Bánh răng và hệ bánh răng
- Bánh răng ăn khớp
- n1·N1 = n2·N2
- Mômen xoắn
- T2 = T1·(N2/N1)·η
- Công suất
- P = T·ω, ω = 2π·n/60
- Hệ bánh răng ghép
- tỉ số truyền tổng = tích các tỉ số truyền từng cấp
Thiết kế máy: gói ôn nước rút
Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 12 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.
1Công thức và phương pháp
Xoắn của trục
- Ứng suất tiếp
- τ = T·r/J
- Trục đặc
- J = πd⁴/32
- Trục rỗng
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- Góc xoắn
- φ = TL/(GJ)
- Công suất
- P = T·ω = 2πnT/60
Phương pháp
- Tìm mômen quán tính độc cực: J = πd⁴/32 cho trục đặc.
- Ứng suất tiếp ở bề mặt: τ = T·r/J, với r là bán kính ngoài.
- Góc xoắn: φ = TL/(GJ) theo radian.
- Nếu cho công suất, hãy tìm mômen xoắn trước bằng P = T·ω, ω = 2πn/60.
Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất
- Tâm
- C = (σx + σy)/2
- Bán kính
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- Ứng suất chính
- σ1,2 = C ± R
- Phương chính
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- Mặt phẳng nghiêng
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
Phương pháp
- Tính tâm của vòng tròn Mohr: C = (σx + σy)/2.
- Tính bán kính: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
- Các ứng suất chính là C ± R và ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng là R.
- Các góc trên vòng tròn gấp đôi các góc trên phần tử: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).
Ứng suất và biến dạng dọc trục
- Ứng suất pháp
- σ = F/A
- Biến dạng
- ε = ΔL/L
- Định luật Hooke
- σ = E·ε
- Độ giãn dài
- ΔL = FL/(EA)
- Biến dạng nhiệt
- εT = α·ΔT
Mất ổn định cột
- Tải Euler
- Pcr = π²EI/(KL)²
- Hệ số chiều dài tính toán
- K = 1 khớp–khớp, 0,5 ngàm–ngàm, 0,7 ngàm–khớp, 2 ngàm–tự do
- Ứng suất tới hạn
- σcr = Pcr/A
- Độ mảnh
- λ = KL/r, r = √(I/A)
Dao động cơ học
- Tần số riêng
- ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
- Từ độ võng tĩnh
- ωn = √(g/δst)
- Cản tới hạn
- cc = 2√(km) = 2mωn
- Hệ số cản
- ζ = c/cc
- Tần số có cản
- ωd = ωn√(1 − ζ²)
- Giảm lượng logarit
- δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
- Lò xo song song
- k = k1 + k2
- Lò xo nối tiếp
- 1/k = 1/k1 + 1/k2
2Bài tập
1.Bánh răng và hệ bánh răngTrung bình
Một động cơ 1,5 kW quay ở 1450 rpm dẫn động một bánh răng nhỏ có 30 răng và mô-đun 4 mm. Tìm lực vòng Ft trên các răng của bánh răng nhỏ.
P = 1,5 kWn = 1450 rpmN1 = 30m = 4 mm
Ft = N
2.Bánh răng và hệ bánh răngKhó
Một động cơ 4 kW ở 960 rpm dẫn động bánh răng A (15 răng), ăn khớp với bánh răng B (25 răng). Bánh răng C (15 răng) trên cùng trục với B dẫn động bánh răng D (20 răng) trên trục ra. Mỗi cặp ăn khớp có hiệu suất 97%. Tìm mô-men đầu ra Tout.
P = 4 kWnin = 960 rpmA = 15B = 25C = 15D = 20ηmesh = 97%
Tout = N·m
3.Xoắn của trụcTrung bình
Một trục đặc nhôm được ngàm vào tường và bị xoắn bởi mômen xoắn T ở đầu tự do. Tìm góc xoắn φ của đầu tự do, theo độ.
T = 400 N·md = 40 mmL = 1 mG = 26 GPa
φ = °
4.Xoắn của trụcKhó
Một trục đặc phải truyền 100 kW ở 3000 rpm mà ứng suất tiếp không vượt quá 80 MPa. Tìm đường kính nhỏ nhất d thỏa mãn.
P = 100 kWN = 3000 rpmτallow = 80 MPa
d = mm
5.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suấtTrung bình
Một điểm trong chi tiết chịu tải có σₓ = 10 MPa, σᵧ = −80 MPa và τₓᵧ = 40 MPa (kéo là dương). Tìm ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng τmax.
σx = 10 MPaσy = −80 MPaτxy = 40 MPa
τmax = MPa
6.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suấtKhó
Một bể hình trụ thành mỏng có đường kính trong 1000 mm và chiều dày thành 5 mm chứa khí ở áp suất dư 1 MPa. Nó được làm từ tấm thép hàn theo một đường hàn xoắn ốc nghiêng 25° so với trục của hình trụ. Tìm độ lớn của ứng suất cắt |τn| tác dụng dọc theo đường hàn.
D = 1000 mmt = 5 mmp = 1 MPaα = 25°
|τn| = MPa
7.Ứng suất và biến dạng dọc trụcTrung bình
Tìm độ giãn dài δ của thanh thép dưới tải trọng dọc trục.
P = 70 kNd = 30 mmL = 1 mE = 200 GPa
δ = mm
8.Ứng suất và biến dạng dọc trụcKhó
Thanh bậc được ngàm vào tường và chịu tải ở đầu tự do. Tìm tổng độ giãn dài δ.
P = 70 kNđoạn 1: Ø35 mm, 1,5 m, thép (E = 200 GPa)đoạn 2: Ø20 mm, 0,5 m, nhôm (E = 70 GPa)
δ = mm
9.Mất ổn định cộtTrung bình
Một cột dài L làm bằng nhôm được ngàm ở chân và tự do ở đỉnh. Dùng công thức Euler, tìm tải trọng oằn tới hạn Pcr của nó.
L = 3 mE = 70 GPa (nhôm)b × h = 40 × 60 mm
Pcr = kN
10.Mất ổn định cộtKhó
Một cột tròn đặc dài L làm bằng nhôm được ngàm cả hai đầu. Nó phải chịu 25 kN với hệ số an toàn 2 chống oằn. Tìm đường kính nhỏ nhất d.
P = 25 kNn = 2L = 6 mE = 70 GPa (nhôm)
d = mm
11.Dao động cơ họcTrung bình
Một vật 200 kg trên lò xo có độ cứng 150 kN/m có bộ cản nhớt cho hệ số cản 0,5. Tìm tần số riêng có cản fd của dao động tự do theo Hz.
m = 200 kgk = 150 kN/mζ = 0,5
fd = Hz
12.Dao động cơ họcKhó
Một vật 25 kg treo vào hai lò xo nối đầu với đầu (nối tiếp): lò xo trên có k₁ = 5 kN/m và lò xo dưới có k₂ = 20 kN/m. Tìm độ cứng tương đương keq của hệ lò xo theo kN/m.
m = 25 kgk1 = 5 kN/mk2 = 20 kN/m
keq = kN/m
3Dung dịch
1.Bánh răng và hệ bánh răng
Đáp số: Ft = 164,6 N
Gear geometry: the module m sets the tooth size. A gear with N teeth has a pitch diameter d = m·N, two meshing gears have the same module, and their centre distance is a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2. The pitch-line speed is v = π·d·n/60, and the tangential tooth force follows from the torque: Ft = 2T/d.
Mô-men trên bánh răng nhỏ
ω = 2π·1450/60 = 151,8 rad/s
T = P/ω = 1500/151,8 = 9,879 N·m
Đường kính vòng chia
d = m·N = 4·30 = 120 mm
Lực vòng
Ft = 2T/d = 2·9,879/0,12 = 164,6 N
Đáp số
Ft = 164,6 N
2.Bánh răng và hệ bánh răng
Đáp số: Tout = 83,19 N·m
Gear trains: meshing gears have the same speed at the teeth, so n₁·N₁ = n₂·N₂: the gear with fewer teeth turns faster. Gears on one shaft turn at the same speed. Power is passed on (minus losses), so torque goes up when speed goes down: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, and P = T·ω with ω = 2π·n/60.
Tốc độ ra
nout = 960·(15/25)·(15/20) = 432 rpm
ωout = 2π·432/60 = 45,24 rad/s
Công suất và mô-men đầu ra
Pout = 4000·0,97² = 3764 W
Tout = Pout/ωout = 3764/45,24 = 83,19 N·m
Đáp số
Tout = 83,19 N·m
3.Xoắn của trục
Đáp số: φ = 3,507 °
Xoắn thanh tròn: ứng suất tiếp tăng tuyến tính từ không ở tâm đến τmax = T·r/J ở bề mặt, với J = πd⁴/32 cho trục đặc và J = π(do⁴ − di⁴)/32 cho trục rỗng. Góc xoắn là φ = TL/(GJ) tính bằng radian. Công suất và mômen xoắn liên hệ với nhau qua P = T·ω.
Mômen quán tính độc cực của mặt cắt
J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴
Góc xoắn
φ = TL/(GJ) = 400·1000·1000/(26000·251327) = 0,06121 rad
φ = 0,06121·180/π = 3,507°
Đáp số
φ = 3,507°
4.Xoắn của trục
Đáp số: d = 27,26 mm
Xoắn thanh tròn: ứng suất tiếp tăng tuyến tính từ không ở tâm đến τmax = T·r/J ở bề mặt, với J = πd⁴/32 cho trục đặc và J = π(do⁴ − di⁴)/32 cho trục rỗng. Góc xoắn là φ = TL/(GJ) tính bằng radian. Công suất và mômen xoắn liên hệ với nhau qua P = T·ω.
Mômen xoắn
ω = 2πN/60 = 2π·3000/60 = 314,2 rad/s
T = P/ω = 100000/314,2 = 318,3 N·m
Đường kính từ ứng suất cho phép
d = ∛(16T/(π·τallow)) = ∛(16·318310/(π·80)) = 27,26 mm
Đáp số
d = 27,26 mm
Trong thực tế bạn sẽ làm tròn lên kích thước tiêu chuẩn kế tiếp.
5.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất
Đáp số: τmax = 60,21 MPa
Biến đổi ứng suất phẳng: trên một mặt xoay góc θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Vòng tròn Mohr cho thấy tất cả các mặt cùng lúc: tâm của nó ở C = (σₓ + σᵧ)/2 và bán kính là R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Các ứng suất chính là C ± R, và ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng là R.
Bán kính vòng tròn Mohr
τmax = R = √(((10 − −80)/2)² + 40²) = 60,21 MPa
Đáp số
τmax = 60,21 MPa
6.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất
Đáp số: |τn| = 19,15 MPa
Biến đổi ứng suất phẳng: trên một mặt xoay góc θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Vòng tròn Mohr cho thấy tất cả các mặt cùng lúc: tâm của nó ở C = (σₓ + σᵧ)/2 và bán kính là R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Các ứng suất chính là C ± R, và ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng là R. Hình trụ thành mỏng: ứng suất vòng σh = pr/t và ứng suất dọc trục σa = pr/(2t); đó là các ứng suất chính trong thành.
Các ứng suất trong thành
r = 1000/2 = 500 mm
σh = pr/t = 1·500/5 = 100 MPa
σa = pr/(2t) = 50 MPa
Biến đổi sang đường hàn
Lấy x dọc theo trục (σa) và y theo chiều vòng (σh). Pháp tuyến của đường hàn tạo góc 90° − α với trục.
|τn| = (100 − 50)·sin 25°·cos 25° = 19,15 MPa
Đáp số
|τn| = 19,15 MPa
7.Ứng suất và biến dạng dọc trục
Đáp số: δ = 0,4951 mm
Định luật Hooke: trong giới hạn đàn hồi σ = E·ε. Kết hợp với σ = P/A và ε = δ/L ta được δ = PL/(AE).
Ứng suất
A = π·30²/4 = 706,9 mm²
σ = P/A = 70·1000/706,9 = 99,03 MPa
Biến dạng (định luật Hooke)
E for thép = 200 GPa = 200000 MPa.
ε = σ/E = 99,03/200000 = 0,0004951 = 495,1 µε
Độ giãn dài
δ = ε·L = 0,0004951·1000 mm = 0,4951 mm
Đáp số
δ = 0,4951 mm
8.Ứng suất và biến dạng dọc trục
Đáp số: δ = 2,137 mm
Cấu kiện chịu tải dọc trục: mỗi đoạn lăng trụ tuân theo δ = PL/(AE). Với các cấu kiện nối tiếp, độ giãn dài cộng lại.
Cùng một lực trong cả hai đoạn
Đầu tự do chịu lực P, nên mọi mặt cắt của thanh đều chịu cùng một lực dọc trục P. Chỉ có diện tích và vật liệu thay đổi.
A1 = π·35²/4 = 962,1 mm², A2 = π·20²/4 = 314,2 mm²
σ1 = 72,76 MPa
σ2 = 222,8 MPa
Cộng độ giãn dài của các đoạn
δ1 = σ1L1/E1 = 72,76·1500/200000 = 0,5457 mm
δ2 = σ2L2/E2 = 222,8·500/70000 = 1,592 mm
δ = δ1 + δ2 = 2,137 mm
Đáp số
δ = 2,137 mm
9.Mất ổn định cột
Đáp số: Pcr = 6,141 kN
Mất ổn định Euler: một cột mảnh mất ổn định tại Pcr = π²EI/(KL)², trong đó KL là chiều dài tính toán: K = 1 cho khớp–khớp, 2 cho ngàm–tự do, 0,7 cho ngàm–khớp và 0,5 cho ngàm–ngàm. Cột oằn quanh trục có I nhỏ nhất. Công thức đúng với cột mảnh, có ứng suất tới hạn thấp hơn ứng suất chảy.
Mômen quán tính nhỏ nhất của mặt cắt
Hình chữ nhật oằn quanh trục yếu, dùng kích thước nhỏ hơn lập phương.
Imin = h·b³/12 = 60·40³/12 = 320000 mm⁴
Chiều dài tính toán
KL = 2·3000 = 6000 mm
Tải trọng tới hạn
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·320000/6000² = 6141 N = 6,141 kN
Đáp số
Pcr = 6,141 kN
10.Mất ổn định cột
Đáp số: d = 60,35 mm
Mất ổn định Euler: một cột mảnh mất ổn định tại Pcr = π²EI/(KL)², trong đó KL là chiều dài tính toán: K = 1 cho khớp–khớp, 2 cho ngàm–tự do, 0,7 cho ngàm–khớp và 0,5 cho ngàm–ngàm. Cột oằn quanh trục có I nhỏ nhất. Công thức đúng với cột mảnh, có ứng suất tới hạn thấp hơn ứng suất chảy.
Tải trọng tới hạn yêu cầu
Pcr = n·P = 2·25000 = 50000 N
KL = 0,5·6000 = 3000 mm
Giải tìm đường kính
d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·50000·3000²/(π³·70000))^(1/4) = 60,35 mm
Đáp số
d = 60,35 mm
Kiểm tra: độ mảnh KL/r là 198,8, nên cột là mảnh và công thức Euler áp dụng được.
11.Dao động cơ học
Đáp số: fd = 3,775 Hz
Dao động tự do của hệ vật–lò xo: tần số riêng không cản là ωn = √(k/m) theo rad/s, và fn = ωn/(2π) theo Hz. Một bộ cản nhớt c cho hệ số cản ζ = c/cc, với cản tới hạn cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Hệ cản dưới tới hạn (ζ < 1) dao động ở ωd = ωn·√(1 − ζ²). Các lò xo song song cộng lại, k = k₁ + k₂; các lò xo nối tiếp cộng theo nghịch đảo, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Tần số riêng không cản
ωn = √(150000/200) = 27,39 rad/s
fn = 27,39/(2π) = 4,359 Hz
Tần số riêng có cản
fd = fn·√(1 − ζ²) = 4,359·√(1 − 0,5²) = 3,775 Hz
Đáp số
fd = 3,775 Hz
12.Dao động cơ học
Đáp số: keq = 4 kN/m
Dao động tự do của hệ vật–lò xo: tần số riêng không cản là ωn = √(k/m) theo rad/s, và fn = ωn/(2π) theo Hz. Một bộ cản nhớt c cho hệ số cản ζ = c/cc, với cản tới hạn cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Hệ cản dưới tới hạn (ζ < 1) dao động ở ωd = ωn·√(1 − ζ²). Các lò xo song song cộng lại, k = k₁ + k₂; các lò xo nối tiếp cộng theo nghịch đảo, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Độ cứng tương đương
Các lò xo nối tiếp chịu cùng một lực và cộng độ võng, nên chúng gộp theo nghịch đảo: 1/k = 1/k1 + 1/k2.
1/keq = 1/5 + 1/20 → keq = 5·20/(5 + 20) = 4 kN/m
Đáp số
keq = 4 kN/m
ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design