Sức bền vật liệu: gói ôn nước rút

Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 14 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.

Bài mớiQuay lại môn học

Trong cửa sổ in, hãy chọn “Lưu dưới dạng PDF” để giữ một bản trên thiết bị của bạn.

1Công thức và phương pháp

Ứng suất và biến dạng dọc trục

Ứng suất pháp
σ = F/A
Biến dạng
ε = ΔL/L
Định luật Hooke
σ = E·ε
Độ giãn dài
ΔL = FL/(EA)
Biến dạng nhiệt
εT = α·ΔT

Xoắn của trục

Ứng suất tiếp
τ = T·r/J
Trục đặc
J = πd⁴/32
Trục rỗng
J = π(D⁴ − d⁴)/32
Góc xoắn
φ = TL/(GJ)
Công suất
P = T·ω = 2πnT/60

Phương pháp

  1. Tìm mômen quán tính độc cực: J = πd⁴/32 cho trục đặc.
  2. Ứng suất tiếp ở bề mặt: τ = T·r/J, với r là bán kính ngoài.
  3. Góc xoắn: φ = TL/(GJ) theo radian.
  4. Nếu cho công suất, hãy tìm mômen xoắn trước bằng P = T·ω, ω = 2πn/60.

Lực cắt và mômen uốn

Lực cắt và mômen
V = ΣF ở một phía, M = ΣF·d ở một phía
Ứng suất uốn
σ = M·y/I
Hình chữ nhật
I = bh³/12
Mômen chống uốn của mặt cắt
W = I/ymax
Dầm đơn giản, tải phân bố đều
Mmax = wL²/8

Phương pháp

  1. Tìm phản lực gối từ cân bằng của cả dầm.
  2. Cắt dầm tại mặt cắt bạn cần và giữ lại một phía.
  3. Lực cắt: tổng các lực thẳng đứng ở phía đó. Mômen uốn: tổng mômen của chúng quanh mặt cắt.
  4. Để tìm mômen lớn nhất, hãy tìm nơi lực cắt bằng không.

Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắt

Trọng tâm
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
Hình chữ nhật
I = bh³/12
Định lý trục song song
I = Ic + A·d²
Mặt cắt ghép
I = Σ(Ic,i + Aidi²)

Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất

Tâm
C = (σx + σy)/2
Bán kính
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
Ứng suất chính
σ1,2 = C ± R
Phương chính
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
Mặt phẳng nghiêng
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

Phương pháp

  1. Tính tâm của vòng tròn Mohr: C = (σx + σy)/2.
  2. Tính bán kính: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
  3. Các ứng suất chính là C ± R và ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng là R.
  4. Các góc trên vòng tròn gấp đôi các góc trên phần tử: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Độ võng của dầm

Tải tập trung ở giữa nhịp
δ = PL³/(48EI)
Tải phân bố đều, dầm đơn giản
δ = 5wL⁴/(384EI)
Công xôn, tải ở đầu
δ = PL³/(3EI)
Công xôn, tải phân bố đều
δ = wL⁴/(8EI)
Nguyên lý xếp chồng
δ = δ1 + δ2

Mất ổn định cột

Tải Euler
Pcr = π²EI/(KL)²
Hệ số chiều dài tính toán
K = 1 khớp–khớp, 0,5 ngàm–ngàm, 0,7 ngàm–khớp, 2 ngàm–tự do
Ứng suất tới hạn
σcr = Pcr/A
Độ mảnh
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Bài tập

1.Ứng suất và biến dạng dọc trụcTrung bình
50 kNØ2570 GPaØ80/50500 mmδ = ?

Một thanh thép (đường kính 25 mm, E = 200 GPa) nằm trong một ống làm bằng nhôm (đường kính ngoài 80 mm, đường kính trong 50 mm, E = 70 GPa). Cả hai dài 500 mm và bị nén cùng nhau giữa các tấm cứng bởi 50 kN. Tìm độ co ngắn δ.

