Sức bền vật liệu: gói ôn nước rút

Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 14 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.

Bài mới Quay lại môn học

Trong cửa sổ in, hãy chọn “Lưu dưới dạng PDF” để giữ một bản trên thiết bị của bạn.

1Công thức và phương pháp

Ứng suất và biến dạng dọc trục

Ứng suất pháp: σ = F/A
Biến dạng: ε = ΔL/L
Định luật Hooke: σ = E·ε
Độ giãn dài: ΔL = FL/(EA)
Biến dạng nhiệt: ε_T = α·ΔT

Xoắn của trục

Ứng suất tiếp: τ = T·r/J
Trục đặc: J = πd⁴/32
Trục rỗng: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Góc xoắn: φ = TL/(GJ)
Công suất: P = T·ω = 2πnT/60

Phương pháp

Tìm mômen quán tính độc cực: J = πd⁴/32 cho trục đặc.
Ứng suất tiếp ở bề mặt: τ = T·r/J, với r là bán kính ngoài.
Góc xoắn: φ = TL/(GJ) theo radian.
Nếu cho công suất, hãy tìm mômen xoắn trước bằng P = T·ω, ω = 2πn/60.

Lực cắt và mômen uốn

Lực cắt và mômen: V = ΣF ở một phía, M = ΣF·d ở một phía
Ứng suất uốn: σ = M·y/I
Hình chữ nhật: I = bh³/12
Mômen chống uốn của mặt cắt: W = I/y_max
Dầm đơn giản, tải phân bố đều: M_max = wL²/8

Phương pháp

Tìm phản lực gối từ cân bằng của cả dầm.
Cắt dầm tại mặt cắt bạn cần và giữ lại một phía.
Lực cắt: tổng các lực thẳng đứng ở phía đó. Mômen uốn: tổng mômen của chúng quanh mặt cắt.
Để tìm mômen lớn nhất, hãy tìm nơi lực cắt bằng không.

Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắt

Trọng tâm: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Hình chữ nhật: I = bh³/12
Định lý trục song song: I = I_c + A·d²
Mặt cắt ghép: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất

Tâm: C = (σ_x + σ_y)/2
Bán kính: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Ứng suất chính: σ_1,2 = C ± R
Phương chính: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Mặt phẳng nghiêng: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Phương pháp

Tính tâm của vòng tròn Mohr: C = (σx + σy)/2.
Tính bán kính: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Các ứng suất chính là C ± R và ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng là R.
Các góc trên vòng tròn gấp đôi các góc trên phần tử: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Độ võng của dầm

Tải tập trung ở giữa nhịp: δ = PL³/(48EI)
Tải phân bố đều, dầm đơn giản: δ = 5wL⁴/(384EI)
Công xôn, tải ở đầu: δ = PL³/(3EI)
Công xôn, tải phân bố đều: δ = wL⁴/(8EI)
Nguyên lý xếp chồng: δ = δ₁ + δ₂

Mất ổn định cột

Tải Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Hệ số chiều dài tính toán: K = 1 khớp–khớp, 0,5 ngàm–ngàm, 0,7 ngàm–khớp, 2 ngàm–tự do
Ứng suất tới hạn: σ_cr = P_cr/A
Độ mảnh: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Bài tập

1.Ứng suất và biến dạng dọc trụcTrung bình

Tìm biến dạng dọc trục ε trong thanh đồng thau, tính bằng microstrain (µε = 10⁻⁶).

P = 80 kNd = 25 mmL = 1 mE = 100 GPa

ε = µε

2.Ứng suất và biến dạng dọc trụcKhó

Thanh bậc được ngàm vào tường và chịu tải ở đầu tự do. Tìm tổng độ giãn dài δ.

P = 110 kNđoạn 1: Ø35 mm, 2 m, thép (E = 200 GPa)đoạn 2: Ø20 mm, 1 m, đồng thau (E = 100 GPa)

δ = mm

3.Xoắn của trụcTrung bình

Một trục đặc thép có bậc được ngàm tại A. Đoạn AB có đường kính 75 mm và chiều dài 2 m; đoạn BC có đường kính 40 mm và chiều dài 1,2 m. Một mô-men xoắn 400 N·m tác dụng tại đầu tự do C. Tìm góc xoắn φ_C của đầu C, theo độ.

