Thiết kế máy: gói ôn nước rút

Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 12 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.

Bài mớiQuay lại môn học

Trong cửa sổ in, hãy chọn “Lưu dưới dạng PDF” để giữ một bản trên thiết bị của bạn.

1Công thức và phương pháp

Bánh răng và hệ bánh răng

Bánh răng ăn khớp
n1·N1 = n2·N2
Mômen xoắn
T2 = T1·(N2/N1)·η
Công suất
P = T·ω, ω = 2π·n/60
Hệ bánh răng ghép
tỉ số truyền tổng = tích các tỉ số truyền từng cấp

Xoắn của trục

Ứng suất tiếp
τ = T·r/J
Trục đặc
J = πd⁴/32
Trục rỗng
J = π(D⁴ − d⁴)/32
Góc xoắn
φ = TL/(GJ)
Công suất
P = T·ω = 2πnT/60

Phương pháp

  1. Tìm mômen quán tính độc cực: J = πd⁴/32 cho trục đặc.
  2. Ứng suất tiếp ở bề mặt: τ = T·r/J, với r là bán kính ngoài.
  3. Góc xoắn: φ = TL/(GJ) theo radian.
  4. Nếu cho công suất, hãy tìm mômen xoắn trước bằng P = T·ω, ω = 2πn/60.

Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất

Tâm
C = (σx + σy)/2
Bán kính
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
Ứng suất chính
σ1,2 = C ± R
Phương chính
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
Mặt phẳng nghiêng
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

Phương pháp

  1. Tính tâm của vòng tròn Mohr: C = (σx + σy)/2.
  2. Tính bán kính: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
  3. Các ứng suất chính là C ± R và ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng là R.
  4. Các góc trên vòng tròn gấp đôi các góc trên phần tử: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Ứng suất và biến dạng dọc trục

Ứng suất pháp
σ = F/A
Biến dạng
ε = ΔL/L
Định luật Hooke
σ = E·ε
Độ giãn dài
ΔL = FL/(EA)
Biến dạng nhiệt
εT = α·ΔT

Mất ổn định cột

Tải Euler
Pcr = π²EI/(KL)²
Hệ số chiều dài tính toán
K = 1 khớp–khớp, 0,5 ngàm–ngàm, 0,7 ngàm–khớp, 2 ngàm–tự do
Ứng suất tới hạn
σcr = Pcr/A
Độ mảnh
λ = KL/r, r = √(I/A)

Dao động cơ học

Tần số riêng
ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
Từ độ võng tĩnh
ωn = √(g/δst)
Cản tới hạn
cc = 2√(km) = 2mωn
Hệ số cản
ζ = c/cc
Tần số có cản
ωd = ωn√(1 − ζ²)
Giảm lượng logarit
δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Lò xo song song
k = k1 + k2
Lò xo nối tiếp
1/k = 1/k1 + 1/k2

2Bài tập

1.Bánh răng và hệ bánh răngTrung bình
N1​ = 25, m = 2,5 mm

Một động cơ 4 kW quay ở 1450 rpm dẫn động một bánh răng nhỏ có 25 răng và mô-đun 2,5 mm. Tìm lực vòng Ft trên các răng của bánh răng nhỏ.

P = 4 kWn = 1450 rpmN1 = 25m = 2,5 mm
Ft = N
2.Bánh răng và hệ bánh răngKhó
A = 24B = 48C = 20D = 60

Trong một hệ bánh răng ghép, bánh răng A (24 răng) trên trục vào quay 2900 rpm dẫn động bánh răng B (48 răng). Bánh răng C (20 răng) được cố định trên cùng trục với B và dẫn động bánh răng D (60 răng) trên trục ra. Tìm tốc độ ra nout.

nin = 2900 rpmA = 24B = 48C = 20D = 60
nout = rpm
3.Xoắn của trụcTrung bình
d = 20 mmT = 50 N·m250 mmφ = 1,75°

Trong một thí nghiệm xoắn, một mẫu đặc đường kính 20 mm bị xoắn bởi mô-men xoắn 50 N·m. Hai đầu của một đoạn đo dài 250 mm quay 1,75° so với nhau (vật liệu vẫn còn đàn hồi). Tìm mô-đun cắt G của vật liệu.

T = 50 N·md = 20 mmL = 250 mmφ = 1,75°
G = GPa
4.Xoắn của trụcKhó
Tdo​ = 100 mm, di​ = 80 mm

Một trục rỗng truyền 100 kW ở 1000 rpm. Tìm ứng suất tiếp lớn nhất τmax trong trục.

P = 100 kWN = 1000 rpmdo = 100 mmdi = 80 mm
τmax = MPa
5.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suấtTrung bình
σx​ = 50σy​ = 100τxy​ = −10MPa

Một điểm trong chi tiết chịu tải có σₓ = 50 MPa, σᵧ = 100 MPa và τₓᵧ = −10 MPa (kéo là dương). Tìm góc θp từ trục x đến phương của ứng suất chính lớn nhất, trong khoảng −90° đến 90°.

σx = 50 MPaσy = 100 MPaτxy = −10 MPa
θp = °
6.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suấtKhó
σx​ = −10σy​ = 120τxy​ = 30MPa

Một điểm trong chi tiết chịu tải có σₓ = −10 MPa, σᵧ = 120 MPa và τₓᵧ = 30 MPa (kéo là dương). Tìm ứng suất pháp σθ trên một mặt có pháp tuyến xoay 15° ngược chiều kim đồng hồ so với trục x.

σx = −10 MPaσy = 120 MPaτxy = 30 MPaθ = 15°
σθ = MPa
7.Ứng suất và biến dạng dọc trụcTrung bình
P = ?12400 mm500 mmØ20Ø40δ = 0,5 mm

Một thanh gồm một đoạn thép (đường kính 20 mm, chiều dài 400 mm, E = 200 GPa) nối đầu với đầu với một đoạn làm bằng đồng thau (đường kính 40 mm, chiều dài 500 mm, E = 100 GPa). Nó được ngàm một đầu và bị kéo ở đầu kia. Tìm tải dọc trục P làm nó giãn tổng cộng 0,5 mm.

đoạn 1: thép, Ø20 mm, 400 mm, E = 200 GPađoạn 2: đồng thau, Ø40 mm, 500 mm, E = 100 GPaδ = 0,5 mm
P = kN
8.Ứng suất và biến dạng dọc trụcKhó
40 kN12500 mm400 mmØ25Ø30σ2​ = ?

Một đoạn thép (đường kính 25 mm, chiều dài 500 mm, E = 200 GPa) và một đoạn làm bằng đồng thanh (đường kính 30 mm, chiều dài 400 mm, E = 110 GPa) được nối đầu với đầu và ngàm giữa hai vách cứng. Một tải dọc trục 40 kN tác dụng tại chỗ nối, hướng về phía đoạn 2. Tìm độ lớn ứng suất σ2 trong đoạn 2.

đoạn 1: thép, Ø25 mm, 500 mm, E = 200 GPađoạn 2: đồng thanh, Ø30 mm, 400 mm, E = 110 GPaP = 40 kN
σ2 = MPa
9.Mất ổn định cộtTrung bình
PL = 4 md = 60 mmmặt cắt ngang

Một cột dài L làm bằng nhôm được hai đầu khớp. Dùng công thức Euler, tìm tải trọng oằn tới hạn Pcr của nó.

L = 4 mE = 70 GPa (nhôm)d = 60 mm
Pcr = kN
10.Mất ổn định cộtKhó
P = 140 kNL = 5 md = ?mặt cắt ngang

Một cột tròn đặc dài L làm bằng thép được hai đầu khớp. Nó phải chịu 140 kN với hệ số an toàn 2,5 chống oằn. Tìm đường kính nhỏ nhất d.

P = 140 kNn = 2,5L = 5 mE = 200 GPa (thép)
d = mm
11.Dao động cơ họcTrung bình
k = 80 kN/mc = 390 N·s/mm = 12 kg

Một vật 12 kg được đỡ bởi một lò xo có độ cứng 80 kN/m và một bộ cản nhớt có hệ số cản 390 N·s/m. Tìm hệ số cản ζ.

m = 12 kgk = 80 kN/mc = 390 N·s/m
ζ =
12.Dao động cơ họcKhó
k1​ = 80k2​ = 5m = 25 kg

Một vật 25 kg treo vào hai lò xo nối đầu với đầu (nối tiếp): lò xo trên có k₁ = 80 kN/m và lò xo dưới có k₂ = 5 kN/m. Bỏ qua cản và khối lượng của các lò xo. Tìm tần số riêng fn của dao động thẳng đứng theo Hz.

m = 25 kgk1 = 80 kN/mk2 = 5 kN/m
fn = Hz

3Dung dịch

1.Bánh răng và hệ bánh răng

Đáp số: Ft = 843 N

Gear geometry: the module m sets the tooth size. A gear with N teeth has a pitch diameter d = m·N, two meshing gears have the same module, and their centre distance is a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2. The pitch-line speed is v = π·d·n/60, and the tangential tooth force follows from the torque: Ft = 2T/d.

Mô-men trên bánh răng nhỏ

ω = 2π·1450/60 = 151,8 rad/s
T = P/ω = 4000/151,8 = 26,34 N·m

Đường kính vòng chia

d = m·N = 2,5·25 = 62,5 mm

Lực vòng

Ft = 2T/d = 2·26,34/0,0625 = 843 N

Đáp số

Ft = 843 N
2.Bánh răng và hệ bánh răng

Đáp số: nout = 483,3 rpm

Hệ bánh răng: các bánh răng ăn khớp có cùng tốc độ tại răng, nên n₁·N₁ = n₂·N₂: bánh răng có ít răng hơn quay nhanh hơn. Các bánh răng trên cùng một trục quay cùng tốc độ. Công suất được truyền đi (trừ tổn thất), nên mômen xoắn tăng khi tốc độ giảm: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, và P = T·ω với ω = 2π·n/60.

Cấp thứ nhất

nB = 2900·24/48 = 1450 rpm = nC

Cấp thứ hai

nout = 1450·20/60 = 483,3 rpm

Đáp số

nout = 483,3 rpm

tỉ số truyền tổng = 6 : 1

3.Xoắn của trục

Đáp số: G = 26,05 GPa

Xoắn thanh tròn: ứng suất tiếp tăng tuyến tính từ không ở tâm đến τmax = T·r/J ở bề mặt, với J = πd⁴/32 cho trục đặc và J = π(do⁴ − di⁴)/32 cho trục rỗng. Góc xoắn là φ = TL/(GJ) tính bằng radian. Công suất và mômen xoắn liên hệ với nhau qua P = T·ω.

Mô-men quán tính độc cực và góc

J = π·20⁴/32 = 15708 mm⁴
φ = 1,75·π/180 = 0,03054 rad

Mô đun trượt

T = 50 N·m = 50000 N·mm
G = TL/(Jφ) = 50000·250/(15708·0,03054) = 26054 MPa
G = 26,05 GPa

Đáp số

G = 26,05 GPa

So sánh: thép ≈ 80 GPa, đồng thau ≈ 39 GPa, nhôm ≈ 26 GPa.

4.Xoắn của trục

Đáp số: τmax = 8,237 MPa

Xoắn thanh tròn: ứng suất tiếp tăng tuyến tính từ không ở tâm đến τmax = T·r/J ở bề mặt, với J = πd⁴/32 cho trục đặc và J = π(do⁴ − di⁴)/32 cho trục rỗng. Góc xoắn là φ = TL/(GJ) tính bằng radian. Công suất và mômen xoắn liên hệ với nhau qua P = T·ω.

Mômen xoắn

ω = 2πN/60 = 2π·1000/60 = 104,7 rad/s
T = P/ω = 100000/104,7 = 954,9 N·m

Mômen quán tính độc cực của mặt cắt

J = π(100⁴ − 80⁴)/32 = 5,796 × 10⁶ mm⁴

Ứng suất tiếp lớn nhất

τmax = T·(do/2)/J = 954930·50/5,796 × 10⁶ = 8,237 MPa

Đáp số

τmax = 8,237 MPa
5.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất

Đáp số: θp = −79,1 °

Biến đổi ứng suất phẳng: trên một mặt xoay góc θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Vòng tròn Mohr cho thấy tất cả các mặt cùng lúc: tâm của nó ở C = (σₓ + σᵧ)/2 và bán kính là R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Các ứng suất chính là C ± R, và ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng là R.

σxyCσ1​σ2​

Góc trên vòng tròn

Điểm x nằm ở góc 2θp so với trục σ trên vòng tròn Mohr; góc phần tư suy ra từ dấu của σₓ − σᵧ và τₓᵧ.

2θp = atan2(2·−10, 50 − 100) = −158,2°

Góc trên phần tử

θp = −79,1°

Đáp số

θp = −79,1°

Góc dương là ngược chiều kim đồng hồ.

6.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất

Đáp số: σθ = 13,71 MPa

Biến đổi ứng suất phẳng: trên một mặt xoay góc θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Vòng tròn Mohr cho thấy tất cả các mặt cùng lúc: tâm của nó ở C = (σₓ + σᵧ)/2 và bán kính là R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Các ứng suất chính là C ± R, và ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng là R.

Phương trình biến đổi

σθ = 55 + −65·0,866 + 30·0,5 = 13,71 MPa

Đáp số

σθ = 13,71 MPa
7.Ứng suất và biến dạng dọc trục

Đáp số: P = 48,33 kN

Hai vật liệu: khi nối tiếp (cái này sau cái kia) mỗi đoạn chịu cùng một lực và các độ giãn dài cộng lại: δ = P·Σ L/(E·A). Khi song song (cạnh nhau giữa các tấm cứng) cả hai phần co lại cùng một lượng, nên biến dạng của chúng bằng nhau: phần cứng hơn nhận phần tải lớn hơn, Pi = P·EiAi/ΣEA, và σi = Ei·ε. Một thanh bị giữ giữa hai vách cứng với tải đặt tại chỗ nối là siêu tĩnh: hai đoạn chia tải theo tỉ lệ độ cứng k = EA/L của chúng.

Diện tích

A₁ = 314,2 mm², A₂ = 1257 mm²

Các độ mềm

L₁/(E₁A₁) = 400/(200000·314,2) = 6,366 × 10⁻⁶ mm/N
L₂/(E₂A₂) = 500/(100000·1257) = 3,979 × 10⁻⁶ mm/N

Tải

P = 0,5/1,035 × 10⁻⁵ = 48332 N = 48,33 kN

Đáp số

P = 48,33 kN
8.Ứng suất và biến dạng dọc trục

Đáp số: σ2 = 28,15 MPa

Hai vật liệu: khi nối tiếp (cái này sau cái kia) mỗi đoạn chịu cùng một lực và các độ giãn dài cộng lại: δ = P·Σ L/(E·A). Khi song song (cạnh nhau giữa các tấm cứng) cả hai phần co lại cùng một lượng, nên biến dạng của chúng bằng nhau: phần cứng hơn nhận phần tải lớn hơn, Pi = P·EiAi/ΣEA, và σi = Ei·ε. Một thanh bị giữ giữa hai vách cứng với tải đặt tại chỗ nối là siêu tĩnh: hai đoạn chia tải theo tỉ lệ độ cứng k = EA/L của chúng.

Các độ cứng

k₁ = 200000·490,9/500 = 196350 N/mm
k₂ = 110000·706,9/400 = 194386 N/mm

Phần của đoạn 2

F2 = 40000·194386/390736 = 19899 N

Ứng suất

σ2 = 19899/706,9 = 28,15 MPa (nén)

Đáp số

σ2 = 28,15 MPa
9.Mất ổn định cột

Đáp số: Pcr = 27,47 kN

Mất ổn định Euler: một cột mảnh mất ổn định tại Pcr = π²EI/(KL)², trong đó KL là chiều dài tính toán: K = 1 cho khớp–khớp, 2 cho ngàm–tự do, 0,7 cho ngàm–khớp và 0,5 cho ngàm–ngàm. Cột oằn quanh trục có I nhỏ nhất. Công thức đúng với cột mảnh, có ứng suất tới hạn thấp hơn ứng suất chảy.

Mômen quán tính nhỏ nhất của mặt cắt

Mặt cắt tròn có cùng I đối với mọi trục.

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

Chiều dài tính toán

KL = 1·4000 = 4000 mm

Tải trọng tới hạn

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·636173/4000² = 27470 N = 27,47 kN

Đáp số

Pcr = 27,47 kN
10.Mất ổn định cột

Đáp số: d = 97,48 mm

Mất ổn định Euler: một cột mảnh mất ổn định tại Pcr = π²EI/(KL)², trong đó KL là chiều dài tính toán: K = 1 cho khớp–khớp, 2 cho ngàm–tự do, 0,7 cho ngàm–khớp và 0,5 cho ngàm–ngàm. Cột oằn quanh trục có I nhỏ nhất. Công thức đúng với cột mảnh, có ứng suất tới hạn thấp hơn ứng suất chảy.

Tải trọng tới hạn yêu cầu

Pcr = n·P = 2,5·140000 = 350000 N
KL = 1·5000 = 5000 mm

Giải tìm đường kính

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·350000·5000²/(π³·200000))^(1/4) = 97,48 mm

Đáp số

d = 97,48 mm

Kiểm tra: độ mảnh KL/r là 205,2, nên cột là mảnh và công thức Euler áp dụng được.

11.Dao động cơ học

Đáp số: ζ = 0,199

Dao động tự do của hệ vật–lò xo: tần số riêng không cản là ωn = √(k/m) theo rad/s, và fn = ωn/(2π) theo Hz. Một bộ cản nhớt c cho hệ số cản ζ = c/cc, với cản tới hạn cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Hệ cản dưới tới hạn (ζ < 1) dao động ở ωd = ωn·√(1 − ζ²). Các lò xo song song cộng lại, k = k₁ + k₂; các lò xo nối tiếp cộng theo nghịch đảo, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Cản tới hạn

cc = 2·√(k·m) = 2·√(80000·12) = 1960 N·s/m

Hệ số cản

ζ = c/cc = 390/1960 = 0,199

Đáp số

ζ = 0,199

ζ < 1, nên hệ cản dưới tới hạn và dao động khi tắt dần.

12.Dao động cơ học

Đáp số: fn = 2,184 Hz

Dao động tự do của hệ vật–lò xo: tần số riêng không cản là ωn = √(k/m) theo rad/s, và fn = ωn/(2π) theo Hz. Một bộ cản nhớt c cho hệ số cản ζ = c/cc, với cản tới hạn cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Hệ cản dưới tới hạn (ζ < 1) dao động ở ωd = ωn·√(1 − ζ²). Các lò xo song song cộng lại, k = k₁ + k₂; các lò xo nối tiếp cộng theo nghịch đảo, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Độ cứng tương đương

Các lò xo nối tiếp chịu cùng một lực và cộng độ võng, nên chúng gộp theo nghịch đảo: 1/k = 1/k1 + 1/k2.

1/keq = 1/80 + 1/5 → keq = 80·5/(80 + 5) = 4,706 kN/m

Tần số riêng

ωn = √(4706/25) = 13,72 rad/s
fn = 13,72/(2π) = 2,184 Hz

Đáp số

fn = 2,184 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design