P = 50 kNthanh: Ø25 mm, E = 200 GPaống: Ø80/Ø50 mm, E = 70 GPaL = 500 mm
δ = mm
2.Ứng suất và biến dạng dọc trụcKhó
Ø 35 mmThép2 mØ 20 mmĐồng thau0,5 mP = 120 kN

Thanh bậc được ngàm vào tường và chịu tải ở đầu tự do. Tìm ứng suất pháp lớn nhất σmax trong thanh.

P = 120 kNđoạn 1: Ø35 mm, 2 m, thép (E = 200 GPa)đoạn 2: Ø20 mm, 0,5 m, đồng thau (E = 100 GPa)
σmax = MPa
3.Xoắn của trụcTrung bình
d = ?T = 400 N·mL = 0,5 m

Một trục đồng thau đặc dài 0,5 m chịu mô-men xoắn 400 N·m. Góc xoắn giữa hai đầu không được vượt quá 3°. Tìm đường kính nhỏ nhất d đáp ứng giới hạn này.

T = 400 N·mL = 0,5 mG = 39 GPaφallow = 3°
d = mm
4.Xoắn của trụcKhó
d = 30 mmT0​ = 500 N·mACBa = 2 mb = 1,5 m

Một trục đặc đồng thau đường kính 30 mm được ngàm vào các tường cứng ở cả hai đầu A và B. Một mô-men xoắn 500 N·m đặt tại C, cách A 2 m và cách B 1,5 m. Tìm góc quay φC của tiết diện C, theo độ.

d = 30 mmT0 = 500 N·ma = 2 mb = 1,5 mG = 39 GPa
φC = °
5.Lực cắt và mômen uốnTrung bình
w = 8 kN/mABmặt cắt4,5 m1,5 m

Tìm mômen uốn Mx tại mặt cắt x = 4,5 m tính từ gối A. Coi mômen làm dầm võng xuống là dương và lực cắt hướng lên trên mặt trái là dương.

L = 6 mw = 8 kN/m từ 0 đến 6 mx = 4,5 m
Mx = kN·m
6.Lực cắt và mômen uốnKhó
w = 3 kN/mP = 25 kNABmặt cắt3 m5 m

Tìm mômen uốn Mx tại mặt cắt x = 3 m tính từ gối A. Coi mômen làm dầm võng xuống là dương và lực cắt hướng lên trên mặt trái là dương.

L = 8 mP = 25 kN tại 3 mw = 3 kN/m từ 0 đến 8 mx = 3 m
Mx = kN·m
7.Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắtTrung bình
300150t = 14ȳ = ?kích thước tính bằng mm

Một tiết diện chữ U đặt với mặt hở hướng lên: một bản đáy rộng 300 mm với hai cánh đứng, tổng chiều cao 150 mm. Đáy và các cánh đều dày 14 mm. Tìm độ cao ȳ của trọng tâm so với cạnh đáy.

b = 300 mmh = 150 mmt = 14 mm
ȳ = mm
8.Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắtKhó
100 mm240 mm96 mm60 × 20xIx​ = ?

Một tấm 100 mm × 240 mm có một lỗ khoét hình chữ nhật rộng 60 mm và cao 20 mm, đặt giữa đường tâm thẳng đứng với tâm cách đáy 96 mm. Tìm mômen quán tính diện tích Ix quanh trục nằm ngang đi qua trọng tâm.

b = 100 mmh = 240 mmlỗ khoét: 60 × 20 mmtâm lỗ: y = 96 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
9.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suấtTrung bình
σx​ = 150τxy​ = −50MPa

Một điểm có σₓ = 150 MPa, σᵧ = 0 MPa và τₓᵧ = −50 MPa (kéo là dương). Phân tố được xoay 15° ngược chiều kim đồng hồ. Tìm ứng suất pháp σy′ trên các mặt của phân tố đã xoay vuông góc với trục y′ sau khi xoay.

σx = 150 MPaσy = 0 MPaτxy = −50 MPaθ = 15°
σy′ = MPa
10.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suấtKhó
σx​ = 110σy​ = 120τxy​ = 30MPa

Một điểm trong chi tiết chịu tải có σₓ = 110 MPa, σᵧ = 120 MPa và τₓᵧ = 30 MPa (kéo là dương). Tìm ứng suất pháp σθ trên một mặt có pháp tuyến xoay 40° ngược chiều kim đồng hồ so với trục x.

σx = 110 MPaσy = 120 MPaτxy = 30 MPaθ = 40°
σθ = MPa
11.Độ võng của dầmTrung bình
P = 26 kNABδ4 m2 m

Một dầm đơn giản chịu lực tập trung P tại vị trí cách gối A một đoạn a = 4 m. Tìm độ võng δP dưới tải.

P = 26 kNa = 4 mL = 6 mE = 200 GPa (thép)I = 36 × 10⁶ mm⁴
δP = mm
12.Độ võng của dầmKhó
w = 6 kN/mAB4 m

Một dầm công-xôn có gối chống ngàm tại A và tựa đơn (chống) tại B. Dầm chịu tải phân bố đều w trên toàn bộ chiều dài. EI không đổi. Tìm phản lực RB tại gối chống.

L = 4 mw = 6 kN/m
RB = kN
13.Mất ổn định cộtTrung bình
PL = 2 md = 40 mmmặt cắt ngang

Một cột dài L làm bằng thép được ngàm ở chân và khớp ở đỉnh. Dùng công thức Euler, tìm tải trọng oằn tới hạn Pcr của nó.

L = 2 mE = 200 GPa (thép)d = 40 mm
Pcr = kN
14.Mất ổn định cộtKhó
PL = 4 md = 30 mmmặt cắt ngang

Một cột dài L làm bằng nhôm được ngàm ở chân và khớp ở đỉnh. Tìm độ mảnh của nó và ứng suất oằn tới hạn σcr theo công thức Euler.

L = 4 mE = 70 GPa (nhôm)d = 30 mm
σcr = MPa

3Dung dịch

1.Ứng suất và biến dạng dọc trục

Đáp số: δ = 0,07998 mm

Hai vật liệu: khi nối tiếp (cái này sau cái kia) mỗi đoạn chịu cùng một lực và các độ giãn dài cộng lại: δ = P·Σ L/(E·A). Khi song song (cạnh nhau giữa các tấm cứng) cả hai phần co lại cùng một lượng, nên biến dạng của chúng bằng nhau: phần cứng hơn nhận phần tải lớn hơn, Pi = P·EiAi/ΣEA, và σi = Ei·ε. Một thanh bị giữ giữa hai vách cứng với tải đặt tại chỗ nối là siêu tĩnh: hai đoạn chia tải theo tỉ lệ độ cứng k = EA/L của chúng.

Diện tích

Ar = π·25²/4 = 490,9 mm²
At = π(80² − 50²)/4 = 3063 mm²

Độ cứng dọc trục kết hợp

ΣEA = 200·10³·490,9 + 70·10³·3063 = 3,126 × 10⁸ N

Độ co ngắn

δ = 50000·500/3,126 × 10⁸ = 0,07998 mm

Đáp số

δ = 0,07998 mm
2.Ứng suất và biến dạng dọc trục

Đáp số: σmax = 382 MPa

Cấu kiện chịu tải dọc trục: mỗi đoạn lăng trụ tuân theo δ = PL/(AE). Với các cấu kiện nối tiếp, độ giãn dài cộng lại.

Cùng một lực trong cả hai đoạn

Đầu tự do chịu lực P, nên mọi mặt cắt của thanh đều chịu cùng một lực dọc trục P. Chỉ có diện tích và vật liệu thay đổi.

A1 = π·35²/4 = 962,1 mm², A2 = π·20²/4 = 314,2 mm²
σ1 = 124,7 MPa
σ2 = 382 MPa

Ứng suất lớn nhất

Đoạn mảnh hơn có diện tích nhỏ hơn, nên chịu ứng suất lớn hơn.

σmax = 382 MPa

Đáp số

σmax = 382 MPa
3.Xoắn của trục

Đáp số: d = 31,6 mm

Xoắn thanh tròn: ứng suất tiếp tăng tuyến tính từ không ở tâm đến τmax = T·r/J ở bề mặt, với J = πd⁴/32 cho trục đặc và J = π(do⁴ − di⁴)/32 cho trục rỗng. Góc xoắn là φ = TL/(GJ) tính bằng radian. Công suất và mômen xoắn liên hệ với nhau qua P = T·ω.

Mô-men quán tính độc cực cần thiết

T = 400 N·m = 400000 N·mm
L = 0,5 m = 500 mm
G = 39 GPa = 39000 MPa
φ = 3·π/180 = 0,05236 rad
J = TL/(Gφ) = 400000·500/(39000·0,05236) = 97942 mm⁴

Đường kính

d = (32J/π)1/4 = 31,6 mm

Đáp số

d = 31,6 mm

Trong thực tế bạn sẽ làm tròn lên kích thước tiêu chuẩn kế tiếp.

4.Xoắn của trục

Đáp số: φC = 7,918 °

Xoắn thanh tròn: ứng suất tiếp tăng tuyến tính từ không ở tâm đến τmax = T·r/J ở bề mặt, với J = πd⁴/32 cho trục đặc và J = π(do⁴ − di⁴)/32 cho trục rỗng. Góc xoắn là φ = TL/(GJ) tính bằng radian. Công suất và mômen xoắn liên hệ với nhau qua P = T·ω. Khi cả hai đầu bị ngàm, tĩnh học chỉ cho TA + TB = T₀; phương trình thứ hai là điều kiện tương thích (góc xoắn của hai phần bằng nhau tại tiết diện chịu tải).

Cân bằng và tương thích

TA + TB = 500
TA·a = TB·b
TA = 500·1,5/3,5 = 214,3 N·m
TB = 500·2/3,5 = 285,7 N·m

Góc quay của C

Dùng đoạn AC: nó được ngàm tại A và chịu TA.

J = π·30⁴/32 = 79522 mm⁴
G = 39 GPa = 39000 MPa
φC = TA·a/(GJ) = 214286·2000/(39000·79522) = 0,1382 rad = 7,918°

Đáp số

φC = 7,918°
5.Lực cắt và mômen uốn

Đáp số: Mx = 27 kN·m

Phương pháp mặt cắt: cắt dầm tại vị trí cần tìm nội lực và giữ lại một phía. Lực cắt V cân bằng với các lực thẳng đứng ở phía đó, và mômen uốn M cân bằng với mômen của chúng quanh mặt cắt.

Phản lực gối

Cân bằng của cả dầm.

Hợp lực của tải phân bố đều: W = w·ℓ = 8·6 = 48 kN, đặt tại x̄ = 3 m
ΣMA = 0: RB·6 = 8·6·3
RB = 144/6 = 24 kN
ΣFy = 0: RA = 48 − 24 = 24 kN
w = 8 kN/mABRA​ = 24RB​ = 24mặt cắt4,5 m1,5 m

Cắt tại x = 4,5 m và giữ phần bên trái

Chỉ các lực bên trái mặt cắt xuất hiện. Phần tải phân bố đều được thay bằng một lực đặt tại giữa phần đó.

M = RA·x − (mỗi tải bên trái mặt cắt × cánh tay đòn đến mặt cắt)
Mx = 24·4,5 − 8·4,5·2,25 = 27 kN·m

Đáp số

Mx = 27 kN·m
6.Lực cắt và mômen uốn

Đáp số: Mx = 69,38 kN·m

Phương pháp mặt cắt: cắt dầm tại vị trí cần tìm nội lực và giữ lại một phía. Lực cắt V cân bằng với các lực thẳng đứng ở phía đó, và mômen uốn M cân bằng với mômen của chúng quanh mặt cắt.

Phản lực gối

Cân bằng của cả dầm.

Hợp lực của tải phân bố đều: W = w·ℓ = 3·8 = 24 kN, đặt tại x̄ = 4 m
ΣMA = 0: RB·8 = 25·3 + 3·8·4
RB = 171/8 = 21,38 kN
ΣFy = 0: RA = 49 − 21,38 = 27,63 kN
w = 3 kN/mP = 25 kNABRA​ = 27,63RB​ = 21,38mặt cắt3 m5 m

Cắt tại x = 3 m và giữ phần bên trái

Chỉ các lực bên trái mặt cắt xuất hiện. Phần tải phân bố đều được thay bằng một lực đặt tại giữa phần đó.

M = RA·x − (mỗi tải bên trái mặt cắt × cánh tay đòn đến mặt cắt)
Mx = 27,63·3 − 3·3·1,5 = 69,38 kN·m

Đáp số

Mx = 69,38 kN·m
7.Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắt

Đáp số: ȳ = 42,66 mm

Diện tích ghép: chia mặt cắt thành các hình chữ nhật. Trọng tâm là trung bình có trọng số theo diện tích ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Mômen quán tính của mặt cắt đối với trục đi qua trọng tâm bằng tổng bh³/12 của từng phần và số hạng trục song song A·d², trong đó d là khoảng cách từ trọng tâm của phần đó đến trọng tâm chung. Ứng suất uốn là σ = M·y/I.

Chia thành các hình chữ nhật

Lấy đáy với toàn bộ chiều rộng và hai cánh phía trên nó (cao h − t), để không có phần nào bị tính hai lần.

nền: A1 = 300·14 = 4200 mm², y1 = 7 mm
hai cánh: A2 = 2·14·136 = 3808 mm², y2 = 14 + 136/2 = 82 mm

Trọng tâm

ȳ = (4200·7 + 3808·82)/8008 = 42,66 mm

Đáp số

ȳ = 42,66 mm
8.Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắt

Đáp số: Ix = 114,4 × 10⁶ mm⁴

Tiết diện có lỗ: coi lỗ là một diện tích âm. Trọng tâm là ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), với A₁, y₁ cho tấm đầy đủ và A₂, y₂ cho lỗ. Với mômen quán tính diện tích quanh trục đi qua trọng tâm, dùng định lý trục song song cho từng phần rồi trừ lỗ: I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²), trong đó d là khoảng cách từ trọng tâm riêng của mỗi phần đến trục đi qua ȳ. Hình chữ nhật có Ic = bh³/12 và hình tròn có Ic = πd⁴/64.

Trọng tâm

ȳ = (24000·120 − 1200·96)/(24000 − 1200) = 121,3 mm

Tấm đầy đủ quanh ȳ

100·240³/12 + 24000·−1,263² = 115,2 × 10⁶ mm⁴

Lỗ quanh ȳ

60·20³/12 + 1200·−25,26² = 0,8059 × 10⁶ mm⁴

Trừ

Ix = 114,4 × 10⁶ mm⁴

Đáp số

Ix = 114,4 × 10⁶ mm⁴
9.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất

Đáp số: σy′ = 35,05 MPa

Biến đổi ứng suất phẳng: trên một mặt xoay góc θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Vòng tròn Mohr cho thấy tất cả các mặt cùng lúc: tâm của nó ở C = (σₓ + σᵧ)/2 và bán kính là R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Các ứng suất chính là C ± R, và ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng là R.

Phương trình biến đổi cho mặt y′

σy′ = 75 − 75·0,866 − (−50)·0,5 = 35,05 MPa

Kiểm tra

Tổng các ứng suất pháp không thay đổi khi xoay.

σx′ = 115 MPa, σx′ + σy′ = 150 = σx + σy

Đáp số

σy′ = 35,05 MPa
10.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất

Đáp số: σθ = 143,7 MPa

Biến đổi ứng suất phẳng: trên một mặt xoay góc θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Vòng tròn Mohr cho thấy tất cả các mặt cùng lúc: tâm của nó ở C = (σₓ + σᵧ)/2 và bán kính là R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Các ứng suất chính là C ± R, và ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng là R.

Phương trình biến đổi

σθ = 115 + −5·0,1736 + 30·0,9848 = 143,7 MPa

Đáp số

σθ = 143,7 MPa
11.Độ võng của dầm

Đáp số: δP = 12,84 mm

Độ võng của dầm: độ võng có được bằng cách tích phân độ cong M/(EI) hai lần. Các trường hợp tiêu chuẩn đã được lập bảng, ví dụ PL³/(3EI) cho dầm công xôn chịu tải ở đầu tự do và 5wL⁴/(384EI) cho dầm đơn giản chịu tải phân bố đều toàn nhịp. Độ võng do các tải riêng rẽ cộng lại (xếp chồng).

Đơn vị nhất quán

Làm việc theo N và mm: P theo N, w theo N/mm (kN/m = N/mm), L theo mm, E theo N/mm² (GPa × 1000), I theo mm⁴.

P = 26000 N, a = 4000 mm, b = 2000 mm, L = 6000 mm
EI = 7,2 × 10¹² N·mm²

Độ võng dưới tải

δP = Pa²b²/(3EIL) = 26000·4000²·2000²/(3·7,2 × 10¹²·6000) = 12,84 mm

Đáp số

δP = 12,84 mm
12.Độ võng của dầm

Đáp số: RB = 9 kN

Độ võng của dầm: độ võng có được bằng cách tích phân độ cong M/(EI) hai lần. Các trường hợp tiêu chuẩn đã được lập bảng, ví dụ PL³/(3EI) cho dầm công xôn chịu tải ở đầu tự do và 5wL⁴/(384EI) cho dầm đơn giản chịu tải phân bố đều toàn nhịp. Độ võng do các tải riêng rẽ cộng lại (xếp chồng). Với dầm siêu tĩnh, hãy bỏ một liên kết thừa và đòi hỏi độ võng tại đó bằng không (điều kiện tương thích).

Bỏ gối chống đi

Khi không có gối chống, dầm là một dầm công-xôn. Đầu tự do của nó sẽ võng dưới tải.

δload = wL⁴/(8EI)

Điều kiện tương thích tại gối chống

Chỉ riêng lực chống RB nâng đầu tự do lên một đoạn RBL³/(3EI). Gối chống giữ B có độ võng bằng không, nên hai độ võng phải triệt tiêu nhau. EI được khử.

RB·L³/(3EI) = wL⁴/(8EI) → RB = 3wL/8 = 3·6·4/8 = 9 kN

Đáp số

RB = 9 kN
13.Mất ổn định cột

Đáp số: Pcr = 126,6 kN

Mất ổn định Euler: một cột mảnh mất ổn định tại Pcr = π²EI/(KL)², trong đó KL là chiều dài tính toán: K = 1 cho khớp–khớp, 2 cho ngàm–tự do, 0,7 cho ngàm–khớp và 0,5 cho ngàm–ngàm. Cột oằn quanh trục có I nhỏ nhất. Công thức đúng với cột mảnh, có ứng suất tới hạn thấp hơn ứng suất chảy.

Mômen quán tính nhỏ nhất của mặt cắt

Mặt cắt tròn có cùng I đối với mọi trục.

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

Chiều dài tính toán

KL = 0,7·2000 = 1400 mm

Tải trọng tới hạn

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·125664/1400² = 126556 N = 126,6 kN

Đáp số

Pcr = 126,6 kN
14.Mất ổn định cột

Đáp số: σcr = 4,957 MPa

Mất ổn định Euler: một cột mảnh mất ổn định tại Pcr = π²EI/(KL)², trong đó KL là chiều dài tính toán: K = 1 cho khớp–khớp, 2 cho ngàm–tự do, 0,7 cho ngàm–khớp và 0,5 cho ngàm–ngàm. Cột oằn quanh trục có I nhỏ nhất. Công thức đúng với cột mảnh, có ứng suất tới hạn thấp hơn ứng suất chảy.

Mômen quán tính nhỏ nhất của mặt cắt

Mặt cắt tròn có cùng I đối với mọi trục.

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

Bán kính quán tính và độ mảnh

A = 706,9 mm²
r = √(I/A) = √(39761/706,9) = 7,5 mm
KL = 0,7·4000 = 2800 mm
KL/r = 2800/7,5 = 373,3

Ứng suất tới hạn

σcr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/373,3² = 4,957 MPa

Đáp số

σcr = 4,957 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials