tường và chịu tải ở đầu tự do. Tìm tổng độ giãn dài δ.

P = 75 kNđoạn 1: Ø30 mm, 2 m, đồng (E = 117 GPa)đoạn 2: Ø12 mm, 1,5 m, thép (E = 200 GPa)
δ = mm
9.Mất ổn định cộtTrung bình
PL = 4 m40 × 60 mmmặt cắt ngang

Một cột dài L làm bằng nhôm được ngàm cả hai đầu. Dùng công thức Euler, tìm tải trọng oằn tới hạn Pcr của nó.

L = 4 mE = 70 GPa (nhôm)b × h = 40 × 60 mm
Pcr = kN
10.Mất ổn định cộtKhó
PL = 5 md = 40 mmmặt cắt ngang

Một cột dài L làm bằng nhôm được hai đầu khớp. Tìm độ mảnh của nó và ứng suất oằn tới hạn σcr theo công thức Euler.

L = 5 mE = 70 GPa (nhôm)d = 40 mm
σcr = MPa
11.Dao động cơ họcTrung bình
tx50 mm2 chu kỳ14,1 mm

Trong một thí nghiệm dao động tự do của hệ vật–lò xo có cản, một đỉnh độ dời 50 mm được theo sau 2 chu kỳ sau bởi đỉnh 14,1 mm. Tìm hệ số cản ζ.

x0 = 50 mmx2 = 14,1 mmn = 2
ζ =
12.Dao động cơ họcKhó
k1​ = 5k2​ = 40m = 40 kg

Một vật 40 kg treo vào hai lò xo đặt cạnh nhau (song song), có độ cứng k₁ = 5 kN/m và k₂ = 40 kN/m. Vật giữ nằm ngang. Tìm độ cứng tương đương keq của hệ lò xo theo kN/m.

m = 40 kgk1 = 5 kN/mk2 = 40 kN/m
keq = kN/m

3Dung dịch

1.Bánh răng và hệ bánh răng

Đáp số: T2 = 112 N·m

Hệ bánh răng: các bánh răng ăn khớp có cùng tốc độ tại răng, nên n₁·N₁ = n₂·N₂: bánh răng có ít răng hơn quay nhanh hơn. Các bánh răng trên cùng một trục quay cùng tốc độ. Công suất được truyền đi (trừ tổn thất), nên mômen xoắn tăng khi tốc độ giảm: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, và P = T·ω với ω = 2π·n/60.

Mômen xoắn động cơ

ω₁ = 2π·1500/60 = 157,1 rad/s
T1 = P/ω₁ = 5500/157,1 = 35,01 N·m

Mômen xoắn ra

T2 = 35,01·50/15·0,96 = 112 N·m

Đáp số

T2 = 112 N·m
2.Bánh răng và hệ bánh răng

Đáp số: nout = 435 rpm

Hệ bánh răng: các bánh răng ăn khớp có cùng tốc độ tại răng, nên n₁·N₁ = n₂·N₂: bánh răng có ít răng hơn quay nhanh hơn. Các bánh răng trên cùng một trục quay cùng tốc độ. Công suất được truyền đi (trừ tổn thất), nên mômen xoắn tăng khi tốc độ giảm: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, và P = T·ω với ω = 2π·n/60.

Cấp thứ nhất

nB = 1450·25/80 = 453,1 rpm = nC

Cấp thứ hai

nout = 453,1·48/50 = 435 rpm

Đáp số

nout = 435 rpm

tỉ số truyền tổng = 3,333 : 1

3.Xoắn của trục

Đáp số: φC = 20,8 °

Xoắn thanh tròn: ứng suất tiếp tăng tuyến tính từ không ở tâm đến τmax = T·r/J ở bề mặt, với J = πd⁴/32 cho trục đặc và J = π(do⁴ − di⁴)/32 cho trục rỗng. Góc xoắn là φ = TL/(GJ) tính bằng radian. Công suất và mômen xoắn liên hệ với nhau qua P = T·ω.

Các mô-men quán tính độc cực

J1 = π·25⁴/32 = 38350 mm⁴
J2 = π·20⁴/32 = 15708 mm⁴

Góc xoắn của từng đoạn

T = 100 N·m = 100000 N·mm
G = 39 GPa = 39000 MPa
φAB = 100000·2500/(39000·38350) = 0,1672 rad
φBC = 100000·1200/(39000·15708) = 0,1959 rad

Tổng góc xoắn

φC = 0,1672 + 0,1959 = 0,363 rad = 20,8°

Đáp số

φC = 20,8°
4.Xoắn của trục

Đáp số: φC = 4,459 °

Xoắn thanh tròn: ứng suất tiếp tăng tuyến tính từ không ở tâm đến τmax = T·r/J ở bề mặt, với J = πd⁴/32 cho trục đặc và J = π(do⁴ − di⁴)/32 cho trục rỗng. Góc xoắn là φ = TL/(GJ) tính bằng radian. Công suất và mômen xoắn liên hệ với nhau qua P = T·ω.

Các mô-men xoắn nội lực

Chiều của TC được lấy là dương.

TBC = TC = 1000 N·m
TAB = TC + TB = 1000 + 100 = 1100 N·m

Góc xoắn của từng đoạn

J = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴
G = 80 GPa = 80000 MPa
φAB = 1,1 × 10⁶·1200/(80000·613592) = 0,02689 rad
φBC = 1 × 10⁶·2500/(80000·613592) = 0,05093 rad

Góc xoắn của đầu C

φC = 0,02689 + 0,05093 = 0,07782 rad → |φC| = 4,459°

Đáp số

φC = 4,459°
5.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất

Đáp số: τxy = 77,46 MPa

Biến đổi ứng suất phẳng: trên một mặt xoay góc θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Vòng tròn Mohr cho thấy tất cả các mặt cùng lúc: tâm của nó ở C = (σₓ + σᵧ)/2 và bán kính là R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Các ứng suất chính là C ± R, và ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng là R.

Bán kính cần thiết

C = (70 + (−40))/2 = 15 MPa
R = σ1 − C = 110 − 15 = 95 MPa
στxyCσ1​σ2​

Ứng suất tiếp

τxy = √(R² − ((σₓ − σᵧ)/2)²) = √(95² − 55²) = 77,46 MPa

Đáp số

τxy = 77,46 MPa
6.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất

Đáp số: τθ = −31,96 MPa

Biến đổi ứng suất phẳng: trên một mặt xoay góc θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Vòng tròn Mohr cho thấy tất cả các mặt cùng lúc: tâm của nó ở C = (σₓ + σᵧ)/2 và bán kính là R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Các ứng suất chính là C ± R, và ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng là R.

Phương trình biến đổi

τθ = −60·0,866 + −40·−0,5 = −31,96 MPa

Đáp số

τθ = −31,96 MPa
7.Ứng suất và biến dạng dọc trục

Đáp số: ε = 318,3 µε

Định luật Hooke: trong giới hạn đàn hồi σ = E·ε. Kết hợp với σ = P/A và ε = δ/L ta được δ = PL/(AE).

Ứng suất

A = π·20²/4 = 314,2 mm²
σ = P/A = 20·1000/314,2 = 63,66 MPa

Biến dạng (định luật Hooke)

E for thép = 200 GPa = 200000 MPa.

ε = σ/E = 63,66/200000 = 0,0003183 = 318,3 µε

Đáp số

ε = 318,3 µε
8.Ứng suất và biến dạng dọc trục

Đáp số: δ = 6,787 mm

Cấu kiện chịu tải dọc trục: mỗi đoạn lăng trụ tuân theo δ = PL/(AE). Với các cấu kiện nối tiếp, độ giãn dài cộng lại.

Cùng một lực trong cả hai đoạn

Đầu tự do chịu lực P, nên mọi mặt cắt của thanh đều chịu cùng một lực dọc trục P. Chỉ có diện tích và vật liệu thay đổi.

A1 = π·30²/4 = 706,9 mm², A2 = π·12²/4 = 113,1 mm²
σ1 = 106,1 MPa
σ2 = 663,1 MPa

Cộng độ giãn dài của các đoạn

δ1 = σ1L1/E1 = 106,1·2000/117000 = 1,814 mm
δ2 = σ2L2/E2 = 663,1·1500/200000 = 4,974 mm
δ = δ1 + δ2 = 6,787 mm

Đáp số

δ = 6,787 mm
9.Mất ổn định cột

Đáp số: Pcr = 55,27 kN

Mất ổn định Euler: một cột mảnh mất ổn định tại Pcr = π²EI/(KL)², trong đó KL là chiều dài tính toán: K = 1 cho khớp–khớp, 2 cho ngàm–tự do, 0,7 cho ngàm–khớp và 0,5 cho ngàm–ngàm. Cột oằn quanh trục có I nhỏ nhất. Công thức đúng với cột mảnh, có ứng suất tới hạn thấp hơn ứng suất chảy.

Mômen quán tính nhỏ nhất của mặt cắt

Hình chữ nhật oằn quanh trục yếu, dùng kích thước nhỏ hơn lập phương.

Imin = h·b³/12 = 60·40³/12 = 320000 mm⁴

Chiều dài tính toán

KL = 0,5·4000 = 2000 mm

Tải trọng tới hạn

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·320000/2000² = 55270 N = 55,27 kN

Đáp số

Pcr = 55,27 kN
10.Mất ổn định cột

Đáp số: σcr = 2,763 MPa

Mất ổn định Euler: một cột mảnh mất ổn định tại Pcr = π²EI/(KL)², trong đó KL là chiều dài tính toán: K = 1 cho khớp–khớp, 2 cho ngàm–tự do, 0,7 cho ngàm–khớp và 0,5 cho ngàm–ngàm. Cột oằn quanh trục có I nhỏ nhất. Công thức đúng với cột mảnh, có ứng suất tới hạn thấp hơn ứng suất chảy.

Mômen quán tính nhỏ nhất của mặt cắt

Mặt cắt tròn có cùng I đối với mọi trục.

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

Bán kính quán tính và độ mảnh

A = 1257 mm²
r = √(I/A) = √(125664/1257) = 10 mm
KL = 1·5000 = 5000 mm
KL/r = 5000/10 = 500

Ứng suất tới hạn

σcr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/500² = 2,763 MPa

Đáp số

σcr = 2,763 MPa
11.Dao động cơ học

Đáp số: ζ = 0,1002

Dao động tự do của hệ vật–lò xo: tần số riêng không cản là ωn = √(k/m) theo rad/s, và fn = ωn/(2π) theo Hz. Một bộ cản nhớt c cho hệ số cản ζ = c/cc, với cản tới hạn cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Hệ cản dưới tới hạn (ζ < 1) dao động ở ωd = ωn·√(1 − ζ²). Các lò xo song song cộng lại, k = k₁ + k₂; các lò xo nối tiếp cộng theo nghịch đảo, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Giảm lượng logarit

δ = (1/2)·ln(50/14,1) = 0,6329

Hệ số cản

ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0,6329/√(39,48 + 0,4006) = 0,1002

Đáp số

ζ = 0,1002
12.Dao động cơ học

Đáp số: keq = 45 kN/m

Dao động tự do của hệ vật–lò xo: tần số riêng không cản là ωn = √(k/m) theo rad/s, và fn = ωn/(2π) theo Hz. Một bộ cản nhớt c cho hệ số cản ζ = c/cc, với cản tới hạn cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Hệ cản dưới tới hạn (ζ < 1) dao động ở ωd = ωn·√(1 − ζ²). Các lò xo song song cộng lại, k = k₁ + k₂; các lò xo nối tiếp cộng theo nghịch đảo, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Độ cứng tương đương

Các lò xo đặt cạnh nhau có chung độ võng và cộng các lực, nên độ cứng đơn giản cộng lại: k = k1 + k2.

keq = 5 + 40 = 45 kN/m

Đáp số

keq = 45 kN/m

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design