T = 400 N·md₁ = 75 mm, L₁ = 2 md₂ = 40 mm, L₂ = 1,2 mG = 80 GPa

φ_C = °

4.Xoắn của trụcKhó

Một trục đặc phải truyền 75 kW ở 3000 rpm mà ứng suất tiếp không vượt quá 60 MPa. Tìm đường kính nhỏ nhất d thỏa mãn.

P = 75 kWN = 3000 rpmτ_allow = 60 MPa

d = mm

5.Lực cắt và mômen uốnTrung bình

Dầm công-xôn ngàm tại A. Dầm chịu tải phân bố đều w trên toàn bộ chiều dài và một lực tập trung P tại vị trí cách A 2 m. Tìm mô-men uốn M_x tại mặt cắt x = 0,5 m tính từ ngàm A. Dùng quy ước mô-men làm võng xuống là dương và lực cắt hướng lên trên mặt cắt bên trái là dương.

L = 2 mP = 45 kN tại 2 mw = 6 kN/m từ 0 đến 2 mx = 0,5 m

M_x = kN·m

6.Lực cắt và mômen uốnKhó

Các điểm đánh dấu từ A đến G chia dầm thành sáu phần bằng nhau. Tại điểm nào mômen uốn có độ lớn lớn nhất, dù võng hay vồng? Nhấp vào nó trong sơ đồ.

55 kN @ 0 m15 kN @ 12 m12 kN/m, 2–10 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

7.Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắtTrung bình

Một tấm 120 mm × 240 mm có một lỗ tròn đường kính 40 mm trên đường tâm thẳng đứng, tâm lỗ cách đáy 84 mm. Tìm mômen quán tính diện tích I_x quanh trục nằm ngang đi qua trọng tâm.

b = 120 mmh = 240 mmd = 40 mmtâm lỗ: y = 84 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắtKhó

Mặt cắt chữ T được dùng làm dầm với cánh ở trên và chịu mômen uốn làm võng xuống 5 kN·m. Tìm ứng suất uốn σ_dưới ở mép dưới.

b_f = 220 mmt_f = 20 mmt_w = 12 mmh_w = 280 mmM = 5 kN·m

σ_dưới = MPa

9.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suấtTrung bình

Một điểm có σₓ = 90 MPa, σᵧ = 10 MPa và τₓᵧ = −60 MPa (kéo là dương). Tìm góc θ_s, trong khoảng từ −90° đến 90°, từ trục x đến pháp tuyến của mặt có ứng suất cắt đạt giá trị dương lớn nhất +R (ứng suất cắt dương cùng chiều với τₓᵧ).

σ_x = 90 MPaσ_y = 10 MPaτ_xy = −60 MPa

θ_s = °

10.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suấtKhó

Một điểm trong chi tiết chịu tải có σₓ = −10 MPa, σᵧ = 30 MPa và τₓᵧ = −10 MPa (kéo là dương). Tìm ứng suất pháp σ_θ trên một mặt có pháp tuyến xoay 50° ngược chiều kim đồng hồ so với trục x.

σ_x = −10 MPaσ_y = 30 MPaτ_xy = −10 MPaθ = 50°

σ_θ = MPa

11.Độ võng của dầmTrung bình

Một dầm công xôn chịu tải phân bố đều w trên toàn chiều dài. Tìm độ võng δ tại đầu tự do.

w = 10 kN/mL = 3 mE = 70 GPa (nhôm)I = 120 × 10⁶ mm⁴

δ = mm

12.Độ võng của dầmKhó

Một dầm đơn giản chịu tải phân bố đều w. Độ võng của nó không được vượt quá nhịp/360. Tìm mômen quán tính nhỏ nhất của mặt cắt I_req thỏa mãn giới hạn này.

w = 6 kN/mL = 1,5 mE = 11 GPa (gỗ xẻ)

I_req = × 10⁶ mm⁴

13.Mất ổn định cộtTrung bình

Một cột dài L làm bằng thép được ngàm cả hai đầu. Dùng công thức Euler, tìm tải trọng oằn tới hạn P_cr của nó.

L = 3 mE = 200 GPa (thép)d = 60 mm

P_cr = kN

14.Mất ổn định cộtKhó

Một cột dài L làm bằng nhôm được ngàm ở chân và khớp ở đỉnh. Tìm độ mảnh của nó và ứng suất oằn tới hạn σ_cr theo công thức Euler.

L = 4 mE = 70 GPa (nhôm)d = 80 mm

σ_cr = MPa

3Dung dịch

1.Ứng suất và biến dạng dọc trục

Đáp số: ε = 1630 µε

Định luật Hooke: trong giới hạn đàn hồi σ = E·ε. Kết hợp với σ = P/A và ε = δ/L ta được δ = PL/(AE).

Ứng suất

A = π·25²/4 = 490,9 mm²

σ = P/A = 80·1000/490,9 = 163 MPa

Biến dạng (định luật Hooke)

E for đồng thau = 100 GPa = 100000 MPa.

ε = σ/E = 163/100000 = 0,00163 = 1630 µε

Đáp số

ε = 1630 µε

2.Ứng suất và biến dạng dọc trục

Đáp số: δ = 4,645 mm

Cấu kiện chịu tải dọc trục: mỗi đoạn lăng trụ tuân theo δ = PL/(AE). Với các cấu kiện nối tiếp, độ giãn dài cộng lại.

Cùng một lực trong cả hai đoạn

Đầu tự do chịu lực P, nên mọi mặt cắt của thanh đều chịu cùng một lực dọc trục P. Chỉ có diện tích và vật liệu thay đổi.

A₁ = π·35²/4 = 962,1 mm², A₂ = π·20²/4 = 314,2 mm²

σ₁ = 114,3 MPa

σ₂ = 350,1 MPa

Cộng độ giãn dài của các đoạn

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 114,3·2000/200000 = 1,143 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 350,1·1000/100000 = 3,501 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 4,645 mm

Đáp số

δ = 4,645 mm

3.Xoắn của trục

Đáp số: φ_C = 1,552 °

Xoắn thanh tròn: ứng suất tiếp tăng tuyến tính từ không ở tâm đến τ_max = T·r/J ở bề mặt, với J = πd⁴/32 cho trục đặc và J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 cho trục rỗng. Góc xoắn là φ = TL/(GJ) tính bằng radian. Công suất và mômen xoắn liên hệ với nhau qua P = T·ω.

Các mô-men quán tính độc cực

J₁ = π·75⁴/32 = 3,106 × 10⁶ mm⁴

J₂ = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴

Góc xoắn của từng đoạn

T = 400 N·m = 400000 N·mm

G = 80 GPa = 80000 MPa

φ_AB = 400000·2000/(80000·3,106 × 10⁶) = 0,003219 rad

φ_BC = 400000·1200/(80000·251327) = 0,02387 rad

Tổng góc xoắn

φ_C = 0,003219 + 0,02387 = 0,02709 rad = 1,552°

Đáp số

φ_C = 1,552°

4.Xoắn của trục

Đáp số: d = 27,26 mm

Mômen xoắn

ω = 2πN/60 = 2π·3000/60 = 314,2 rad/s

T = P/ω = 75000/314,2 = 238,7 N·m

Đường kính từ ứng suất cho phép

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·238732/(π·60)) = 27,26 mm

Đáp số

d = 27,26 mm

Trong thực tế bạn sẽ làm tròn lên kích thước tiêu chuẩn kế tiếp.

5.Lực cắt và mômen uốn

Đáp số: M_x = −74,25 kN·m

Phương pháp mặt cắt: cắt dầm tại vị trí cần tìm nội lực và giữ lại một phía. Lực cắt V cân bằng với các lực thẳng đứng ở phía đó, và mômen uốn M cân bằng với mômen của chúng quanh mặt cắt.

Giữ phần đầu tự do

P: −45·1,5 = −67,5 kN·m

w: −6·1,5²/2 = −6,75 kN·m

M_x = −67,5 − 6,75 = −74,25 kN·m

Đáp số

M_x = −74,25 kN·m

Dấu âm nghĩa là uốn võng lên: thớ trên chịu kéo.

6.Lực cắt và mômen uốn

Đáp số: B (x = 2 m)

Mômen uốn lớn nhất: M đổi độ dốc ở bất cứ chỗ nào lực cắt thay đổi, nên các đỉnh của nó nằm nơi lực cắt đi qua không: dưới một tải tập trung, bên trong một tải phân bố, hoặc trên một gối của phần công-xon. Tại ngàm của dầm công-xon, mômen lớn nhất ở chân tường. So sánh độ lớn của M tại những chỗ đó, dù là mômen làm võng hay làm vồng.

Phản lực gối

Lấy mômen quanh một gối tựa, rồi dùng cân bằng lực thẳng đứng.

R₁ = 113 kN, R₂ = 53 kN

Mômen uốn tại mỗi điểm đánh dấu

Cộng các mômen của mọi lực ở một phía của mặt cắt. Võng là dương, vồng là âm.

M_A = 0, M_B = −110 kN·m, M_C = −18, M_D = 26, M_E = 22, M_F = −30, M_G = 0

Đáp số

Điểm đánh dấu B: M_B = −110 kN·m

7.Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắt

Đáp số: I_x = 136,4 × 10⁶ mm⁴

Tiết diện có lỗ: coi lỗ là một diện tích âm. Trọng tâm là ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), với A₁, y₁ cho tấm đầy đủ và A₂, y₂ cho lỗ. Với mômen quán tính diện tích quanh trục đi qua trọng tâm, dùng định lý trục song song cho từng phần rồi trừ lỗ: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), trong đó d là khoảng cách từ trọng tâm riêng của mỗi phần đến trục đi qua ȳ. Hình chữ nhật có I_c = bh³/12 và hình tròn có I_c = πd⁴/64.

Trọng tâm

ȳ = (28800·120 − 1257·84)/(28800 − 1257) = 121,6 mm

Tấm đầy đủ quanh ȳ

120·240³/12 + 28800·−1,642² = 138,3 × 10⁶ mm⁴

Lỗ quanh ȳ

π·40⁴/64 + 1257·−37,64² = 1,906 × 10⁶ mm⁴

Trừ

I_x = 136,4 × 10⁶ mm⁴

Đáp số

I_x = 136,4 × 10⁶ mm⁴

8.Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắt

Đáp số: σ_dưới = 17,32 MPa

Diện tích ghép: chia mặt cắt thành các hình chữ nhật. Trọng tâm là trung bình có trọng số theo diện tích ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Mômen quán tính của mặt cắt đối với trục đi qua trọng tâm bằng tổng bh³/12 của từng phần và số hạng trục song song A·d², trong đó d là khoảng cách từ trọng tâm của phần đó đến trọng tâm chung. Ứng suất uốn là σ = M·y/I.

Chia thành hai hình chữ nhật

Đo mọi y từ mép dưới.

cánh: A_f = 220·20 = 4400 mm², y_f = 280 + 20/2 = 290 mm

bụng: A_w = 12·280 = 3360 mm², y_w = 280/2 = 140 mm

Trọng tâm

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (4400·290 + 3360·140)/7760 = 225,1 mm

Định lý trục song song

cánh: 220·20³/12 + 4400·(290 − 225,1)² = 1,871 × 10⁷ mm⁴

bụng: 12·280³/12 + 3360·(140 − 225,1)² = 4,626 × 10⁷ mm⁴

I_x = 1,871 × 10⁷ + 4,626 × 10⁷ = 6,496 × 10⁷ mm⁴

Ứng suất uốn

Mép dưới cách trục ȳ.

y = 225,1 mm

σ = M·y/I = 5 × 10⁶·225,1/6,496 × 10⁷ = 17,32 MPa

Đáp số

σ_dưới = 17,32 MPa

9.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất

Đáp số: θ_s = −73,15 °

Biến đổi ứng suất phẳng: trên một mặt xoay góc θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Vòng tròn Mohr cho thấy tất cả các mặt cùng lúc: tâm của nó ở C = (σₓ + σᵧ)/2 và bán kính là R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Các ứng suất chính là C ± R, và ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng là R.

Góc trên vòng tròn

Trên vòng tròn Mohr, điểm trên cùng (+R) lệch 90° so với điểm chính σ₁; trên phân tố đó là 45°.

cos 2θ_s = −60/72,11 = −0,8321, sin 2θ_s = −40/72,11 = −0,5547

2θ_s = atan2(−40, −60) = −146,3°

Góc trên phần tử

θ_s = −73,15°

kiểm tra: θ_s − θ_p = −73,15 − (−28,15) = −45°

Đáp số

θ_s = −73,15°

Góc dương là ngược chiều kim đồng hồ.

10.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất

Đáp số: σ_θ = 3,625 MPa

Phương trình biến đổi

σ_θ = 10 + −20·−0,1736 + −10·0,9848 = 3,625 MPa

Đáp số

σ_θ = 3,625 MPa

11.Độ võng của dầm

Đáp số: δ = 12,05 mm

Độ võng của dầm: độ võng có được bằng cách tích phân độ cong M/(EI) hai lần. Các trường hợp tiêu chuẩn đã được lập bảng, ví dụ PL³/(3EI) cho dầm công xôn chịu tải ở đầu tự do và 5wL⁴/(384EI) cho dầm đơn giản chịu tải phân bố đều toàn nhịp. Độ võng do các tải riêng rẽ cộng lại (xếp chồng).

Đơn vị nhất quán

Làm việc theo N và mm: P theo N, w theo N/mm (kN/m = N/mm), L theo mm, E theo N/mm² (GPa × 1000), I theo mm⁴.

w = 10 N/mm, L = 3000 mm

EI = 8,4 × 10¹² N·mm²

Độ võng

δ = wL⁴/(8EI) = 10·3000⁴/(8·8,4 × 10¹²) = 12,05 mm

Đáp số

δ = 12,05 mm

12.Độ võng của dầm

Đáp số: I_req = 8,629 × 10⁶ mm⁴

Giới hạn độ võng

δ_allow = L/360 = 1500/360 = 4,167 mm

Mômen quán tính mặt cắt yêu cầu

I = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·6·1500⁴/(384·11000·4,167) = 8,629 × 10⁶ mm⁴

I_req = 8,629 × 10⁶ mm⁴

Đáp số

I_req = 8,629 × 10⁶ mm⁴

13.Mất ổn định cột

Đáp số: P_cr = 558,1 kN

Mất ổn định Euler: một cột mảnh mất ổn định tại P_cr = π²EI/(KL)², trong đó KL là chiều dài tính toán: K = 1 cho khớp–khớp, 2 cho ngàm–tự do, 0,7 cho ngàm–khớp và 0,5 cho ngàm–ngàm. Cột oằn quanh trục có I nhỏ nhất. Công thức đúng với cột mảnh, có ứng suất tới hạn thấp hơn ứng suất chảy.

Mômen quán tính nhỏ nhất của mặt cắt

Mặt cắt tròn có cùng I đối với mọi trục.

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

Chiều dài tính toán

KL = 0,5·3000 = 1500 mm

Tải trọng tới hạn

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·636173/1500² = 558113 N = 558,1 kN

Đáp số

P_cr = 558,1 kN

14.Mất ổn định cột

Đáp số: σ_cr = 35,25 MPa

Mômen quán tính nhỏ nhất của mặt cắt

Mặt cắt tròn có cùng I đối với mọi trục.

I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2,011 × 10⁶ mm⁴

Bán kính quán tính và độ mảnh

A = 5027 mm²

r = √(I/A) = √(2,011 × 10⁶/5027) = 20 mm

KL = 0,7·4000 = 2800 mm

KL/r = 2800/20 = 140

Ứng suất tới hạn

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/140² = 35,25 MPa

Đáp số

σ_cr = 35,25 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials